初中数学竞赛中最值问题求法应用举例[1]
初中数学求多项式最值问题十法
解：由 知
a、b、c中必有两负一正
不妨设
此时
∵a、b、c为整数
∴当 时，a取最大值1990
的最小值是：
十、逐步调整法
例10.已知 都是正整数，且 ，若 的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于________。
解：因为把58写成4，若
则 ，且
所以，当 时，可以把 逐步调整到1，这时 将增大；
同样地，可以把 逐步调整到1，这时 将增大。于是，
当 均为1， 时， 取得最大值
即
若存在两个数 ，使得
，则
这说明在 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时 将减小。
所以，当 取到最小时， 中任意两个数的差都不大于1。
那么 的值依次为：
故 的最小值是
此时（x，y，z）＝（1，8，4）或（1，8，5）
相应的 或
故abc的最大值是10
六、等值代换法
例6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足 那么 的最大值是（）
A. B. C. 0D. 1
解：
，即
代入
得
等号成立当且仅当 时，此时
的最大值是 ，应选B。
七、放缩法
例7.设 为自然数，且 ，又 ，则 的最大值为__________。
则 ，所以s的最大值为3，最小值为2，其和为5。
四、分类讨论法
例4.设 均为正整数，且 ，则当 的值最大时， 的最小值是（）
A. 8B.9C. 10D. 11
解：由 ，知
由<1>得 ，从而
得 ，与题设矛盾
由<2>可取
九年级数学竞赛题：代数最值
九年级数学竞赛题：代数最值数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：1．利用配方法求最值；2．运用不等式或不等分析法求最值；3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4．构造二次函数模型求最值；5．构造图形求最值．例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 、（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a（1） 求a 、b 、c 中最大者的最小值；（2） 求||||||c b a ++的最小值．例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为23321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为__________．3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．（1）若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。
九年级数学竞赛 第18讲 平面几何中的最值问题
九年级数学竞赛第十八讲平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．例1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．例2 如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．例3 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB 渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．例4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△ABC中，∠A=90°，AD ⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△ADN∽△BDM，又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为△AKM≌△ADM，所以AK=AD=AL．而而从而所以 S△ABC≥S△AKL．例5 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，则PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则P1C≤BC=AB．对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．例6 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C 到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A 的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若l与BC相交于D，则所以只有当l⊥BC时，取等号．(2)若l′与B′C相交于D′，则所以上式只有l′⊥B′C时，等号成立．例7 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD 面积的最小值．解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而即AB≥2．当AO=BO时，AB有最小值2．从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为练习十八1．设M为圆O外一定点，P为圆O上一动点．试求MP的最大值和最小值．2．设AB是圆O的动切线，直线OA，OB保持互相垂直．如果圆O的半径为r，试求OA+OB的最小值．3．一直角三角形的周长为10厘米(cm)，则其面积的最大值是多少厘米？4．已知l1∥l2，A，B是直线l1上的两个定点，且AB=10，l1，l2的距离为8，P为直线l2上的一个动点，试求△ABP周长的最小值．5．如果矩形ABCD的周长为40厘米，那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米？。
初中数学竞赛中的组合最值问题解法举例
2 中等数学叙#活幼镙程鉼雇初中数学竟赛中的组合最值仰题解法举例钟志强(四川省绵阳外国语学校，621000)中图分类号:〇157 文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2020)06 - 0002 - 05(本讲适合初中）组合最值问题是指变量随组合结构的安排方式不同而变化，适当安排这些对象可以使某些结构取得最大值或最小值.这类问题往往以整数、点、线、三角形、圆、集合等离散对象为背景，与代数最值和几何最值（连续变量最值问题）在思考方式上有很大的不同.组合最值问题处理三部曲：估计、证明、构造，有时证明和构造可以合二为一.(1)估计:对变量的取值做出猜想估计，猜想出最值的大概范围，估计出最大值或最小值；(2) 证明；(3) 构造:找到一种具体的安排方式，以说明前面估计的最大值或最小值是能够达到的.即先找“界”（估计可能的最值），再通过证明或构造说明等号能成立.先举例说明解决该类问题的三个步骤.例1已知〜<*2〈…<%7,且均为正整数，h +a;2 +…+ ：«7 = 158.求〜+a：2 +巧的最大值.解估计A +心+ 6的最大值为60.先证明：尤1 +巧+ %矣60.假设h +*2 +*3多61.则(«3~2)+ (x3-1) + A：3+X2+X3 ^61收稿日期:2020 - 05 - 06=> x3 ^22=> x4+x5+x6+x7+1 ++ 2 + 3 +4 = 4x3 + l〇5：4 x 22 + 10 =98=>X{ + x2+ ''• + X-J=(a：! + x2+^c3)+ (a:4+ac5+ x6+x-j)彡61 +98 =159，与已知等式矛盾.故〜备60，即々+ + ；t3的最大 值为60.再构造说明60可以取到.取丨1 = 19，丨2 = 20，丨3 = 21 ,丨4 = 22，丨5 =23，丨6 =24，尤7 =29.则;^ + ；*2 + 巧=60.到底是只需构造一例还是需严格证明，要看题目的描述.若题目要求是存在性的，则 构造一例即可;若题目要求是任意性的，则需 严格的证明，也需构造.组合最值问题，在初中阶段大体有如下一些处理方法，下面举例说明.1构造抽屉例2记正整数m的各位数字之和为S(m)，比如 S(2 017) = 2 +0 +1 + 7 = 10•现从1，2,…，2 017这2 017个正整数中任意取 出n个不同的数，都能在这n个数中找到八 个不同的数％，a2，…，a8，使得…= S(a8).2020年第6期3则正整数n的最小值是（）.[U(A)185 (B)187 (C)189 (D)191(2017,全国初中数学联赛四川赛区决赛）解注意到，1,2,…，2 017这2 017个 正整数中，数字之和的最小值为1，最大值为 28.易知，数字之和为1的有1、1〇、1〇〇、1 _这四个数;数字之和为2,3,…，26的数的个数均不少于八个;数字之和为27的仅有 999、1 899、1 989、1 998这四个数;数字之和 为28的仅有1 999这一个数.故数字之和为2,3,…，26的各取七个，其余数字之和的数全取，不满足条件.从而，r a彡4 + 7 x 25 + 4 + 1 +1 =185.又由抽屉原理，知n = 185时，符合条件.因此，正整数n的最小值是185，选(A). 2逐步调整例3已知n个正整数〜，〜…八满足〜+*2 +…+ ；»：… = 2 020•求这re个正整数乘 积•••；»：…的最大值.(根据2008年全国初中数学竞赛天津初 赛题改编）解设的最大值为M.由题意，知M中的每一个1(七>1)(/ = 1，2,…，n),若其中有乂 5=4,可将;k;分成\ - 2和2两个数，考虑其乘积，有(x{- 2)x2 =xi + (xt -4)于是，所有这样不小于4的正整数七分成^-2和2两个数后，其和不变，但乘积 变大.从而，在M中不可能出现不小于4的正整数.故乂 =2或3•这表明，M可写成2P x 39的形式.又因为2+2+2=3 +3,但23 <32,艮P在乘积中用两个3替代三个2,乘积更大，所以，/>矣2.又 2 020 =3 x672 +2 +2,贝I J心…、的 最大值为22x3672.3极端原理例4 (1)在4x4的方格表中，先把部分格染成红色，然后划去2行和2列.若无论 怎么划，都至少有一个红色的小格没有被划去，则至少要染多少个小格?证明你的结论.(2)若把（1)中的“4 x4的方格表”改成 “r a xra(/i多5)的方格表”，其他条件不变，贝！J 至少要染多少个小格?证明你的结论.[2]解设染m个红格.(1)当m矣4时，一定能全划去.当m=5时，由抽屉原理，知必有一行至 少有两个红格，则先划去这一行，剩下的红格 至多有三个，能被全划去.当m=6时，由抽屉原理，知必有一行至 少有三个红格或至少有两行恰各有两个红格.若有一行至少有三个红格，则先划去这一 行，剩下的红格至多有三个，必然能被全划去;若至少有两行恰各有两个红格，则先划 去这两行，则剩下只有两个红格，也必能被全 划去.当m=7时，如图1的染法符合条件.故至少要染七个红格.图1图2(2)当m专4时，一定能被全划去，当 /I= 5时，构造如图2的染法符合条件.故至少要染五个红格.4中等数学4分类讨论例5图3是由圆组成的一个五环，请 将数字1，2,…，9填入五环中的9个空白处，使得每一个圆中所填的数的和都相等•求这个相等的和的最大值和最小值.[3]解设图3中的数字和为则5S = (a + b)+(b+c + d) +(d + e +f) + (f+g +h) + (h +i)= (a+b+c + d + e +f + g + h + i) +(b+d+f+h)=(1 +2 + •■■+9)+ (b +d +f+h)=45 + (b + d +f + h).于是，6+d+/+/i能被5整除.而6+(/+/+/i的最大值为6 +7 +8 +9 =30,最小值为 1 +2 +3 +4=10,故 6 +/ + /i 的值可能为1〇、15、20、25、30.(\)^b+d+f+h =30 0t,S = 15,gpb + d +f+ h =6 +1+ 8 + 9,此时，包括9的圆环至少有一个圆环内数字和超过15,故S = 15不合题意.(2)当 6+(/+/+&=25 时，S = 14,此时，b+d+f+h=S+l+ 6+ 4=9+7+5+4=9+7+6+3=9 +8 +6+2,如图4,存在一种填法，使得b + d +f+h =9 +1+ 6+3.故S的最大值为14.(3)当6+4+/+ /1=1+2+3+4= 10时，S = 11，此时，存在一种填法如图5.5不等式控制例6如图6,将1，2,…，10这十个数分 别填入图6的十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M.求M的最小值并完成你的填图.[4]图6解设满足已知条件的数依次为：％，a2，”.，a i。
初中数学竞赛最值问题
最值问题基础知识：把20拆成两个自然数的和，然后将它们的乘积填写在下表中，并找出规律：总结规律：和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小。
给出证明：例1. 有a、b、c三条线段，线段a长2.12米，线段b长2.71米，线段c长3.53米。
如下图，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形，问第几号梯形的面积最大？分析：梯形的面积公式已经学过：（上底＋下底）×高÷2。
那么第一种方法就是代入计算，但是计算量很大，并不简便。
我们要比较三个梯形的面积，就相当于比较哪三个算式？①：（a+c）×b÷2②：（b+c）×a÷2③：（a+b）×c÷2观察这三个算式之间有什么特点？[答疑编号505721500101]【答案】③【解答】首先比较（a＋c）×b、（b＋c）×a、（a＋b）×c这三个数的大小。
因为a<b<c，所以这三个算式中，被乘数与乘数最接近的是第三个算式，因此（a＋b）×c是这三个数中最大的。
所以，第③号梯形的面积是最大的。
总结：本题中就用到了均值不等式的结论：两个数和一定的时候，差越小，乘积越大。
例2. 用0~9这10个数字组成两个五位数，那么这两个数的乘积最小是多少？分析：要想两个五位数的乘积尽量小，那么应该让它们的首位数字尽量的小，所以应该把 1 和 2 放到两个数的首位上。
以此类推，它们的千位上应该放0 和 3 ，百位上应该放 4 和5 ……然后还需要确定每个数位上的两个数字到底如何分配，这个时候如果注意到此时两个五位数的和已经确定，就可以应用前面所讲的均值不等式的结论了。
[答疑编号505721500102]【答案】246824972【解答】为了使两个五位数的乘积最小，应该将比较小的数字排到尽量靠前的数位上，所以万位数字是1和2，千位数字是0和3，百位数字是4和5，十位数字是6和7，个位数字是8和9。
初中数学竞赛辅导讲义怎样求最值
初中数学竞赛辅导讲义怎样求最值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思 想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即： 对于c bx ax y ++=2（0≠a ） (1)若a>0，则当abx 2-=时，ab ac y 442-=最小值； (2)若a<0，则当abx 2-=时，ab ac y 442-=最大值．【例题求解】【例1】 设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是 ．思路点拨 将原式整理成关于a 的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设t b a b ab a =--++222，将等式整理成关于a 的二次方程0)2()1(22=--+-+t b b a b a ，利用判别式求最小值．【例2】若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( )A ．3B ．1459C ．29 D ．6 思路点拨 设k z y x =-=+=-32211，则222z y x ++可用只含k 的代数式表示，通过配方求最小值．【例3】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值． 思路点拨 由韦达定理知2221x x +是关于m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：(1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45吨，向B提供75吨，向C提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨．甲、乙与A、B、C的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．思路点拨设乙基地向A提供x吨，向B提供y吨，这样总运费就可用含x，y的代数式表示；因为100x0，45≤y+0≤≤x，所以问0≤题转化为在约束条件下求多元函数的最值．【例5】 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元． (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?思路点拨 在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a 、b 以及在正实数范围内取值的变量x ，一定有ba xb ax b x x a 22=≥+，即当且仅当bx xa =时，b x xa +有最小值ba2．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有： (1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则abb a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则babx xa 2≥+．以上各式等号当且仅当b a = (或bx xa =)时成立．学历训练1．当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值为．2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为 、 米． 3．已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，6222=++c b a ，则a 的最大值为 ．4．已知x 、y 、z 为三个非负实数，且满足523=++z y x ，2=-+z y x ，若z y x s -+=2，则s 的最大值与最小值的和为( )A ．21 B ．85 C ．1 D ．36 5．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为( )A ．2lB ．25C ．26D ．36 6．正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为( )A ．21B ．85C ．1D ．45 E ．27．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：(1)试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：元)收益(万0．55 0．4 0．6 0．5 0．9 l 元)如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值11100元蔬菜21750元烟叶31600元小麦4请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．9．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为sm2．(1)求s与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米?(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 10．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为 ． 11．若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为12．已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的最大值为 ，最小值为 ． 13．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距102km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．14．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为 ．15．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每 月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出 辆车(直接填写答案)；(2)设每辆车的月租金为x(x ≥3000)元，用含x 的代数式填空：(3)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润? 链接17．如图，城市A 位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低?未租出的车辆数租出的车辆数所有未租出的车 辆每月的维护费租出的车每辆的月收益18．设1x ，2x ，…n x 是整数，并满足： （1）21≤≤-i x ，n i ,2,1=； （2）1921=+++n x x x ； （3）9922221=+++n x x x ．求33231n x x x +++ 的最大值和最小值．参考答案。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
初中数学中最值问题求法
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。
现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）根据非负数的性质求最值。
1、若M =（X ±a ）2 +b ，则当X ±a = 0时M 有最小值b 。
2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。
3、用（a ±b ）2≥0 ，∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。
【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。
】例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a 2 + b 2 + c 2= 9，则代数式 （a － b ）2 + （b —c ）2 +（c － a ）2的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。
当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。
】 例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +1都能表示成K 个完全平方数的和，那么K 的最小值是 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X 2 （N ≥ 8），则3不能整除X ，所以X 可以表示成3P ±1的形式。
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最值问题求法例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（）A．27 B、 18 C、15 D、 12例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、 1B、 2C、 3D、 4例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。
例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S = 2a－3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。
（二）、直接运用a 2＋b 2≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。
例题（6）、若X > 0，则函数Y = 3X ＋31X＋21++XX 的最小值。
例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2 =316，求a 的最小值与最大值。
（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。
例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值 ；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。
例题（9）、求函数Y = 12156322++++X X X X 的最小值。
（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。
例题（10）、abcde 是一个五位自然数，其中a ，b ，c ，d ，e 为阿拉伯数字，且a<b<c<d ,则│a-b │＋│b-c │＋│c －d │＋│d －e │的最大值是 ———。
例题（11）、求代数式│X －1│＋│X －2│＋│X －3│＋…＋│X －2003│的最小值。
○2，求代数式│X －1│＋│X －2│＋│X-3│＋…＋│X-2004│的最小值。
（五）、用二次函数图象性质求最值。
例题（12）、若│y│≤1,且2x＋y = 1.则2x2＋16x＋3y2的最小值是——————。
例题（13）、设m是不小于－1的实数，使得关于X的方程X2＋2(m－2)X＋m2－3m＋3 = 0 有两个不相等的实数根X1，X2。
求1211XmX-＋2221XmX-的最大值。
（六）、用方程组消元（也称主元代换法），再用不等式组确定字母取值范围，在字母约束条件下求最值。
例题（14）、已知三个非负数a、b、c满足3a＋2b＋c = 5,2a＋b－3c = 1,若Q = 3a＋b－7c ,求Q的最大和最小值。
（十）、用整数的性质求最值。
例题（15）、若对于n≥2存在整数a1,a2,…,an使得 a1＋a2＋…＋an=a 1a2…an= 1990,则n 的最小值是————————。
（十一）、用数学建模求应用题的最值。
例题（21）、某蔬菜基地种植西红柿，由历年的市场行情知，从二月一日起的250天内，西红柿的市场售价P 与上市时间t 的关系用图（3-1）中的一条线段表示；西红柿的种植成本Q 与上市时间t 的关系可用图(3-2)中的抛物线来表示。
（市场售价P 和种植成本Q 的单位：元/102kg ，时间单位：天 ）。
若认定“市场售价－种植成本 = 纯收益”，问何时上市的西红柿纯收益最大？解：如图（3-1）得函数关系式为：P = 300－t (0≤t ≤ 250).如图（3-2）得函数关系式为：Q = 2001（t －150）2＋100 (0≤t ≤250).纯收益S = P －Q = －2001（t －50）2＋100 .即从二月一日开始的第50天上市西红柿的纯收益最大。
【说明：此类生活中的数学问题，具有强烈的时代气息，来源于生活生产实际，是近年来各级各类竞赛考试的热门试题，综合性强，知识的涉及点多，知识的应用要求高，在辅导中要引起重视。
】 (十二)、练习题：1、已知：a < 0, b ≤ 0, c > 0 ,且ac b 42 = b 2－2ac ,求b 2－4ac 的最小值。
【把已知条件两边平方后得ac = b －1,代入b 2－4ac 就能求得最小值4。
】 2、已知在直角坐标系中有三点A （0，1）、B （1，3）、C （2，6），直线Y=aX ＋b 上横坐标为0、1、2的三点为D 、E 、F ，试求a 、b 的值，使DA 2＋EB 2＋FC 2取得最小值。
【把D 、E 、F 三点的纵坐标用含a 、b 的代数式表示，然后把DA 2＋EB 2＋FC 2用含a 、b 的二次式表示，配方后求出最小值。
当a=5/2,b=5/6,最小什为1/6。
】3、设X 1，X 2是关于X 的方程X 2＋aX ＋a = 2的两个实数根，则（X 1－2X 2）（X 2－2X 1）的最大值为—————— 。
4、求函数Y=X 4＋X 2＋1的最小值。
【Y=（X 2＋1）2＋43，当X=0时Y 最小值是1。
】 5、四边形ABCD 的面积为32，AB 、CD 、AC 的长都是整数，且它们的和为16，○1这样的四边形有几个？○2这样的四边形边长的平方和的最小值是多少？【先由AB=a 、CD=b 、AC=m 都是正整数 ,且四边形ABCD 面积=三角形ABC 面积＋三角形ACD 面积=1/2ah a ＋1/2bh b ≤1/2(a ＋b)m ,当且仅当h a =h b =m 时等号成立，这时AB ‖CD ，即四边形ABCD 为平行四边形或梯形，且AC 是高。
又从（a ＋b ）m ≥32,a ＋b ＋m=16 得满足条件的四种情况。
】6、设实数a,b 满足 a 2－bc －8a ＋7=0b 2＋c 2＋bc －6a ＋6=0，则a 的最大值与最小值的和是 ________________ 。
【先由原方程组求出b 2＋c 2,bc 用a 表示的代数式，再由(b －c)2≥0解不等式a 2－10a ＋9≤0求得1≤a ≤9,所以a 的最大值为9，最小值为1。
】 7、如果a,b,c 是实数，且满足关系式b 2＋c 2=2a 2＋16a ＋14与bc=a 2－4a －5，那么a 的最大值与最小值的和是________ . 【用(b-c)2≥0】 8、若M=（X ＋1）（X+2）（X+3）（X+4）+50，则M 的最小值是________ .9、若M=4X 2-12XY+10Y 2+4Y+9，则当X=_____Y=_____时M 的值最小，M 的最小值为_______。
10、正实数X 、Y 、Z 满足XY+YZ=10，则X 2＋5Y 2＋4Z 2的最小值是_______。
【由XY+YZ=10得4XY+4YZ=40，则X 2＋5Y 2＋4Z 2=（X-2Y ）2＋（Y-2Z ）2＋40，当X=2Y 且Y=2Z 时原代数式有最小值40。
】11、实数P 、Q 、R 满足P+Q+R=5，PQ+QR+RP=3，则R 的最大值是______。
【令P=（5-R ）/2＋d ，Q=（5-R ）/2－d ，代入PQ+QR+RP=3得3R 2－10R －13=-4d 2，解不等式3R 2-10R-13≤0得R 的最大值是13/3。
也可用⊿法解。
】12、若X 为正实数，求Y=X 2－X ＋X1的最小值 。
【Y=（X-1）2+（X -X1）2＋1，当X=1时Y 有最小值1。
】13、已知xy=1,那么代数式41x＋441y 的最小值是_________。
14、若x>0,则函数y=3x ＋31x＋21++xx 的最小值是________ 。
15、若x ≠0,则y=xx x x 44211+-++的最大值是________ 。
【y=442111x x x x++++ =222211111x x x x ++++≤3＋2】16、已知函数y=x 2＋(a-1)x+2a 2-2a-100,且存在实数x ，使得y ≤0,则满足条件的最大整数a 的值是________ 。
【⊿≥0】17、若x 为实数，求函数y=175252++-x x x 的最小值。
【用根的判别式，66-。
】18、求函数y=143322++++x x x x 的最大值 。
【13/3】19、已知实数a,b,c 满足a ＋b ＋c=0,abc=8,且c>0,则c 的最小值是________。
【用韦达定理和根的判别式，234】20、已知x,y,z 是实数，并且满足x+y+z=0,xyz=2,则z 的最小值是_______ ,∣x ∣＋∣y ∣＋∣z ∣最小值是_________ 。
【用⊿法，结果为2、4】 21、在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=900，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S ΔABP 的最小值 。
【设PD=x,得AB ·S ΔABP =)1(2)1(2-+x x =y,用⊿法求得最小值是2-3。
】22、已知312-x －1≥x －235x-,求∣x-1∣-∣x ＋3∣最大值和最小值。
【4，-36/11。
】23、设x 为实数，y=∣x ＋2∣＋∣x-4∣,求y 取最小值时的所有实数x 。
【-2≤x ≤4 。
】 24、已知y=∣x-1∣-∣2x ∣＋∣x ＋2∣，且-2≤x ≤1，则y 的最大值与最小值的和是（ ）A ．0 B. 2 C. 4 D. 5 【选B 】25、∣m-2∣＋∣m-4∣＋∣m-6∣＋∣m-8∣最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【选B 】 26、设a 为实数，若二次函数y=x 2-4ax ＋5a 2－3a 的最小值为m ，当a 满足0≤a 2-4a-2≤10时，求m 的最大值 。
【由0≤a 2-4a-2≤10得2+6≤a ≤6或-2≤a ≤2-6,求得m 的最大值为18。
】27、设P 是实数，二次函数y=x 2－2Px-P 的图像与X 轴有两个不同交点A （x 1，0）、（x 2,0）,若A 、B 两点之间的距离不超过∣2P-3∣，求P 的最大值 。
【9/16】 28、印刷一张矩形广告，它的印刷部份的面积是32dm 2,上、下各空白1dm,两边各空白0·5dm ，设印刷部份从上到下的长度是xdm,四周空白处的面积为Sdm 2,要使四周空白处的面积最小，这张矩形广告纸的长和宽各是多少？【用⊿法或x ＋1/x ≥2xx 1,长是9dm ，宽是6dm.】 29、在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为（4，-3），且在X轴上截得的线段AB 长为6，请在Y 轴上求一点P ，（不写作法）使PA+PB 的值最小，并求P 点坐标。