初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一)
初中生用方程求解题技巧
初中生用方程求解题技巧初中阶段是学习方程求解题的关键时期，掌握方程求解的技巧对于提高数学能力和解题效率都至关重要。
下面将介绍一些初中生在方程求解题中常用的技巧和方法。
1. 理顺问题：在解决方程求解题时，首先要读懂题目，理解问题的意思，并将问题转化为代数语言。
经常遇到的一种情况是题目给出的是一个实际问题，需要通过设立未知数的方式将问题转化为方程。
例如，题目中提到班级总人数是30人，男生比例是2:3，可以设未知数x表示男生人数，则女生人数为(30-x)，然后根据男生和女生人数的比例关系建立方程2x/(30-x)=2/3。
2. 找出方程：理清问题后，要确定方程的形式。
根据题目信息，确定要找的未知数和方程的关系式。
例如，遇到分配问题时，可以使用分配法则设立方程。
如A、B两个人分别购买了商品，A花费的总金额是x，B花费的总金额是y，而总体上他们购买的总金额是100元，可以建立方程x+y=100。
3. 建立方程：在解决方程求解题时，根据题目信息和目标，可以设立一个或多个方程。
根据题目中给出的条件，利用代数语言将问题转化为方程。
例如，题目中提到某数的两倍加上8等于18，可以设未知数x表示这个数，则建立方程2x+8=18。
可以根据方程的目标来设立方程，求两个数的和、差、积等。
如苹果的总数是x，梨的总数是y，根据题目要求苹果数的两倍减去梨数的3等于20，可以建立方程2x-3y=20。
4. 简化方程：建立方程之后，可以对方程进行简化，将方程变形成标准形式。
在简化过程中可以使用移项、合并同类项、展开等运算。
简化方程的目的是为了使方程更易于求解。
例如，方程2x+8=18，可以通过移项将常数项8移到右边得到2x=10。
5. 解方程：简化方程之后，利用解方程的方法求解。
常见的解方程的方法有多种，如适用于一次方程的加减法、去项法、代入法等。
对于一次方程，可以利用加减法做消元，逐步将方程简化为求单一未知数的方程。
对于二次方程、多次方程等，可以使用因式分解法、配方法等进行解题。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
随着教育的普及，学生数学水平的提高，数学竞赛逐渐增多。
许多学生都有参加数学竞赛的渴望，但如何解决数学竞赛中的题目，变得非常重要。
在这里，我将分享一些我在数学竞赛解题思想和策略。
首先，要想解决数学竞赛中的题目，首先要了解题目的内容。
这一点非常重要，因为如果不清楚题目，就无法找到正确的解题思路。
在读题时要特别注意，看清题目中的关键点，以及把握好题目的类型，这样才能把握住思路。
其次，要想解决数学竞赛中的题目，也要有较强的基本功。
比如，数学竞赛中常用的数学知识，必须扎实掌握。
这一点非常重要，因为基本功薄弱的话，很容易就被题目难倒了。
再次，解决数学竞赛的题目，也要有运用技巧的能力。
这里要提醒大家，不同的题目应该有不同的技巧，要根据题目的不同特点进行技巧的选择。
最后，解决数学竞赛中的题目，也要有综合能力，即知识要和技巧有机结合起来，才能得出最后的答案。
在这里，要提醒大家，解题的过程中要谨慎，尽量避免漏洞，以免影响最后的结果。
总之，要想解决数学竞赛中的题目，除了要充分准备外，一定要有明确的解题思路，以及运用技巧的能力，还要有综合能力，最终才能得出正确的答案。
数学竞赛是一种非常有趣的活动，即使不能够获得奖项，通过参加竞赛也可以提高自己的知识和能力。
最后，我在这里祝愿大家取得
更好的成绩，获得更高的荣誉！。
初中数学竞赛精品标准教程及练习09：一元一次方程解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习(9) 一元一次方程解的讨论 一、内容提要1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=ab ； 当a=0且b ≠0时，无解；当a=0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 二、例题例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a 4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a 与4同号， 即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。
例2 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k －6，当k ≠0时x=k k 6 =1－k6， 只要k 能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
解决初中数学中的分式方程题的技巧有哪些
解决初中数学中的分式方程题的技巧有哪些在初中数学学习中，分式方程作为一种重要的数学题型，经常出现在考试或者作业中。
对于一些学生来说，解决分式方程题可能会带来一定的困惑。
然而，只要掌握了一些基本的技巧和方法，解决分式方程题将变得更加简单和容易。
本文将介绍一些解决初中数学中分式方程题的技巧，帮助学生们提升解题的能力。
一、整理方程在解决分式方程题之前，第一个需要注意的步骤是整理方程。
通常情况下，分式方程中会存在一些分母或者多个分式的运算，我们需要将其整理成一个分式。
以一个简单的例子来说明：例题：解方程 $\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{3}{2}$首先，我们可以通过通分将方程整理成一个分子含有分母的方程：$2(x-1) - 1x = \frac{3}{2}x(x-1)$然后，继续整理方程，将方程转化为一元一次方程：$2x - 2 - x = \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x$最后，将方程整理为标准形式：$\frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2x + 2 + x = 0$$\frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 = 0$通过整理方程，我们可以将原分式方程转化为一元一次方程，便于我们进行后续的解题步骤。
二、消除分母在解决分式方程题时，我们常常需要消除方程中的分母。
为了实现这一目标，我们需要找到一个合适的方法，将分母约去。
以下是两种常用的消除分母的方法：1. 通分通过通分的方式，我们可以将方程中的多个分数表示为相同分母的分数。
例如：例题：解方程 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{5}{4}$首先，我们可以通过通分的方式将方程的分子表示为相同分母的分数：$\frac{4}{4x} + \frac{4}{4(x+1)} = \frac{5}{4}$$\frac{4(x+1) + 4x}{4x(x+1)} = \frac{5}{4}$$4(x+1) + 4x = \frac{5}{4} \cdot 4x(x+1)$通过通分，我们可以将方程转化为一个一次方程，便于我们进行后续的解题步骤。
初中奥数题目解题思路
初中奥数题目解题思路初中阶段是学生接触奥林匹克数学竞赛的重要时期，在数学竞赛中，解题思路是至关重要的。
本文将介绍一些常见的初中奥数题目解题思路，以帮助学生更好地应对奥数竞赛。
一、整数方程问题的解题思路整数方程问题是奥数竞赛中常见的题型之一。
解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 分析问题：仔细阅读题目，理清题目的要求，明确求解的是什么。
2. 假设和列方程：假设未知数的值，并建立相应的方程。
需要根据题目给出的条件，运用逻辑思维能力进行推导。
3. 求解方程：根据列出的方程，进行计算和求解，得到未知数的解。
4. 检验答案：将求解得到的未知数代入原方程，检验该解是否满足题目的要求。
二、几何图形问题的解题思路几何图形问题是奥数竞赛中常见的另一类题型。
解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 画图：根据题目给出的条件，画出相应的几何图形。
可以利用纸和铅笔进行绘制，也可以在脑海中形成清晰的图像。
2. 观察：仔细观察图形，理解题目所要求的内容。
可以寻找各种几何属性和关系，加深对题目的认识。
3. 运用几何知识：根据所学的几何知识，找出相关规律和定理，尝试寻找解决问题的关键点。
4. 推理和证明：根据所学的推理和证明方法，进行推理和证明。
需要进行逻辑推导和演绎推理，从而得出准确的结论。
三、概率问题的解题思路概率问题在奥数竞赛中也占据一定的比重。
解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 理清问题：仔细阅读题目，理解题目的要求，明确所求的概率是什么。
2. 查找条件：寻找题目中给出的条件，明确已知条件和未知条件。
3. 列出可能性：分析问题，列出所有可能发生的情况。
需要运用逻辑推理和思维扩展能力。
4. 计算概率：根据已知条件和列出的可能性，进行计算概率。
可以利用排列组合、加法原理等数学方法进行计算。
总结：初中奥数竞赛题目的解题思路可以根据不同的题型进行分类，分别采取相应的解题方法。
对于整数方程问题，需要明确问题的要求，并进行假设和列方程。
数学竞赛解方程
数学竞赛解方程
数学竞赛中，解方程是一个非常重要的环节。
解方程需要我们掌握一定的数学知识和技巧，同时也需要我们具备一定的思维能力和逻辑思维能力。
在解方程的过程中，我们需要运用各种方法和技巧，才能够得到正确的答案。
解方程的基本步骤是：先将方程化为标准形式，然后运用各种方法和技巧进行变形，最终得到方程的解。
在解方程的过程中，我们需要注意以下几点：
1. 确定方程的类型：方程的类型有很多种，如一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等。
我们需要根据方程的类型选择相应的解法。
2. 化简方程：将方程化为标准形式，去掉无用的项，使方程更加简洁明了。
3. 运用各种方法和技巧：解方程需要我们掌握各种方法和技巧，如配方法、因式分解、二次公式等。
在运用这些方法和技巧时，我们需要根据具体情况选择合适的方法和技巧。
4. 检验答案：解方程后，我们需要将解代入原方程中进行检验，确保解是正确的。
解方程是数学竞赛中的一个重要环节，也是数学学习中的基础内容。
通过解方程，我们可以锻炼我们的思维能力和逻辑思维能力，提高我们的数学素养。
同时，解方程也是我们日常生活中解决问题的一种方法，具有很强的实用性。
在数学竞赛中，解方程是一个非常重要的环节。
我们需要认真学习数学知识，掌握各种方法和技巧，不断提高自己的数学素养。
只有这样，我们才能在数学竞赛中取得好成绩，也才能在日常生活中更好地解决问题。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
数学竞赛的比赛解题是棘手的，要求参赛者迅速有效地解决一系列数学问题，以期取得好成绩。
自20世纪90年代以来，数学竞赛的参赛者数量在增长，由此也导致了解题思路和策略方面的需求日益增加。
在此，本文将就如何准备和完成数学竞赛解题，探讨这样一个重要话题：如何解决数学竞赛中出现的各种解题思想和策略问题？
首先，在准备数学竞赛解题时，最重要的是认真研究基本的数学知识，如几何、解析几何、代数，以及相关的基本知识。
此外，要经常练习，熟悉数学竞赛中常见的解题方法。
能够发现某些问题的特点和结构，将有利于解决这样的问题。
其次，要学会在数学竞赛解题中，运用好有效的思路和策略，如罗列法、搜索法、算法模拟等解题思路，理清解题思路，审视问题，搜索解题思路。
此外，还可以从更多的角度解决问题，包括正确性、可读性、时间和空间复杂度等。
此外，参加数学竞赛解题时，要注意节省时间，给出正确和完整的解答。
这就要求解题者要仔细分析题目，抓住关键点，尽快解决问题，把握解题的步骤，顺利地完成解题。
最后，参加数学竞赛的解题者要做好学习心理调节，保持积极乐观的心态，认真负责，有效地把握解题时间，做到有备无患，勇于接受挑战，认真总结解题经验，从而在解题中取得长足的进步，取得成功。
总之，数学竞赛解题有一系列重要的解题思想和策略。
参赛者要
熟练掌握这些解题思想和策略，多加练习，培养灵活的解题思想，改进逐步解题的方法，建立良好的解题习惯，才能在数学竞赛中取得良好的成绩。
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初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）
安徽省巢湖市教学研究室 张永超
(本讲适合初中)
方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
一、知识要点 1.形如
方程的解的讨论：
⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关
知识。
⑴若
，则它有一个实数根＝1；若
，则它有一个实数根＝－1。
⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数
(≠0)的图象结合
起来考虑是常用方法。
3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。
5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。
二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例1.已知
，且方程
的两个实数根都是整数，则其最大的根是 。
解：设方程的两个实数根
为
、
，
则
，所
以。
因为
、都是整数，且97是质数，若设
＜
，则
，
，或
，
，因此最大的根是98。
评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。
这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：
- 2 -
类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数
根，则－等于( )
A.1；
B.2；
C.±1；
D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以
，由，为整
数得
，或
，或
，或
， 所以－=±
1。
例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数
有______个。
解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。
①当时，
，符合题意；
②当
时，原方程是一元二次方程，易知
是方程的一个整数根。
设是方程的另一个整数根，
由一元二次方程根与系数的关系得。
因为
是整数，所以
±1，或±2，∴
=－1，0，2，
3。
结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。
评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。
对于
时方程解的讨论方法具有一般性，
即由
是整数判断得
±1，或±2。
延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如：
(2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满
足的关系式。
解：原方程组可化
为
，所
以
，显然方程中≠－1，因
此。
因为、是整数，所以
，即=0，或－2。
当=0时，=0，此时、满足的关系式是=0(为任意实数)； 当=－2时，=8，此时、满足的关系式。
例3.(2004年全国联赛)已知方程
的根都是整数，求整数的值。
解：原方程的解为。
因为方程式的根都是整数，所以必须是完全平方式。
设(＞0)，则，所以。
∵
，且＞，
解得=10，0，－18，－8。
评注：涉及完全平方数的一元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初中数学竞赛题中较为常见，有的问题须多次使用根的判别式，多次变换讨论的对象，如：
的二次方程有有理根，则的值
类题.(2004年太原)已知为整数，若关于
是。
分析：由已知得为完全平方数。
设(为正整数)，即
①
应为完全平方数。
令(正整数，且＞)，则，因此，
解得，所以①可化为，解得=－2，或=0(舍去)。
例4.(2001年全国竞赛)如果，为质数，且，，那么的值为( )
A.；
B.或2；
C.；
D.或2.
解：依题意，，都是关于的方程的根。
若≠，则，是方程两个不相等的实数根，所以。
因为，为质数，所以=2、=11或=11、=2，因此=；
若=，则==2，或==11，所以=2。
因此本题答案选B。
评注：本题解答应用了质数的概念与分类讨论思想。
，都是关于的方程的根，可能有=与≠这一点容易忽视。
两个质数的和是13，这两个数只能是2与11.
- 3 -。