初中数学竞赛解题方法归纳之欧阳学创编
人教版八年级数学培优竞赛之欧阳德创编
目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)BACDE F第24讲 数据的分析(P199-----209) 模拟测试一 模拟测试二模拟测试三第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此AFCEDB推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90.在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABC ≌∴△DCB （SAS） ∴∠A＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中,AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中,AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DCE∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5A B CDOFEA CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________.03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.A E第1题图A BCDE BCDO第2题图AFECB D【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC中,AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ） A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° C ． AC ＝DF D ．EC ＝CFB（E ）OC F 图③DA纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，EFB ACDG第2题图1ABPQEF D∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°,∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC中,2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90°∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02MA 为am ，此时梯子的倾斜角为端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a b m +B ．2a bm -C ．bmD ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CDB .∠BAC ＝∠DACC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05第1题图a αcca50° b72° 58°△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. △ABE≌△CBDB. ∠ABE＝∠CBDC. ∠ABC＝∠EBD＝45°D. AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（）A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对C. 小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______10⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.11．如图, AB＝CD,AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P 的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.A E F BD C 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ； ⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们D AC .Q P .BD B A CEF A E B F DC全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整） ⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BCC . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ） A B C D A 1B 1C 1D 1 F 第6题图 2 1 A B CE N M 3 2 1 A D E B CF A D E CO AEOB FC D第1题图 B 第2题图第3题图A E FCD B A EB DC A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝A B E D CA BC D E ∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
中考数学高频考点之欧阳法创编
高频命题点一、选择题、填空题常考点1、相反数、绝对值、倒数①相反数：a的相反数为a-（解题时找其数字一样，符号不一样的）②绝对值：(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩③倒数：ab 的倒数为ba，倒数等于本身的数为±1（解题时找符号一样，分子、分母颠倒的）性质：①实数a、b互为相反数⇔0a b+=；②实数a、b互为倒数⇔1ab=2、科学记数法：10na⨯⑴确定a：110a≤<；⑵确定n：①当原数≥10时，n等于原数的整数位数减去1；②当0<原数<1时，n是负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数的零）。
3、幂的运算①同底数幂相乘：m n m na a a+⋅=；②同底数幂相除：m n m n a a a -÷=； ③幂的乘方：()()m n mn n m a a a ==④积的乘方：()n n n ab a b =； ⑤零次幂：01(0)a a =≠；⑥负整数次幂：1n n a a -=4、整式运算①合并同类项：字母和指数不变，系数相加减；②幂的运算：（同3； ④平方差公式：22()()a b a b a b +-=-，完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+。
5、因式分解（1）方法：①提公因式法：()pa pb pc p a b c ++=++；②公式法22222:()():2()a b a b a b a ab b a b ⎧-=+-⎨±+=±⎩平方差公式逆用完全平方公式逆用 （2）步骤：一提二套三检查6、二次根式⑴性质：①2(0)a a =≥a =（同1-②）。
⑵运算：①乘法：=；②除法：=；③加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、不等式组解法及解集表示⑴、解法步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1.⑵、注意事项：①不等式两边同时除以或乘以一个负数，不等号要改变方向；②求不等式组的解集有两种方法：第一种，口诀法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小大大去不了；第二种，数形结合法：用数轴表示；③边界：有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈；方向：大于向右，小于向左.8、函数自变量取值范围（1）分式：分母不能为0；（2）二次根式：被开方数大于等于0；（3）分式+二次根式：分母不能为0和被开方数大于等于0.9、利用平行线的性质计算角度性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.考法：结合余角、补角、对顶角、内错角以及三角形内角和、内外角关系等知识考查.10、利用圆周角定理及推论求角度定理：一条弧多对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
中考数学二次函数综合题解题技巧之欧阳体创编
压轴题解题技巧练习引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。
认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、动态：动点、动线1．(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、 圆2．（2010青海） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长；C x x yy AO B EDA CBCD G图1 图2 （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD △相似时，求出BF 的长 ．3．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 1 3．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．4．（09年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． 四、比例比值取值范围 5．（2010年怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与轴的交点A,B 的坐标； yx O C DB A 1 －4（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.6．(湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．7．（成都市2010年）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？五、探究型．8. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）如图，直线交轴于A 点，交轴于B点，过A、B 两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.9．（09年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA 在轴的正半轴上，OC 在轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M 的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG 是等腰三O CBA角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于A(－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C(0，)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的函数值y 相等，连结AC 、BC ． （1）求实数a ，b ，c 的值； （2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．六、最值类11．(2010年恩施)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A D B C E O xy y O x C N BP M AA、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.12. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m的值．第12题图时间：2021.02.03 创作：欧阳体。
初三数学难题集锦之欧阳音创编
初中数学难题集锦组题：韩松1．（本小题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.⑴求∠A的度数；⑵若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂4，求图中阴影部分的足为E，CF＝3面积.2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）【材料一】：如图⑴，直线l上有A、2A两个点，若在直线l上要确定一1点P，且使点P到点1A、2A的距离之和最小，很明显点P的位置可取在1A和2A之间的任何地方，此时距离之和为1A到A的距离.2如图⑵，直线l上依次有1A、A、3A三个点，若在直线l上要确定一2欧阳音创编 2021.03.11欧阳音创编 2021.03.11 点P ，且使点P 到点1A 、2A 、3A 的距离之和最小，不难判断，点P 的位置应取在点2A 处，此时距离之和为1A 到3A 的距离. (想一想，这是为什么？)不难知道，如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 四个点，同样要确定一点P ，使它到各点的距离之和最小，则点P 应取在点2A 和3A 之间的任何地方；如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，则相应点P 的位置应取在点3A 的位置. 【材料二】：数轴上任意两点a 、b 之间的距离可以表示为a b . 【问题一】：若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、25A 共25个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在；若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、50A 共50个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在.图⑴图⑵ 3212l 1【问题二】：现要求+++-+-+-++-的最小x x x x x x112397值，根据问题一的解答思路，可知当x值为时，上式有最小值为.3. （本小题满分10分）如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y、2y（千米）与行驶时间x（时）的1关系如图②所示．根据图象进行以下探究：⑴请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明；⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．⑶在图②中补全甲车的函数图象，欧阳音创编 2021.03.11欧阳音创编 2021.03.11 求甲车到 A 地的距离1y 与行驶时间x 的函数关系式．⑷A 地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．4．（本小题满分10分）已知抛物线2y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线112y x =--上，且过点A (4，0)．⑴求这个抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.⑶设点C(1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使AD CD的值最大，请直接写出点D的坐标.5．（本小题满分12分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.⑴如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段.⑵在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．⑶如图2，，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结ABD图1F欧阳音创编 2021.03.11BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF由. 若此时AB＝3，BD＝BC的长.6．（本小题满分12分）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止. 设运动时间为t秒．⑴如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；⑵在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；参考答案1．（本小题满分10分）⑴解：连结OC，∵CD切⊙O于点90°. ………………………………(1分)∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°. …………………(2分)欧阳音创编 2021.03.11欧阳音创编 2021.03.11 ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO＝30°. ………………(4分)⑵∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE＝(5分)∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ……………………(6分) ∴2BOC 60483603S ππ⨯扇形＝＝，EOC 122S ⨯⨯＝…………………………(8分)∴EOC BOC S S S π阴影扇形8＝－＝－3…………………………………………………(10分)2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）问题一：点13A 处 …………(3分) 点25A 和26A 之间的任何地方 ………(6分)问题二：48…………(8分) 1225………(10分)3. （本小题满分10分）欧阳音创编 2021.03.11 ⑴A 地位置如图所示．使点A 满足AB ∶AC ＝2∶3. ………………………………(2分)⑵乙车的速度150÷2＝75千米/时,9075 1.2÷=，∴M (1.2，0)………………(3分)所以点 M 表示乙车 1.2 小时到达 A 地．…(4分)⑶甲车的函数图象如图所示． …………(5分)当01x ≤≤时，16060y x =-+；…………(6分)当1 2.5x <≤时，16060y x =-. …………(7分)⑷由题意得606015606015x x -≤⎧⎨-+≤⎩，得欧阳音创编 2021.03.11 3544x ≤≤； 759015759015x x -+≤⎧⎨-≤⎩，得715x ≤≤. ∴514x ≤≤…………………………………………………………………………(9分)∴两车同时与指挥中心通话的时间为51144-=小时.…………………………(10分)4．（本小题满分10分）⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线2x =. ………………………………………………………(1分) ∵顶点在直线112y x =--上， ∴顶点坐标为(2，－欧阳音创编 2021.03.11 2). …………………………(3分)故设抛物线解析式为2(2)2y a x =--，∵过点(0，0)，∴12a =，∴抛物线解析式为2122y x x =-………………………(5分) ⑵当AP ∥OB 时，如图，∠BOA ＝∠OAP ＝45°，过点B 作BH ⊥x 轴于H ，则OH ＝BH .设点B (x ，x )，故2122x x x =-，解得x ＝6或x ＝0(舍去)…………………………(6分)∴B (6，6). …………………………………………………………………………(7分)当OP∥AB时，同理设点B(4－x，x)故21(4)2(4)2x x x=---，解得x＝6或x＝0(舍去)，∴B(－2，6) .……(8分)⑶D(2，－6).………………………………………………………………………………(10分)5．（本小题满分12分）解：⑴AC；…………………………………………………………………………………(1分)⑵作图如图；…………………………………………………………………………(3分)∵点P为AC中点，∴PA＝PCH欧阳音创编 2021.03.11＝12AC.∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP＝DP＝12AC，∴PA＝PB＝PC＝PD，…………(4分)∴点A、B、C、D在以P为圆心，12AC为半径的同一个圆上. ………………(5分)⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°AE＝2AD，EC＝2CD，∴四边形ABCD为损矩形，∴由⑵可知，点A、B、C、D在同一个圆上.……………………………………(7分)∵AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴AD CD，∴AD＝CD，∴四边形ACEF为正方形. ………………………………………………………(9分)∵点BD平分∠ABC，BD＝欧阳音创编 2021.03.11欧阳音创编 2021.03.11，∴点D 到AB 、BC 的距离h 为4， ∴122ABD S AB h AB =⨯=＝6.1322ABC S AB BC BC =⨯=，122BDC S BC h BC =⨯=，2ACD ACEF 111444S S AC BC 2正方形＝＝＝（＋9），∵ABC ADC ABCD S S S 四边形＝＋，∴14BC 2（＋9）＋32BC ＝6＋2BC ，∴BC ＝5或BC ＝－3(舍去)，∴BC ＝5. ……………………………………………(12分)6．（本小题满分12分）解：⑴如图1，分别过点作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，∵BC ＝20，∠C ＝180°－∠ABC ＝60°，∴CN ＝10＝DM ，BN ＝欧阳音创编 2021.03.11CD ＝60.∵△CPQ ∽△DAQ ，∴CP CQ DA DQ =， ∴20220602t t t =-－，∴110t =，260t =(不合题意)， ∴t ＝10.…………………(5分) 图 1图2 ⑵当点P 在线段BC 上时，如图2，过P 作FG ⊥CD 于G ，交AB 延长线于F. ∴PF ＝2，PG ＝(20)2t -，∴12ABP S AB PF =⨯=，1(20)2CPQ S CQ PG t =⋅=-，ADQ CPQ ABP ABCD S S S S S =梯形－－－＝1602)2t ⨯（－－(20)t -－，＝220400)t t -+. (020t <≤)………(8分) 当点P 在线段BC 的延长线上时，如图3，过P 作PH ⊥AB 于H ，则图1Q P D C B A M N 图1Q D B AG设AP与CD交于点E，∵EC PCAB PB=，∴40800tECt-=,∴QE＝CQ－CE＝2240800t tt-+.∴y＝310800402212⨯+-⨯ttt=ttt)40020(3102+-.(2030t<≤) ………………………………………(12分)欧阳音创编 2021.03.11。
初中数学九大几何模型解题思路之欧阳学文创作
九大几何模型欧阳学文一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOBOAB CDE 图 1OAB C D E图 2OABCDE图 1OBCDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2【结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD∥AB，将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况【条件】：CD∥AB，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；OA BCOB CDEOBCDEOCD②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA； ③===OAOBOC OD ACBDtan∠OCD；④BD⊥AC； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCEOC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN②过点C 作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE；②OE -OD=2OC ；③2△OCD △OCEOC 21S S =-A OBCDE 图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCEOC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学常用的十种解题方法之欧阳历创编
初中数学常用的十种解题方法数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
八年级数学培优资料之欧阳音创编
目录第1讲全等三角形的性质与判定(P211)第2讲角平分线的性质与判定(P1216)第3讲轴对称及轴对称变换(P1724)第4讲等腰三角形(P2536)第5讲等边三角形(P3742)第6讲实数(P4349)第7讲变量与函数(P5054)第8讲一次函数的图象与性质(P5563)第9讲一次函数与方程、不等式(P6468)第10讲一次函数的应用(P6980)第11讲幂的运算（P8186)第12讲整式的乘除((P8793)第13讲因式分解及其应用(P94100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101108)第15讲分式的化简求值与证明(P109117)第16讲分式方程及其应用(P118125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126138)第18讲反比例函数的应用(P139146)第19讲勾股定理(P147157)第20讲平行四边形(P158166)第21讲菱形矩形(P167178)第22讲正方形(P179189)第23讲梯形(P190198)第24讲数据的分析(P199209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,ABBA CD E F ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90.在△ABC 和△DCB 中AB DCABC DCB BC CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CE⑶在Rt△EFB 和Rt△EFC 中∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL ）故选C.【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（ ）AF C E D B A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O, 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB ＝DC ；⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB ＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成 A B C D O F E命题 2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB. 求证：AF ＝DE.【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF≌△DCE 或△AEF≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB＝CE∴FB＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中,AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCF（SSS ） ∴∠B＝∠C在△ABF 和△DCE 中,AB DCB C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF≌△DCE∴AF＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为A C E F BD（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝90°，AE是过A 点的一条直线，AE⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F. 求证：AB ＝FC.【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺A FE C BDAE第1题图 A BCD EB C D O 第2题图时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O.⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________. 【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE ，BC ＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中,AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF≌△DEC∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCAB （E ） OC F 图③ DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE＝48°，则∠APD 等于（ ）A ．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC≌△DEFB．∠DEF＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.E FB AC D G 第2题图【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边 A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴AP＝AQ ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ,也就是证△APD 和△AQE，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°， 21 AB C P QE F D∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中,2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQ⑵∵△APB≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ, ∴∠P ＋∠PAD＝90°∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B＝∠E，BA ＝ED ，点F是CD 的中点，求证：AF⊥CD.02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm +B ．2a bm -C ．bmD ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B．60°C．58°D．50°02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（ ）A ．20°B．30°C．35°D．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB AECBA 75° C 45°B NM 第2题图 第3题图 D第1题图 a αc c a 50° b 72° 58°于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线2OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SASB．ASAC．AASD．SSS04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A. CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC. ∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. △ABE≌△CBDB. ∠ABE＝∠CBDC. ∠ABC＝∠EBD＝45°D. AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（）A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对C. 小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.11．如图, AB ＝CD, AB∥CD. BC＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm/s, Q 的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t 为多少时，△APB≌△QDC.12．如图, △ABC 中，∠BCA＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF⊥AE，垂足为F ，过B 作BD⊥BC 交CF 的延长线于D. ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm, 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E.⑴找出图中的全等三角形，并加以证D AC . QP . B DB AC E FA EB F D CA E FB DC 明；⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD ＝BC ，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E 、F.求证：CE ＝DF.16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB ＝A1B1，BC ＝B1C1，∠C ＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE ，③连接DE, 则OE 平分∠AOB，正确的是（ ）A ．①②B．②③C．①③D．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , A B C D A 1 B 1C 1D 1 F 第6题图 2 1 A B CE N M 32 1 A DEB CFA D E C O A E OB FCD 第1题图 B 第2题图 第3题图∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）A．DCB. BCC. ABD.AE＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC 于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C, AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF;③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE 交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.AE F CD B AEBD C ⑴求证：BE⊥AC；⑵若把条件“BF ＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA＝∠BAD，AE 是△ABD的中线.求证：AC ＝2AE.09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°. 10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F.⑴求证：AF ＋EF ＝DE;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出AB E D CABC D E （1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
初中数学规律探究题之欧阳语创编
归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
A．37B．35C．31D．393．（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015的值是1014049．4．（沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为82+92+722=732．10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则6+=()__________________________________.a b考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是3n+4．2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需2n+1根火柴棒．3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为____________（用含n的代数式表示）．4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为6n+2．6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有91个正方形．7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29 C．28 D．26 10．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24 C．27 D．3011. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。
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初中数学竞赛解题方法归纳
一、代数
1、一元二次方程根的分布
（1）利用韦达定理
（2）利用二次函数图像
2、一元二次方程整数根
（1）判别式（令2p =∆，利用平方差公式算出整数根)
（2）韦达定理（两根均为整数）
（3）参数分离法（参数为一次的时候且可以利用整除解决问题） （4）因式分解法 3、绝对值方程
（1）零点分段法
（2）绝对值不等式 （b a b a b a +≤+≤-）
证明绝对值不等式的时候可以利用两边平方法。
二、几何
三角形的五心（内心、外心、重心、垂心、旁心） 全等相似
边角转换器：等边三角形 ， 锐角三角比（正弦定理 余弦定理）
比例线段：梅涅劳斯定理塞瓦定理角元塞瓦定理
面积问题：共边比例定理共角比例定理正弦面积公式海伦公式
添辅助线方法：
三角形：倍长中线利用角平分线翻折构造外心构造中位线
梯形：添平行线添垂线延长两腰作对角线的平行线三、求最值（一定要写出取到最值时，x,y分别满足的条件！）
设所求代数式为t，然后通过代入，计算判别式等求出t 的范围。
把所求的最值问题转化为代数问题，利用基本不等式求最值。
先求出最值n，构造一个n的特例，再证明n-1不能成立。