立体几何公理与定理的梳理
立体几何第一章复习总结
一． 平面的基本性质及图示
基本性质 作用 图示
公理1：
判断线在面内的依据
公理2： 判断两个平面相交的依据；证明点在线上的依据
公理3：
确定一个平面的依据
推论1：
确定一个平面的依据
推论2
确定一个平面的依据
推论3：
确定一个平面的依据
二． 空间两直线的位置关系
位置关系 图示 表示方法 交点个数
两 直 线 共 面 相交直线：
Obaba,,
平行直线：
baba//,,
异面直线：两直线不同在任何一个平
面内（定义）
AaBBa,,,
（异面直线的判定方法）
四． 空间两平面的位置关系
位置关系 图示 表示方法 交点个数
两 平面 相交 斜交：
a
垂直相交：
（定义）
┴，a
两平面平行：
（定义）
//
三． 空间直线和平面的位置关系
位置关系 图示 表示方法
交点个数
直线在平面内（a）
a
直线 不在 平面 内 （a） 直 线
与
平
面
相
交
直线与平面斜交
Aa
直线与平面垂直
a
⊥
Aa
直线与平面平行
//a
五． 空间两条直线平行的判定方法
名称 图形 条件 结论
判定方法（文字叙述）
平行线的定义
b
a
ba//
a
与b
无公共点
在同一平面内，没有公共
点
线面平行的
性质定理
baa
//
ba//
线面垂直的
性质定理
a
⊥ ba//
a
⊥
面面平行的
性质定理
ba
//
ba//
公理4
ba// ca//
bc//
平行于同一条直线的两
条直线互相平行
六． 空间直线与平面平行的判定方法
名称 图形 条件 结论
判定方法
（文字叙述）
线面平行的定义
a
与 //a
无公共点
线面平行的判定定理
a
b
ba//
//a
面面平行的性质
a
//
//a
课本46页11题
（在大题中用时，
需证明）
a
⊥ //a
a
⊥
七． 空间两平面平行的判定方法
名称 图形 条件 结论
判定方法（文字叙
述）
面面平行的定义
与 //
无公共点
面面平行的判定定理
//,//,ba
Obaba
//
课本35页例1
a
⊥a,⊥ //
垂直于同一直线的两
个平面平行
补充（
大题中用时应证
明） //// // 平行于同一平面的两个平面平行
八． 空间两条直线垂直的判定方法
名称 图形 条件 结论
判定方法（文字叙
述）
空间两条直线垂直的定义 异面
ba,
是异面直线 a⊥b
Obabbaa
.//,//
a与b
所成角是90
相交
Oba
a
⊥b
∠90O
三垂线定理
PA
⊥
a a
⊥PO
AO
⊥a
三垂线定理的逆
定理
PA
⊥
a a
⊥AO
PO
⊥
a
线面垂直的定义
（逆）
a⊥ a
⊥b
b
课本46页10（2）
（大题中用时需证明） 三个两两垂直的平面的交线垂直。
九． 空间直线与平面垂直的判定方法
名称 图形 条件 结论
判定方法（文字叙述）
线面垂直的定义
a
⊥b，b a⊥
（b为任意的）
线面垂直的判定定理
Obaba
,
c
⊥
c⊥,ac
⊥
b
面面垂直的性质定理
⊥，a a⊥
b
a
⊥b
线面垂直的性质
a
⊥， b⊥
a
//
b
面面平行的性质
//
a
⊥
a
⊥
课本46 页9题
（大题中用时需证明）
十． 空间两平面垂直的判定方法
名称 图形 条件 结论
判定方法（文字叙述）
面面垂直的定义
二面角a ⊥
是直二面角
面面垂直的判定定理
AB
⊥AB,⊥
BAB
课本46页8题
（大题中用时需证明）
aa,//
⊥， ⊥
十一、空间角和距离的概念
平面图形 空间图形
异面直线 直线和平面 两个平面
夹角
图示
定 义 异面直线所成的角： 直线与平面所成的角： 二面角的平面角：
范围
1800 900 900
1800
距离图示
定义 两平行直线间的距离： 异面直线间的距离： 平行直线和平面的距离： 平行平面间距离：
立体几何四大公理八大定理
立体几何四大公理八大定理《立体几何四大公理八大定理篇一》立体几何，那可是数学里的一座神秘大山。
说起立体几何四大公理八大定理，就像是在讲述一个神秘组织的规则一样。
先说说这四大公理吧。
公理就像是游戏的基本规则，大家都得默认它是对的，没什么可商量的余地。
就像那“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”这条公理，我刚接触的时候就觉得，这不是理所当然的嘛。
可后来仔细一想，这就像在说一个小蚂蚁在一张纸上爬，如果它的两只脚都在纸上，那它整个身子肯定也在纸上啊。
这就像生活中的一些道理，看似简单，其实蕴含着很深的意义。
再看那八大定理，我的天呐，就像是迷宫里的一道道关卡。
有时候我感觉自己像是在黑暗中摸索的探险家，试图搞清楚这些定理之间的关系。
比如说，线面垂直的判定定理，要证明一条直线垂直一个平面，得找平面内两条相交直线都和这条直线垂直。
我每次做这种题的时候，就像在玩一场“找不同”的游戏，在复杂的图形里找出那两条特殊的相交直线。
我记得有一次考试，有一道立体几何的大题，就是要用到这些公理和定理。
我当时看着那图形，就像看一幅外星来的抽象画一样，完全蒙圈了。
我就想，这公理和定理怎么在这时候就像跟我捉迷藏似的呢？也许是我还不够熟练，就像一个新手厨师，虽然知道菜谱上的步骤，但是真到做的时候就手忙脚乱。
我开始在脑海里拼命回忆那些公理和定理，就像在翻找一个装满杂物的旧箱子，试图找到那个合适的工具。
可是有时候我又觉得这些公理和定理是不是有点太刻板了呢？我就想啊，在现实生活中，有些东西可没这么规规矩矩的。
比如说，我们看到的那些建筑，虽然也是基于立体几何的原理，但有些设计就很奇特，好像有点打破这些公理定理的感觉。
但也许这就是理论和实际的差距吧，理论是基础，实际是在这个基础上的创新。
就像我们学走路，先得学会基本的步伐，然后才能跳出自己的舞步。
这些公理和定理虽然有时候让我头疼得像要炸开一样，但我也知道，它们就像一把把钥匙，能打开立体几何这个神秘世界的大门。
立体几何公理定理推论汇总
立体几何公理定理推论立体几何公理、定理推论汇总一.公理及其推论公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：Ael,Bel,Aea.Bea^>l<^a作用: ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的勺公理2|如果两个平面有_个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一务冬直线）〉 --- - 7符号语言：= \作用：①用来证明两个平面是相交关系；②用來证明多点共线，多线共点。
/ / 公酮经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
X ;/符号语言：A.B.C不共线确定一个平面推论1|经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面符号语言：A^a=＞有且只有一个平面a,使Aw a, aua推论2|经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：ar\b = Pd有且只有一个平面a,使aua, bua经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号沽•言：a//b=＞有且只有一个平面a,使aua, bua公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
a // b符号语言：di b作用：用来证明线线平行。
二.平行关系面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（7）公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1） --------- ------------all b\ 符号语詁cllb\^allC线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行。
（2） a cc 符号语言：bua >=> a//a allb 图形语言: 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
（3） all a 符号语言：QU0 ‘ = allb a[}p = b图形语乍 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行.（4） (a u a 、b u = 0、符号语言： d//0blip图形语言: 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l作用：①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l且作用：①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C 不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b 图形语言：作用：用来证明线线平行。
二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：//////a ba c cb 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a ba ab 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////a ba ab 图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b Oa a 图形语言：面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理2及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理 3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭作用：用来证明线线平行。
二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：////,/(/),αβαβαβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭m m n n m n O面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论
立体几何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.5. 异面直线⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.7.线面平行、面面平行⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)8.线线垂直、线面垂直、面面垂直⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(作用: 线线垂直⇒线线垂直)⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)9. 直线和平面所成的角⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]10.二面角⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.11.空间距离⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.⑵直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离.⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度.⑷异面直线的距离12. 多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.13.棱柱⑴棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.⑵棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……⑶棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.⑷平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．14.棱锥⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥…… ⑶棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． ⑸正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等。
立体几何公理、定理推论汇总精编版
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言： 作用：用来证明线线平行。
二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a baabααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////abaa bβαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),abb b Oaaββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。
二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：///b/abbaααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////abaa bβαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),abb b Paaααβββα⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何定理总结
⊥
性质定理
两个平面垂直,在第一个平面内垂直于交线的直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂直于另一个平面
⊥ ， 且
⊥
⊥
立体几何定理总结
公理与定理
内容
图形
符号
公理1
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内
公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条通过这个点的公共直线
公理3
经过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面
A,B,C三点不共线
存在惟一的 使
公理3推论1
经过一条直线和这条直线外点一点,有且仅有一个平面
结论2
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
直线l，A 存在
惟一平面 ,
公理3推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
存在惟一平面
公理3推论3
经过两条平行直线有且仅有一个平面
存在惟一平面
公理4
平行于同一条直线的两条直线平行
且
等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
结论1
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
⊥ ⊥
且
⊥
性质定理
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行
⊥ ， ⊥
两个平面平行的判定定理
高考数学立体几何知识点梳理
高考数学立体几何知识点梳理关键信息：1、立体几何基本概念与公理点、线、面的位置关系三公理及推论2、直线与平面的位置关系直线与平面平行直线与平面垂直3、平面与平面的位置关系平面与平面平行平面与平面垂直4、空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球5、空间几何体的表面积与体积表面积公式体积公式6、空间向量在立体几何中的应用空间向量的坐标表示空间向量的数量积利用空间向量证明位置关系利用空间向量求空间角11 立体几何基本概念与公理111 点、线、面的位置关系点是空间中最基本的元素，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。
点动成线，线动成面。
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
平面与平面的位置关系有：平行、相交。
112 三公理及推论公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
21 直线与平面的位置关系211 直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
212 直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
31 平面与平面的位置关系311 平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
312 平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
立体几何定理大全
立体几何公式大全基本概念公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理２:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
ﻫ公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论１：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论２:经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
ﻫ公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
ﻫ等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
ﻫ空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面: 平行、相交ﻫ(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
ﻫ异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为（０°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条) ｅsp.空间向量法ﻫ2、若从有无公共点的角度看可分为两类:(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面ﻫ直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点ﻫ直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
ﻫesp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时,所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[０°,9０°］ﻫ最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直ﻫeｓp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线ａ叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。