广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学(理)试题含答案

桂林十八中2020-2021学年度19级高二上学期阶段性考试卷（理科）数 学命题：毛丽春 审题： 刘世荣注意事项：① 试卷共4页，答题卡2页。

考试时间120分钟,满分150分；②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题包括12小题。

每小题只有一个选项符合题意。

每小题5分，共60分） 1. 已知角α的终边经过点()3,4P -，则tan α= A ．34-B ．34C ．43D ． 43-2.已知向量()1,2-=a ，()x b ,3=，若a b ⊥，则x = A. 0 B. 23-C. 6D.12-3.已知数列{}n a 是等差数列，且31120a a +=，则7a = A ．10B ．9C ．8D ．74.43,2,,6A. B. C. D. ABC b c C π∆===在中，则解此三角形可得一解两解无解解的个数不确定5. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么A.3,9b ac =-=B.3,9b ac ==C.3,9b ac ==-D.3,9b ac =-=- 6.在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+的值为 A ．12-B ．32C ．1-D ．1()()()7.sin 0,0,,A B AB 25,1 A.,=B.,=24221 C.,= D.,=4242f x x ωϕωϕππππωϕωϕπππωϕωϕ=+><<=====已知为偶函数其部分图像如图所示、分别为最高点和最低点，且则{}2148.2,.9.27.30.36n n n n a n S S a S n N a A B C D *++∈=已知数列的前项和为，若=5，=2，则9.如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的 斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75︒，已知山的高度 BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了 A 2 B 62 C ．1千米 D ．1.5千米10.把函数()2)4f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移3π，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为 A ．175[,]66ππ-- B ．57[,]66ππ- C ．24[,]33ππ- D ．719[,]66ππ11.已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =A ．16B ．17C ．18D ．1912.已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为 A ．1254 B ．1114C ．1474D ．1054第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题包括4题。

共20分）13.已知向量,a b 的夹角为60,2,3a b ==,则2a b -= .14.若3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2α=______. 15.已知函数()()sin f x x ππ=-与()()114g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，则12n x x x +++=______．16. 已知数列{}n a 中，12a =，1(1) 1n n na n a +=++，若对于任意的*n N ∈，不等式21211n a t n +<-+恒成立，则实数t 的取值范围为___________． 三、计算题（本题包括6题，共70分）17.在正项等比数列{}n a 中，416a =，且2a ，3a 的等差中项为12a a +． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和为n S ．18.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， sin cos a B A =. （1）求角A 的大小；（2）若6,,.a b c b c =+=求{}(){}()1221111,2,22112.n n n n n n n n n n n a a a a a a b a a b S n b b ++++===-+=-⎧⎫⎨⎬⎩⎭19.数列满足.设,证明:数列是等差数列；求数列项和的前20.已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.{}{}()()21121.1,0,N 22 1.12 3.21n n n n n n n n nkkk a a a S a n n S a a a a *==>∈=+-<-∑已知数列满足：是数列的前项和，对任意，有求；证明:22.已知函数()4cos sin()6f x x x ωωπ=-（0ω>）的对称中心到对称轴距离的最小值为4π. （1）求ω；（2）ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2C π=，2A为函数()f x 的一个零点，2b =，P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足0AP CP ⋅=，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时APC △的面积S .桂林十八中2020-2021学年度19级高二上学期阶段性考试卷（理科）一．选择题二．填空题13.14.725-15.7 16.(),2,⎡-∞+∞⎣三．解答题17.解（1）设正项等比数列{}n a的公比为(0)q q>，由题意可得3121111162()a qa q a q a a q⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得122aq=⎧⎨=⎩．---------3分∴数列{}na的通项公式为1222n nna-=⨯=；--------------5分（2）()()()121211222122nnnn n n nS+-+⋅+⋅=+=+--．-----------10分()()18.1sin cossin sin cos,2sin0sin tan40.63a B AA B B AABC BA A AA Aππ==∆≠∴=∈∴=解：，由正弦定理得，分中，，，即分，，分()()222222cos 823,61222cos 123638106,42,.1224a b c bc A a b c b c bc bc A bc bc b c b b c c =+-=+=∴=+--∴=-∴=+===⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩由余弦定理，得分又分又或分()()(){}()()()()()21211111211122,2,21,1242111221,6111118212122121n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a b a a b b b a a b b n n b b n n n n S ++++++++=-+---==-∴-==-=∴=+-⨯=-⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴=19.解：由得又又数列是以为首项，为公差的等差数列.分由得，分分1223341111111111111111121323525722121111.1222121n n b b b b b b b b n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭分20.解：（1）ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，22b c ac =+ 2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，-------2分∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+，即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，-------4分 sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.-------6分 （2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+-------8分A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，-------10分64C ππ∴<<，(1,2)a c∴∈-------12分()()(){}()22111221111111122112212222221010,4211211=+1622n n n n n n n n n nn n n n n n n n n S a S a a a a a a a a a a a a a a a a n a a n +++++++++⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩=+--∴+--=>∴-=∴=+∴-⋅=21.解：由已知得两式相减得：分分数列是以为首项，为公差的等差数列分()()()()()111123234112311111128212222234112222123412222221211111222222211142111012123332223nn nk k k k kk k k n n n n n n n n n n n a k k n T n T n T n n T ===++-++++=<-+-+=+++++∴=+++++-=++++-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+--+=-<∴<∑∑∑分令得 分131221nkkk a =∴<-∑分())222.1()2cos cos sin 2cos 2cos 212sin 21,2624,,144f x wxwx wxwx wx wx wx wx wx T w wπππππ=-=-=--⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=⨯==∴=解：分即分(2)由(1)知，π()2sin(2)16f x x =--. 由题意，()02Af =，即π1sin(2)262A ⋅-=，因为(0,π)A ∈，所以ππ5π(,)666A -∈-，所以ππ66A -=，解得π3A =. -----6分2C π=，ABC ∴为直角三角形，又0AP CP ⋅=，PA PC ∴⊥，P ∴点在以AC 为直径的圆上，如图，2b =，3BC ∴=4AB =，设O 为AC 中点，连结BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时，21(23)1131BP BO PO =-=+=.-----9分 设OCP α∠=，则2COP πα∠=-，1sin 2PA PA AC α∴==，1cos 2PC PC AC α==， 12sin cos sin 22S PA PC ααα∴=⨯==， 在直角BCO 中，23239sin sin(2)sin 213BC COB BO παα∠=-====， ∴当BP 131时，APC △的面积S 239-----12分。