高等代数第六章 线性空间小结 太原理工大学
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高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学
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a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
高等代数第六章
数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R
a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
高等代数第6章线性空间
1集合映射映射2线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质3维数基与坐标基与坐标4基变换与坐标变换基变换与坐标变换5线性子空间线性子空间6子空间的交与和子空间的交与和7子空间的直和子空间的直和8线性空间的同构第第6章章线性空间1集合映射一集合?集合的定义
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
高等代数第六章线性空间小结太原理工大学
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本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 基与维数；
难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子 空间的直和.
本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构 的判内容及其内在联系可用下图来说明： 线性空间
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组 合，线性相关性；
(2) 同构映射把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传 递性；
(4) 数域P上两个有限维线性空间同构<＝>它们有相 同的维数，因而，数域P上的每一个n维线性空间都 与n元数组所成的线性空间Pn同构.
线性空间 小结
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) (–1)α=-α，kα=0<＝>k=0，或α=0
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量
α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示， 则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是V的一个基.
(4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间V的两 个基，A是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩 阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量α在这两 个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为.
第六章 1第一节 集合.映射 太原理工大学
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例6
设M是一个集合，定义 σ(a)=a，a∈M， 即σ把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的 恒等映射或单位映射，记为1M . 在不致引起混淆 时，也可以简单地记为1 . 例7 任意一个定义在全体实数上的函数 y=f(x)
都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为
是映射的一个特殊情形.
作为本章的准备，在这一节我们先来介绍一些
基本概念，主要的是集合和映射. 熟悉这些基本概
念不但对于代数的学习是必要的，对于一般数学的
学习也是ห้องสมุดไป่ตู้可少的.
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一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，简单地说， 所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 组成集合 的东西称为这个集合的元素. 例如，一个班就是由一些同学组成的集合，这 些同学就是这个集合的元素； 例如，一个线性方程组的解的全体组成的一个 集合，即所谓的解集合，这些解就是这个集合的元 素； 例如，在几何中，我们通常是把点看作基本的 对象，这样，一条直线就是一个由点组成的集合； 一条曲线，一个平面也是由一些点组成的集合；组 成这些集合的元素就是点.
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又如，对于集合M到M’的任何一个映射σ显然都有 1M’σ=σ1M =σ
映射的乘法适合结合律.设σ,τ,ψ分别是集合
M到M’，M’到M’’，M’’到M’’’的映射，映射乘法
的结合律就是 (ψτ)σ=ψ(τσ) 等式两端显然都是M 到M’’’的映射，要证明它们
相等，只需要证明它们对于M中每个元素的作用
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a M 用 表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用 a M , 或 aM 表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.
例6
设M是一个集合，定义 σ(a)=a，a∈M， 即σ把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的 恒等映射或单位映射，记为1M . 在不致引起混淆 时，也可以简单地记为1 . 例7 任意一个定义在全体实数上的函数 y=f(x)
都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为
是映射的一个特殊情形.
作为本章的准备，在这一节我们先来介绍一些
基本概念，主要的是集合和映射. 熟悉这些基本概
念不但对于代数的学习是必要的，对于一般数学的
学习也是ห้องสมุดไป่ตู้可少的.
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一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，简单地说， 所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 组成集合 的东西称为这个集合的元素. 例如，一个班就是由一些同学组成的集合，这 些同学就是这个集合的元素； 例如，一个线性方程组的解的全体组成的一个 集合，即所谓的解集合，这些解就是这个集合的元 素； 例如，在几何中，我们通常是把点看作基本的 对象，这样，一条直线就是一个由点组成的集合； 一条曲线，一个平面也是由一些点组成的集合；组 成这些集合的元素就是点.
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又如，对于集合M到M’的任何一个映射σ显然都有 1M’σ=σ1M =σ
映射的乘法适合结合律.设σ,τ,ψ分别是集合
M到M’，M’到M’’，M’’到M’’’的映射，映射乘法
的结合律就是 (ψτ)σ=ψ(τσ) 等式两端显然都是M 到M’’’的映射，要证明它们
相等，只需要证明它们对于M中每个元素的作用
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a M 用 表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用 a M , 或 aM 表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.
太原理工大学 高等代数第七章 线性变换小结
四、对角化问题 基本概念:不变子空间 不变子空间， 标准形. 1. 基本概念 不变子空间，Jordan标准形 标准形 2. 基本结论 基本结论: 是数域P上 维向量空间V的一个线性变换， 的一个线性变换 设A是数域 上n维向量空间 的一个线性变换，则 是数域 (1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵 ＝> 可以在某一组基下为对角形矩阵 的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵<＝ A有n个线性无关的特征向量 有 个线性无关的特征向量. <＝> V可以分解为n个一维不变子空间的直和 ＝ 可以分解为 个一维不变子空间的直和. 可以分解 A的所有不同的特征子空间的维数之和等于 的所有不同的特征子空间的维数之和等于 等于n. 必在某个基 因而， 有 个不同特征值时 必在某个 因而，当A有n个不同特征值时， A必在某个基下 的矩阵是对角形式 矩阵是对角形式.
y1 x1 y2 x2 M = A M y x n n
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三、特征值与特征向量 1.基本概念 线性变换 或矩阵 的特征值与特征向量 基本概念:线性变换 或矩阵)的特征值与特征向量 基本概念 线性变换(或矩阵 的特征值与特征向量; 特征多项式与最小多项式；特征子空间. 特征多项式与最小多项式；特征子空间 2.基本结论 基本结论: 基本结论 (1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特 线性变换与相应矩阵 特征值、特征向量及 矩阵的 征子空间的关系(略 征子空间的关系(略) (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 线性无关的 (3) 相似矩阵有相同的特征多项式，反之不然 相似矩阵有相同 特征多项式，反之不然. 有相同的 (4) Hamilton-Caylay定理：设线性变换 在某个基 定理： 线性变换A在某个 在某个基 定理 下的矩阵 矩阵为 ， 下的矩阵为A， f(λ)=|λE-A|, 则f(A)=0, f(A)=0. 返回 上页 下页
高等代数6-9小结与习题
则 A1B 就是基 1,2 , ,n到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵。
行变换
用（A, B) （E, A1B) ，可求出 A1B .
此法对 Pn 中的基向量最为有效.
2.求向量 在某组基下的坐标.可用两种方法
一是将向量 由基向量线性表示，然后根据具体元素 的特点，求出这些系数，即为坐标，此为“待定系数 法”.
在这两组基下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn )与( x1, x2 , , xn )
x1 x1
则
x2
A
x2
或
xn xn
x1
x1
x2
A1
x2
.
xn
பைடு நூலகம்
xn
三、子空间及其形成
1、基本概念
线性子空间、生成子空间、子空间的和与直和
2、基本结论
(1) 线性空间V的非空子集W作成V的一个子空间
x2 x4
|
x1
x2
x3
x4
0}
W2 L(B1, B2 ), B1
1 2
0 3
, B2
1 0
1 1
求W1 W2 与W1 W2 的基与维数.
五、直和的判定或证明
1、定义法 2、利用几个充要条件
六、线性空间同构的判定或证明
1、证维数相等 2、构造同构映射
例9：设A是数域P上的n阶矩阵，令
P[ x]n
维数
一组基
n
i (0,
, 0,1, 0, i
, 0),
i 1,2, ,n
mn
Eij ,
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
n
1, x, x2 , , xn1
行变换
用（A, B) （E, A1B) ，可求出 A1B .
此法对 Pn 中的基向量最为有效.
2.求向量 在某组基下的坐标.可用两种方法
一是将向量 由基向量线性表示，然后根据具体元素 的特点，求出这些系数，即为坐标，此为“待定系数 法”.
在这两组基下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn )与( x1, x2 , , xn )
x1 x1
则
x2
A
x2
或
xn xn
x1
x1
x2
A1
x2
.
xn
பைடு நூலகம்
xn
三、子空间及其形成
1、基本概念
线性子空间、生成子空间、子空间的和与直和
2、基本结论
(1) 线性空间V的非空子集W作成V的一个子空间
x2 x4
|
x1
x2
x3
x4
0}
W2 L(B1, B2 ), B1
1 2
0 3
, B2
1 0
1 1
求W1 W2 与W1 W2 的基与维数.
五、直和的判定或证明
1、定义法 2、利用几个充要条件
六、线性空间同构的判定或证明
1、证维数相等 2、构造同构映射
例9：设A是数域P上的n阶矩阵，令
P[ x]n
维数
一组基
n
i (0,
, 0,1, 0, i
, 0),
i 1,2, ,n
mn
Eij ,
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
n
1, x, x2 , , xn1
高等代数第六章 线性空间
(7) (kl) k(l)
(8) 1
则称 Rn 是数域 R 上的 n 维向量空间
数域 F上的 n 维向量空间 F n
在数域F上，类似可以定义
Fn a1, a2, , an | ai F
有向量的加法
a1, a2, , an , b1, b2, , bn Fn
a1, a2, , an b1, b2, , bn
线性空间中向量的线性相关性
定义2
设V 是数域F上的一个线性空间，
1,2 ,,r (r 1) 是V 中一组向量，
k1, k2 ,, kr
是数域F 中的数，那么向量
k11 k22 krr
称为向量组 1,2 ,,r 的一个线性组合。 有时我们也说向量 可以用向量组 , ,
12
,r 线性表出
例1
设
V
a11 a21
a12
a22
aij
R
那么 V 对于矩阵的加法和数乘构成数域 R
上的线性空间.
1 0
0 1
0 0
0 0
E11
0
0
,
E12
0
0
,
E21
1
0
,
E22
0
1
是 V 的一个极大线性无关组
例2 问 F[x]4 中的向量组
f1(x) 3x3 x 2
f3(x) x
素 都有 0
(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；
4)对于V中每一个元素 ,都有V中的元素 ，
使得
( 称为 的负元素)。
0
数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 6) k(l) (kl).
数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k l) k l; 8) k( ) k k.
(8) 1
则称 Rn 是数域 R 上的 n 维向量空间
数域 F上的 n 维向量空间 F n
在数域F上，类似可以定义
Fn a1, a2, , an | ai F
有向量的加法
a1, a2, , an , b1, b2, , bn Fn
a1, a2, , an b1, b2, , bn
线性空间中向量的线性相关性
定义2
设V 是数域F上的一个线性空间，
1,2 ,,r (r 1) 是V 中一组向量，
k1, k2 ,, kr
是数域F 中的数，那么向量
k11 k22 krr
称为向量组 1,2 ,,r 的一个线性组合。 有时我们也说向量 可以用向量组 , ,
12
,r 线性表出
例1
设
V
a11 a21
a12
a22
aij
R
那么 V 对于矩阵的加法和数乘构成数域 R
上的线性空间.
1 0
0 1
0 0
0 0
E11
0
0
,
E12
0
0
,
E21
1
0
,
E22
0
1
是 V 的一个极大线性无关组
例2 问 F[x]4 中的向量组
f1(x) 3x3 x 2
f3(x) x
素 都有 0
(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；
4)对于V中每一个元素 ,都有V中的元素 ，
使得
( 称为 的负元素)。
0
数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 6) k(l) (kl).
数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k l) k l; 8) k( ) k k.
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本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 重点 维数； 基与维数； 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子 直和. 空间的直和 空间的直和 本章的基本题型主要有：线性空间， 本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的 基本题型主要有 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明， 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构 的判定或证明. 的判定或证明
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二、基、维数和坐标 1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ）；向量组等价 线性相关(无关 无关)； 维数和坐标；过渡矩阵. 线性相关 无关 ；基、维数和坐标；过渡矩阵 2．基本结论 ． (1) 线性相关性的有关结论 线性相关性的有关结论. (2) 在n维线性空间 中，任意 个线性无关的向量 维线性空间V中 任意n个线性无关的向量 维线性空间 都作成V的一个基；任意个m(m<n)线性无关的向 线性无关的向 都作成 的一个基；任意个 线性无关 量都可扩充 扩充为 的一个基；任意s(s>n)个向量都是 量都可扩充为V的一个基；任意 个向量都是 线性相关的 线性相关的.
线性空间 小结
线性空间是线性代数的中心内容， 线性空间是线性代数的中心内容，是几何空 是线性代数的中心内容 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 数理论的抽象性和应用的广泛性. 数理论的抽象性和应用的广泛性 一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的； 线性空间的零元 每个元素的负元都是唯一的 零元， 都是唯一的； (2) (–1) -α，kα=0<＝>k=0，或α=0 1)α=- ， 1) ＝ ，
y1 x1 y2 x2 M = A M y x n n
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三、线性子空间及其形式 1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 ．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 直和. 与直和 2．基本结论： ．基本结论： (1) 线性空间 的非空子集合 作成 的子空间 ＝> 线性空间V的非空子集合W作成 作成V的子空间<＝ W对于 的两种运算封闭； 对于V的两种运算封闭； 对于 (2) 线性空间 的两个子空间的交与和仍为子空间 线性空间V的两个子空间的交 仍为子空间. (3)(维数公式 若V1,V2是线性空间 的两个有限维子 维数公式) 是线性空间V的 维数公式 空间， 空间，则
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 若在线性空间 线性无关的向量 α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示， 中任意向量都可由它线性表示 线性表示， 维的， 就是V的一个基. 则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是 的一个基 是 维的 (4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间 的两 维线性空间V的 是由基α 到基β 个基， 是由基 个基，A是由基 1,α2,…,αn到基 1,β2,…,βn的过渡矩 分别是向量α在这两 阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量 在这两 和 分别是向量 个基下的坐标 坐标， 个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为. 是可逆的， 坐标关系为
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本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 基本内容及其内在联系可用下图来说明 线性空间 线性相关性 极大无关组 基、维数和坐标 同构
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子空间 子空间的交与和 子空间的直和 余子空间
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 I V2 )
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(4)
dim L(α1,α2,…,αn)=rank(α1,α2,…,αn) ( ( α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βm 等价 等价.
L(α1,α2,…,αn)= (β1,β2,…,βm)<＝>向量组 ( )=L( ＝ 向量组
(5) 设U是线性空间 的一个子空间，则存在一个子 是线性空间V的一个子空间，则存在一个子 空间W，使得V= ⊕ 此时称W为 的一个 的一个余子 空间 ，使得 =U⊕W ，此时称 为U的一个余子 空间. 空间
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(6) 设V1,V2,…,Vs是线性空间V的子空间，下面这些 线性空间 的子空间， 条件等价： 条件等价： 等价 直和； ① W=∑Vi 是直和； 零向量的表示法唯一； ② 零向量的表示法唯一； ③ Vi I ∑ V j = {0}
j≠i
( i = 1 , 2 ,L , s ) ;
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质： 同构映射的基本性质： (1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组 线性空间的同构映射保持零元，负元， 保持零元 线性相关性； 合，线性相关性； (2) 同构映射把子空间映成子空间； 同构映射把子空间映成子空间 把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和 具有反身性 递性； 递性； (4) 数域 上两个有限维线性空间同构 ＝>它们有相 数域P上两个有限维线性空间同构<＝ 它们 它们有相 同的维数，因而，数域P上的每一个 上的每一个n维线性空间都 同的维数，因而，数域 上的每一个 维线性空间都 元数组所成的线性空间P 元数组所成的线性空间 同构. 与n元数组所成的线性空间 n同构
本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 重点 维数； 基与维数； 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子 直和. 空间的直和 空间的直和 本章的基本题型主要有：线性空间， 本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的 基本题型主要有 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明， 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构 的判定或证明. 的判定或证明
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二、基、维数和坐标 1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ）；向量组等价 线性相关(无关 无关)； 维数和坐标；过渡矩阵. 线性相关 无关 ；基、维数和坐标；过渡矩阵 2．基本结论 ． (1) 线性相关性的有关结论 线性相关性的有关结论. (2) 在n维线性空间 中，任意 个线性无关的向量 维线性空间V中 任意n个线性无关的向量 维线性空间 都作成V的一个基；任意个m(m<n)线性无关的向 线性无关的向 都作成 的一个基；任意个 线性无关 量都可扩充 扩充为 的一个基；任意s(s>n)个向量都是 量都可扩充为V的一个基；任意 个向量都是 线性相关的 线性相关的.
线性空间 小结
线性空间是线性代数的中心内容， 线性空间是线性代数的中心内容，是几何空 是线性代数的中心内容 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 数理论的抽象性和应用的广泛性. 数理论的抽象性和应用的广泛性 一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的； 线性空间的零元 每个元素的负元都是唯一的 零元， 都是唯一的； (2) (–1) -α，kα=0<＝>k=0，或α=0 1)α=- ， 1) ＝ ，
y1 x1 y2 x2 M = A M y x n n
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三、线性子空间及其形式 1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 ．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 直和. 与直和 2．基本结论： ．基本结论： (1) 线性空间 的非空子集合 作成 的子空间 ＝> 线性空间V的非空子集合W作成 作成V的子空间<＝ W对于 的两种运算封闭； 对于V的两种运算封闭； 对于 (2) 线性空间 的两个子空间的交与和仍为子空间 线性空间V的两个子空间的交 仍为子空间. (3)(维数公式 若V1,V2是线性空间 的两个有限维子 维数公式) 是线性空间V的 维数公式 空间， 空间，则
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 若在线性空间 线性无关的向量 α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示， 中任意向量都可由它线性表示 线性表示， 维的， 就是V的一个基. 则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是 的一个基 是 维的 (4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间 的两 维线性空间V的 是由基α 到基β 个基， 是由基 个基，A是由基 1,α2,…,αn到基 1,β2,…,βn的过渡矩 分别是向量α在这两 阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量 在这两 和 分别是向量 个基下的坐标 坐标， 个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为. 是可逆的， 坐标关系为
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本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 基本内容及其内在联系可用下图来说明 线性空间 线性相关性 极大无关组 基、维数和坐标 同构
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子空间 子空间的交与和 子空间的直和 余子空间
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dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 I V2 )
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(4)
dim L(α1,α2,…,αn)=rank(α1,α2,…,αn) ( ( α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βm 等价 等价.
L(α1,α2,…,αn)= (β1,β2,…,βm)<＝>向量组 ( )=L( ＝ 向量组
(5) 设U是线性空间 的一个子空间，则存在一个子 是线性空间V的一个子空间，则存在一个子 空间W，使得V= ⊕ 此时称W为 的一个 的一个余子 空间 ，使得 =U⊕W ，此时称 为U的一个余子 空间. 空间
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(6) 设V1,V2,…,Vs是线性空间V的子空间，下面这些 线性空间 的子空间， 条件等价： 条件等价： 等价 直和； ① W=∑Vi 是直和； 零向量的表示法唯一； ② 零向量的表示法唯一； ③ Vi I ∑ V j = {0}
j≠i
( i = 1 , 2 ,L , s ) ;
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质： 同构映射的基本性质： (1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组 线性空间的同构映射保持零元，负元， 保持零元 线性相关性； 合，线性相关性； (2) 同构映射把子空间映成子空间； 同构映射把子空间映成子空间 把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和 具有反身性 递性； 递性； (4) 数域 上两个有限维线性空间同构 ＝>它们有相 数域P上两个有限维线性空间同构<＝ 它们 它们有相 同的维数，因而，数域P上的每一个 上的每一个n维线性空间都 同的维数，因而，数域 上的每一个 维线性空间都 元数组所成的线性空间P 元数组所成的线性空间 同构. 与n元数组所成的线性空间 n同构