高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.8
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高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.5
,
n1 (1,0, ,0, 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x1, x2 , , xn ), ( y1, y2 , , yn ) 则 ( x1 y1, x2 y2 , , xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
例6 设V为数域P上的线性空间，1,2 , ,r V
令W {k11 k22 krr ki P,i 1,2, ,r}
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1,2 , ,r 的一切线性
组合所成集合.
2023/9/3§6.5 线性子空间
二、一类重要的子空间 ——生成子空间
定义：V为数域P上的线性空间，1,2, ,r V，
无关组，则
L(1,2 , ,s ) L(i1 ,i2 , ,ir )
3、设 1,2 , ,n 为P上n维线性空间V的一组基，
A为P上一个 n s 矩阵，若
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则 L(1, 2 , , s )的维数＝秩(A).
2023/9/3§6.5 线性子空间
既然 1,2 , ,m 还不是V的一组基，它又是线
性无关的，那么在V中必定有一个向量
不能被
m1
1,2, ,m 线性表出，把它添加进去，则
1,2 , ,m ,m1 必定是线性无关的．
由定理3，子空间 L(1,2 , ,m1 ) 是m＋1维的．
因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，
由归纳假设，L(1,2 , ,m1 )的基1,2 , ,m ,m1
线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯
阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2 , , s ) 的维数与一组基.
高等代数北大三版向量空间
I. 涉及两个集合（其中一个集合……）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质.
惠州学院数学系
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量பைடு நூலகம்记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
惠州学院数学系
§6.1 向量空间的定义和例子
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
惠州学院数学系
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
惠州学院数学系
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量பைடு நூலகம்记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
惠州学院数学系
§6.1 向量空间的定义和例子
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
惠州学院数学系
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
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高等代数【北大版】 课件
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• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
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高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数北大版线性空间
引 入 我们懂得，在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一种向量 有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组，所以属于Pn.
这么一来，取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种 向量 ，令 在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 相应，就 得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2）证明：复数域C看成R上旳线性空间与W同构，
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性，而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证：设 ：V V , :V V 为线性空间旳同构
映射，则乘积 是 V到V 旳1－1相应. 任取 ， V , k P, 有
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义 二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.
高等代数北大版64
,?
n
)
? ? ??
a2 an
? b2 M ? bn
? ? ??
若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
? a1 ?
? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaM2n ????
?
(?
1,?
2 ,L
,?
n
)
? ? ??
bbMn2 ????
?
? a1 ? ? b1 ?
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aaMn2 ????
1)? 1,? 2 ,L ,? n ? V ,a1,a2,L , an , b1,b2,L , bn ? P
? a1 ?
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(? 1,? 2 ,L
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n
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? ? ??
aaMn2 ????
?
(?
1
,?
2
,L
,? n )????bbMn2 ???? ? (? 1,? 2,L
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
? x1 ?
?
? (? 1 ,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
xxMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
高等代数第6章线性空间
a ∈ A表示a是A的元素， a ∈ A a∈A）表示a不是A的元素， （或
集合的表示法：列举ຫໍສະໝຸດ ； 集合的表示法：列举法；描述法{1，，，...,n,...} 23 {a ∈ C 存在正整数n,使得a = 1} |
n
集合的运算
M ∩ N = {x | x ∈ M且x ∈ N} M ∪ N = {x | x ∈ M或x ∈ N}
二、简单性质
的零元素） (1) 定义条件 3°中 0（ 称为 的零元素）是唯 ° （ 称为V的零元素 一的． 一的． (2) 对于任意 α ∈ V，定义条件 °中 α’ （称为 ，定义条件4° α的负元素 ）是唯一的．记为 α 。 是唯一的．记为(3) 0α = 0，k0 = 0． ， ． (4) 若kα = 0，则k = 0,或α = 0． ， 或 ． 证 若 k ≠ 0,则k-1(kα) = k-10 = 0. 而 则 k-1(kα) = (k-1k)α = 1α = α, 所以, 所以 α = 0． ． (5) 每个向量 α 的负向量等于 (−1)α −
如果上述运算满足如下8条运算性质 则称V 如果上述运算满足如下 条运算性质, 则称 条运算性质 数域P上的 上的线性空间 是 数域 上的线性空间
1°加法交换律：α +β = β + α ； 加法交换律： 2°加法结合律：(α +β )+ γ = α + (β + γ)； °加法结合律： ； 3°存在向量 ，使得对任一个向量α ,都有 °存在向量0， 都有 α+0=α; 4°对任一个向量α , 存在向量α ’，使得 ° α + α ’ = 0. 5°1的数乘 1α = α ； 的数乘: ° 的数乘 6°数乘结合律：k(lα) = (kl)α ; °数乘结合律： 7°数乘分配律：k(α +β ) = kα + kβ; °数乘分配律： 8°数乘分配律：(k + l)α = kα + lα. °数乘分配律： 中的向量， ∈ 其中α, β, γ 是V中的向量，k,l∈P. 中的向量
高等代数课件 第六章
空间 M n (F)的非空子集。又中M n (F) 的运算是矩阵的
加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是
的 M n (F) 一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间， 因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
§6.1 向量空间的定义和例子
一、 引例——定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
一、 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空 子集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是 V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W
中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W 对于V
的加法是封闭的.
同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意
数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的
乘法是封闭的.
定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个 非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法 是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.
加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是
的 M n (F) 一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间， 因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
§6.1 向量空间的定义和例子
一、 引例——定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
一、 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空 子集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是 V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W
中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W 对于V
的加法是封闭的.
同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意
数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的
乘法是封闭的.
定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个 非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法 是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.
高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.8
得到V到Pn的一个单射
n 1 2
n
: V P , ( a , a , , a ) ( a , a , , a ) , a a a
n
反过来，对于 Pn 中的任一元素
1 2
并且
( ) ( a ,,,) aa , 即
1 12 2
1 2 n
是V中唯一确定的元素， n n
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
2019/3/18
数学与计算科学学院
二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
的 是 V 到 V 2、设 V , V 是数域P上的线性空间，
同构映射，则有 1） 2）
0 0 , .
k k 0 3）因为由 k 1 12 2 r r
( )( ) k ( ) 0 可得 kk 1 1 2 2 rr
反过来，由 kk ( )( ) k ( ) 0 1 1 2 2 rr 可得
数学与计算科学学院
i m V n ,1 , ,, 4）设 d 为V 中任意一组基. 2 n
) , ( ) ,, ( ) 由2）3）知， ( 为 的一组基. 1 2 n
所以 d i md V n i m V .
2019/3/18
数学与计算科学学院
5）首先
n
( k ) ( k a , k a , k a ) k P 1 2 n
k ( a , a ,) a k ( ) , 1 2 n 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
n 1 2
n
: V P , ( a , a , , a ) ( a , a , , a ) , a a a
n
反过来，对于 Pn 中的任一元素
1 2
并且
( ) ( a ,,,) aa , 即
1 12 2
1 2 n
是V中唯一确定的元素， n n
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
2019/3/18
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二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
的 是 V 到 V 2、设 V , V 是数域P上的线性空间，
同构映射，则有 1） 2）
0 0 , .
k k 0 3）因为由 k 1 12 2 r r
( )( ) k ( ) 0 可得 kk 1 1 2 2 rr
反过来，由 kk ( )( ) k ( ) 0 1 1 2 2 rr 可得
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i m V n ,1 , ,, 4）设 d 为V 中任意一组基. 2 n
) , ( ) ,, ( ) 由2）3）知， ( 为 的一组基. 1 2 n
所以 d i md V n i m V .
2019/3/18
数学与计算科学学院
5）首先
n
( k ) ( k a , k a , k a ) k P 1 2 n
k ( a , a ,) a k ( ) , 1 2 n 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
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第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/7/29
数学与计算科学学院
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应
: V Pn, (a1,a2 , ,an ) V
这里(a1,a2 , ,an )为 在 1, 2 , , n 基下的坐标，
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) 可得 (k11 k22 krr ) 0.
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
kr (r ) 0
而 是一一对应，只有 (0) 0. 所以可得 k11 k22 krr 0. 因此，1,2 , ,r 线性相关（线性无关） (1), (2 ), , (r ) 线性相关（线性无关）.
3）V中向量组 1,2 , ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ), , (r )
线性相关（线性无关）. 4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集 (W ) { ( ) W }
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
iii) k k , k P, V
则称 是V到V 的一个同构映射，并称线性空间
V与V 同构，记作 V V .
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
例1、V为数域P上的n维线性空间，1, 2 , , n
从而有 W , k W .
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
是的 V 子空间，且 dimW dim (W ).
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
证： 1）在同构映射定义的条件iii) k k
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
任取 , V , 设
a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n 则 ( ) (a1,a2 ,an ), ( ) (b1,b2 , ,bn ) 从而 ( ) (a1 b1,a2 b2 ,an bn )
(a1,a2 ,an ) (b1,b2 , ,bn ) ( ) ( )
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
任取 , V ,
( 1( )) 1( )
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
同理，有 1(k) k 1(), V ,k P
所以， 1为 V 到V 的同构映射.
2020/7/29§6.8 V 且 0= 0 W , W 其次，对 , W , 有W中的向量 , 使 , . 于是有
k k k , k P
由于W为子空间，所以 W , k W .
引 入 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一个向量 有唯一确定的坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量的
坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.
这样一来，取定了V的一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一个 向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 对应，就 得到V到Pn的一个单射 : V Pn , (a1,a2, ,an )
4）设 dimV n, 1, 2 , , n 为V 中任意一组基. 由2）3）知， (1), ( 2 ), , ( n )为 的一组基.
所以 dimV n dimV .
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
5）首先 1 :V V 是1－1对应，并且
1 IV , 1 IV , I为恒等变换.
反过来，对于 Pn 中的任一元素 (a1,a2 , ,an ),
1a1 2a2 nan 是V中唯一确定的元素， 并且 ( ) (a1,a2 , ,an ), 即 也是满射.
因此， 是V到 Pn 的一一对应.
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.
2、设 V ,V 是数域P上的线性空间， 是V到V 的
同构映射，则有
1） 0 0, .
2） (k11 k22 krr )
k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ), i V , ki P, i 1, 2, , r .
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/7/29
数学与计算科学学院
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
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为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应
: V Pn, (a1,a2 , ,an ) V
这里(a1,a2 , ,an )为 在 1, 2 , , n 基下的坐标，
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
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二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) 可得 (k11 k22 krr ) 0.
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kr (r ) 0
而 是一一对应，只有 (0) 0. 所以可得 k11 k22 krr 0. 因此，1,2 , ,r 线性相关（线性无关） (1), (2 ), , (r ) 线性相关（线性无关）.
3）V中向量组 1,2 , ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ), , (r )
线性相关（线性无关）. 4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集 (W ) { ( ) W }
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
iii) k k , k P, V
则称 是V到V 的一个同构映射，并称线性空间
V与V 同构，记作 V V .
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例1、V为数域P上的n维线性空间，1, 2 , , n
从而有 W , k W .
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所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
是的 V 子空间，且 dimW dim (W ).
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证： 1）在同构映射定义的条件iii) k k
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
任取 , V , 设
a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n 则 ( ) (a1,a2 ,an ), ( ) (b1,b2 , ,bn ) 从而 ( ) (a1 b1,a2 b2 ,an bn )
(a1,a2 ,an ) (b1,b2 , ,bn ) ( ) ( )
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
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一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
任取 , V ,
( 1( )) 1( )
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
同理，有 1(k) k 1(), V ,k P
所以， 1为 V 到V 的同构映射.
2020/7/29§6.8 V 且 0= 0 W , W 其次，对 , W , 有W中的向量 , 使 , . 于是有
k k k , k P
由于W为子空间，所以 W , k W .
引 入 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一个向量 有唯一确定的坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量的
坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.
这样一来，取定了V的一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一个 向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 对应，就 得到V到Pn的一个单射 : V Pn , (a1,a2, ,an )
4）设 dimV n, 1, 2 , , n 为V 中任意一组基. 由2）3）知， (1), ( 2 ), , ( n )为 的一组基.
所以 dimV n dimV .
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5）首先 1 :V V 是1－1对应，并且
1 IV , 1 IV , I为恒等变换.
反过来，对于 Pn 中的任一元素 (a1,a2 , ,an ),
1a1 2a2 nan 是V中唯一确定的元素， 并且 ( ) (a1,a2 , ,an ), 即 也是满射.
因此， 是V到 Pn 的一一对应.
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这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.
2、设 V ,V 是数域P上的线性空间， 是V到V 的
同构映射，则有
1） 0 0, .
2） (k11 k22 krr )
k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ), i V , ki P, i 1, 2, , r .
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