2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)13：概率
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 1830 ．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2012年高考理科数学解析分类汇编(12)---选考内容(含详解)
2012年高考真题理科数学解析汇编：选考内容一、选择题1 ．（2012年高考（四川理））如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A ．10 B ．10C ．10D 2 ．（2012年高考（四川理））函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是 （ ）A ．不存在B ．等于6C ．等于3D ．等于03 ．（2012年高考（江西理））在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则222||||||PA PB PC +=（ ）A ．2B ．4C ．5D ．104 ．（2012年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E,则（ ） A ．CE·CB=AD·DB B ．CE·CB=AD·AB二、填空题5 ．（2012年高考（重庆理））n =______________________ .6 ．（2012年高考（上海理））如图,在极坐标系中,过点)0,2(M6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则 =)(θf _________ .7 ．（2012年高考（上海理））有一列正方体,棱长组成以1为首项,21为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,,V n ,,则=+++∞→)(lim 21n n V V V _________ .8 ．（2012年高考（上海理））函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是_________ .[来源:2]9 ．（2012年高考（上海春））若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足:11122122,,,{1,1},a a a a ∈-且111221220a a a a ＝ ,则这样的互不相等的矩阵共有______个.10．（2012年高考（陕西理））(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________.11．（2012年高考（陕西理））如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=__________.12．（2012年高考（陕西理））若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.13．（2012年高考（山东理））若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________.14．（2012年高考（江西理））在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
#2012年高考真题——理科数学(新课标卷)解析版及试题与答案
绝密 * 启用前2012 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试卷和答题卡相应地点上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动 .用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。
一．选择题：本大题共12 小题，每题第一卷5 分，在每题给同的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
（ 1）已知会合A{1,2,3,4,5}, B{( x, y) x A, y A, x y A} ；,则B 中所含元素的个数为（）(A) 3(B) 6(C)(D)【分析】选 Dx 5, y 1,2,3,4 ， x 4, y 1,2,3 ， x 3, y 1,2 ， x 2, y1 共10个（ 2）将2名教师，4名学生疏成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2 名学生构成，不一样的安排方案共有（）(A) 12种( B) 10种(C )种( D )种【分析】选A甲地由1名教师和2名学生：C21C4212 种2（ 3）下边是对于复数z的四个命题：此中的真命题为（）1 ip1 : z 2p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2 , p3(B) p1 , p2(C ) p , p(D ) p , p 【分析】选 C22(1i)1izi(1i)( 1 i )1p1 : z2， p2 : z22i ， p3 : z 的共轭复数为1i ，p4: z的虚部为1（ 4）设F1F2是椭圆E :x2y21(a b0) 的左、右焦点，P 为直线x3aa2b2上一点，2F 2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（）(A)1( B) 2(C )D23 【分析】选 CF 2PF 1是底角为30的等腰三角形PF 2F 2 F 1 2( 3a c) 2c e c 32 a 4（ 5）已知 a n 为等比数列， a a 2 ，a a8 ，则 a a475 61 01（）(A) 7(B)5(C )( D )【分析】选Da 4 a 7 2，a 5a 6 a 4 a 78 a 44, a 72或a 42, a 7 4a 4 4, a 72 a 1 8, a 10 1 a 1 a 107a 42, a 74a10 8, a 11a 1a107（ 6）假如履行右侧的程序框图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 ,a 2 ,..., a n ，输出 A, B ，则（）( A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a n 的和(B) AB为 a 1 , a 2 ,..., a n 的算术均匀数2(C ) A 和 B 分别是 a 1, a 2 ,..., a n 中最大的数和最小的数(D ) A 和 B 分别是 a 1, a 2 ,..., a n 中最小的数和最大的数【分析】选 C（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）( A) 6(B) 9 (C) (D)【分析】选 B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为31 16 3 3 9此几何体的体积为 V238C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C与抛物线 y216 x 的准线交于 A, B （ ）等轴双曲线两点， AB4 3 ；则 C 的实轴长为（）(A) 2(B)22(C )( D )【分析】选 C设 C : x 2 y 2 a 2 (a 0) 交 y 2 16x 的准线 l : x4于 A( 4,23)B(4,23)得： a 2( 4) 2 (2 3) 24 a 2 2a 4（ 9）已知0 ，函数 f ( x)sin( x) 在 ( , ) 上单一递减。
2012年高考真题理科数学解析汇编概率参考答
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案一、选择题错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2,由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23,故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题. 错误！未找到引用源。
考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,选A. 错误！未找到引用源。
解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=. 错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯,故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.错误！未找到引用源。
[解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2221(2.0x x E +=ξ+232x x ++243x x ++254x x ++215x x +)=t , 211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+23)(t x -+24)(t x -+25)(t x -]]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;记1221x x x '=+,2232x x x '=+,,5215x x x '=+,同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2524232221x x x x x ++++有大小, ])()()[(221232221412524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+' )]22222()(2[1554433221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++= )]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++< 2524232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A. [评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发第8题图现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得1ξD >2ξD 而迅即攻下此题.二、填空题错误！未找到引用源。
2012年高考真题——数学理全国卷解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。
2012高考新课标数学全国卷答案解析(理科)
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ） ()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
【2012年高考理科数学解析分类汇编集(word版193页)
．（2012年高考（江苏））已知函数 的值域为 ,若关于x的不等式
的解集为 ,则实数c的值为____.
．（2012年高考（大纲理））若 满足约束条件 ,则 的最小值为_________________.
．（2012年高考（安徽理））若 满足约束条件: ;则 的取值范围为
．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)
设 其中 ,曲线 在点 处的切线垂直于 轴.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求函数 的极值.
．（2012年高考（陕西理））设函数
(1)设 , ,证明: 在区间 内存在唯一的零点;
(2)设 ,若对任意 ,有 ,求 的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设 是 在 内的零点,判断数列 的增减性.
．（2012年高考（江西理））计算定积分 ___________.
．（2012年高考（广东理））曲线 在点 处的切线方程为___________________.
三、解答题
．（2012年高考（天津理））已知函数 的最小值为 ,其中 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若对任意的 ,有 成立,求实数 的最小值;
(Ⅲ)证明 .
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
．（2012年高考（湖北理））已知二次函数 的图象如图所示,则它与 轴所围图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为
（ ）
A． B． C． D．
．（2012年高考（大纲理））已知函数 的图像与 轴恰有两个公共点,则 （ ）
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率.pdf
一、学习目标 1、树立良好的合作意识和培养团队精神。
2、通过学习，学会在生活中如何与别人开展合理竞争和与人合作。
体验竞争中合作带给团队和个人的欢乐从而实现共赢。
3、理解竞争，树立良好的竞争意识。
二、学习重难点 重点：善于合作增强学生的合作意识提高能力。
难点：学会竞争树立良好的竞争意识。
四、快乐链接 王强和李正是一对好朋友。
一次期中考试，王强考得不好，想让李正给他辅导功课。
李正想，快要中考了，我给他补课，会不会影响自己呀？而且王强成绩一向和自己差不多，我要给他补课的话，说不定会超过我，补不补呢？李正的犹豫，王强看在眼里，很是伤心。
没有想到，三年的友情就这么淡了。
从此，两个人动上了心眼儿。
只要成绩超过对方，就眉飞色舞，恨不得让大家都知道。
而落后的人，不是想下一次怎么去考好，而是想起了歪点子，发展到诬告对方考试作弊的地步。
想一想，两个人如果继续发展下去，会导致什么结果？并请你续写故事。
2、如果你是他们的好朋友，请你给他们几点忠告，让他们能正视竞争。
五、自主检测 1. 2007年山东省实验中学一个寝室5女生全获保送，全部顺利地被浙江大学、人民大学提前录取。
她们在学习上互相帮助，共同提高，这说明学习上相互交流与合作（ ） ①可以扩大我们的知识面 ②是获得知识和经验的重要途径 ③使我们有机会获得更高层次的教育 ④激发我们的思维和创造力 A．①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 2. 2009年3月，新任中国乒协主席蔡振华在上任之际就提出了“养狼计划”，主要方式是让更多教练员和球员出国去交流，或让外国选手到中国来训练，帮助他们提高水平，缩小与中国选手的差距，增强竞争。
以下认识正确的是（ ） ①交流可以提高人的创造能力 ②竞争的最终目标是实现共赢 ③该计划严重影响国球的夺冠 ④该计划可以增进国家间友谊A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④ 3. 一家百货公司承诺，如果某样商品自己公司没有，可以指引顾客去另一家有这种商品的商店。
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高中数学精品资料2020.8全国高考理数试卷-真题分类汇编2012高考真题分类汇编：概率1.【2012高考真题辽宁理10】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为 (A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2， 由(12)32x x -<，解得48x x <>或。
又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23，故选C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。
2.【2012高考真题湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π【答案】A【解析】令1=OA ，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点。
2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS 。
在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ，()1622811812221-=--=ππS S ，4221-=+πS S ，扇形OAB 面积π41=S ，选A. 3.【2012高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A.49 B.13 C.29 D.19【答案】D【解析】法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有2555=⨯个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有2054=⨯，所以9120255=+=P ．故选D ．法二：设个位数与十位数分别为y x ,，则12-=+k y x ，=k 1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以y x ,分别为一奇一偶，第一类x 为奇数，y 为偶数共有251515=⨯C C 个数；第二类x 为偶数，y 为奇数共有201514=⨯C C 个数。
两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是91455=，选D 。
4.【2012高考真题福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A.14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】Ｃ.【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积61|)2132()(1022310=-=-=⎰x x dx x x S ，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为61．故选Ｃ．5.【2012高考真题北京理2】设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【答案】D 【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。
6.【2012高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
【答案】32【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=。
7.【2012高考真题新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【答案】83 【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为213 8p p p=⨯=.8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲ ．【答案】35。
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63= 105。
9.【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ。
【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.【解析】10．【2012高考真题湖北理】（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为：于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8. （Ⅱ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=.由条件概率，得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.11.【2012高考江苏25】（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱。
∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===。
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1的共有6对，∴212661(2)=6611P C ξ===，416(1)=1(0)(2)=1=111111P P P ξξξ=-=-=--。
∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 12()P ξ411 611 111∴其数学期望6162()=12=111111E ξ+⨯+⨯。
【考点】概率分布、数学期望等基础知识。
【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P ξ=。
（2）求出两条棱平行且距离为2的共有6对，即可求出(2)P ξ=，从而求出(1)P ξ=（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量ξ的分布列，求出其数学期望。
12.【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． （1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ得数学期望．【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。
【解析】13.【2012高考真题全国卷理19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望. 【答案】14.【2012高考真题浙江理19】(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X 的分布列； (Ⅱ)求X 的数学期望E (X )．【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。
(Ⅰ) X 的可能取值有：3，4，5，6．35395(3)42C P X C ===； 21543920(4)42C C P X C ===； 12543915(5)42C C P X C ===； 34392(6)42C P X C ===．故，所求X的分布列为X 3 4 5 6P 54220104221=1554214=214221=(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：E(X)＝645105191 ()34564221142121ii P X i=⋅==⨯+⨯+⨯+⨯+=∑．15.【2012高考真题重庆理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望【答案】16.【2012高考真题江西理29】（本题满分12分）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。