圆周率π的计算及简单应用

圆周率π的计算及简单应用

一、π的来历

π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。π的历史是饶有趣味的。对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。

实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用

分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。

由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：

3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。

之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。

二、π的定义

圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足0

x的

sin=

最小正实数x。

圆周率（π）一般定义为一个圆的周长（C ）与直径（d ）的比：d

C =π。由图形的相似性可以知道对于任何的图形的d C 的值都相等。这样就定义出了常数π。但是也可以换一个角度--从求圆面积和半径的比来定义。现说明如下：

任取半径为R 的圆，画出它的内接正n 边形，并把多边形的面积记作n S 。显然，当n 无限增加时，内接正n 边形周长n p 接近于圆周长C ，n p 接近于圆周长；同时，n S 也接近一个确定值。这个值叫圆的面积A 。也就是说当n 无限增加C 时，内接正多边形面积组成的无穷数列,...,...,,543n S S S S 的极限是A 。

现在证明：圆周率π又是A 和R 的平方的比，即（1）2R A π=成立。事实上，这时R D 2=,而n a n ,和园内接正n 2边形的面积n S 2之间，有

2/)2(2n n nRa S =和n n na p =)3(的关系。其中（3）成立是显然的，下面证

明（2）也成立。

如左图画⊙O 的内接正n 2边形并连接它的中心

和顶点，这n 2条连线就把它分成n 2个三角形。把

其中相邻的两个三角形记作,,OCB OAC ∆∆这时，AB

与AC 垂直相交于D ，于是有（4）AOB ∆的面积2/B A CD /⨯=。而=AB n a 是圆内接正n 边形的一边，又R OC CD OD ==+。因此，从（4）和（5）就可以得到OAC ∆)6(的面积OCB ∆+的面积AOB ∆=的面积ACB ∆+的面

积2/2/)(n Ra B

A CD OD =/⨯+=。

而圆内接正n 2边形是由n 个这样的相邻三角形组OCB OAC ∆∆,拼成的，因此由（6）就得到（2）。

从（2）和（3）就可得到2/)7(2R p S n n =。

当n 无限增加时，n S 2趋向于A ，n p 趋向于C ，所以)7(的两边就分别趋向于A 和2/CR ，而,2/2/2R DR CR ππ==这就得到)1(。

这样就从另外一个角度——用圆面积来定义了π。

三、π的性质

π的性质怎样？这是人们研究了几千年的的问题。

关圆周率的性质及人们对它进行研究的历史，不同的数学家研究方法各不相同。在美国数学史家达维德.尤金.史密斯的著作《数论尺规作图及周率》一书中，将π的历史分为以下三个时代：

（1）自古时至17世纪中期，这个时代大都是求一个正方形等于一个已知圆等的努力，或用目前的初等教科书中所描述的那种纯粹几何方法，来求π的近似值。

（2）自微积分起，到德国数学家兰伯特证明π是无理数为止，即约17世纪60年代至18世纪60年代的100年，这一时代的特色，是解析方法替代了古代的几何方法；并认为其著名的研究者为牛顿、莱布尼兹、詹姆斯.伯努利和约翰.伯努利、欧拉等。这个时代求π值的方法，不再用古代的“穷竭法”，而是用无穷级数及无穷乘积等。

（3）从18世纪中期至20世纪，其特色是探求π的性质，即是否为有理数、代数数、超越数等。