数学实验：怎样计算圆周率
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
“投针实验”求圆周率的方法
教材提到了“投针实验”求圆周率的方法。
1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离是的一半。
把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。
小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。
这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。
得数竟然是π的近似值。
这就是著名的蒲丰投针问题。
后来他把这个试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中。
蒲丰证明了针与任意平行线相交的概率为p= 2l/πd 。
这个公式中l为小针的长，d为平行线的间距。
由这个公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。
当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。
蒲丰实验的重要性并非仅仅是为了求得比其它方法更精确的π值。
而在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为l 的平行线（方便起见，常取l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。
这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needleproblem）。
依靠它，可以用概率方法得到π的近似值。
假定在水平面上画上许多距离为a的平行线，并且，假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上。
布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api) 把这一试验重复进行多次，并记下成功的次数，从而得到P的一个经验值，然后用上述公式计算出π的近似值，用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzeri ni）于1901年给出的。
求圆周率的方法
求圆周率的方法
圆周率是一个重要的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母π表示。
但是，圆周率的精确值是无限小数，无法被完全表示或计算出来。
因此，人们通过不同的方法来近似计算圆周率的值。
以下是几种常见的求圆周率的方法：
1. 随机撒点法
这种方法利用大量随机的点来模拟圆的内外部分布，然后根据点的数量和位置来计算圆周率的近似值。
随着点数的增加，近似值会越来越接近真实值。
2. Machin公式
这是一种基于三角函数的公式，可以用来计算圆周率的近似值。
Machin公式的形式为：
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
通过计算这个公式，可以得到π的近似值。
3. Buffon针实验
这个实验是利用一个长针在平面上随机投掷，然后根据针的长度和投掷的次数来计算圆周率的近似值。
这种方法需要一定的实验技巧和设备，但它可以帮助人们更好地理解圆周率的概念和计算方法。
除了以上这些方法外，还有许多其他的方法可以用来求圆周率的值。
无论采用哪种方法，都需要注意精度和计算误差，以确保得到的结果是可靠和准确的。
数学实验报告2-圆周率的计算-mathematica
数学实验报告实验序号： 2 日期： 2016年月日实验结果报告及实验总结：一、数值积分法计算π因为单位圆的半径为1，它的面积等于π，所以只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆，则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出π。
而且单位的精度可能会影响计算的结果，下面将给出不同的n计算所得结果并讨论差异。
1.当n=1000时命令：n=1000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/( 6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];结果如下：2.当n=5000时命令：n=5000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}]) /(6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];运行结果:3.当n=10000时命令:n=10000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/( 6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}]运行结果：4. 结果分析：当数值积分法得到 的近似值为3.8，可以看出，用这种方法计算所得到的 值是相当精确的，n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的准确值。
MATLAB数学实验
实验三 圆周率的计算学号： 姓名：XX一、 实验目的1. 本实验涉及概率论、定积分、三角函数等有关知识，要求掌握计算π的三种方法及其原理。
2. 学习和掌握数学软件MATLAB 的使用方法。
二、 实验内容圆周率是一个极其驰名的数。
从有文字记载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们的兴趣。
作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。
仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代又一代数学家为此献出了自己的智慧和劳动。
回顾历史，人们对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学家康托说：“历史上一个国家所算的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
”直到19世纪初，求圆周率的值还是数学中的头号难题。
1. 圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切多边形来逼近圆的周长。
Archomedes 用正96边形得到35位精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph V an Ceulen 用正2^62边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意得发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1) Machin 公式2391a r c t a n451a r c t a n 16-=π ()121...753arctan 121753--++-+-=--n x x x x x x n n 这个公式由英国天文学教授John Machin 于1706年发现。
他利用这个公式计算到100位的圆周率。
Machin 公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
怎样计算圆周率的值
计算的方法
谢谢各位！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
In[1] n=10000; S4= Block[{i,m=0}, For[i=n,i>0,i--, m=m+If[Random[]^2+Random[]^2<=1,1,0]]; N[4*m/n,10]] Out[2] In[1] Out[2] In[1] Out[2] 3.1352 n=50000; 3.15336 n=100000; 3.14736
Mathematica
In[1] y[x_]:=4/(1+x^2); n=100; S3=N[1/(2*n)*(Sum[2*y[k/n],{k,1,n-1}]+y[0]+y[1]),30]
3.1415759869231285559229513739
Out[2]
In[3] n=500; Out[4] 3.141591986923126571922960843596 In[5] n=1000; Out[6] 3.141592486923126571797960843597 In[7] n=5000; Out[8] 3.141592646923126571795976843597
实验任务
1. 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式 求，若要精确到以40位、50位数字，试比较 简单公式和Machin公式所用的项数. 2. 用数值积分计算，分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数字，用Simpson法 精确到15位数字.
3. 用Monte Carlo 法计算，除了加大随机数， 在随机数一定时可重复算若干次后求平均值， 看能否求得5位精确数字？ 4. 设计方案用计算机模拟Buffon实验
圆周率的计算数学实验报告
ans1=symsum(f1,n,1,28);
ans2=symsum(f2,n,1,28);
ans=vpa(4*(4*ans1-ans2),100)
得π≈
3.141592653589793238462643383279502884197130451046268578972203255663716036677133432949011735665451127
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415926519
n=100000时，
编写程序：
n=100000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈
3.1415926536
也可利用积分公式
3.概率方法
编写程序：
m=0;
for i=1:100000
x=rand;
y=rand;
if x^2+y^2<=1;
m=m+1;
else end
end
4*m/100000
得π≈3.136000000000000
n=100000时，
π≈3.139920000000000
4.数值积分方法
利用公式
设分点x1,x2,…xn-1将积分区间[0,1]分成n等分。
2.分析方法
(1).由公式
推出 =4
编写程序
symsk
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,10)
第14周实验十四数值随机化算法计算圆周率
第14周实验十四数值随机化算法计算圆周率为了计算圆周率，人们发明了许多方法，其中的一个方法是数值随机化算法。
数值随机化算法是一种通过使用随机数来估计数值的方法。
本文将介绍数值随机化算法如何计算圆周率。
圆周率是数学中一个重要的无理数，通常表示为π。
在几何中，π被定义为圆的周长与其直径的比值。
圆的周长可以通过直接测量得到，但这样的方法非常耗时且低效。
因此，人们一直在寻找更加高效的方法来计算圆周率。
数值随机化算法是一种使用随机数生成器来估计数值的方法。
在计算圆周率时，可以使用Monte Carlo方法。
该方法通过随机地在一个正方形中产生点，然后统计在该正方形内的点落在了一个以原点为圆心、边长等于正方形边长的圆内的比例。
具体的计算过程如下：1.首先，设定一个正方形的边长为1、该正方形可以表示整个计算空间。
2.然后，随机地在正方形中产生大量的点。
3.统计在圆内的点的个数。
4.计算在圆内的点与总点数的比例，并将其乘以4，即可得到一个估计的圆周率。
为什么这个方法可以计算圆周率呢？这是因为Monte Carlo方法是一种概率方法，它利用了随机样本在总体中的比例来估计参数的方法。
在上述的计算过程中，正方形中的点数是已知的，而圆内的点数是未知的。
通过统计圆内的点数与总点数的比例，可以得到一个估计值。
当样本的大小越大时，估计的准确性也会提高。
然而，需要注意的是，Monte Carlo方法并不是完全准确的，它只是给出了圆周率的一个估计值。
因此，在计算圆周率时，需要使用尽可能多的随机点来提高准确性。
另外值得一提的是，数值随机化算法不仅可以用来计算圆周率，还可以用于其他估计数值的计算。
例如，可以用数值随机化算法来计算其中一种病的患病率，或者来估计一些市场的需求量等。
这种方法在实践中被广泛应用，因为它相对简单，计算效率高，并且具有一定的准确性。
总结起来，数值随机化算法是一种通过使用随机数来估计数值的方法。
在计算圆周率时，可以使用Monte Carlo方法，该方法通过随机地在一个正方形中产生点，然后统计在圆内的点的比例来计算圆周率的估计值。
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怎样计算
姓名：
学号
班级：数学与应用数学4班
实验报告
实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。
实验环境：Mathematica软件
实验基本理论和方法：
方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）
其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，
由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。
而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图
图一
扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。
每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。
如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。
所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值：
n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。
方法二：泰勒级数法
其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数
计算。
方法三：蒙特卡罗法
其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。
而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。
将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。
能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是
Random[ ]
产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。
P落在扇形内的充分必要条件是。
这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。
实验内容、步骤及其结果分析：
问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。
分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。
与有关的定积分很多，比如的定积分
就比的定积分更容易计算，更适合用来计算。
梯形公式：设分点，…，将积分区间[a,b]分成n等分，即，。
所有的曲边梯形的宽度都是h=（b-a）/n。
记，则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积。
将所有这些梯形面积加起来就得到
这就是梯形公式。
辛普森公式：仍用分点（）将区间[a,b]分成n等分，直线x=（）将曲边梯形分成n个小曲边梯形，再做每个小区间的中点。
将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)（x）近似的看作经过三点（x,f(x)）(x=,,)的抛物线段，则可求得，其中。
于是得到
这就是辛普森公式。
取n=1000，10000，用梯形公式和辛普森公式计算
=和=
的近似值(取20位有效数字)。
将所得的结果与的准确值相比较。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）分别输入下列语句：
运行后结果如下图：
结果分析：从上面结果可以看出，所得到的结果与的准确值非常接近。
问题2：将x=1带入方法二的级数中得到。
在上面的级数中取n=20000计算的近似值，观察所得的结
果和所花的时间。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）分别输入下列语句：
运行后，结果如下图：
结果分析：根据实验结果，花费的时间很长，结果准确性较差。
问题3：取n=1000，10000，50000，按方法三所说的随机投点的方法来计算的近似值；对不同的n，观察所得结果的精确度，你发现什么规律？并将精确度与数值积分法作比较。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）分别输入下列语句：
运行后，结果如下图：
结果分析：对不同的n，当n的值越大时，所得到的结果越精确，越接近的近似值。
而此方法显然没有数值积分法及泰勒级数法精确。
附录（源程序）
以下所示的程序在实验中是按顺序进行的。
1．
2．
3．
4．
5．
.
6．
7．
精品文档。