高中数学竞赛培训 函数的基本性质(二)函数的周期性 Word版 含答案
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)
【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
函数周期性和对称性课件及习题与答案
函数的周期性和对称性一、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.三、函数周期性的性质：定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)
函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习).docx
基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。
3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。
函数的奇偶性与周期性(2)-含详解答案
7月21日 函数的奇偶性与周期性（2）高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆已知函数)(x f 满足0)1()1(=-++x f x f ，且)()(x f x f =-，当21≤≤x 时，12)(-=x x f ，则)2017(f =A ．−1B ．0C ．1D ．2【参考答案】C【解题必备】1．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=-，()2y f x =-关于y 轴对称，当()0,2x ∈时，()22l o g f x x =，则下列结论中正确的是A ．()()()4.57 6.5f f f <<B ．()()()7 4.5 6.5f f f <<C ．()()()7 6.5 4.5f f f <<D ．()()()4.5 6.57f f f <<2．定义在()(),00,-∞+∞上的函数)(x f ，总有)()()(n f m f mn f =，且0)(>x f ，当1>x 时，1)(>x f ． （1）求)1(),1(-f f 的值；（2）判断函数的奇偶性,并证明.【名师点睛】利用周期性与对称性比较函数值的大小，一般是将要比较大小的函数值利用周期性与对称性转化为已知区间上的函数值，再利用函数的单调性即可比较大小．2．【解析】（1）令1==n m ，则有)1()1()1(f f f =，又0)(>x f ，所以(1)0f >，所以(1)1f =．令1-==n m ，则有)1()1()1(--=f f f ， 又1)1(=f ，()0(1)0f x f >⇒->，所以1)1(=-f ．学*科网（2）函数()f x 为偶函数，证明如下：令,1m x n ==-，则有)()1()()(x f f x f x f =-=-，又()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，所以()f x 为偶函数．。
函数的周期性及答案
函数周期性1.设偶函数)(x f 对任意R x ∈，都有)(1)3(x f x f -=+，且当[]2,3--∈x 时，x x f 2)(=,则)5.113(f 的值为( ) A.72- B.72 C.51- D.51 2.已知)(x f 是周期为4的偶函数，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，求)5.1(),5.6(-f f ，)5.5(f 3.是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知定义域为R 的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )A.f(6)＞f(7)B.f(6)＞f(9)C.f(7)＞f(9)D.f(7)＞f(10)5.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)＝-f (x )，则f (6)的值为( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)26.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－)(1x f ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.57.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝)(1)(1x f x f -+，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.139.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）A 、(25)(11)(80)f f f -<<B 、(80)(11)(25)f f f <<-C 、(11)(80)(25)f f f <<-D 、(25)(80)(11)f f f -<<10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++= 。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性(解析版)
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算)π和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值即可得到正确答案【详解】因为()()2cos cos sin f x x x x x f x -=+=，且函数定义域为R ，关于原点对称，所以是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为()1f x -为偶函数，所以()1f x -的图像关于y 轴对称，则()f x 的图像关于直线=1x -对称．因为()f x 在[)1,-+∞上单调递增，所以()f x 在(],1-∞-上单调递减．因为()()127(5)xf f f -<-=，所以7125x -<-<，解得3x <．故选：A.11．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，又当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则()25.5f 的值为______.【答案】1【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，所以()y f x =的周期为4，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，所以()()25.546 1.5f f =⨯+()1.5f =()0.52f =-+()0.5f =--()0.5f =20.51=⨯=，故答案为：112．（2023·全国·高三对口高考）已知函数()y f x =，x ∈R ，()y f x =是奇函数，且当0x ≥【B 组在综合中考查能力】A ．()sin 2e e x xx xf x -=-C ．()cos 2e ex xx xf x -=-的取值范围是（1)=12．（2023·河北·高三学业考试）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =．(1)求()f x 的解析式；(2)若方程()f x ax =，[]2,3x ∈时有唯一一个零点，且不是重根，求a 的取值范围；(3)当[]1,1x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围．【答案】(1)()21f x x x =-+【C 组在创新中考查思维】一、单选题1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()55f x f x -=+，且在闭区间[]0,5上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]2020,2020-上的根的个数（）．A ．1348B ．1347C ．1346D ．13455．（2023·全国·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足在。
2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
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函数的基本性质(二)
基础知识：
函数的周期性
如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得 f(x ＋T)＝f(x)
恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.
一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编) 例题：
1． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x)
所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]
＝－f(x ＋m)
＝f(x)
所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.
2． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m)
令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m
于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立，
所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.
3． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝
)
x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] )x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)
m x (f 1)
m x (f 1+-++--=+++-=
＝f(x)
所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.
4． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)
x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.
证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] )x (f 1)
x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)
m x (f 1)
m x (f 1-=+--+-+-=+++--
= 于是f(x ＋4m)＝－)
m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.
5． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),
求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)
证明：不妨设a ＞b
于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b))
＝f(a －(x ＋a －2b))
＝f(2b －x)
＝f(b －(x －b))
＝f(b ＋(x －b))
＝f(x)
∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期
当a ＜b 时同理可得
所以，2|a －b|是f(x)的周期
6． 已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有
f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)
若f(0)＝2004，求f(2004)
解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)
所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2)
两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2)
即：f(x ＋3)＝－f(x)
∴ f(x ＋6)＝f(x)
f(x)是以6为周期的周期函数
2004＝6×334
∴ f(2004)＝f(0)＝2004。