2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值． 解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U = 2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序) n bb b n22212+++≥ (倒序) n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)
加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。
2、已知),0(,,∞+∈z y x ，且1=++z y x ，证明：274222≤++x z z y y x 成立的条件.3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？4．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。
证明 设 BOP DOQ α∠=∠=，则()sin sin,sin sin AOD QD AQOQD OD OQD OAαα+∠==∠∠，从而有()sin sin AOD AQ OD OA QDαα+∠=。
类似地，有()sin sin AOB AP OBOA BP αα+∠=，因此有()()sin sin AOD AQ OD BP AOB AP OB QD αα+∠=+∠。
同理，由()sin sin ,sin sin COD BOQ BQ QC OQB OB OQB OCα∠-∠==∠∠，可得()()sin sin ,sin sin COD BOC QC OB PC ODBOQ OC BQ DOP OC PDαα∠-∠-==∠∠，因此有()()sin sin COD QC OB PDBOC PC OD QBαα∠-=∠-。
设 AC 与 PQ 交于点L ，由梅涅劳斯定理，1,1AQ DP CL CQ BP ALQD PC LA QB PA LC==，于是有()()()()sin sin 1sin sin AOD COD AOB BOC αααα+∠∠-=+∠∠-。
2013全国数学联赛试题及答案2
AC sin ADC sin APE ， CD sin CAD sin EPF BD BD sin BFD sin PFA AP ， 由于 = EF BF sin BDF sin PAF PF
1= SPAE AP PE sin APE BD AC SPFE PF PE sin EPF EF CD
n 1
于任意正整数 n ，都有 S2n 1 bn 2
2
n(u v) 。
2 r 2 (u v )
取 n 2r (u v), r Z 时， S2n 1 2 平方数。 综上所述，结论成立。
r 2 (u v)2 2r
2
(u v )
r (u v) 都是完全
k
因此，我们取的 2k 个整数满足要求。 原题证明：对于任意正整数 2 n 2k ，都存在正整数 2 r k ，使得 2r 1 n 2r ，由引 理存在 2r 个整数它们都不是 n 的倍数，使得任意将它们分为两组都会有一组中有若干个数 之和是 n 的倍数。 再任意添加 2k 2r 个大于 n 的正整数，则得到满足题意的 2k 个整数。
蕴
秀
斋
2013 年全国高中数学联赛二试参考解答
1、 AB 是圆 的一条弦， P 是 AB 上一点， E , F 在线段 AB 上，满足 AE EF FB ， 射线 PE, PF 分别与 交于 C , D 。求证： EF CD AC BD 。
P w A E F B
证明：由正弦定理
证明：令 bn S2n 1 ，则 b1 S1 a1 u v ，由已知
bn 1
2013年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为B卷)(含解答)
AB < BC
∠AP B = ∠BP C
7
AB BC
1
B
A
P
∠BP C = ∠CP D
P
BM BC
C2 =
M; = DM CD
C
D
A, B, C, D
3.
x, y, z
x2 + y2 + z2 = 10
u = 6 − x2 + 6 − y2 + 6 − z2
6 − x2 +
6 − y2 +
2
6 − z2
x = 0, y = 0 (P
x– )
a+c = 0
ac x−
2
+ y2 =
ac 2
a+c
a+c
x–
(0, 0), (2ac/(a + c), 0)
b) x–
A, B, C, D (−1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)
∠AP B = ∠BP C
P
y–
∠BP C = ∠CP D
1 16
(y1y2
+
8)2
=
0
y1y2 = −8 (−8)2
x1x2 = 16 = 4.
F (1, 0)
−→ −−→ √ x1 − x2 = (x1 + 1) − (x2 + 1) = |F A| − |F B| = 4 3.
4
y2 = 4x
x1, x2
√2 x1 + x2 = (x1 − x2)2 + 4x1x2 = 4 3 + 4 × 4 = 8.
Tn
n=3
2013年全国高中数学联合竞赛加试
2013年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==.连接PE PF 、并延长，与圆ω分别相交于点C D 、.求证：EF CD AC BD ⋅=⋅证明连接AD ，BC ，CF ，DE .由于AE=EF=FB ，从而sin =2sin BC BCE B CP BEAC ACE A CP AE⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○1……………10分同样sin =2sin AD ADF A PD AFBD BDF B PD BF⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○2 另一方面，由于BCE BCP BDP BDF ∠=∠=∠=∠， ACE ACP ADP ADF ∠=∠=∠=∠，故将○1，○,2两式相乘可得4BC ADAC BD⋅=⋅，即4BC AD AC BD ⋅=⋅ ○3 ABCDEFPωωPFEDCBA……………30分由托勒密定理AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅+⋅○4故由○3，○4得 3AB CD AC BD ⋅=⋅, 即EF CD AC BD ⋅=⋅.……………40分二、（本题满分40分）给定正整数,u v .数列{}n a 定义如下：1a u v =+，对整数1m ≥，221,.m m m m a a u a a v +=+⎧⎨=+⎩记()121,2,m m S a a a m =+++=L L .证明：数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数. 证明 对正整数n ，有()()()11112345212221n n n S a a a a a a a +++---=+++++++L ()()()11222121n n u v a u a v a u a v a u a v --=++++++++++++++L()2122n n u v S -=++，……………10分所以 ()()()()12112212121222222n n n n n n S u v S u v u v S --------=++=++++ ()21221222n n u v S ---=⋅++()()()11122n n n u v u v --==-⋅+++L()12n u v n -=+⋅.……………20分设2k u v q +=⋅，其中k 是非负整数，q 是奇数.取2n q l =⋅，其中l 为满足()1mod 2l k ≡-的任意正整数，此时2221212n k q l S q l -+⋅-=⋅，注意到q 是奇数，故()()()222111110mod 2k q l k l k k k k -+⋅≡-+≡-+-=-≡，所以，21n S -是完全平方数.由于l 有无穷多个，故数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数.……………40分三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n ≥为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ≥≥≥L ，求1n p p +得最大可能值.解 对任意的1,2,,k m =L ，设第k 题没有答对者有k x 人，则第k 题答对者有k n x -人，由得分规则知，这k n x -个人在第k 题均得到k x 分.设n 个学生得得分之和为S ，则有()21111nm m mik k k k i k k k ps x n x n x x ======-=-∑∑∑∑.因为每一个人在第k 道题上至多得k x 分，故11mk k p x =≤∑.……………10分由于21p p ≥≥L ，故有23111n n p p p S p p n n +++-≤=--L .所以 1111211121112111n m m mk k kk k k S p n Sp p p p n n n n x n x x n n ===--+≤=+----⎛⎫≤⋅+⋅- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 211121mmk k k k x x n ===-⋅-∑∑. ……………20分由柯西不等式得22111mm k k k k x x m ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑， 于是()()()()2111211211111mm n k k k k mk k p p x x m n x m n m n m n ===⎛⎫+≤-⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=-⋅--+- ⎪-⎝⎭∑∑∑()1m n ≤-.……………40分另一方面，若有一个学生全部答对，其他1n -个学生全部答错，则()()11111mn k p p p n m n =+==-=-∑.综上所述，1n p p +的最大值为()1m n -. ……………50分四、（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <.证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n 整除. 证明先考虑n 为2的幂的情形.设2,1r n r =≥，则r k <.取3个12r -及23k -个1，显然这些数均不被n 整除.将这2k 个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r -，它们的和为2r ，被n 整除.……………10分现在设n 不是2的幂，取2k 个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k -------L L ，因为n 不是2的幂，故上述2k 个数均不被n 整除. ……………20分若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n 整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n 整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n 整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组.现归纳假设1,2,,2l L 均在第一组，而1,1,2,,2l ----L 均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+=L ，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k -L 在第一组，221,1,2,2,,2k ------L 在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+=L，被n 整除，故12k -在第一组.因此211,2,2,,2k -L 均在第一组，由正整数的二进制表示可知，每一个不超过21k -的正整数均可表示为211,2,2,,2k -L 中若干个数的和，特别地，因为21k n ≤-，故第一组中有若干个数的和为n ，当然被n 整除，矛盾！因此，将前述2k 个整数任意分成两组，则总有一组中有若干个数之和被n 整除.……………50分。
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(86)
加试模拟训练题（86）（附详细答案）2. 设a 1=1，a 2=3，对一切自然数n 有a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n求所有被11整除的a n 的值．。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形．证明：这些三角形中至少有一个是锐角三角形．4．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．加试模拟训练题（86）2. 设a 1=1，a 2=3，对一切自然数n 有a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n求所有被11整除的a n 的值．【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题1． 【解】设b n+1=a n+1-a n （n ≥1），则由条件有b n+1=（n+1）（a n -a n-1）=（n+1）b n （n ≥2）b n =nb n-1=n （n-1）b n-2 =…=n （n-1）…3b 2 =n ！（n ≥2）所以 a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a 2-a 1）+1。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BKFC KF BEBK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACEHBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：由此可算出：整除．故本题答案为n=4，n=8以及n ≥10．3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形．证明：这些三角形中至少有一个是锐角三角形．【题说】 第四届(1970年)全苏数学奥林匹克九年级题1． 【证】设五条线段的长度为 a ≤b ≤c ≤d ≤e假设由这些线段组成的任何三角形都不是锐角三角形，那么，在由a 、b 、c ；b 、c 、d ；c 、d 、e 组成的三个三角形中，有 c 2≥a 2＋b 2，d 2≥b 2＋c 2，e 2≥c 2＋d 2 将它们相加，得到 e 2≥a 2＋2b 2＋c 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2从而e ≥a ＋b ．这样，用e 、a 、b 三条线段便不能组成三角形，矛盾．因此，命题得证． 4．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．证明 由已知有 ()()()0121mod 21mod 2n fa a a a α≡⇔++++≡， ①()()()1mod 21mod 2n f a β≡⇔≡， ②若方程()0=x f 存在整数根0x ，即()00f x =. 当0x 为奇数时，有()()()00120mod 20mod 2n f x a a a a ≡⇔++++≡，与①矛盾.有0x 为偶数时，有()()()00mod 20mod 2n f x a ≡⇔≡，与②矛盾.所以方程()0=x f 没有整数根．。
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(22)
加试模拟训练题（22）（附详细答案）1、已知M 为ABC ∆内一点，由M 分别向,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,A B C '''。
由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。
若A B C '''∆的外心为O ，则,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。
2、若a b c R +∈、、，求证：888333111a b c a b c a b c++++≤3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．如果一个人第n次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n＋1次表决与第n次相同．如果第n次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n＋1次表决与第n次不同．证明不论开始时大家怎样回答，从某一时间起，每个人的回答都不会改变．4、求证方程24=+无正整数解.3y x x加试模拟训练题（22）1、已知M 为ABC ∆内一点，由M 分别向,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,A B C '''。
由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。
若A B C '''∆的外心为O ，则,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。
证明 法一 连MO ，并延长至M '，使得O 是线段MM '的中点。
设AM 的中点为O '，则O '为由,,,A C M B ''所确定的四边形的外接圆的圆心，因此OO B C '''⊥。
又因为AM '∥OO '，所以有AM B C '''⊥。
【2013西城二模】北京市西城区2013届高三第二次模拟考试 理科数学 Word版含答案
北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科） 2013.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U A B = ð （A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是 （A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ（C ）2cos =ρθ（D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A （B （C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243--（C ）111[,)(,1]342--（D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据 的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”）10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC 3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面AB C D 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．>； 10．80； 11．3； 12．125； 13．21n +，4(1)nn +； 14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． …………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整理得 cos 20=α． ………………11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα， 所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===， 3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =．…………6分 在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ， 所以1AB =，AD =．又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =． 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ．………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：……10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ． 设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||||||AM BN AM BN ⋅=，……………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．…………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分 【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥的空间直角坐标系xyz D -．在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=因为 2=BD ， 所以1AB =， AD =由俯视图和左视图可得：)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．所以 )0,3,3(-=，)0,1,3(=．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ，所以BD BC ⊥． ………………2分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分 所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为 )0,3,3(-=，)4,4,0(-=，所以 440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=， 所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 43||||=⋅BN AM BN AM ，…………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以 点M 的坐标为2(,55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分 因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分 所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………12分 当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,2． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ……………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分 （ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得11x =21x =+． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,12-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(1+． ………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =-．………………11分 因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=， ，11k k a a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=， ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ． 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a-=--+-++-22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ， 即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ……13分。
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加试模拟训练题（41）（附详细答案）
1、设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，P、Q为二切点．求证：P、H、Q三点共线．
2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：
(1)f(xf(y))f(y)＝f(x＋y)；
(2)f(2)＝0；
(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．
3、 集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，满足下列条件(1)、(2)的A 到A 上的映射f 有几个？
(1)i ，j ∈A ，i ≠j 则f(i)≠f(j)；
(2)i ，j ∈A ，i ＋j ＝7，则 f(i)＋f(j)＝7．
4、 求所有的正整数n 、m ，满足5471m n n +=-．
加试模拟训练题（41）
1、设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、
AQ，P、Q为二切点．求证：P、H、Q三点共线．
【题说】1996年中国数学奥林匹克(第11届数学冬令营)题1．
【证】设BC中点为O，连结AO，PQ，交于G，则AO⊥PQ．
在Rt△AQO中，由射影定理有AQ2＝AG·AO (1)
作AD⊥BC于D，则H在AD上．连结BH，延交AC于E，则BE⊥AC，
且E在圆周上．而有H、D、C、E共圆，从而AH·AD＝AE·AC＝AQ2 (2)
由(1)、(2)，得AH·AD＝AG·AO
因此H、D、O、G共圆．从而∠HGO＝180º－∠HDO＝90º，即H在PQ上．
【另证】设BC中点为O，AD、BE为高，则AD、BE都过H，并且E在以BC为直径的圆上，O是这圆的圆心．
因为∠ADC＋∠HEC＝90º＋90º＝180º，所以E、C、D、H四点共圆，
AH·AD＝AE·AC．又AQ是⊙O切线，所以AE·AC＝AQ2．
因为AH·AD＝AQ2，所以△AHQ∽△AQD，∠AHQ＝∠AQD．同理，∠AHP＝∠APD．
因为P、D、Q都在以OA为直径的圆上，所以∠AQD＋∠APD＝180º．
从而∠AHQ＋∠AHP＝180º，即P、H、Q三点共线．
2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：
(1)f(xf(y))f(y)＝f(x＋y)；(2)f(2)＝0；(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．
【题说】第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题5．本题由英国提供．
解：如果ω＞2，那么在(1)中取y＝2，x＝ω－2，就得f(ω)＝f((ω－2)f(2))·f(2)＝0
因为x≥0，在(1)中令0≤y＜2，则
这样一来，当0≤y＜2，x＞0时，有
综合上述，所求的f 是
不难验证这一函数满足题中条件．
3、 集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，满足下列条件(1)、(2)的A 到A 上的映射f 有几个？
(1)i ，j ∈A ，i ≠j 则f(i)≠f(j)；
(2)i ，j ∈A ，i ＋j ＝7，则 f(i)＋f(j)＝7．
【题说】 1994年日本数学奥林匹克预选赛题8．
【解】 记A 0＝{0，7}，A 1＝{1，6}，A 2＝{2，5}，A 3＝{3，4}．由条件(2)可知A i 中元素的像必在同一个A j ．由(1)，不同的A i ，相应的A j 不同．于是i 与j(1≤i ，j ≤4)的有序对有4！种配法，而各个A j 中的元素作为像可以互换，因而有24种．故所要求的映射共有 4×24＝384(种)
4、 求所有的正整数n 、m ，满足5471m n n +=-．
解 原方程等价于32(1)(1)7m n n n n -+++=． 显然，1n ≠．
当2n ≥时，3221(1)()11,11n n n n n n n -+=-++>++>． 设3217,17a b n n n n -+=++=，其中,a b N +∈．于是，
2(1)(71)(1)()71b a n n n n --=-+=-．
因此，(71)|(71)b a --，即(71,71)71a b b --=-．
又因为(,)(71,71)71a b a b --=-，得到(,)b a b =，即()a kb k N +=∈． 则32177(1)a kb k n n n n -+===++． 当1k =时，有3211n n n n -+=++，2n =． 当2k ≥时，有
32322432(1)(1)(1)(1)330k n n n n n n n n n n n n -+-++≤-+-++=----<，
矛盾．综上所述，2,2n m ==是原方程的唯一一组解．。