2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(14)

加试模拟训练题（14）
1、非等腰ABC ∆的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，
11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ∆中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111
,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ∆和123B B B ∆的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。

2、对任意实数z y x ,,， 试证：).9(6
19132)9(6191222
222z y x yz xz xy z y x +++≤++≤++-
3、设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.
4、求方程||1r
s
p q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.
加试模拟训练题（14）
1、非等腰ABC ∆的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，
11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ∆中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111
,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ∆和123B B B ∆的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。

证明 （1）因为12AC A ∆∽11AAC ∆，12AB A ∆∽11AA B ∆，所以有
122212111111C A AA AA B A C A AC AB B A ===
，从而有131211121113
C A
C A C A B A B A B A ==，即23A A 是121B A C ∠的角平分线。

（2）设123A A A ∆的外心为O ，连221,,,OI IA OA OA ，则12OI A A ⊥。

由于132A A A ∠=
()1121231131121211111121
902
A C A C A A C A A A C A C A
B
C A B A C A ∠+∠+∠=∠+
∠+∠=︒+∠，所以22113211221
18090902
A OI A OA A A A A C A A IO ∠=
∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠，于是有290IA O ∠=︒，
即2IA 与O 相切于2A 。

同理2IB 与123B B B ∆的外接圆相切于2B ，从而I 在O 与123B B B ∆的外接圆的根轴上，即 ,,I P Q 三点共线。

2、对任意实数z y x ,,， 试证：
).9(6
19132)9(6191222
222z y x yz xz xy z y x +++≤++≤++- 证明：当z y x ==时，所证不等式显然成立.
当z y x ,,不全为零时，,092
2
2
>++z y x 将所证不等式可变形为
.619
193261912
22+≤++++≤-z
y x yz xz xy
令
k z
y x yz
xz xy =++++2
22932 ① ①式中的z y x ,,均可取一切实数（z y x ,,不同时为零即可）. 不妨取变量z 作为考查对象. （1）当0=z 时，22y x xy k +=
，由||22
2xy y x ≥+，得,21||2
2≤+y
x xy 即.2
1
21≤≤-
k （2）当0≠z 时，将①式整理，得,03)9()2(2
2
2
=-+++-yz z y k x z y kx k 可以为0，当0=k 时，不等式显然成立；
当0≠k 时，因R x ∈，0≥∴∆，即0>∆或.0=∆ 由0=∆得)39(4)2(2
2
2
yz kz ky k z y -+-+=∆ .0)91(4)124()41(2
2
2
2
=-+++-=k z y kz z y k 当21±
=k 时，不等式显然成立； 当2
1
±≠k 时，.0,≥'∴∈∆R y .0)91(4)41(4)124(2
2
2
2
≥---+='k z k kz z ∆
即,0)]31)(31)(41()31[(162
2
2
≥-+--+k k k k z ,0162
>z 0)]31)(31)(41()31(2
2
≥-+--+∴k k k k
即.0)6191)(6191()31(≤+---
+k k k k 解得：，k 3
1
6191-≤≤-或.6
19
10+≤
≤k 同理，由0>∆，得0)91(4)124()41(2
2
2
2
>-+++-k z y kz z y k ，对任意实数y 都满
足的充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧<---+=''>-.
0)91(4)41(4)124(,
0412
2222
k z k kz z k ∆解得.031<<-k
综合以上，可得k 的取值范围是：
.6
19
16191+≤≤-k 由此可得
.619
193261912
22+≤++++≤-z y x yz xz xy 即所证不等式成立.
3、设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有
性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.
（1989，第30届IMO 试题6）
【证明】设A 为不具有性质P 的排列的集合，B 为具有性质P 的排列的集合，显然
)!.2(||||n B A =+为了证明||||B A <，只要得到)!2(2
1
||n B >
就够了.使作容斥原理. 设(n x x x 221,,, )中,k 与n k +相邻的排列的集合为.,,2,1,n k A k =则
,)!12(2||-=n x A k ,1,)!22(2||2n j k n x A A j k ≤<≤-=⋂由容斥原理得
)!22(4)!12(2||||||2
11-⋅⋅--⋅⋅=⋂-
=∑∑≤<≤=n C n n A A
A B n n
j k j k
n
k k
=)!22(2)!22()1(2)!2(-⋅⋅=-⋅--n n n n n n n )!2(2
1
)!22(2122n n n n =-⋅-⋅
> 4、（普特南竞赛题）求方程||1r
s
p q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.
解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设2p =，|2|1r
s
q -=，即21r
s
q -=±。

若21r
s
q =+，从余数去讨论，3(mod 4)q ≡，s 为奇数。

1
2
21(1)(1)r s s s q q q
q
--=+=+-+
+，所以1
2
12
1212
r
r s s q q q --⎧+=⎪⎨-+
+=⎪⎩，
()1111(1)2211222s
r sr s r r r s s -=-+=-+
+，
提取公因数，有()
1111
(1)(2)2211222s
r r s r s r r s s --⎡⎤=-+=-++⎣
⎦，从奇偶性可以看出这种
情形方程无解。

21r s q =-为偶数，注意到1
221(1)(1)r s
s s q q q
q --=-=-++
+。

12
121212r r s s q q q --⎧-=⎪⎨++
+=⎪⎩，(
)
1
1111(1)21221122(1)22s
r sr s r r r r s s s s --=+-=++
+-+，
令2u s v =，(
)
11
111(1)2122112
2(1)22s
r
sr s r r u r r u s v s v --++=+-=+++-+，
观察最后两项，只能11r =， 3q =， 2s =，从而3r =
综上，考察到对称性，原方程恰有两组解： 3,
2,
2,3,2,3,3. 2.
p p q q or r r s s ==⎧⎧⎪⎪==⎪
⎪
⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩。