全国高中数学联合竞赛模拟试题及答案
(完整word版)No.42全国高中数学联合竞赛模拟试题
第-1项No ・42咼中数学联赛模拟试卷一、填空题：本大题共 8小题，每小题8分，共64分•把答案填在横线上•1.方程 log x sinx22在区间(0,—］上的实根个数为28 ( 1)n 1的前n 项和为S n ，则满足不等式34•圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆 内一共有 __________________ 个交点.5•一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在 n次爬行后恰好回到起始点的概率为 ____________________ .6.设0是平面上一个定点，A ， B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuu OP uurAC uur |AC|uun OA uuu AB 甘出 -tu*4，其中|AB|[0,)，则点 P 的轨迹为•7.对给定的整数 m,付号 (m)表示1,2,3中使m (m)能被3整除的唯一值，那么一2010一2010〜、 —2010 亠、(2 1)(2 2) (28•分别以直角三角形的两条直角边 a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的2 2 2体积依次为 V ，V b ，V c ，则V a V b 与(2V c )的大小关系是 ____________________________ . 二、解答题：本大题共 3小题，共56分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本小题满分16分)是否存在实数a ，使直线y ax 1和双曲线3x 2 y 2 1相交于两点 A 、 B ，且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.设数列 |S n 6| —的最小整数 n 是1253•已知n ( n 2 )是常数，且X i ， X 2，L ， X n 是区间0_内任意实数，则函数 ，2f(x ,,sin X n cos X i 的最大值等于2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3，满足对任意的整数x , y ,若|x y| 2,3,5，则f(x) f(y).3.（本小题满分20分）设非负实数a，b ，c满足a b c 1 ，求证：9abc ab be ca 1(1 9abc)第-2项第-3项间（%］上有且只有一个实根.2 .23 ^ ab 宁，2 2 2sin x 2 cos x 3 L sin 人(sin 2 为 cofxj (sin 2x 2 cos x ?) L (sin 2 x n cos x n )2、填空题 1•设 f（X ）又 0 In —2 参考答案1 log x sin x 2，贝U f (x)cosx , v 0 x2xln21 , • f （x ） 0，即在区间（0,—］上单调递增,2 故方程 ,• 0 cosx 1 ,2log x sin x 2 在区 ~22.易知数列 8(i)n 1 是首项是8 ,3比数列，S n18[1 ( -)n ]汁61篇16( 3T ，于是 |S n6|1 1252 3n 1 * 11253n 1 250 ,35 243 250, 36729 250，故最小整数7.••• f(^,X 2 丄,X n ) sin % cosx 2 sin x 2 cosx 3sin x n cos^.2 2sin % cos x 25.2n 2( 1)n 3 2n 设第k次到达2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3，满足对任意的整数x , y ,点A为事件D,从点C到点A为事件E,则An=B n-1*D+C n-1*E,则（顺便说明一下：A是出发点）第-4项2第-5项户(&$ =冋酩帀+瓦寸E) = /熄可-F[P) +尸亿空1) r (£) */ F (爲7) = HP) = n =豆九T - +G — => F (0I )-扣-~尸｛九 i)i-T£O*/ ^(-\) = (J尸:气J ---巩九〕=§ETC 广uuu 6. •/ OPuuur AC uuur |AC|uu u OAuuu AB uuu , I ABI uuu ••• OP uu u OAuuu (AB (uuu I AB|uiur AC 、 -utu^), |AC|uuu 即APuuu ABuuu |AB| uuurAC ) uuur ) I AC |uuu AB 又 uuu |AB|uuur AC uiur |AC|为单位向量，由向量加法的平行四边形法则,知点P 的轨迹为BAC 的平分线.7•由二项式定理知,22010 41005 (31)1005 3p 1,即 22010被3除余1,• (22010 1)3, (22010 2) 1(220103) 2 2010八故(2 1) 2010 2010(2 2) (23) 6.8. I V a 2V b 2(-b 2a)2(- a 2b)22-a 2b 2(a 2 b 2)22i 2 2a b c ,9(2V c )2 (2 -h 2(a3b))2斗浮)4c 29 c4-4a b c•作商，有V(2V c )24c 4a 2b 2z 22\2(a b ) 4a 2b 2(2ab)2 4a 2b 21，故 V a 2V b 2 (2V c )2.二、解答题9•解：设交点A、B 的坐标为A（X i，yJ、B（X2』2），由3x2 ax2y1消去y，得1(3 a2)x2 2ax 2 0,2a2，由韦达定理，得x< x22，①3 a2第-6项2第-7项•- x1x2y』20,即x1x2(ax11)(ax2 21) 0,整理，得(a 1)X1X2 a(x1 X2) 1 0 ③1 a2d将①②代入并化简 2 0, • a 1 ,3 a2经检验，a 1确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.10.证明：假设存在这样的函数f，则对任意的整数n，设f(n) a , f (n 5) b，其中a,b 1,2,3 ，由条件知a b.由于|(n 5) (n 2)| 3，|n (n 2)| 2，••• f (n 2) a 且f(n 2) b ,即f(n 2)是1,2,3除去a , b后剩下的那个数，不妨设f(n 2) c又由于|(n 5) (n 3)| 2, |n (n 3)| 3, • f(n 3) f (n 2).以n 1 代替n，得f(n 4) f (n 3) f (n 2)，但这与| (n 4) (n 2) | 2 矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数f•11.证明：先证左边的不等式.••• a b c 1,• ab bc ca (ab bc ca)(a b c) a2b ab2 b2c bc2 a2c ac2 3abc6abc 3abc 9abc或者ab bc caabc(--a b丄），只证c1 1a b1c9用排序或者1的代换易证。
(完整word版)No.30全国高中数学联合竞赛模拟试题
No.30 高中数学联赛模拟试卷1、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________。
2、991715131+⋯+++=s 的整数部分是 。
3、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离分别记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，则=+++4321PP PP PP PP 。
4、在三棱锥ABC S -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，4==SB SA ，6=SC , 在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四面体都相切的球，则此球的半径=R .5、若⎩⎨⎧<≥+=0,1,0,1)(x x x x f 则)2(cos f = 。
当)2,0[π∈x 且满足1)(sin cos >+x f x 的x 的集合为 。
6、已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______。
7、双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于 。
8、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值9、证明圆222)()(r b y a x =-+-的两条互相垂直的切线n m ,的交点P 的轨迹方程是2222)()(r b y a x =-+-。
10、密码员王超设计了一种给自然数编码的方法：（1）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）（2）再将五进制中的5个数码与集合}{Z Y X W V ,,,,中的元素建立一个一一对应，后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成VVW VYX VYZ ,,求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数。
11、数列｛a n ｝的定义是：12331211,1,2,(7)n n n na a a a a a a +++====+，证明，该数列中的项都是正整数。
（德国）12、已知b a ,是正数，并且2009200920072007ab a b +=+，求证222≤+b a 。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案6
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一．选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，b n＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(| x |－1)2＋(| y |-1)2＜2的整点(x，y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253．若(log23)x-(log53)x≥(log23)y--(log53)y-，则( )(A)x-y≥0 (B)x＋y≥0 (C)x-y≤0 (D)x＋y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，( )(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定二．填空题（满分54分，每小题9分）1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．2． 已知θ＝arctg 125，那么，复数ii z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是______ ___． 3． 在△ABC 中，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，若9a 2＋9b 2-19c 2＝0，则B AC ctg ctg ctg +＝__________．4． 已知点P 在双曲线191622=-y x 上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P 的横坐标是_____．5． 已知直线ax ＋by ＋c ＝0中的a ，b ，c 是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__ ____．6． 已知三棱锥S -ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二面角H -AB -C 的平面角等于30︒, SA ＝23。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
全国高中数学联合竞赛附答案
全国高中数学联合竞赛（9月19日上午9：00～11：00）一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）若函数x x x f 2sin 2cos 811)(--=的最大值为a ，最小值为b ，则ba 1-等于（ ） （A ）18 （B ）6 （C ）5 （D ）0 （2）若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++（3）已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于（ ） （A ）2005（B ）2004 （C ）1 （D ）0（4）已知函数xx xx ee e e xf --+-=)(的反函数是)(1x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则（ ） （A ）)21,0(∈k （B ）)1,21(∈k（C ）)23,1(∈k（D ）)2,23(∈k（5）正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（ ） （A ）θγβα<<< （B ）γθβα<<< （C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<<（6）若对任意的长方体A ，都存在一个与A 等高的长方体B ，使得B 与A 的侧面积之比和体积之比都等于k ，则k 的取值范围是（ ） （A ）0>k （B ）10≤<k （C ）1>k（D ）1≥k二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1P 2P 3P AO BC4P 5P 6P（7）若关于x 的方程x ax a x =+-lg 1lg 2只有一个实数解，则a 的值等于 ．（8）在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于 ．（9）若正奇数n 不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的n 的最大值为 ． （10）设a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，且)(2)(2222n n n n n n c b a c b a ++=++，其中*N n ∈，2≥n ，则n 的值等于 ．（11）连接正文体各个顶点的所有直线中，异面直线共有 对．（12）如图，以)0,0(O 、)0,1(A 为顶点作正1OAP ∆，再以1P 和A P 1的中点B 为顶点作正21BP P ∆，再以2P 和B P2的中点C 为顶点作正32CP P ∆，…，如此继续下去．有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为21的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1=x ）上；③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是)36421,6463(； ④第2004个正三角形的不在第2003个正三角形边上的顶点2004P 的横坐标是20042004211-=x ．其中正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）已知函数a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ）的反函数是)(1x fy -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称．（Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式； （Ⅱ）若函数)()()(1x g x f x F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，求a 的取值范围．（14）设边长为1的正ABC ∆的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为1P ，2P ，…，1-n P ，若AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，求证：nn S n 62112-=．（15）已知}{n a 是等差数列，d 为公差且不等于0，1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ，设集合}|),{(*N n nS a A n n ∈=，},,141|),{(22R y x y x y x B ∈=-=，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．（Ⅰ）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上； （Ⅱ）B A 至多有一个元素；（Ⅲ）当01≠a 时，一定有∅≠B A ．全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）D 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分） （7）100 （8）55（9）17 （10）4 （11）174 （12）①②③④ 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）【解】（Ⅰ）由a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ），得)3(log )(1a x x fa -=-…………5分又函数)(x g y =的图象与函数)(1x fy -=的图象关于点)0,(a 对称，则)()(1x a f x a g --=+-，于是，)(lo g)2()(1a x x a f x g a---=--=-．（a x -<）…………………………………10分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，有)(log )3(log )()()(1a x a x x g x fx F a a -+-=--=-．要使)(x F 有意义，必须⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x又0>a ，故a x 3>． (15)分由题设)(x F 在]3,2[++∈a a x 上有意义，所以a a 32>+，即1<a ．于是，10<<a ． ……………………………………………………………………… 20分14．【证明】如图，设c AB =，b AC =，a BC =， 令n=1，则p k c BP AB AP k k +=+=（0=k ，1，2，…，n ） 其中，AP =0，AP n =． ∴)(])1([1p k c p k c AP AP k k +⋅-+=⋅-22)1()12(k k k -+⋅-+=（0=k ，1，2，…，n ） ……………5分又∵AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ， ∴2112)]1([)]12([p k k p c k c n S nk n k n ∑∑==-+⋅-+=222)(3)1)(1(n n n n n n -++⋅+= ……………………………………………10分22222231)(31)(nn n n n n n n n n -+⋅+=-+⋅+=． ………………………15分又∵1||||||===，与的夹角为60，∴nn n n n n S n 6211312122-=-++=． ……………………………………………………20分15．【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列}{n a 中，2)(1n n a a n S +=，所以，21nn a a n S +=． 这表明点),(nS a n n 的坐标适合方程)(211a x y +=．所以，点),(nS a n n 均在直线)(211a x y +=上． ……………………………………………5分 （Ⅱ）正确．设B A y x ∈),(，则),(y x 坐标中的x 、y 应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14,2121221y x a x y 的解． 解这个方程组，消去y ，得42211-=+a x a ．（﹡）当01=a 时，方程（﹡）无解，此时，∅=B A ． …………………………………10分当01≠a 时，方程（﹡）只有一个解12124a a x --=，此时方程组也只有一个解，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.44,24121121a a y a a x 故上述方程组至多有一解，所以B A 至多有一个元素． ………………………………15分（Ⅲ）不正确．取11=a ，1=d ，对一切*N n ∈，有0)1(1>=-+=n d n a a n ，0>nS n． 这时集合A 中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于011≠=a ，如果∅≠B A ，那么根据（Ⅱ）的结论，B A 至多有一个元素（00,y x ），而025241210<-=--=a a x ，043441210<-=-=a a y ．这样的A y x ∉),(00，产生矛盾．所以，11=a ，1=d 时，∅=B A ，故01≠a 时，一定有∅=B A 是不正确的． ……………………………………20分。
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。
）。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。
）。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。
）。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。
）。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。
）。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。
）。
A。
807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。
）。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。
）。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。
）。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。
2023年全国高中数学联合竞赛模拟题
2023年全国高中数学联合竞赛模拟题一、概述在当今社会，数学作为一门重要的学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力起着至关重要的作用。
为了提高学生的数学素养，促进学生对数学知识的掌握和运用，全国高中数学联合竞赛应运而生。
作为高中生的数学盛会，全国高中数学联合竞赛一直备受关注，并在各个学校开展。
今天，我们将一起来看看2023年全国高中数学联合竞赛的模拟题目，让我们共同来加深对于数学的理解和探索。
二、单选题1. 若函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$，则$f(f(x))$的定义域是？A. (-∞, -1)∪(1,+∞)B. (-∞, -1)∪(1,+∞)C. (-1, 0)∪(1,+∞)D. (-1, 1)∪(1,+∞)2. 已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，则集合A∪B的基数为？A. 5B. 6C. 7D. 83. 若一个球从100米高的地方自由下落，每次弹跳后弹起的高度是下落前的0.8倍，则它第6次落地时共经过的距离是多少米？A. 460B. 500C. 548D. 6004. 已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，$a_6=18$，则$a_{15}$的值为多少？A. 48B. 51C. 54D. 575. 若$\sin{2x}=\frac{1}{2}$，则$\cos{2x}$的值等于？A. -$\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$C. -$\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\frac{1}{2}$三、填空题1. 若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2$的值为______。
2. 若$|x-1|<3$且$|x+2|<4$，则$x$的取值范围为______。
3. 若函数$f(x)=x^2+3x-4$，则$f(-2)$的值为______。
4. 若$\log_{10}a-2\log_{10}b=3$，$a-2b=80$，则$a$和$b$的值分别为______。
全国高中数学联合竞赛(含答案)
全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且只有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1.函数()142-+=x x x x f 是（ ） （A ）是偶函数但不是奇函数 （B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数也不是偶函数2. 已知()x f 对任意整数x 都有()()22-=+x f x f ，若()20030=f ，则()2004f =（ ）（A ）2002 （B ）2003 （C ）2004 （D ）20053. 已知不等式()θθ222sin 45cos +-+m m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）0≤m ≤4 （B ）1≤m ≤4 （C ）m ≥4或m ≤0 （D ）m ≥1或m ≤0 4. 母线长为6的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45. 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为（ ）（A ）23 （B ）34 （C ）43 （D ）32 6. 函数x x x y cos sin cos 23-+=的最大值等于（ ）（A ）2732 （B ）2716 （C ）278 （D ）274 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 已知函数()x xx f 22333+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1011010121011f f f = . 8. 不等式22-x ≤12+x 的解集为 .9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 个.10. 若0<a ，b ，c <1满足1=++ca bc ab ，则cb a -+-+-111111的最小值是 . 11. 已知正四棱锥V －ABCD 的棱长都等于a ，侧棱VB ，VD 的中点分别为H 和K ，若过A 、H 、K 三点的平面交侧棱VC 于L ，则四边形AHLK 的面积为 .12. 已知a 、b 、x 是实数，函数()122+-=ax x x f 与函数()()x a b x g -=2的图象不相交。
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全国高中数学联合竞赛模拟试题第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A.6π B.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R M N ∈≠∅均有，则b 的取值范围是（ ）A. 22⎡-⎢⎣⎦B. 22⎛- ⎝⎭C. (33-D. 33⎡-⎢⎣⎦3、3121log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A.3B.3C.3D.3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
9、如图、正方体1111ABCD A BC D -中， 二面角11A BD A --的度数是____________。
10、设p 是给定的奇质数，正整数k也是一个正整数，则k=____________。
11、已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1ni oia =∑的值是_________________________。
12、在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。
问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。
抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。
）B14、在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。
15、已知,αβ是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数22()1x tf x x -=+的定义域为[],αβ。
（Ⅰ）求()max ()min ()g t f x f x =-； （Ⅱ）证明：对于(0,)(1,2,3)2i u i π∈=，若123sin sin sin 1,u u u ++=123111(tan )(tan )(tan )g u g u g u ++<则参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，故216cos 4cot 0θθ∆=-=0,4cot (2sin 21)02πθθθ<<∴-= 得1sin 22θ=52266ππθθ∴==或，于是51212ππθ=或。
故选B 。
2、解：M N ≠∅相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,322b b ∴≤∴-≤≤。
故选A 。
3、解：原不等式等价于22331log 0222log 10x x ++>⎪-≥⎩ 2310,220t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪≥⎩则有 解得01t ≤<。
即20log 11,24x x ≤-<∴≤<。
故选C 。
4、解：如图，设D ，E 分别是AC ，BC 边的中点， 则2(1)2()4(2)OA OC OD OB OC OE+=+=由（1）（2）得，232(2)0OA OB OC OD OE ++=+=，即OD OE 与共线， 且332||2||,322AEC ABC AOC AOC S S OD OE S S ∆∆∆∆⨯=∴=∴==， 故选C 。
5、解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0。
即,,{1,2,...,9}a b c ∈（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199n C ==。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码。
设为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有292C 。
但当大数为底时，设a>b ，必须满足2b a b <<。
此时，不能构成三角形的数码是共20种情况。
同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有23C 种情况。
故2222399(220)6(10)156n C C C =-=-=。
综上，12165n n n =+=。
6、解：,,,AB OB AB OP AB PB OH PB ⊥⊥∴⊥⊥又,,PAB POB OH HC OH PA ∴⊥∴⊥⊥面面。
C 是PA 中点，OC PA ∴⊥HOC HO HC S ∆∴=当时最大，也即O HPC P HCO V V --=最大。
此时，,30tan303HO OP HPOOB OP=∴∠=∴=⋅=1故HO=2，故选D。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：1()),arctanf x axaϕϕ=+=其中，它的最小正周期为2aπ，振幅为。
由()f x的图像与()g x的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2aπ。
8、解：,,(1)()()()2,x y R f xy f x f y f y x∀∈+=--+对有(1)()()()2f xy f y f x f x y∴+=--+有∴()()()2f x f y f y x--+=()()()2f y f x f x y--+即()(),0,()1f x y f y x y f x x+=+==+令得。
9、解：连结1,D C⊥1作CE BD，垂足为E，延长CE交1A B于F，则1FE BD⊥，连结AE，由对称性知1,AE BD FEA⊥∴∠是二面角11A BD A--的平面角。
连结AC，设AB=1，则11AC AD BD===1Rt ABD∆在中，11AB ADAEBD⋅==在22222242213cos42223AE CE AC AE ACAEC AECAE CE AE-+--∆∠====-⋅中,120,AEC FEA AEC∴∠=∠∠而是的补角，060FEA∴∠=。
B10、解：*22,,0,n n N k pk n k =∈--==则从而224p n +是平方数，设为2*2,,(2)(2)m m N m n m n p ∈-+=则22212123,,214p m m n p p m n p p n ⎧+=⎪-=⎧⎪≥∴⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩是质数，且解得222(1)(1),244p m p p p k k ±±++∴===故。
（负值舍去）11、解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。
()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。
12、解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为 S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足222(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)P P -和，而过点M ，N ，'p 的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。
（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652⨯>⨯<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n已不可能。
即这是一个不可能事件，过关的概率为0。
所以最多只能连过4关。
.......5分（Ⅱ）设事件n A 为“第n 关过关失败”，则对立事件n A 为“第n 关过关成功”。