互逆离散数学及其应用(周训伟著)思维导图
初一七年级下册数学各章节思维导图知识点汇总，开学提前看！
初一七年级下册数学各章节思维导图知识点汇总，开学提前看！数姐说今天，给大家整理了初中数学的全部知识点、考点+详细解题技巧，大家可以根据列出来的考点进行自我检测，初三的同学可以作为复习材料，初一初二的小伙伴可以先复习学过的知识，了解还没有开始学的知识。
转给需要的人！（点击查看大图，文末可下载电子版）一、相交线两条直线相交，形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
如：∠1、∠2。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
如：∠1、∠3。
③对顶角相等。
二、垂线1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1．同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如：∠1和∠5。
2．内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如：∠3和∠5。
3．同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如：∠3和∠6。
初中数学思维导图150张全汇总!涵盖全年知识点!
初中数学思维导图150张全汇总！涵盖全年知识点！思维导图到底是什么？思维导图只是一种信息的组织方式而已，主要强调以图形的方式，表达各级主题之间的层级关系。
我们不该把思维导图当做灵丹妙药，也不用把它斥为骗局，它只是一件工具。
初中数学思维导图全集数学思维导图就是用于学习思考的思维“地图”，它是一种非常有效的记忆模式，他就像以一条线连接着各个知识点，贯穿式的记忆。
书按照每章、每节1张或多张思维导图的布局，共29章，绘制了150张思维导图。
本书旨在帮助初中同学们更好地学好数学，特别是在中考备考时更好地梳理知识，提高学习效率和考试成绩，实现自己的人生梦想。
《初中数学思维导图全集》数学思维导图是由中心发散的条理结构，层次分明、条理清晰直观地展示出所要表达的所有内容，顺势刺激思维的拓展和思考。
思维导图是由关键词之间组成的一张图，符合人类的视觉习性，关键词之间的联想机制符合人类思考习惯。
不断的开发大脑各类智慧，从而帮助大脑释放更多潜能。
初中物理思维导图全集初中物理思维导图这本书是以人民教育出版社出版的最新初中物理教材为依据编写的思维导图集。
这本书按照每章、每节1张或多张思维导图的布局，共22章，绘制了109张思维导图。
思维导图是有效的思维模式，应用于记忆、学习、思考等的思维“地图”，有利于人脑的扩散思维的展开。
《初中物理思维导图全集》物理思维导图能够改变你的观察方式，并非成为知识存储海绵，记录转瞬即逝的创意和思想片段，利于调动你的听觉、触觉、嗅觉从而能够更好的捕捉事物的细节，统筹全局。
初中化学思维导图全集它按照每章、每节1张或多张思维导图的布局，共12个单元，绘制了99张思维导图。
旨在帮助初中同学们更好地学好化学，特别是在中考备考时更好地梳理知识，提高学习效率和考试成绩，实现自己的人生梦想。
《初中化学思维导图全集》化学思维导图的最大优势，就是可以模拟人类大脑的发散性思维方式，把进入大脑的每一条信息、感觉、记忆或思想都作为一个思维分支表现出来。
左孝凌离散数学3.7-复合关系和逆关系PPT课件
算应改为布尔加和布尔乘。
例6
设
M
1和
M
是两个关系矩阵
2
1 0 0
M
1
0
0
0 1
1
0
1 0 0
M 2 0
1
0
1
0
0
1 0 1
1 0 0
则
M
1
M
2
1 0
0 1
1
0
2021/1/17
1
-ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
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• 复合关系的关系矩阵
定理3.5.5 设A、B、C均是有限集， R 1 是一由A 到B的关系, R 2 是一由B到C的关系，它们的关系
R 1 R 2 { 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 3 ,2 , 4 , 1 }
234
123
12 3
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
M
R1
2 3
0
0
0 1
1
0
M R 2 3 0 4 1
1 0
0 1
M R1 R2
2 1 3 0
0 1
1
0
4
1
0
0
矩阵分别为 M R1 和 M R2 ，则复合关系 R1 R2 的
关系矩阵
MR1R2 MR1MR2
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例7 设有集合A{1,2,3,4，} B{2，,3,4} C{1,2,3}
A到B的关系 B到C的关系 则
R 1 { 1 ,2 ,2 ,4 ,3 ,3 ,4 ,2 }
R 2 { 2 ,1 ,3 ,2 ,4 ,1 ,4 ,3 }
离散数学(3.7复合关系与逆关系)
张捷
1
第三章
集合与关系
（Sets and Relations)
3.1 集合及其运算(Sets & Operations with sets) 3.2 序偶与笛卡尔积(Ordered Pairs & Cartesian Product) 3.3 关系 (Relations) 3.4 关系的性质(The Propeties of Relations) 3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations & Inverse Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations)
3 0 0 1 0 4 1 2 1 0 0 M 3 1 4 1 0 0
2
2 1 1 2 0 M 1 3 0 4 1
2 3
0 0 1 0 M 1 2 0 1
1 1 1 2 1 3 0 4 1
2 3 0 0 0 1 1 0 0 0
n 经 过 长 为 n 的 路 能 够 到 达 的 结 点 ， 这 些 结 点 在
的关系图构造出 的关系图： 的 关系 图 中 的 每 一 结 ，找出 a点 ai从 i 指向它们。
的关系图中，边必须由 ai
例10 试利用构造 2和 3。
n （3）利用关系图求复合关系
设 是有限集A上的关系，则复合关系 2 也是A上的关 系，由复合关系的定义，对于任意的 ai , a j A ，当且仅 当 ak A 存在，使得 ai ak ， ak a j 时，有 a 2a 。 反映在关系图上，这意味着，当且仅当在 的关系图 ak 中有某一结点 ak 存在，使得有边由 a i 指向 ak ，且有 2 j 边由 指向 时，在 的关系图中有边从 aa ai 指 a j a k j 向 。 2
复合关系、逆关系ppt课件
R6={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<a,a>},
R7 =
反自反，对称，反对称 ，传递
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第二部分 集合论
定义
自反性
xA,有 <x,x>R
反自反性
xA,有 <x,x>R
集合 关系 矩阵
IAR
主对角线 元素全是1
R∩IA= 主对角线元 素全是0
关系 图 每个顶点
都有环
每个顶点都 没有环
对称性
二元关系元关系r复合运算运算rr复合关系复合关系逆关系逆关系矩阵与图矩阵与图23b离散数学高等数学大学物理大学英语体育课c吃饭睡觉打豆豆变成豆豆a周一上午周二下午周三下午周四上午周五下午rs周一上午吃饭周二下午睡觉周三下午打豆豆周四上午睡觉周四上午打豆豆r周一上午大学英语周二下午离散数学周三下体育课周四上午离散数学周四上午大学物理s大学英语吃饭离散数学睡觉体育课打豆豆大学物理打豆豆高等数学变成豆豆复合关系复合关系逆关系逆关系运算性质运算性质矩阵与图矩阵与图24社交的六度分割原理
1
第一部分 数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、 满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
D={<x,y>|xNyNx|y} (整除关系)
离散数学ch8[2]函数的复合与反函数PPT课件
![离散数学ch8[2]函数的复合与反函数PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/c97764ac866fb84ae45c8dbb.png)
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单侧逆函数:存在的充要条件
集合X 集合X
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集合Y 集合Y
满射f(x)
g(y)
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单侧逆函数:存在的充要条件
函数f存在逆函数的充要条件是函数f是双射
证明： 设f: X→Y, 必要性： 若f是双射，由逆函数引理知，逆函数存在。 充分性： 若函数f存在逆函数f-1,则由逆函数性质知，
f-1ºf=Ix,fºf-1=Iy。 ∴f有左，右逆元，由2知，f是既满又单，
∴f是双射函数。
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置换:定义
置换
设 X={x1,x2,...,xn}是一个有穷集合。 从集合 X 到 X 的双射函数， 称为集合 X 中的置换或排列， 并记作 p:XX。 集合 X 的基数|X|=n 称为置换的阶。
∴gºf是函数。
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复合函数:复合函数性质
性质：
a)若g，f是满射，则gºf是满射。
b)若g，f是单射，则gºf是单射。
c) 若g，f是双射，则gºf是双射。
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复合函数:复合函数性质
性质：
a)若g，f是满射，则gºf是满射证明：
设f: X→Y, g:Y→Z, 则gºf:X→Z，
单侧逆函数
单侧逆函数
设f: X→Y,g:Y→X, 如果gºf=Ix,则称 g是f的左逆元（左逆函数），
f是g的右逆元（右逆函数）。
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单侧逆函数:存在的充要条件
左逆函数，右逆函数存在的充要条件
a) f有左逆元当且仅当f是单射。
b) f有右逆元当且仅当f是满射。
高中数学总复习知识点分类网络结构图(大全·精华)教学文稿
空间向量数量积运算律
①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r
r
r
r
r r
②a b b a ⋅=⋅r r r r
（交换律）
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r
（分配律）④e ⋅a = a ⋅e =|a |cos ,a e
⑤a
b
a ⋅
b = 0⑥当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b =
|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或||a a a =⋅⑦cos ,||||
a b
a b a b ⋅=
⑧|a ⋅b | ≤ |a ||b |
排列组合概率统计排列组合
二项式定理
概率
随机变量
统计初步
排列组合概率
统计的应用
加法原理与乘法原理
排列
组合
排列组合综合题
二项式定理
二项式系数性质
随机事件与概率
互斥事件其一发生概率
相互独立事件同时发生概率
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的期望与方差
抽样方法
总体分布的估计
正态分布
线性回归
排列组合概率统计的应用。
高考零距离突破数学-14
第十四章 排列、组合和二项式定理思维导图 透析经典的大讲堂复习指导 自我精准定位本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论和组合数学所必备的基础知识.从考试要求看，该部分主要考查：一是加法原理与乘法原理，二是排列与组合的概念和应用，三是考查二项展开式、通项公式以及二项式系数的性质、赋值法求系数的和，四是组合数性质的应用.近几年考查题型都以填空题的形式出现，且延续了常规基础的特点，方法近乎模式化，但正是因为涉及丰富多样的数学解题方法，在复习中更要注重基础知识和基本技能的掌握.对于本章复习，要注意以下四点：1.充分理解加法原理与乘法原理两个概念，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识.在对应用题的考查中，经常要运用两个原理对问题进行分类或分步分析求解.灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键.2.排列、组合也是本章的两个主要概念，定义中从n 个不同元素中任取()M M n ≤个元素“按一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序组成一组”是有本质区别的.只有全面、正确把握，才能正确区分是排列问题，还是组合问题.具体解决手段是取出2个元素交换看结果是否有变化.掌握排列与组合要以实际问题为载体，复习时多理解和总结各种题型和方法，解题时加强数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法的渗透.3.对于二项式定理，首先要掌握二项展开式与通项公式，其次会求解二项展开式中的指定项，再次能区分二项式系数与某一项的系数，并会求解相关问题，根据题目要求求解出二项式系数和或系数和（赋值法），最后要对二项式系数的性质（组合数性质）有所了解.虽然公式一般都能记住，但与之相关的概念如二项式系数、系数、常数项、项数等，容易混淆，须在平常加以对比分析，对通项公式重点训练.公式应用上要注意：①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项随之确定；②公式表示的是第1r +项；③公式中,a b 的位置不能颠倒，它们的指数和为n ；④r 的取值从0到n ，共1n +个.4.本章内容方法独特灵活，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养.二项式定理的推导依赖于组合数的性质，在诸如证明整除性问题、幂的近似计算方面的应用，不能忽略.第53讲 加法原理和乘法原理回归教材理清脉络的解牛刀 知识梳理1.加法原理做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种方法，那么完成这件事共有12N m m =+++n m （种）不同的方法.2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，……，做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅（种）不同的方法.3.加法原理与乘法原理的区别加法原理和乘法原理，回答的都是有关做一件事的不同的方法计数的问题.区别在于：加法原理针对分类的问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事情；乘法原理针对分步的问题，各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事. 基础自测1.张叔叔要从上海到杭州去开会，现在知道每天从上海到杭州有3趟不同的火车，5趟不同的汽车，还有2班不同的飞机.那么，张叔叔在一天中从上海去杭州共有种不同的去法.2.书架上有4本故事书、7本科普书，小华从书架上任取一本故事书和一本科普书，一共有 种不同的取法.3.[改编题]高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）A.16种B.18种C.37种D.48种4.[改编题]设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是（ ）A.360种B.480种C.720种D.240种5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（ ）A.6种B.8种C.36种D.48种考点突破 释难答疑的金钥匙 考点 加法与乘法原理重点阐述加法原理和乘法原理是理解排列与组合的概念、推导排列数公式与组合数公式、分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据.难点释疑应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”:n 类办法，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，用分类计数原理（即加法原理）；如果完成一件事情需要分几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，用分步计数原理（即乘法原理）.在应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性与等效性；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间的连续性.例1 如图，在44⨯的方格图中，共有多少个正方形？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】设方格的边长为1，则在横线与纵线上，长为1的线段各有4条；长为2的线段各有3条，长为3的线段各有2条，长为4的线段各有1条.我们可以按照正方形边长进行分类，然后根据加法原理求和.边长为1的正方形有4416⨯=（个），边长为2的正方形有339⨯=（个），边长为3的正方形有224⨯=（个），边长为4的正方形有111⨯=（个），1694130+++=（个），∴共有30个正方形.变式训练把一个正方体的表面用黑、白两色来涂，每面有且只有一种颜色，共有多少种不同的涂法？例2 在平面直角坐标系内，点(),P x y 的横、纵坐标均在{}0,1,2,3内取值.（1）不同的P 点共有多少个？（2）在坐标轴上的P 点共有多少个？（3）不在坐标轴上的P 点共有多少个？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】（1）确定点P 坐标必须分两步，即分步完成横坐标与纵坐标的确定：第一步确定横坐标，有4种方法，即从0,1,2,3四个数字中选一个；第二步确定纵坐标，也可从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法.根据乘法原理，所有不同的P 点个数为4416N =⨯=（个）.（2）因为坐标轴分横轴及纵轴，所以首先对点P 分类讨论.注意到原点的特殊性，应分三类：第一类，点P 横、纵坐标均为0，只有一种情况()0,0P ；第二类，点P 横坐标为0，纵坐标不为0，纵坐标只能从1,2,3三个数中取，共有3种情况； 第三类，点P 纵坐标为0，横坐标不为0，同第二类,也有3种情况.根据加法原理，满足条件的点P 共有：1337N =++=（个）.（3）方法一：直接法.分两步分别确定横坐标与纵坐标，它们只能从1,2,3三个数字中取，各有3种情况，根据乘法原理得339N =⨯=.方法二：间接法.根据是否在坐标轴上分成两类讨论：第一类，点.P 在坐标轴上，由（2）知，共有7个；第二类，点P 不在坐标轴上，设为x 个.则x +716,9x =∴=.变式训练如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9例3 现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.∴共有不同的选法7891034N =+++=（种）；（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.∴共有不同的选法789105040N =⨯⨯⨯=（种）；（3）分六类，每类又分两步.从一、二班学生中各选1人，有78⨯种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79⨯种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710⨯种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89⨯种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810⨯种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910⨯种不同的选法.∴共有不同的选法787971089810910431N =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（种）.变式训练六年级有4名大队委员，五年级有3名大队委员，四年级有2名大队委员.（1）从三个年级的大队委员中任选1人为大队长，共有多少种不同的选法？（2）从个年级的大队委员中各选出一名组成值日小组，共有多少种不同的选法？解决弱项查漏补缺的聚焦筒弱项清单加法原理和乘法原理混淆不清，弄不清是“分步”还是“分类”.诊断与改进体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）A.14种B.7种C.24种D.49种 【参考答案】D【试题分析】本题考查加法与乘法原理，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步”，求“该学生进出门的方案种数”.由加法原理，得学生进门有437+=种选择，同样的，出门也有7种选择.由乘法原理，得该学生进出门的方案共有7749⨯=种.故选D.【答题分析】本题难度简单，学生掌握加法与乘法原理即可求解.A 选项.学生认为进门有7种方案，出门有7种方案，根据加法原理，得进出门的方案有14种，选A 错误的原因是学生混淆乘法原理与加法原理，乘法原理为分步乘法原理，加法原理为分类加法原理，本题中问题分两步，第一步进门，第二步出门，应该用乘法原理，不能用加法原理，14种方案中每一种方案（比如从7个门中的某个门进门）不能完成事件.B 选项，学生认为南侧有4个大门，北侧有3个大门，故有7个门，进而选B.选B 错误的原因是学生没有审清题意，题目要求求出进出门的方案总数，而非体育场有多少门.C 选项，学生认为方案类型一从南侧的4个大门进，从北侧的3个大门出，12种方案，类型二，从北侧的3个大门进，从南侧的4个大门出，也是12种方案，运用加法原理得，共24种方案.选C 错误的原因是考虑不周全，其实也可以从南侧的4个大门进，再从南侧的4个大门出；从北侧的3个大门进，从北侧的3个大门出.课堂训练 学以致用的训练营1.有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 种不同的报名方法.2.一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的种数是 种.3.已知集合{}1,2,3,4M =，集合,A B 为集合M 的非空子集，若对x A ∀∈，,y B x y ∈<恒成立，称（,)A B 为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有 个.4.如图，矩形的对角线把矩形分成,,,A B C D 四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有 种不同的涂色方法.5.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为,,x y z ，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”（如341），则从集合{}1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数是个.课堂小结 知识归纳总结 1.在解决具体问题时，必须注意适用“分步”还是“分类”，同时要注意分步、分类不能重复和遗漏.2.运用乘法原理分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准.分步时要满足一个基本要求：完成一件事必须连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成.3.运用加法原理分类时，也要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类.分类时还要满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的办法，即各种方法既不重复、又不遗漏.4.重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重转化与化归思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易.5.本讲涉及的数学思想主要是分类讨论.在运用加法原理时，常常会先分类再计算，如例1、例2、例3的解题过程都运用了分类讨论的数学思想.第54讲 排列与组合回归教材理清脉络的解牛刀 知识梳理1.排列数与组合数的区别与联系排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别.（1）排列数公式：()()()()!P 121!m n n n n n n m n m ⎡⎤=----=⎣⎦-；当m n =时，()P 121m nn n n =-⋅⋅⋅=!，其中*,,m n m n ∈≤N ；规定0!1=. （2）组合数公式：()()()()121P !C !!!P m m nn m m n n n n m n m m n m ⎡⎤----⎣⎦===-. 2.排列数与组合数的性质（1）排列数性质：11111P ,P 1,P !,P P n m m n n n n n n n --====.（2）组合数性质：10011C C ,C C C ,C 1,C 1,C 1m n m m m m n n n n n n n n --+=+====.基础自测1.[改编题]若255C C x =，则x = .2.若排列数7P 7654m =⨯⨯⨯，则m =. 3.[改编题]在一次活动中，从十位同学中选出四位同学排成一排，则不同排法的种数是（结果用数字作答）.4.[改编题]从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（结果用数字作答）.5.[改编题]用0到9这10个数字组成没有重复数字的三位偶数和三位奇数，则这样的偶数与奇数的总个数为（ ）A.324B.328C.360D.648考点突破 释难答疑的金钥匙 考点 排列与组合重点阐述理解排列与组合的概念，理解排列数公式、组合数公式，能利用公式解决一些简单的实际问题.难点释疑1.解决排列类应用题的主要方法（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法：即先排特殊元素或特殊位置；（3）捆绑法：即相邻问题捆绑处理的办法，也就是把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（4）插空法：即不相邻问题插空处理的办法，排列时先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（5）分排问题直接处理的方法；（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（7）定序问题除法处理的办法：即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.2.组合问题的常见题型（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.例1 [2017年上海高考]若排列数6P 654m =⨯⨯，则m = .【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列数公式.【试题分析】6P 654,m =⨯⨯∴根据排列数公式可得3m =.变式训练解下列方程：（1）4321P 140P x x +=；（2）21222C C C 0.6y y y x x x +++++==.例2 由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的数：（1）能组成多少个三位数？（2）能组成多少个正整数？（3）能组成多少个四位奇数？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列.【试题分析】（1）百位数字不能是0,∴百位数字的选法有16P 种，十位和个位上的数字的选法有26P 种，∴共可组成1266P P 180⋅=（个）三位数. （2）组成的正整数可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位、七位数，∴共可组成111666P P P +⋅+12131415166666666666P P P P P P P P P P 11742⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=（个）正整数. （3）个位数字只能是1,3,5，千位数字不能是0，∴先考虑个位数字，有13P 种不同的选法，再考虑千位数字有15P 种不同的选法，其余两个位置有25P 种不同的选法，∴能组成1135P P ⋅⋅25P 300=（个）四位奇数.变式训练用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为 .例3 六人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲不站左端，乙不站右端.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列问题.【试题分析】（1）方法一：（特殊元素优先策略）要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P 种站法，根据乘法原理，共有站法1545P P 480=（种）； 方法二：（特殊位置优先策略）由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P 种站法，然后中间4人有44P 种站法，根据乘法原理，共有站法2454P P 480=（种）.方法三：（正难则反总体淘汰策略）若对甲没有限制条件共有66P 种站法，甲在两端共有552P 种站法，从总数中减去不符合条件的排列数，即共有站法6565P 2P 480-=（种）. （2）方法一：（相邻元素捆绑策略）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P 种站法，根据乘法原理，共有5252P P 240=（种）站法.方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P 种方法，最后让甲、乙全排列，有22P 种方法，共有412452P P P 240=（种）.（3）方法一：（不相邻问题插空策略）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P 种站法，故共有站法为4245P P 480=（种）. 方法二：（间接法）6个人全排列有66P 种站法，由（2）知甲、乙相邻有5252P P 240=（种）站法，∴不相邻的站法有652652P P P 720240480-=-=（种）. （4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P 种，故共有24243P P 144=（种）站法. 方法二：（小集团问题先整体后局部策略）先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P 种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P 种方法，故共有232432P P P 144=（种）站法. （5）方法一：甲在左端的站法有55P 种，乙在右端的站法有55P 种，且甲在左端而乙在右端的站法有44P 种，共有654654P 2P P 504-+=（种）站法. 方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有114444P P P 种，故共有51145444P P P P 504+=（种）站法. 变式训练某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.168例4 [2020年上海高考]从6个人挑选4个人去值班，每人最多值一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，问共有种排法.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列与组合.【试题分析】第一天有16C 种选法，第二天有15C 种选法，第三天有24C 种选法，∴共有112654C C C =180（种）排法.变式训练将,,,A B C D 四个球放人编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且,A B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ）A.30种B.36种C.60种D.66种 例5 如图，使电路接通，开关不同的开闭方式有种.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/组合与加法原理.【试题分析】当第一组开关有一个接通时，电路接通为()11232333C C C C 14⨯++=（种）方式；当第一组有两个接通时，电路接通有()21232333C C C C 7⨯++=（种）方式，∴共有14721+=（种）方式.变式训练若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为.解决弱项 查漏补缺的聚焦筒弱项清单解与组合数有关的方程，没有考虑未知数本身的范围. 诊断与改进已知567117C C 10C m m m -=，求实数m 的值. 【参考答案】2【试题分析】本题考查组合数公式，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“567117C C 10C m m m -=”，求“实数m 的值”. 由已知得m 的取值范围为{}05,mm m ≤≤∈Z ∣，由()()!5!!6!5!6!m m m m ---=()77!!107!m m ⨯-⨯，整理可得223420m m -+=，解得21m =（舍去）或2,2m m =∴=.【答题分析】本题难度简单，学生掌握组合式公式即可求解.学生出现错误的主要原因有：①未掌握组合式公式；②忽略组合式公式中的隐含条件，错得两个值；③计算错误等.课堂训练学以致用的训练营1.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为.2.有,,,,A B C D E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.,A B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为.3.将10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法有 种（用数字作答）.4.[2022年杨浦一模]某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有种（用数字作答）.5.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）A.18个B.15个C.12个D.9个课堂小结知识归纳总结 1.排列与组合.排列：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序.组合：指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序.排列与组合最大的区别是是否有序.2.排列、组合问题的求解方法与技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题排除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价条件.3.解题注意点及思想方法：①分类标准要明确，做到不重复不遗漏. ②混合问题一般是先分类再分步.③要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. ④转化与化归、分类讨论思想是本节重要的思想方法.第55讲 排列与组合应用题回归教材 理清脉络的解牛刀知识梳理处理排列组合应用题的规律： （1）两种思路：直接法、间接法. （2）两种途径：元素分析法、位置分析法.（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列.弄清要完成什么样的事件是前提.（4）解题方法：捆绑法、插空法、错位法、分组分配法、均匀分组法、逆向思考法等. 基础自测1.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.2. 7把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A.144B.120C.72D.243.[改编题]将4个不同的小球放人3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ） A.43种B.34种C.18种D.36种4.[改编题]从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表的选法共有（ ）A.47种B.48种C.49种D.50种5.五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）A.1444C C 种B.1444C P 种C.44C 种D.44P 种考点突破释难答疑的金钥匙考点 排列应用与组合应用重点阐述解排列应用题的基本思想如下：解简单的排列应用题首先必须认真分析理解题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.如果是的话，再进一步分析，这里n 个不同的元素指的是什么，以及从n 个不同的元素中任选m 个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解. 难点释疑1.解答排列组合应用题的总体思路 （1）整体分类； （2）局部分类；（3）辩证地看待元素的位置；（4）一些具体问题有时需要把它抽象成组合模型. 2.几何中的组合应用题（1）解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析、解决问题，其次要从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，往往寻找一个组合的模型加以处理.（2）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.（3）在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决. 例1 7位同学站成一排.（1）甲、乙和丙三名同学必须相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列应用与组合应用. 【试题分析】（1）第一步将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为55P 种；第二步“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有33P 种．∴共5353P P 720⋅=（种）．（2）第一步先排除甲、乙和丙之外4人共44P 种方法；第二步甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空档中的任何3个都符合要求，排法有35P 种.∴共有4345P P 1440⋅=（种）. 变式训练。