复合材料力学 第六章 细观力学基础ppt课件
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第6章 复合材料细观力学PPT
物理关系
G , G , G Ⅱ
12
12 12 f 12
f 12 f m12
m12 m
于是
GⅡ 12
Gf
f
Gm m
6.3.3 植村-山胁的经验公式
E1 EⅠ1 E1Ⅱ
E2 (1 c)EⅠ2 cEⅡ2
1 (1 c)Ⅰ1 c1Ⅱ
2
E2 E1
1
G12 (1 c)GⅠ12 cG1Ⅱ2
(3)泊松比
I 1
,
I 2
当正轴σ1方向受力作用时，纵向泊 松比的定义为
I 1
2 1
单元的横向变形量Δb为 b b 2 b1I 1
从细观来看，单元的横向变形量应等于纤维与基 体的横向变形量之和,即
bbf 2 bm2 bff 2 bmm2 bfff1bmmm1
3
因为
1 f 1 m1
所以
E f 1 Em f 3(1 f )
（拉压 型）
Xc
Gm 1 f
（剪切 型）
7
练习题
• 用材料力学方法证明单向纤维复合材料中纤维所承受
载荷Pf与纵向总裁荷P之比为
Pf 1/(1 Em m )
P
Ef f
• 已知某纤维Xft=2000MPa,Ef1=90GPa,基体树脂 Xmt=220MPa,Em=3.5GPa.若基体的延伸率大于纤维，试 求由以上基体和纤维制得的复合材料单向板的临界纤
X ft
X mt
X ft
Em Ef1
vfmin称为纤维控制的最小体积含量
6.4.2 纵向压缩强度Xc
拉压型微屈曲引起破坏的纵向压缩强度
X c 2 f
E f Em f 3(1 f )
复合材料力学课件第06章 细观力学
§6.1(2)
假 设
初应 力；无缺陷；纤维和基体的性能不变； 无缺陷；纤维和基体的性能不变； 线弹性. 线弹性. 2∘ 增强相（纤维）：匀质；各向同性；线弹 增强相（纤维）：匀质；各向同性； ）：匀质 性； 定向有序排列；连续。 定向有序排列；连续。 3∘ 基体（树脂）：匀质；各向同性；线弹性。 基体（树脂）：匀质；各向同性；线弹性。 ）：匀质 4∘ 界面：粘接完好；变形协调。 界面：粘接完好；变形协调。
§6.1(1)
细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学两种世界观: 细观力学两种世界观 (1) 从实际中抽取模型 用精确方法 从实际中抽取模型—用精确方法 求解模型—问题的解 问题的解； 求解模型 问题的解； (2) 模型力与实际一致 用近似方法 模型力与实际一致—用近似方法 求解模型—问题的解 问题的解。 求解模型 问题的解。
∴ ε 2 = ε f V f + ε mVm σf σm σ2
E2 =Vf Ef + Vm Em
f
∵σ 2 = σ m = σ
V f Vm E f Em 1 ∴ = + ⇒ E2 = E2 E f Em Vm E f + V f E m
3∘
21
的确定
§6.2(3)
ε2 µ 21 = − ε1
γf =
τ
Gf
γm =
τ
Gm
∆ =γB ∆ m = V m Bγ m
∆ f =Vf Bfγ f τ τ τ γ = = Vm γ m + V f γ f = Vm +Vf
G
G12 = Vm G f + V f G m V f G m + G f (1 − V f 1 = 1 − V f + V f Gm / G f Gm G f = Gm G f
--复合材料力学第六章细观力学基础
称为纵向有效模量的混合律。
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
21 f V f mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12 f V f mVm
以
12
12
G12
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
2
2Gm
E
f
rf2
ln(
R rf
)
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为纤维间距，
l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
EL Em
1
2
l d
LV
f
1 LV f
ET
1 2TV f
Em 1 TV f
此时，对L取：
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过 体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
21 f V f mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12 f V f mVm
以
12
12
G12
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
2
2Gm
E
f
rf2
ln(
R rf
)
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为纤维间距，
l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
EL Em
1
2
l d
LV
f
1 LV f
ET
1 2TV f
Em 1 TV f
此时，对L取：
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过 体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
复合材料细观力学 ppt课件
追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
50年代----70年代
80年代快速发展 90年代不可缺少
ppt课件 12
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 Mura T. Micromechanics of defects in solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
2.2 等效夹杂原理
由于椭球夹杂存在，则
0 ' 1 0 ' ij ij Cijkl ( kl kl ) 0 ' 0 0 ' ij ij Cijkl ( kl kl ) 0 0 0 ij Cijkl kl
in out 无夹杂存在
假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场均 * 匀，给定一均匀本征应变 ij
按材料作用分类 结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
ppt课件 6
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能 可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工 工序
一般优点： 比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、 抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
2
由材料内部扰动应力自 平衡（背应力法）得： ~ f ( ' * * ) f ( 2 ** ) 0
1 2
~ f ( S I )( * * ) f ( S I ) ** 1 1 2 2
ppt课件 33
50年代----70年代
80年代快速发展 90年代不可缺少
ppt课件 12
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 Mura T. Micromechanics of defects in solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
2.2 等效夹杂原理
由于椭球夹杂存在，则
0 ' 1 0 ' ij ij Cijkl ( kl kl ) 0 ' 0 0 ' ij ij Cijkl ( kl kl ) 0 0 0 ij Cijkl kl
in out 无夹杂存在
假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场均 * 匀，给定一均匀本征应变 ij
按材料作用分类 结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
ppt课件 6
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能 可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工 工序
一般优点： 比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、 抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
2
由材料内部扰动应力自 平衡（背应力法）得： ~ f ( ' * * ) f ( 2 ** ) 0
1 2
~ f ( S I )( * * ) f ( S I ) ** 1 1 2 2
ppt课件 33
复合材料力学培训讲座(ppt 32页)
20.01.2020
30
NUDT 12.6
第一章 引言
Chap.01
1.4 本课程的主要任务
复合材料的性能特性 结构分析基础 典型构件受力和变形分析
1.5 处理方法
复合材料力学、 结构分析基础 建立各种材料体系的本构关系及控制方程
20.01.2020
31
全复合材料汽车——汽油之后的变革
高性能体育器械-网球、棒球、高尔夫球、赛车、滑雪、 鱼杆
人造器官
输油管道、储罐、压力容器等
20.01.2020
13
NUDT 12.6
六、复合材料的制备
Chap.01
传统意义上的复合材料的制造，目前使用最广、 效果最好的是纤维增强：
采用熔铸、浸渍、层压等方法，把玻璃纤维、 有机纤维、碳纤维及其织物嵌入树脂基体中；
20.01.2020
2
NUDT 12.6
Chap.01
课程简介 目的 内容 内容： 考核 复合材料力学：包括细观力学和层合板理论，以 参考书 及静力、动力和稳定分析及结构优化设计（典型
结构设计）。
20.01.2020
3
NUDT 12.6
Chap.01
课程简介 内容：
目的
第一章 引言
20.01.2020
12
NUDT 12.6
Chap.01
五、复合材料的特点及应用
复合材料具有高比强度、高比刚度、材料轻、耐腐蚀、抗 疲劳性能、减振性能和高温性能好意即可设计等特点
它最早应用于国防、航空、航天等尖端科学技术领域，近 年来，汽车、造船、建筑、化工石油、体育用品、生物、 医疗、娱乐等部门也推广使用复合材料
先进复合材料 树脂基复合材料 金属基复合材料 陶瓷基复合材料 碳/碳复合材料
复合材料力学ppt.共95页
复合材料力学ppt.
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
谢谢！Biblioteka 61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
谢谢！Biblioteka 61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
复合材料力学 第六章 细观力学基础
1 1 * U ij ij dv Cijkl ij kl v 2 v 2
3）有效模量的严格理论解 并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效
只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，
弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通 过体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
2）给定均匀应力边界条件
0 Ti ( s) ij n j
1 v 0 ij ij dv ij v 0
则由
* Cijkl
1 v 而 ij ij dv v 0 * ij Cijkl kl ，只需求得
ij
，即可求得
此时，复合材料的应变能也为：
§6-2 有效模量的材料力学半经验解法
一、长纤维复合材料
（一）纵向有效模量
E1
采用平面假设，在P力作用下，对RVE有：
l 1 f m l
（下标f、m表示纤维和基体）
vf 1 1 ij ij dv v v v vf ( f )V f ( m )Vm
2、斜向纤维情况：
先在
1 1
1 23
坐标系下求得：
（方法同前）
3
* ij
然后利用坐标变换求得
2 3 2
* ij （为θ角的函数）
仍利用
22 11 和 12 E1 11 11
求有效模量，注意此时的模量为θ角的 函数。
3、随机分布短纤维复合材料：
* ij
对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明
而在夹杂以外为零，且有：
在夹杂内部是均匀的，
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7
（3）复合材料结构力学 它借助现有均匀各向同性材料结构力学的分 析方法，对各种形状的结构元件如板、壳等 进行力学分析，其中有层合板和壳结构的弯 曲、屈曲与振动问题以及疲劳、断裂、损伤 、开孔强度等问题。
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8
4复合材料的优点和缺点
复合材料的优点
(1)比强度高。
(2)比模量高。
示对称，“±”号表示两层正负角交错。
40/5 90/0 0 0/0 0/90/0 405 还可表示为 405 /900 /0 0s ，s表示
铺层上下对称。
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5
3复合材料的力学分析方法 （1）细观力学 它以纤维和基体作为基本单元，把纤维和基 体分别看成是各向同性的均匀材料(有的纤维 属横观各向同性材料)，根据材料纤维的几何 形状和布置形式、纤维和基体的力学性能、 纤维和基体之间的相互作用(有时应考虑纤维 和基体之间界面的作用)等条件来分析复合材 料的宏观物理力学性能。
21
四 单层复合材料的宏观力学分析 1 平面应力下单层复合材料的应力一应变关系 可近似认为 3 0 ， ，这就定义 23 431 50 了平面 应力状态，对正交各向异性材料，平面应力状态下 应力应变关系为
(3.1)
其中，
S 11
1 E1
S 22
1 E2
S 66
1 G12
S12E121E212
主方向应变分量间关系为
反过来有
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26
（3）任意方向上的应力一应变关系 在正交各向异性材料巾，平面应力状态主方向有下 列应力应变关系式
(3.4)
现应用式(3.3)和式(3.4)可得出偏轴向应力-应变 关系：
现用 Q 表示 T1Q(T1) ，则在x-y坐标中应力应变关系 可表示为
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1 vf
vf
ijdvvvmv1m
vm ijdv
(f)Vf (m)Vm
所以有 1fVf mVm
而
1 E 11 , f E f f,m E m m
利用
1 f m
E1EfVf Em Vm
称为纵向有效模量的混合律。
.
11
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f2Vf m2Vm
1、修正复合法则（修正混合定律）
其中
E L L E f V f EmVm
L
1
tanh( l ) 2
l
2
L 表示纤维长度有效因子。
.
17
1
2
2G m
E
f
r
2 f
ln(
R rf
)
其中 G m 为基体剪切模量，r f 为纤维半经，R为纤维间距， l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
.
5
三、有效模量理论
1、边界条件：（不能随意！）
①均匀应变边界条件：
ui(s) i0jxj
②均匀应力边界条件：
Ti (s) i0jnj
2、可证明的两个特性： ①在给定均匀应变边界下，有： ②在给定均匀应力边界下，有：
ij
0 ij
ij
0 ij
证明可见《复合材料力学》（周履等）P223。
.
6
3、有效模量理论
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
.
2
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。
ET（短） ET(长)
.
18
2、Halpin-Tsai方程
E E
L m
1
2
l d
LV
f
1 LV f
E
T
1 2 T V f
E m 1 T V f
此时，对L取：
2l d
Ef 1
Ef 1
L
Em Ef 2
l
;
T
Em Ef 2
Em d
Em
对T取： 2
上式表明 ET
与纤维长比 l 无关，可见单向短纤维 d
1）给定均匀应变边界条件
ui(s) i0jxj
ij
1 v
vijdvi0j
而
ij
1 v
v
0 ijdv
ij Ci*jkl kl
其中
C* ijkl
为复合材料的有效模量。
其应变能为：
U1 2v
ij ijdv1 2Ci*jkilj
kvl
.
7
2）给定均匀应力边界条件
Ti (s) i0jnj
ij
E2
设 2m2f2
而由平均值关系有：
2fVf mVm
.
13
2 E 22 ,m 2 E m 2m 2 ,f2 E f2f2
1 Vf Vm （倒数混合律） E2 Ef 2 Em
可通过 G 12 和 E 2 的计算公式可反算
E f2 。
G f 12 和
（五）Halpin-Tsai方程
.
3
二、复合材料的应力、应变及有效模量
（复合材料）
（均匀等效体）
.
4
按体积平均，定义复合材料的应力、应变为：
平均应力 平均应变
ij
1 v
v
0 ijdv
i
j
1 vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
0 ijdv
则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：
C*
ij
ijkl kl
C* ijkl
定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，总体模量）
复合材料的横向模量与连续纤维复合材料的相同。
.
19
（二）随机分布短纤维复合材料
1、修正混合律：
E Ra nC d oo L E m fV f E m ( 1 V f)
C o 即为位向因子，在0.375~0.5之间，材料
为面内各向同性。
2、基于Halpin-Tsai的经验公式：
ERandom83EL85ET
对矩形（a b）截面纤维，
G12 1
E2
2a, b
loG g 121.7l3ob ag
另外，*式还可以用于沿直线排列的短纤维增强单层的纵向和
横向有效模量的计算：
计算E1时，取：
E1
2
a b
计算E2时，取：
E2 2
.
16
二、短纤维复合材料
（一）单向短纤维复合材料
只讨论纵向和横向模量（ EL , ET ）。
单向纤维增强的单层的五个有效模量分别由下式计算：
E1EfVf EmVm
21fVf mVm
.
14
M 1Vf Mm 1Vf
（M表示
E2,G12或23） *
其中：
M f 1 Mm
M f Mm
：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于
相几何和载荷条件。
.
15
对圆截面纤维，方形排列，中等 V f 值时，
E2 2
.
20
§6-3 有效模量的其他力学模型解
一、复合圆柱模型
a/bconstVf
a）复合圆柱族模型
b）求 .
E 1 和 21
21
c）求 K 23
d）求 G 12
.
22
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通 过体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
.
9
§6-2 有效模量的材料力学半经验解法
一、长纤维复合材料
（一）纵向有效模量
E1
采用平面假设，在P力作用下，对RVE有：
1 f
m
l l
（下标f、m表示纤维和基体）
.
10
ij1 vvijdvvvf
两边同时除以 1 ，可得：
21fVf mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G 12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12fVf mVm
.
12
以 12G 1122,f G ff ,mG m m 代入上式，
并假设有 12f m ，可得：
1 Vf Vm G12 Gf Gm
（倒数混合律）
（四）横向有效模量
第六章 复合材料细观力学基础
§6-1 有效模量理论
一、有效模量理论
1、宏观均匀、代表性体积单元
复合材料中的增强体的几何 分布可以是规则的（如图）， 也可以是不规则的。
.
1
总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此研究其某些性 能时，只须取其一代表性体积单元（representative volume element）来研究即可代表总体，见图。
1 v
0vijdvi0j
而
ij
1 v
v
0 ijdv
则由 ij Ci*jkl kl ，只需求得
C* ijkl
ij ，即可求得
此时，复合材料的应变能也为：
U1 2v
ij ijdv1 2Ci*jkilj
kvl
.
8
3）有效模量的严格理论解 只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。