圆锥曲线中的热点问题
圆锥曲线高考热点追踪
设
川， 由 ｆ 【 一 ＝ ｑ － ． ． 。 砒＿ ４ ＿ ‘ ．
， 代 人
ａ２
一
ａ ｂ 一 、 ／ ｂ ２ ： ０ ，两边同除以 ， 得、 ／ ｆ １ ｚ —
ｆ Ｘ Ｉ ＋ Ａ ７ ２ ４ ． ｋ ， 且 Ｉ Ｘ ｌ － Ｘ ２ Ｉ ： Ｖ ＇ — （ ｘ １ ＋ ｘ ２ ） ２ — － ４ ｘ ｉ ｘ ２ ： ４
解析 ：本题 主要 考查 椭 圆的有关 性质 ．难 度 中
… （ １ ） 一
等． 如 图 ，ｌ ： ＝ ，ｄ ： ＝ 一 ｃ ＝ ，由等面积得 ：ｄ ＝
Ｃ Ｃ Ｃ
ｂ ｃ
＿
．
若ｄ ２ ： 、 ／ ｄ 。 ， 则 ： 、 ／ 垃
ｃ ａ
，
ａ
整理 得 ：、 ／
例 １ ． 已知 中心在原 点 的双 曲线 Ｃ的右焦 点为 Ｆ （ ３ ， ０ ） ，离 心率等 于 ，在双 曲线 Ｃ的方程是 （ ）
本考点主要考查点 、直线 、圆和 圆锥 曲线 四者之
等等＝ Ａ － 孚 一 去＝ Ｂ ｃ 每舌＝
。 专一
解析 ：本题为基 础题 ，因为 离心率 等于 ，Ｃ －
解析 ： （Ｉ）由已知 可得抛物 线 的方程为 ：Ｘ ２ ＝ ｚ Ｐ ｙ （ ｐ ＞ ０ ） ， 且 ＝ １ ｊＰ ＝ ２ ，所 以抛物线方程是 ：ｘ ２ ＝ ４ ｙ ．
（ Ｉ １ ）设 Ａ（ － ， ｘ ｆ）Ｂ（ ｚ ， 丁 Ｘ ２ ｚ） 所以 ｋ ａ ｏ ＝ Ｘ Ｉ
ｆ ＼ ａ／ １ ＋ 、 ／ ： ０ ， 解之得 ： ｊ ， 所以离心率为 ： ａ
、 ／ 一 ㈡ ＝ ．
评 注 ： 求 解这 类 问题 的 关键 是依 据 图 形特 征 或 圆
分类例说圆锥曲线中的热点问题
ｌ
椭 Ⅲ 的定 义知 ， 曲线 （ 足以Ｍ、 为左 、 右 焦
点， 长、 牟 ｆ ¨ Ｋ为２ ．
外） ， 其 方 程 为 一
轴 长 为√ ３的 椭 Ｉ 翊（ 在 顶 点 除
一 Ｉ（ ≠ ２ ） ．
．
“十ｃ ］ ；③ Ｉ Ｐ Ｆ ！ ・Ｐ Ｆ ： ｛ ∈［ ６ ： ， ｎ ］ ；④ Ｆ ＰＦ ≤
Ｆ ＢＦ！ ．
［ ｉ ｉ ｊ ｊ 员 Ｉ Ｎ 内 ． 心 Ｐ 的轨迹 为 『 ｊ ｆ 】 线 Ｃ．
（ １ ）求 （ 、 的 程 ：
２ ）双 曲 线
综 ， ｉ ＡＢ 一 ２ 或 ．
『 ｌ ｌ ｌ 线 定 义的运Ｈ ｛ 。 以 化 运 弹 ．
彝妻 薹 霎 言 篙
能 熟练运用 曲线定 义， 则 能迅速 求解． ２ 圆锥 曲线 中 的 最 值 或 范 围 问 题
１ ）椭 圆
攀
ｖ ） ， Ｐ （ ． ｖ ＿ ， ） ． Ｉ Ｊ １ １ Ｊ 斤僻 弦 Ｋ ＿ Ｐ ， 】 ｉ 一√ｌ 十是 Ｉ ＿ ’ …
／ …一
一
： 或
，
， Ｊ ： ｉ 一＾ 【 －
－ －
・ ｆ 】 求
ｖ ： ［ Ｉ １ ｆ 通 常使 川
系数 的火系 ， 作如 ‘ 变形 ：
Ｆ 、 Ｆ ？为椭
ｃ
斗 一 １（ “ ＞ ＞（ ） ） 的乍 、 右焦
ｆ 】
点， Ｐ 为椭 圆的任 意 一 一 点， Ｂ为 短 轴 的 一 个端 点 ． Ｏ 为
① ｉ ＯＰｌ ≥“ ；② 【 Ｐ Ｆ ｛ ≥ ｒ一 “ ．
热点6：弦或弦长为定值、最值问题-圆锥曲线高考热点终极破解
圆锥曲线高考考查热点分析热点六：弦或弦长为定值、最值问题1、已知△OFQ 的面积为26，OF FQ m ⋅=（1646m ≤≤，求OFQ ∠正切值的取值范围；（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26||,(1)OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设OFQ θ∠=||||cos()1||||sin 62OF FQ mOF FQ πθθ⎧⋅-=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩46tan θ⇒= 646m ≤≤4tan 1θ-≤≤-（2）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b-= >> =-则∴11||||262OFQ S OF y ∆=⋅=146y = 又∵OF FQ m ⋅=，∴21116(,0)(,)()(1OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅= ) 22211126963,||12.8c x OQ x y c ∴= ∴=+=+≥当且仅当4c =时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是(6,6)或(6,6)22222266141216a ab b a b ⎧⎧-==⎪⎪∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩，所求方程为22 1.412x y -= 2、已知椭圆14222=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=⋅PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值.解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，)2,(001y x PF ---=，∴1)2(20221=--=⋅y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴242020y x -=，从而1)2(242020=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. （Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，则BP 的直线方程为：)1(2--x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-142)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则2222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，同理可得222)222k k k x A +-+=，则2224k kx x B A +=-，228)1()1(k kx k x k y y B A B A +=----=-.所以：AB 的斜率2=--=B A B A ABx x y y k 为定值. （Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x mx y ，得0422422=-++m mx x ，由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3||m d =， 则3||3)214(21||212m m d AB S PAB⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m 。
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第八章第8讲圆锥曲线中的热点问题
第八章平面解析几何第8讲圆锥曲线中的热点问题1. 定值问题如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值, 探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题，求定值的 基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结 果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出 定值，然后再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题, 所以讨论的立足点是解析几何知识，工具是代数、三角等知 识，基本数学思想与方法的体现将更明显，更逼真.教材回顾▼夯实基础 课本温故追根求源2.最值问题圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方法有⑴利用定义求解；⑵构造基本不等式；⑶ 利用数形结合；（4）构造函数等.3.范围问题求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题.对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及“，b, c, e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效.產D -做一做•1.直线y=〉+ 3与双曲线器一* = 1的交点个数是1解析：因为直线丿=纭+3与双曲线的渐近线y=^x平行，所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C, D的坐标分别是（7, 0）,（边，0）,则PC PD的最大值为& .2 2解析：设椭圆的标准方程为》+器=l@>b>0）, C2=a2—b2.由正方形的对角线性质可得:b=c,又该正方形面积为4,,则4X；X沪=4,所以b=c=逸,则C, D所以疋喀便仟斗=—心=4要点整食r1.必明辨的2个易错点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切, 事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.2.常用的1个结论设斜率为冰H0）的直线/与圆锥曲线C相交于£ B两点, A(x p ji), Bg丿2)，贝!IAB = \Jl-{-k2lx 1—兀21=\/1+/ • yl(X1+X2)2—4X1X2=寸1+* • Wlpl=\J1+p ■<Ji+j2)2—4yjj2.產D；、绦二综［1.过点(0, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有 3 条.解析：设过点(0, 1),斜率为比的直线方程为y=kx+l.由得^x2+(2JI-4)x+1=0.(*) 当吃=0时，(*)式只有一个根;当&工0 时，4=（2氐_4）2_4疋=_16氐+16, 由/=0,即一16抵+16=0 得k=\.所以片0,或片1时，直线与抛物线只有一个公共点'又直线x=0和抛物线只有一个公共点•故所求直线有3条，2.以直线无±2y=0为渐近线，且截直线x-j-3=0所得弦只斤 丘 2_丫长为竽的双曲线方程为解析：设双曲线方程为x 2-4y 2=^消去〃得3兀2—24兀+(36+2)=0・设直线被双曲线截得的弦为AB, MA(xx ，J O, B(X 2, J 2),联立方程组 X 2—4y 2=l,x —y —3 = 0,兀1+ X2"~A = (—24) 2—12 (36+2) >0・所以 AB=(1+A:2) [ (xj+x 2) 2-4XX X 2]0 解得2=4,故所求双曲线方程是^—y 2= l.那么, 36+2 V 兀1兀2=J ， 2_4X %+力 "J G 厂厂=8f(1 + 1)（2016•泰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中,缶+器=1（。
高考数学热点问题专题解析——圆锥曲线中的面积问题
圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan2PF F Sb θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot2PF F Sb θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等。
且四边形12PF QF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为121212PF F p p SF F y c y =⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大。
即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大。
由2214x y +=可知2,1,a b c ===()())120,1,,P F F ，进而计算出12PF PF ⋅的值为2- 答案：2-例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF的斜率为-，则12PF F 的面积是（ ） A.B.C.D.思路：将椭圆化为标准方程为22110064x y +=，进而可得6c =，所以()()126,0,6,0F F -，计算12PF F 的面积可以以12F F 为底，y P 为高，所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标，设(),P x y，则有26PF y k x ==--，所以22162516006x y yx y ⎧+=⎪⎪=-⎨-⎪>⎪⎩可解得y =19y =-（舍去），所以1212111222PF F S F F y =⋅=⋅⋅= 答案：B例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.8D.思路：由2OA OB ⋅=入手可考虑将向量坐标化，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122x x y y +=，进而想到可用韦达定理。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题
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1.定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个 难点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关 系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数 式变换等寻找不受参数影响的量.
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思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变 化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与 变量无关.
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类型二 定值问题
例 2 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 →→
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代入椭圆方程整理得 λ2(x21＋3y21)＋μ2(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. 又∵x21＋3y21＝3b2，x22＋3y22＝3b2， x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝32c2－92c2＋3c2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故 λ2＋μ2 为定值.
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又∵O→N∥a，∴13＝ba22，∴a2＝3b2， 故椭圆方程为 x2＋3y2＝3b2. 又过右焦点的直线 AB 的方程为 y＝x－c. 联立yx＝2＋x3－y2c＝，3b2， 得 4x2－6cx＋3c2－3b2＝0. ∴x1＋x2＝32c，x1x2＝3c2－4 3b2＝38c2. 设 M(x，y)，则由O→M＝λO→A＋μO→B可得xy＝＝λλyx11＋＋μμyx22，，
第19练圆锥曲线热点问题
第19练 圆锥曲线热点问题[解答题突破练][明晰考情] 1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型.2.题目难度：中高档难度． 考点一 直线与圆锥曲线方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b (斜率不为0)的形式．(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|. 1．已知F 是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 1，y 2)两点．(1)若x 1＋x 2＝3，求弦AB 的长；(2)O 为坐标原点，∠AOB ＝θ，满足3OA →·OB →tan θ＝46，求直线l 的方程．2．设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．考点二 圆锥曲线中的范围、最值问题方法技巧 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解．(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．4．已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．5．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．6．(2016·浙江)如图所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．考点三 圆锥曲线中的证明问题方法技巧 圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现．无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向．7．(2018·全国Ⅰ) 设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且C 过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设B 1，B 2分别是椭圆C 的下顶点和上顶点，P 是椭圆上异于B 1，B 2的任意一点，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，N 为线段PM 的中点，直线B 2N 与直线y ＝－1交于点D ，E 为线段B 1D 的中点，O 为坐标原点，求证：ON ⊥EN .9．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．例 (15分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . ①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．1．如图，设点A ，F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点和左、右焦点，过点A 作斜率为k的直线交椭圆于另一点B ，连接BF 2并延长交椭圆于点C .(1)求点B 的坐标(用k 表示)； (2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．3．(2018·金华浦江适应性考试)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左、右焦点为F 1，F 2，上顶点为D ，离心率为63，且DF 1→·DF 2→＝－2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设E 是x 轴正半轴上的一点，过点E 任作直线l 与C 相交于A ，B 两点，如果1|EA |2＋1|EB |2是定值，试确定点E 的位置，并求S △DAE ·S △DBE 的最大值．4．(2017·浙江)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ， y )⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．。
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专题五 解析几何
方法归纳 与圆锥曲线有关的两类证明问题
一类是直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与 点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算 问题求解．另一类是先判断后证明．
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专题五 解析几何
考点二 圆锥曲线中的最值、范围问题
[命题角度] 1．求参数的范围． 2．求弦长或图形面积的取值范围(或最值)等． 3．求所给式子的取值范围．
已知点 A(0，－2)，椭圆 E：ax22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为
23，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 3 3，O 为坐标原
2)．令 x＝3，得点 M3，y1＋x1－x1－2 3，
由xy＝2＋k3（y2x＝－31，），得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
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专题五 解析几何
所以 x1＋x2＝1＋6k32k2，x1x2＝31k＋2－3k32.
直线 BM 的斜率 kBM＝y1＋x1－3x1－－2x32－y2.
考点一 圆锥曲线中的判断与证明问题 [命题角度] 1．判断直线与曲线位置，再给出证明． 2．证明线线平行或垂直、多点共线问题． 3．证明线段相等问题．
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专题五 解析几何
(2015·高考北京卷改编)已知椭圆 C：x2＋3y2＝3，过点 D(1， 0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x＝3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若直线 AB 的斜率存在，试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关 系，并说明理由． [思路点拨] (1)利用 e＝ac求离心率． (2)将直线 AB 的方程与椭圆方程联立，通过根与系数的关系可 求得直线 BM 的斜率等于直线 DE 的斜率，从而得到两直线平 行．
专题五 解析几何
(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
22，点(2， 2)在 C 上．
(1)求 C 的方程；
(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，
B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率
专题五 解析几何
1．活用公式与结论 (1)圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 ①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意 义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关 系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值． (2)求定值问题常见的方法有两种 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而 得到定值．
因为 kBM－1＝
k（x1－1）＋x1－3－k（x2－1）（x1－2）－（3－x2）（x1－2） （3－x2）（x1－2）
＝（k－
1）[－x1x2＋2（x1＋x2）－3] （3－x2）（x1－2）
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专题五 解析几何
＝（k－1（）3－－1x＋32k）32＋k（23x＋1－11＋22）k32k2－3＝0，
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第3讲 圆锥曲线中的热点问题
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2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 圆锥曲线的综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与 定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问 题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核 心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知 识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解， 对考生的代数恒等变换能力、计算能力等有较高的要求．
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[解] (1)椭圆 C 的标准方程为x32＋y2＝1，
所以 a＝
3，b＝1，c＝
2.所以椭圆
C
的离心率
e＝ac＝
6 3.
(2)直线 BM 与直线 DE 平行．理由如下：
因为直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠1)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE 的方程为 y－1＝xy11－－12(x－
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2．辨明易错易混点 (1)解最值和范围问题要注意选取的变元一定要完全表达求解目 标所需的各个量，同时不应忽视变元的范围． (2)求解定点、定值 问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
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(2)当 l⊥x 轴时不合题意，
故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34时，
点．
(1)求 E 的方程；
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面 积最大时，求 l 的方程．
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[思路点拨] (1)用待定系数法求出 a、b，进而求出椭圆的方程． (2)设出直线方程，代入椭圆方程，从而建立面积的目标函数． [解] (1)设 F(c，0)，由条件知，2c＝2 33，得 c＝ 3. 又ac＝ 23，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x42＋y2＝1.
的乘积为定值．
解：(1)由题意有
a2－b2＝ a
22，a42＋b22＝1，
解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为x82＋y42＝1. 栏目 导引
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(2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1. 于是直线 OM 的斜率 kO M＝xyMM＝－21k， 即 kO M·k＝－12. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．