天津大学工程数学基础2017级试题
【数学】2017年高考真题——天津卷(理)(解析版)
2 设变
2 x + y ≥ 0, x + 2 y − 2 ≥ 0, 则目标函数 z = x + y 的最大值为 x, y 满足约束条件 x ≤ 0, y ≤ 3,
B.1 C.
A.
2 3
3 2
D.3
3 阅读 面的程序框图，
行相 的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为
4 3 πR . 3
其中 R 表示球的半径．
1 设集合 A = {1, 2, 6}, B = {2, 4}, C = { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5} ，则 ( A U B ) I C = B. {1, 2, 4} C. {1, 2, 4, 6} D. { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5}
且 f ( x) 的最小正周期大于 2π ，则
A. ω = C. ω =
2 π ，ϕ = 3 12 1 11π ，ϕ = − 3 24
B. ω = D. ω =
2 11π ，ϕ = − 3 12 1 7π ，ϕ = 3 24
8
x 2 − x + 3, x ≤ 1, x 知函数 f ( x) = 设 a ∈ R ，若关于 x 的 等式 f ( x) ≥| + a | 在 R 2 2 x + , x > 1. x
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学
分钟.第 卷 1 至 2 ，第 卷 3 至 5 .
天津卷
理工类
本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分，共 150 分，考试用时 120
答卷前，考生务必将自 的姓 、准考证号填写在答题考 ，并在规定位置粘贴考试用 条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡 ，答在试卷 的无效.考试结束 卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试 利！ 第 注意 1. 小题选出答案 ， 用铅笔将答题卡 对 题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦 净 卷 ，将本试
《工程数学基础》试卷
天津大学工程硕士研究生《工程数学基础》试卷 （共8页）______学院 专业________班，姓名 学号一. 判断 (每小题1分,共10分)1．Hermite 矩阵n n C A ⨯∈是负定的充要条件为A 的各阶顺序主子式均小于零. （ ）2．线性算子Y X T →:的零空间)(T N 是X 的线性子空间. （ ） 3．任意多个闭集的并仍然是闭集. （ ）4．在Banach 空间中，Cauchy 序列与收敛序列是等价的. （ ） 5．正规矩阵的最小多项式无重零点. （ ）6．设)()(x N x L n n 和分别是)(x f 在区间],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的n 次Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，则)()(x N x L n n =. （ ）7．用Newton-Cotes 公式计算⎰ba dx x f )(的近似值时节点取得越多则精度越高.（ ）8．线性空间],[b a P n 是n 维的. （ ） 9．2)2,,(2=Ti i . （ ）10．线性算子).,().,(:Y XY X T →是有界的充要条件为存在数0>M 使得对任意的X x ∈有M Tx Y ≤成立. （ ）二. 填空 (每小题1分,共10分) 1.设(A = 则 inf A = .2. 已知4阶矩阵A 的特征多项式为22()(1)(4)f λλλ=+-, 则A 的初等因子组为 .3.设33⨯∈C A 的Jordan 标准形2122J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 的有理标准形_______________C =.4. 设1i 0211i 01A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则F A = . 5. ()[()]ij n n A t a t ⨯=可导，则d ()d T A t t= . 6. 已知2e ()1tt A t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 1()d A t t ⎰= .7. 设M 求解线性方程组b Ax =的Jacobi 迭代矩阵，则Jacobi 迭代格式收敛的充要条件是()M ρ .8. 设{}nk k x l 0)(=是 ],[b a 上的以b x x x a n ≤<≤,,10 为节点的Lagrange 插值函数则∑==nk k x l 0)( .9. 设n 为奇数，则1+n 个求积节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度最低为 .10. 方阵A 可对角化的充要条件是: A 的最小多项式 .三．计算题 （每小题10分，共70分） 1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ,（1）求E A λ-的初等因子组；(2) 求A 的Jordan 标准形J .2. 设126103114--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A , （1）求E A λ-的不变因子；（2）求A 的有理标准形C .3．设214030021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, （1）求A 的最小多项式()ϕλ; （2）求e At . 4. 已知函数)(x f y =的数值如下：用3次插值多项式计算)1973(f 的近似值（计算过程及结果均保留至小数点后第2位）。
2017年高考真题天津卷理科数学(解析版附后)
2017年高考真题天津卷理科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津大学工程数学基础新版习题答案
3.满; 4. sup E
2 , inf E 3 ; 5. 0 ; 6.0; 7. n ; 8. Y .
B
1. 证
y f ( A B) , x A B 使 得 y f ( x) . 由 x A B , 得 x A , 且 x B 故 y f ( x) f ( A) 且 y f ( B) ,即 y f ( A) f ( B) ,因此 f ( A B) f ( A) f ( B) .
0 ,
T T
E22
c
d 0
b 0
d
b
0 E11 bE12 0 E21 dE22 ,即 E20 0 b 0 d ,
a 0 A c 0
0 b
a 0 0 d c
0 b . 0 0 d
当 f 是单射时,只需证明 f ( A) f ( B) f ( A B) 即可：
y f( A ) f( B ) R ( f 由 )f , 是单射知 1x X , 使得 y f( x ).
y f( 且 A ), y f( B ),
x A且x B,即x A B, 从而y f ( x) f ( A B), 故 f ( A) f ( B) f ( A B) .
( f g )(0) ( f g )(0) f (0) g (0) f (0) g (0) [ f (0) f (0)] [ g (0) g (0)] 0 0 0,即 f g W ;( f )(0) ( f )(0) f (0) f (0) [ f (0) f (0)] 0 0, 即 f W .
天津复习题工程数学
一、写出下面问题的数学模型规划，不需求解（1） 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A 地1700吨、B 地1100吨、C 地200吨、D 地100吨。
已知每吨运费如表1所示，运费与运量成正比，建立运费最省的供给方案。
解：设甲、乙运往A 、B 、C 、D 的物资量分别为x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24吨，则由题意，我们需要去求21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。
显然x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24不能任意取值，我们还有“甲地调出物资2000吨”、“供给A 地1700吨”等条件限制。
总结需求及条件限制，得到下面的完整数学模型：111213142122232411121314212223241121122213231424min 212571551513715..2000,1100,1700,1100,200,100,0,1,2,1,2,3,4ij f x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++⎧++++⎪⎪+++=⎪⎪+++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩该模型的现实含意为：在x 11+x 12+x 13+x 14 = 2000等条件下，求 f = 21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。
(这里先做出数学模型，以后再考虑求解方法)（2）某工厂用3种原料P 1，P 2，P 3生产3种产品Q 1，Q 2，Q 3。
已知的条件如下表所示，制定出总利润最大的生产计划。
解：设三种产品的生产量分别为x1, x2, x3时可以得到最大利润3x1+5x2+4x3，则由题意，我们可以得到完整的模型为1231223123max 354..231500,24800,3252000,0,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x j =++⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪++≤⎪≥=⎪⎩二、用图解法解线性规划121212min5..28 4z x x s t x x x x =-⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩三、论述用单纯形方法解LP 问题的基本思想、步骤，并证明主要结论。
天津大学硕士研究生工程数学课后答案全版
+
a xn−1 n−1
++
a2 x2
+
a1 (x
−1).
由上可知,(x −1, x2 , x3 ,, xn )是W的一个基,故 dimW = n.
6. (1“) ⇒ ”:因为T是线性的,故有T (0) = 0.于是,若T (x) = 0,则由T −1存在知T是单射,从而有x = 0. “ ⇐ ”:要证T −1存在,只需证明T是单射：
+
dE22 ,即σ
E20
=
0
b
0
d )T ,
a 0 b 0
∴ A =0
a
0
b
.
c 0 d 0
0
c
0
d
4
习题二
A
一、判断题
1.√；2.×；3.√；4.√；5.×；6.√；7.×；8.×；9.√；10.√；11.×；12.×.
二、填空题
2 0 0 2 0 0 1. x ；2. n ；3. λ, (λ −1)2 , λ + i, λ − i ；4. λ −1, λ +1 ；5. 0 0 −4 ；6. 0 2 0 ；7. O ；
f : x x2 ,取A =[−2, 0], B =[−1, 3],则A ∩ B =[−1, 0]. 于是f ( A ∩ B) = f ([−1, 0]) = [0, 1], 而
f (A) ∩ f (B) = [0, 4] ∩[0, 9] = [0, 4]. 从而有
.
[ ] [ ] 2. 证（1） ∀n ∈ N ,有 −2 + 1 , 2 − 1
, ∃k ∈ N
,使得
x
>
2017天津市大学数学竞赛试题解答(经管类)
)1en +++12121211nnnne e ee e e en nn n n n+++++≤+++≤++++1111110()limlim (1)(1)t t t nn n t n t nee et e e e n e +=+→∞→+++--==--0(1)lim 1t t te e e t→+-==-- 12lim111nnn e n e e ee n n→∞+++++==-+两边夹法则，即得. ln(1)1cos x x+=- 2 .2111cos ),024x x x -→（ 200sin ln(1)4lim 4lim x x x x x→→-+==2(1)21n n -+++2(1)2)(21n x x x n -++++()0(n n f x o x n +++（）！(50)0=49f （）50！250!=49⋅）. =⎰-0()xtf t dt显然()xf t dt ⎰为T 周期函数⇔()=0Tf t dt ⎰，故选（D ）.2. 设函数()y f x =满足方程()(1)210()()'()()0n n n ya x y a x y a x y a x -++++=，若1)000'()=()=()0n f x f x f x -''==（，10000()(()V a x f x a x =+）, 则正确的是（ ）（A ）若n 为奇数且0V ≠，则0x 点为极值点; （B ）若n 为奇数且0V =，则0x 点为极小点； （C ）若n 为偶数且0V ≠，则0x 点为极值点; （D ）若n 为偶数且0V >，则0x 点为极小值点. 解:选（C ）.由条件可得：当n 为偶数，且()0()V 0n f x =-≠时，()f x 在0x 点取得极值，特别地，()0()V 0n fx =-<，()f x 在0x 点取得极大值.3. 设()f x 在[0,)+∞上连续，且单调非增，对0b a >>，则一定有（ ）(A)00()()baa f x dxb f x dx ≥⎰⎰(C)0()()baaf x dx b f x dx ≤⎰⎰(B) 00()()baa f x dxb f x dx >⎰⎰(D) 0()()baaf x dx b f x dx <⎰⎰解：选（C ）设0()(),0xf x dx F x x x=>⎰.因为()f x 在[0,)+∞上连续且单调非增,则由积分中值定理，有02()()()()()0,(0,)xxf x f x dxf x f F x x xxξξ--'==≤∈⎰. 当0b a >>时，()()F a F b ≥,即0()()ba af x dx b f x dx ≤⎰⎰，故（C ）成立.4. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可导，且()()0f a f b <，'()'()0f a f b <，则（A ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；不一定存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （B ）不一定存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （C ）不存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （D ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=.解：选（D ）由连续函数的零点定理以及导函数的零点定理即得.5. 设210sin x I dx xπ=⎰，220sin xI dx x π=⎰，则正确的是（ ）(A) 121I I >> ； （B ）211I I >>；（C ）211I I >>；（D ）121I I >>. 解： 选（B ）显然当(0,)2x π∈时，2sin x x x π<<, 2sin 1xx π<<，210sin 1x I dx xπ=>⎰sin ,x x <则22sin x x <，从而sin sin x xx x<，则221200sin sin x x I dx I dx x xππ=<=⎰⎰，即有211I I >>，选（B)三. (6分) 求极限0arcsin(arcsin )arctan(arctan )limarcsin arctan x x x x x→--.解：331arcsin ()6x x x o x =++ ，331arctan ()3x x x o x =-+ 331arcsin(arcsin )()3x x x o x =++， 332arctan(arctan )()3x x x o x =-+ （4分）330033arcsin(arcsin )arctan(arctan )()lim lim 1arcsin arctan ()2x x x x x o x x x x o x →→-+=-+=2 （6分） 四. (6分)求常数,a b 之值，使得函数cos , 0()12(1)lim (1cos cos cos ),0n ax b x x f x x x n xnx x nn n n →∞+≤⎧⎪=-⎨++++->⎪⎩在=0x 处可导. 解：因为12(1)lim(1cos cos cos)n x xn xnx n n nn→∞-++++- 11001sin =lim cos()cos()n n i i xx x tx dt x x nn x -→∞=-=-=-∑⎰ (2分)此时cos , 0()sin ,0ax b x x f x x x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.函数()f x 在0x =处连续，则有1b =.。
2017天津高考理科数学试题及答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ,B 相互独立,那么 P （A ∪B )=P (A ）+P (B )． P （AB ）=P (A ) P (B ）． ·棱柱的体积公式V =Sh 。
·球的体积公式343V R =π。
其中S 表示棱柱的底面面积,其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C){1,2,4,6}(D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A)23 （B ）1（C ）32(D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B)1（C)2(D ）3 (4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件(D)既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ,离心率为2。
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一.判断（10分）
1.设是K上的线性空间,算子则是
的子空间.
（）
2.线性无关.（）
3.对L e g e n d r e 多项式,有
.
（）
4.,则可对角化.（）
5.设是H e r mi t e插值余项，则节点为的
二重零点.
（）6.C o t e s 系数只与求积节点的个数有关而与被积函数和积分区
间无关.
（）7.设是上的任意方阵范数，则
.
（）
8.,则.（）
9.若为G a u s s型求积公式,则.（）
10.若正规矩阵,其特征值均为实数,则为酉矩阵.（）
二、填空（10分）
1.已知，则.
2.,则.
3.设是S e i d e l迭代矩阵，则的所有特征值中绝对值最小的为.
4.若为插值型求积公式,，是n次L a g r a n g e插值基函数，令则.
5.设酉矩阵,且则的不变因子
.
三.(8分)设，求的有理标准形.
题号12345678910平时成绩成绩得分
四.(8分)求解初值问题
五.(8分)已知线性方程组为
(1)写出S e i d e l迭代格式，(2)判断迭代格式收敛性.
六.（8分）由下列插值条件
1.631.731.95
2.282.53
14.09416.84418.47520.96323.135
用三次N e w t o n插值多项式计算的近似值(结果保留至小数点后第3位)
七.（10分）用算法求积分的近似值，并将计算结果
列于下表（计算结果保留至小数点后第5位）0
1
2
3
4
八.(10分)用L e g e n d r e 多项式求函数
在上的三次最佳平方逼近，并求(结果保留到小数点后第5位，取
)
九.(8分)写出用标准R u n g e-K u t t a方法解下列初值问题的计算公式.
十.(10分)证明
1.内积空间中的任何正交系都是线性无关的.
2.,则。