工程数学基础2014年试卷

课程名称：工程数学基础 课程编号：S131A035 学院名称： 教学班 学号： 姓名：
一. 判断 （10分）
1．设X 是数域K 上的线性空间,12,M M 是X 的子空间, 则12⋂M M 是X 的
线性子空间. （ ） 2．设A C A n
n ,⨯∈相似于对角阵的充分必要条件是其特征多项式无重零点 . （ ）
3．设是],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的Lagrange 插值基函数，则
()1==∑n
k k l x . （ ）
4. 解线性方程组Ax b =，若A 是正定矩阵，则G-S 迭代格式收敛。

( )
5. 设(,
)x X ∈，当0x ≠时，必有0x >. ( )
6. 差商与所含节点的排列顺序无关. （ ） 7．对任意,n n
A ⨯∈
A e 可逆.（ ）
8. 若Jacobi 迭代格式收敛，则Seidel 迭代格式收敛.（ ） 9. 设(,)∈x,y X ，则00,x,y x =⇔=或0y =.（ ）
10.设3
3⨯∈C A 的Jordan 标准形⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212J ，则A 的最小多项式为 2(2)λ-. （ ）
二. 填空(10分)
1. 设 201361A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
, 则A 的Jordan 标准型为 . 2. 具有1n +个不同求积节点的插值型求积公式，至少具有 次代
数精度
3．设200010011A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则=∞)(A Cond . 4. Cotes 求积系数()
n k
C
满足()0
n
n k k C ==∑ 。

5. 2
()2-1f x x =，则0123
[2,2,2,2]f = 。

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三. (12分) 设
122
224
242
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=--
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
，求A的Jordan标准形J.和有理标准形
C. 四. (14分) 设
011
110
101
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
, （1）求A的最小多项式()
ϕλ; （2）求e At.
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五. (12分) 已知线性方程组为
1
2
3
2136 1408 2112
x
x
x
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(1) 写出Jacob迭代格式和Seidel迭代格式，(2) 判断迭代格式收敛性. 六. (12分) 已知下列插值条件
(1)用3次Newton插值多项式计算(78.60)
f的近似值（结果保留到小数点后第5位）。

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七.(14分) 对积分
1
3
1
1
dx
x
+
⎰，用Romberg方法计算积分的近似值，并将结
果填入下表（结果保留至小数点后第五位）.
八．（8分）已知
010
001
254
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
，求A的谱半径()A
ρ和
1
,
A A
∞。

九．（8分）设⋅是n n
C⨯上的范数，n n
S C⨯
∈是可逆矩阵。

若对任意n n
A C⨯
∈，
定义：1
S
A S AS
-
=，试证明：
S
⋅也是n n
C⨯上的范数。

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