举例说明化归三个方法
《数学方法论》数学中的化归方法
第五章 数学中的化归方法就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。
对于上述问题、匈牙利着名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter ）在其名着《无穷的玩艺》中曾通过一个有趣的事例进行分析。
她所给出的事例是这样的：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答。
但是，他又追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。
但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。
”罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。
这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。
”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。
本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。
§5.1 化归方法的基本思想与原则人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。
例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。
这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。
“化归”是转化和归结的简称。
化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段。
立体几何中的化归方法
立体几何中的化归方法立体几何中的化归方法: 一种利用几何图形关系对复杂问题进行归类和解决的有效方法。
立体几何学是一门涉及几何图形、几何性质和几何结构的学科，它主要讨论几何关系和几何图形之间的关系，也就是所谓的立体几何结构或几何形状。
立体几何中的化归方法可以定义为利用一组简单的规则、运算和几何性质，将复杂的几何形状化简为更加简单的表达。
这种方法有助于深入理解几何形状和结构，从而更好地探索立体几何。
一、化归方法概述化归方法指的是将复杂的几何形状、几何面、立体几何图形等简化为更简单或更高维度的形式。
这样做的目的是使复杂结构体可以更加容易分析，从而获得更准确和更完整的信息。
一般来说，化归方法包括多种形式的几何形状的化简和标度变换，比如多边形的等边化、几何体的局部平头和部分形变等等。
二、多边形的等边化多边形的等边化是将多边形化简为其边数相同的多边形的方法，它的目的是将多边形结构降低到最小的维度，减少复杂的几何关系，捕捉多边形的基本特征。
等边化可以通过几何性质，如折线两点、多边形外接圆半径、多边形内角和外角、多边形各边长等来完成，也可以利用数学算法来实现。
三、几何体的局部平头几何体的局部平头是将复杂几何体分解成更简单几何体的方法，它可以通过几何描述完成，也可以利用特殊的化归规则完成。
局部平头的一般过程是先划分几何体的表面成不同的片，然后将这些片尽可能地降低维度，再通过变形来保持几何结构的完整性。
在描述几何体时，局部平头可以使几何体划分成有大小关系的子部分，它也可以使几何形状简化成更为结构清晰的形式，从而更容易理解。
四、几何体的部分形变几何体的部分形变是将较复杂的几何体变形成较简单几何体的一组规则和运算，这些规则和运算可以将复杂的几何体变形成包含较少面的几何体，从而减少几何的复杂度。
部分形变的常见技术有扭转形变、壁弯曲形变、面展开形变、面缩减形变和折叠形变等。
它们可以通过改变复杂几何体的特定点，或者给定特定点的投影，从而改变一个给定几何体的形状，从而获得一个更加简单的几何体。
1.2化归法
二、几种常见化归方法
根据化归的对象分类，主要有如下三种情形：
1、转化已知条件 在解题过程中，常常要对已知条件进行转化
（包括条件的分解、组合、变形假设等）。
[例1] 已知五（1）班学生人数不少于40人，做广
播操时，若每排站4人，最后一排差3人；若每排站
3人，最后一排差2人；若没排站2人，最后一排差1 人；问班级人数最少有几人？
分析： 把每种站法“最后一排差几人”理解为“最后 一排多1人” 则问题便转化为求4、3、2的某个公倍数。 即 [4、3、2]=12 12×4+1=49（人）
例2 求396的所有约数的和 例3 在数字中间加上适当的运算符号（和括 号），使下面的等式成立 4 4 4 4 ＝0
例4 已知n是满足下列条件的四位数，它 是6的倍数，每个数位上的数字都是7或8，
试求 n 的值。
3
2、转化问题
在解题过程中，有时要转化题目的未知成分以实 现化归。 例6 求自然数1～100中不能被3整除的所有数的和。 分析：直接求满足条件的数的和，计算比较复杂，
如果把问题转化为求“自然数1～100的和”以及“自
然数1～100中能被3整除的数的和”，问题即可解决。
3、转化整个题目 有时需要转化整个题目来实现化归。 例7 四个一样的长方形和一个小的正方形， 大正方形的面积是49平方米，小正方形的面 积是9平方米，问长方形的长和宽各为几米？
化归法
一、化归法 所谓“化归法”，是指把有待解决的问题， 通过某种转化过程，归结为一类已经解决或容易 解决的问题。 化归法的核心是转化，化归法有三个要素： （1）化归的对象。即问题中需要改变的成份， 是改变整个题目，还是只改变它的条件或问题 （2）化归的目标。是化难为易、化繁为简，还 是将陌生的问题转化为熟悉的问题 （3）化归的方法。即转化的途径，这是化归的 关键
第七章 化归、反演、模型方法
4 而 sin x cos x 1 sin x cos x 2 1 1 (t 2 1), 2 2
a 2 at 于是, y=f(t)
1 1 2 1 2 (t a ) a . 2 2 2
1 2 1 1 (t 1) t 2 at a 2 2 2 2
四、等与不等的转化与化归 例4 若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都 有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2010)= . 思维启迪 通过两个不等关系,转化为f(x+1)= f (x)+1这个等量关系. 解 ∵f(x+1)≤f(x+3)-2≤f(x)+3-2=f(x)+1,
ax4+bx2+c=0(a≠0)
通过换元，化归为一元二次方程就是将该问 题模式化，规范化。
化归方法包括三个要素： 化归对象------即把什么东西进行化归；
化归目标-------即化归到何处去；
化归途径-------如何进行化归。
上面所举的例子中，
化归的对象----双二次方程； 化归的目标----一元二次方程；
1 或x 8, 2
∴x的取值范围是 (0, 1 ) (8, ).
2
二、正难则反的转化与化归
例2 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3, y=x2+(a1)x+a2, y=x2+2ax-2a 中至少有一条与x轴相交，求
实数a的取值范围.
思维启迪 三条抛物线中至少有一条与 x 轴相交 的情况比较多，反面为三条抛物线与x轴都不相 交，只有一种情况. 解 令y=0，由
一、化归的思想方法.doc
一、化归的思想方法化归是解决数学问题常用的思想方法。
化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。
客观事物是不断发展变化的,事物之间的相互联系和转化,是现实世界的普遍规律。
数学中充满了矛盾,如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等,实现这些矛盾的转化,化未知为已知,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化困难为容易,都是化归的思想实质。
任何数学问题的解决过程,都是一个未知向已知转化的过程,是一个等价转化的过程。
化归是基本而典型的数学思想。
在教学平面图形求积公式中,就以化归思想、转化思想等为理论武器,实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应,从而构建和完善了学生的认知结构。
二、归纳的思想方法在研究一般性性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。
数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。
在解决数学问题时运用归纳思想,既可认由此发现给定问题的解题规律,又能在实践的基础上发现新的客观规律,提出新的原理或命题。
因此,归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃。
三、符号化的思想方法数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。
符号就是数学存在的具体化身。
英国著名数学家罗素说过:“什么是数学?数学就是符号加逻辑。
”数学离不开符号,数学处处要用到符号。
怀特海曾说:“只要细细分析,即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便,甚至是必不可少的。
”数学符号除了用来表述外,它也有助于思维的发展。
如果说数学是思维的体操,那么,数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。
现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。
人教版教材从一年级就开始用“□”或“()”代替变量x,让学生在其中填数。
例如:1+2=□,6+()=8,7=□+□+□+□+□+□+□;再如:学校有7个球,又买来4个。
举例说明化归三个方法
举例说明化归三个方法化归三个方法是以有效、统一的管理方式来进行组织内部资产信息化处理的一种规范。
化归三个方法旨在通过改变组织内部信息管理方式，提高管理效率、提升数据控制和预防数据泄露的问题。
化归三个方法的核心思想是通过有效的管理方式，将组织内部的资产信息做到归类、统一和有效的处理，并且能够最大限度的利用这些信息资源。
组织信息化的实现就是针对组织的整体发展而开展的，这也就把化归三个方法变成必要的一步。
化归三个方法的有效实施，可以极大的促进组织信息化的进一步发展。
化归三个方法可以大致分为：信息资产归类管理、信息资产统一管理和信息资产有效管理三个层面。
首先，信息资产归类管理是指把组织内部信息资产按照其内容、传播途径、目的、类型等方面进行归类，以便在信息流通和处理的过程中更好的管理和控制。
其次，信息资产统一管理是指把组织内部信息资产统一管理、保管和使用，使信息流动、使用、存储和控制等都能够统一管理，达到安全，有效，可控的效果。
最后，信息资产有效管理是指每一条信息资产在任何时候都可以有效的管理和控制，以达到最大的效能和效用。
以上就是化归三个方法的主要思路，它包含了组织内部信息资产的归类、统一和有效管理，从而为组织信息化的发展提供了有效的保障。
在实际的组织管理中，内部信息资产随着组织发展的不断变化，如何能够有效管理这些数据，是组织管理者面临的一个重要问题。
通过科学有效的化归三个方法，可以正确对待和有效利用组织内部信息资产，以提高组织信息化的效率，防止数据泄露，加强安全保护，提升组织信息化水平。
以银行业为例，银行内部信息资产是非常重要的，其中主要包括客户管理信息、资金管理信息、收付款信息等。
因此，采用化归三个方法，将客户管理信息、资金管理信息、收付款信息归类、统一和有效管理，有助于提高银行的客户服务水平，增加银行的合作机会，提升银行服务的便捷性，保护客户的隐私安全，实现银行信息化的管理。
总之，化归三个方法是对组织内部信息资产有效管理和管理效率提高的重要手段。
八种化归策略助你轻松解题
八种化归策略助你轻松解题李苏娟(江苏省兴化市戴泽初级中学㊀２２５７２１)摘㊀要:化归是一种重要的数学思想方法ꎬ是解决数学问题的有力武器.将数学问题进行化归的主要途径有多元向一元化归㊁高次向低次化归㊁分式向整式化归㊁无限向有限化归㊁部分向整体化归㊁陌生向熟悉化归㊁数形之间化归㊁实际问题向数学问题化归.关键词:数学解题ꎻ化归策略ꎻ中考试题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０２－００１６－０３收稿日期:２０１８－１１－０５作者简介:李苏娟(１９７５.１２－)ꎬ女ꎬ江苏省泰州人ꎬ中学高级教师ꎬ本科ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:江苏省教育厅２０１６年中小学课程建设项目«基于学生数学核心素养的实验课程建设».江苏省教育科学 十二五 规划重点课题 初中数学教材中阅读材料导读策略研究(Ｅ－ｂ/２０１３/０２３).江苏省中小学教研室第１０期研究课题 初中数学阅读内容教学的策略研究 (２０１３ＪＫ１０－Ｌ２１６).㊀㊀ 化归 是转化和归结的简称ꎬ所谓化归思想ꎬ就是把所要解决的问题转化归结为另一个较易解决的问题或已经解决的问题ꎬ具体地说ꎬ就是把 新知识 转化为 旧知识 ꎬ把 未知 转化为 已知 ꎬ把 复杂 转化为 简单 ꎬ把 陌生 转化为 熟悉 .一言以蔽之ꎬ解题过程的实质就是转化过程.化归思想注重寻求问题与已有知识经验的逻辑关联ꎬ从而化生为熟㊁化繁为简㊁化隐为显㊁化难为易ꎬ使问题得以顺利解决.下面举例说明常用的八种化归策略ꎬ希望能助你轻松解题.㊀㊀一㊁多元向一元化归例１㊀(２００６年全国初中数学竞赛试题)已知ａꎬｂꎬｃ为整数ꎬ且ａ＋ｂ＝２００６ꎬｃ－ａ＝２００５.若ａ<ｂꎬ则ａ＋ｂ＋ｃ的最大值为.分析㊀要求ａ＋ｂ＋ｃ的最大值ꎬ由于ａꎬｂꎬｃ都是不确定的整数ꎬ所以这里有三个变元.为了减少变元的个数ꎬ我们可利用已知条件ａ＋ｂ＝２００６ꎬｃ－ａ＝２００５ꎬ采用消元法来达到目的.解㊀将ａ＋ｂ＝２００６ꎬｃ＝ａ＋２００５两边相加得ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ＋４０１１.因为ａ<ｂꎬａ㊁ｂ为整数ꎬａ＋ｂ＝２００６ꎬ所以ａ的最大值为１００２ꎬ于是ａ＋ｂ＋ｃ的最大值为５０１３.点评㊀这里待确定最大值的代数式中有三个变元ꎬ确定每一个变元的最大值都有一定的难度.我们利用整体思想ꎬ从整体上思考ａ＋ｂ＋ｃ的最大值ꎬ再借助于消元法得到只有一个变元的代数式ａ＋４０１１ꎬ从已知条件中找出ａ的最大值ꎬ则问题就迎刃而解了.解决多元问题的基本思想是消元ꎬ将其转化为一元ꎬ消元的基本方法是代入法和加减法.㊀㊀二㊁高次向低次化归例２㊀(２０１７年江苏省镇江市中考题)已知实数ｍ满足ｍ２－３ｍ＋１＝０ꎬ则代数式ｍ２＋１９ｍ２＋２的值等于.分析㊀注意到求值式中含有ｍ２ꎬ而已知条件ｍ２－３ｍ＋１＝０可以变形为ｍ２＝３ｍ－１ꎬ利用它即可运用逐步降次的方法来求出代数式的值.解㊀由ｍ２－３ｍ＋１＝０ꎬ可得ｍ２＝３ｍ－１.将ｍ２＝３ｍ－１代入ꎬ则ｍ２＋１９ｍ２＋２＝３ｍ－１＋１９３ｍ－１＋２＝３ｍ－１()３ｍ＋１()３ｍ＋１＋１９３ｍ＋１＝９ｍ２＋１８３ｍ＋１＝９ｍ２＋２()３ｍ＋１＝９(３ｍ－１＋２)３ｍ＋１＝９３ｍ＋１()３ｍ＋１＝９.点评㊀本题若将求值式直接通分ꎬ则会出现４次方ꎬ求值困难.一般地ꎬ对于高次问题ꎬ常采用上述方法来逐步降次ꎬ达到解决问题的目的.下面的问题你不妨运用这个方法试一试:(２０１７年四川省内江市中考题)若实数ｘ满足ｘ２－２ｘ－１＝０ꎬ则２ｘ３－７ｘ２＋４ｘ－２０１７＝.(答案:－２０２０)㊀㊀三㊁分式向整式化归例３㊀(２０１７年贵州省黔东南州中考题)分式方程６１３ｘｘ＋１()＝１－３ｘ＋１的根为(㊀㊀).Ａ.－１或３㊀㊀Ｂ.－１㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.１或－３分析㊀把分式方程转化成整式方程ꎬ求出整式方程的解ꎬ再代入最简公分母ｘ(ｘ＋１)进行检验ꎬ排除增根即可.解㊀方程两边同时乘以ｘ(ｘ＋１)ꎬ得３＝ｘ(ｘ－２)ꎬ整理得ｘ２－２ｘ－３＝０ꎬ解得ｘ１＝－１ꎬｘ２＝３.当ｘ＝－１时ꎬｘ(ｘ＋１)＝０ꎬ舍去ꎻ当ｘ＝３时ꎬｘ(ｘ＋１)＝１２ʂ０ꎬ所以ｘ＝３是原分式方程的解ꎬ选Ｃ.点评㊀解分式方程的基本思想是转化ꎬ即将分式方程转化为整式方程来求解.但必须注意:(１)去分母时各项都要乘最简公分母ꎬ不能漏乘ꎻ(２)去括号时要注意括号前的符号ꎻ(３)移项要变号ꎻ(４)一定要检验.㊀㊀四㊁无限向有限化归例４㊀(２０１７年浙江省衢州市中考题)如图１ꎬ正әＡＢＯ的边长为２ꎬＯ为坐标原点ꎬＡ在ｘ轴上ꎬＢ在第二象限ꎬәＡＢＯ沿ｘ轴正方形作无滑动的翻滚ꎬ经一次翻滚后得әＡ１Ｂ１Ｏꎬ则翻滚３次后点Ｂ的对应点的坐标是㊀㊀ꎬ翻滚２０１７次后ＡＢ中点Ｍ经过的路径长为㊀㊀.分析㊀先求出点Ｂ和点Ｂ３的坐标ꎬ再探究出其中的规律后ꎬ利用规律将无限向有限转化ꎬ进而解决问题.解㊀如图１ꎬ先求出Ｂ点坐标为(－１ꎬ３)ꎬ根据图形变换规律ꎬ每三次翻滚一周翻滚前后对应点横坐标加６ꎬ纵坐标不变ꎬ故Ｂ点变换后的对应点Ｂ３的坐标为(－１＋６ꎬ３)ꎬ即(５ꎬ３).作Ｂ３Ｅʅｘ轴于点Ｅꎬ易知ＯＥ＝５ꎬＢ３Ｅ＝３.观察图象可知ꎬ每三次翻滚为一个循环周期.在每个循环中ꎬ点Ｍ分别沿着三个圆心角为１２０ʎ的扇形运动ꎬ三个扇形的半径分别为３㊁１㊁１ꎬ因此在一个循环中ꎬ中点Ｍ的运动路径的长度为１２０π ３１８０＋１２０π １１８０＋１２０π １１８０＝２３＋４３π.由２０１７ː３＝６７２ １ꎬ可知翻滚２０１７次后ＡＢ中点Ｍ经过的路径长度为６７２ ２３＋４３π＋１２０π ３１８０＝(１３４６３３＋８９６)π.点评㊀本题考查点的运动轨迹的确定及其长度的计算㊁规律的探索㊁扇形的弧长公式㊁等边三角形的性质等知识ꎬ解题的关键是从特殊到一般探究出规律ꎬ再利用规律将无限向有限化归ꎬ进而顺利地解决问题.㊀㊀五㊁部分向整体化归例５㊀(２０１７年辽宁省朝阳市中考题)如图２ꎬ分别以五边形ＡＢＣＤＥ的顶点为圆心ꎬ以１为半径作五个圆ꎬ则图中阴影部分的面积之和为(㊀㊀).Ａ.３２π㊀㊀㊀Ｂ.３π㊀㊀㊀Ｃ.７２π㊀㊀㊀Ｄ.２π分析㊀由于五个圆的半径均为１ꎬ根据扇形面积公式Ｓ＝ｎπｒ２３６０ꎬ只要求出５个扇形的圆心角ꎬ即可求出图中阴影部分的面积.但这５个扇形的圆心角度不知道ꎬ分别求解无法进行.观察图形发现ꎬ可转化为求５个圆形中的空白部分的面积之和ꎬ而这５个圆形中的空白部分圆心角之和等于五边形的内角和ꎬ再用５个圆形的面积减去圆形中的５个空白部分的面积即可得到阴影部分的面积.解㊀ȵ五边形的内角和为(５－２)ˑ１８０ʎ＝５４０ʎꎬʑ５个圆形的空白部分的面积之和Ｓ＝５４０ˑπˑ１２３６０＝３２πꎬʑ图中阴影部分的面积之和为５πｒ２－３２π＝５π－３２π＝７２πꎬ故选Ｃ.点评㊀有些问题ꎬ从表面上看要局部求出有关量ꎬ但若从整体上去把握这些量之间的关系ꎬ则思路更明朗ꎬ方法更巧妙.㊀㊀六㊁陌生向熟悉化归例６㊀(２０１７年四川省宜宾市中考题)规定:[ｘ]表示不大于ｘ的最大整数ꎬ(ｘ)表示不小于ｘ的最小整数ꎬ[ｘ)表示最接近ｘ的整数(ｘʂｎ＋０.５ꎬｎ为整数)ꎬ例如:[２.３]＝２ꎬ(２.３)＝３ꎬ[２.３)＝２.则下列说法正确的是㊀㊀.(写出所有正确说法的序号)①当ｘ＝１.７时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝６ꎻ②当ｘ＝－２.１时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝－７ꎻ③方程４[ｘ]＋３(ｘ)＋[ｘ)＝１１的解为１<ｘ<１.５ꎻ④当－１<ｘ<１时ꎬ函数ｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ的图象与正比例函数ｙ＝４ｘ的图象有两个交点.分析㊀根据规定的[ｘ]㊁(ｘ)㊁[ｘ)的意义ꎬ将陌生的数的计算㊁方程与不等式的解法和函数图象的交点坐标问题转化为常规的问题来处理ꎬ再结合给出的说法进行判断ꎬ得到答案.解㊀①当ｘ＝１.７时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝[１.７]＋７１(１.７)＋[１.７)＝１＋２＋２＝５ꎬ故①错误ꎻ②当ｘ＝－２.１时ꎬ[ｘ]＋(ｘ)＋[ｘ)＝[－２.１]＋(－２.１)＋[－２.１)＝(－３)＋(－２)＋(－２)＝－７ꎬ故②正确ꎻ③当１<ｘ<１.５时ꎬ４[ｘ]＋３(ｘ)＋[ｘ)＝４ˑ１＋３ˑ２＋１＝４＋６＋１＝１１ꎬ故③正确ꎻ④ȵ－１<ｘ<１ꎬʑ当－１<ｘ<－０.５时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝－１＋０＋ｘ＝ｘ－１ꎻ当－０.５<ｘ<０时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝－１＋０＋ｘ＝ｘ－１ꎻ当ｘ＝０时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝０＋０＋０＝０ꎻ当０<ｘ<０.５时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝０＋１＋ｘ＝ｘ＋１ꎻ当０.５<ｘ<１时ꎬｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ＝０＋１＋ｘ＝ｘ＋１.ȵｙ＝４ｘꎬ当ｘ－１＝４ｘ时ꎬ得ｘ＝－１３ꎬ此时ｙ＝－４３ꎻ当ｘ＋１＝４ｘ时ꎬ得ｘ＝１３ꎬ此时ｙ＝４３ꎻ当４ｘ＝０时ꎬｘ＝０ꎬ此时ｙ＝０ꎻʑ当－１<ｘ<１时ꎬ函数ｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ的图象与正比例函数ｙ＝４ｘ的图象有三个交点ꎬ故④错误.综上ꎬ答案为②③.点评㊀对于新定义运算问题ꎬ关键是要认真读题ꎬ正确领会所给运算规则ꎬ将其转化为常规运算来处理.由于[ｘ)表示最接近ｘ的整数ꎬ为了排除ｘ＝ｎ＋０.５(ｎ为整数)的情况ꎬ题目附加了条件ｘʂｎ＋０.５(ｎ为整数)ꎬ因此需要将－１<ｘ<１分解为－１<ｘ<－０.５㊁－０.５<ｘ<０㊁ｘ＝０㊁０<ｘ<０.５㊁０.５<ｘ<１这五种情况来将函数ｙ＝[ｘ]＋(ｘ)＋ｘ化归为常规函数ꎬ再分别确定它们与正比例函数ｙ＝４ｘ的图象的交点情况ꎬ最后得出结论.㊀㊀七㊁数形之间化归例７㊀(２０１７年四川省乐山市中考题)庄子说:一尺之椎ꎬ日取其半ꎬ万世不竭 .这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想ꎬ用图形语言表示为图３ꎬ按此图分割的方法ꎬ可得到一个等式(符号语言):１＝１２＋(１２)２＋(１２)３＋ .图４也是一种无限分割:在әＡＢＣ中ꎬøＣ＝９０ʎꎬøＢ＝３０ʎꎬ过点Ｃ作ＣＣ１ʅＡＢ于点Ｃ１ꎬ再过点Ｃ１作Ｃ１Ｃ２ʅＢＣ于点Ｃ２ꎬ又过点Ｃ２作Ｃ２Ｃ３ʅＡＢ于点Ｃ３ꎬ如此无限继续下去ꎬ则可将әＡＢＣ分成әＡＣＣ１㊁әＣＣ１Ｃ２㊁әＣ１Ｃ２Ｃ３㊁әＣ２Ｃ３Ｃ４㊁ ㊁әＣｎ－２Ｃｎ－１Ｃｎ㊁ .假设ＡＣ＝２ꎬ这些三角形的面积和可以得到一个等式是㊀㊀.解㊀不难得到这一系列三角形是相似的ꎬ它们的相似比是３２ꎬ因而它们的面积比是３４.又ＳәＡＣＣ１＝１２ˑ１ˑ３＝３２.ＳәＡＢＣ＝１２ˑ２ˑ２３＝２３ꎬ从而得到２３＝３２[１＋３４＋(３４)２＋(３４)３＋ ＋(３４)ｎ－１＋(３４)ｎ＋ ].点评㊀这里通过对图形的无限分割ꎬ借助于图形面积的计算ꎬ利用总体等于部分之和ꎬ得到了一个数量等式ꎬ是数形之间化归的典范.㊀㊀八㊁实际问题向数学问题化归例８㊀(２０１７年浙江省绍兴市中考题)如图５为某城市部分街道示意图ꎬ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬ点Ｇ在对角线ＢＤ上ꎬＧＥʅＣＤꎬＧＦʅＢＣꎬＡＤ＝１５００ｍꎬ小敏行走的路线为ＢңＡңＧңＥꎬ小聪行走的路线为ＢңＡңＤңＥңＦ.若小敏行走的路程为３１００ｍꎬ则小聪行走的路程为㊀㊀ｍ.分析㊀本题的难点是如何用小敏行走的路程来求小聪行走的路程ꎬ即小聪行走的路程与小敏行走的路程存在怎样的关系.比较两人走的路线ꎬ发现小敏走的路程为ＡＢ＋ＡＧ＋ＧＥ＝１５００＋(ＡＧ＋ＧＥ)＝３１００ꎬ则ＡＧ＋ＧＥ＝１６００ｍꎬ小聪走的路程为ＢＡ＋ＡＤ＋ＤＥ＋ＥＦ＝３０００＋(ＤＥ＋ＥＦ).下面关键是寻找ＡＧ＋ＧＥ与ＤＥ＋ＥＦ的关系ꎬ这样就把实际问题转化为数学问题.观察图形可知ꎬ正方形的对角线平分一组对角ꎬＧＥʅＤＣꎬ易得ＤＥ＝ＧＥꎬ于是只要说明ＡＧ＝ＥＦ即可ꎬ而ＥＦ是矩形ＣＥＧＦ的对角线ꎬ易知ＥＦ＝ＣＧ.于是ꎬ连接ＣＧꎬ由正方形的对称性易知ＡＧ＝ＣＧꎬ从而问题获解.点评㊀本题初看上去比较复杂ꎬ但经过分解化归ꎬ问题得到了简化ꎬ即寻找ＡＧ＋ＧＥ与ＤＥ＋ＥＦ的关系ꎬ再结合几何图形的特点ꎬ便将问题化归为说明正方形中两条线段相等的问题ꎬ然后运用正方形㊁矩形的有关知识ꎬ很快找到了解决问题的途径.至此我们发现ꎬ本题主要考查正方形的性质㊁全等三角形的性质和判定㊁矩形的性质及等腰三角形的性质.解决问题的关键是证明ＡＧ＝ＥＦꎬＤＥ＝ＧＥ.㊀㊀参考文献:[１]钱德春.动态问题思路分析㊁立意解析与价值探析[Ｊ].中学数学杂志:初中ꎬ２０１７(８):５２－５６.[２]李慧祥ꎬ陈德前.借助实验操作寻找解题途径[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１６(２):１６－１８.[３]陈德前.模型烹大餐㊀教学得启示[Ｊ].中学数学教学参考:初中ꎬ２０１３(７):４８－５０.[责任编辑:李克柏]８１。
第五章数学中的化归方法
第五章数学中的化归方法数学中的化归方法在不同的学科和领域中都有广泛的应用，从初等数学到高等数学，无一不离开化归方法的运用。
化归方法是指将一个复杂的问题通过其中一种方式转化为一个相对简单的问题，从而更容易解决。
下面将介绍一些常见的化归方法及其在数学中的应用。
一、代数化归法代数化归法是将一个数学问题通过代数运算转化为一个简单的代数关系或方程，并从中得出解的方法。
例如，在解方程问题中，经过代数化归可以将一个高次方程化归为一个低次方程，从而更容易求解。
代数化归法也常应用于恒等式的证明，通过代数运算将一个复杂的恒等式转化为一个简单的恒等式，从而完成证明。
二、几何化归法几何化归法是将一个几何问题通过几何变换转化为一个简单的几何问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解三角形问题中，可以通过几何化归将一个三角形问题转化为一个矩形问题或平行四边形问题，从而更容易解决。
几何化归法也常应用于证明几何定理，通过几何变换将一个复杂的几何问题转化为一个简单的几何问题，并利用已知定理得出结论。
三、数列化归法数列化归法是将一个数列问题通过数列变换转化为一个简单的数列问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解数列极限问题中，可以通过数列化归将一个复杂的数列极限问题转化为一个简单的数列极限问题，从而更容易求解。
数列化归法也常应用于求解递推数列问题，通过数列变换将一个递推数列问题转化为一个简单的递推数列问题，并从中得出通项表达式或递推公式。
四、微积分化归法微积分化归法是将一个微积分问题通过微积分运算转化为一个简单的微积分问题，并从中得出解的方法。
例如，在求解定积分问题中，可以通过微积分化归将一个复杂的定积分问题转化为一个简单的定积分问题，从而更容易求解。
微积分化归法也常应用于求解微分方程问题，通过微积分运算将一个微分方程问题转化为一个简单的微分方程问题，并从中得出解析解或数值解。
除了以上提到的几种常见的化归方法，化归方法还可以通过其他数学工具和技巧实现，例如复数化归、矩阵化归、函数化归等。
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举例说明化归三个方法
化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从
而更容易解决。
下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对
称法。
一、代换法
代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、
更易解的问题。
例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。
解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。
设
y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3-
4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。
化简后得到y^3+2y-8=0。
这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。
例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。
解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。
设
n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于
r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证
明r=1,2,3的情况。
二、递推法
递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。
例3：求解斐波那契数列。
解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。
已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。
根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、
F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。
例4：求解汉诺塔问题。
解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。
已知当n=1时，只需要进行一次移动。
根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。
三、对称法
对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。
例5：求解圆与直线的交点。
解：我们可以利用对称法简化求解圆与直线的交点的问题。
设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为y = kx + c，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，k为直线斜率，c为截距。
观察圆的方程可以发现，如果将x平移到a的对称位置a'，y平移到b的对称位置b'，则交点的坐标也会发生对称变化。
因此，我们可以在圆心和直线上沿着对称位置的轴线进行变换，将原问题转化为一个相对简单的问题，然后再将计算得到的交点坐标转回到原坐标系中。
这样，我们可以通过寻找问题中的对称关系，简化求解过程。
以上是化归的三种常见方法的例子，代换法通过引入新的变量或函数将问题转化；递推法通过已知的特殊情况的解推导出一般解；对称法通过寻找问题中的对称关系简化求解过程。
这些方法在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。