直线与圆的方程的应用PPT
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高中数学选择性必修一(人教版)《2.5.1 第二课时 直线与圆位置关系的应用》课件
题型三 与圆有关的最值问题 [学透用活]
[典例 3] 已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
(1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设xy＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此 时|2kk2－＋01|＝ 3，解得k＝± 3(如图1)． 所以xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
即 S＝2 PM 2－4.
因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可， 即在直线 3x＋4y＋8＝0 上找一点 P，使得 PM 的值最小． 所以(PM)min＝|3＋45＋8|＝3， 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 PM2－4＝2 5.
谢 谢观看
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y
＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时
|2－0＋b|＝ 2
3，解得 b＝－2± 6(如图 2)．
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
[方法技巧] 与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如 μ＝xy－－ba形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最 值问题．
[方法技巧] 解决直线与圆的实际应用题的关键
利用直线与圆的有关知识解决实际问题的关键是把它转化 为数学问题，通过建立平面直角坐标系求圆的方程，进而使问 题得以解决．
题型二 用坐标法证明问题 [学透用活]
[典例 2] 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 AB⊥CD，E 为垂足．利用坐 标法证明 E 是 CD 的中点．
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
提示 要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何 元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来 解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义， 得到几何结论． 2．利用坐标法求解几何问题要注意什么？ 提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面 直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素． (2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影 响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所 需的几何元素坐标或方程尽量简单．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
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圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
直线与圆的位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
线的距离 d，通过比较 d 与 r 的大小，判断直线与圆的位置关系. 若相
交，则可利用勾股定理求得弦长.
例 2 过点 P(2 ，
1) 作圆 O : x 2 y 2 1 的切线 l，求切线 l 的方程.
解法 1：设切线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y 1 k ( x 2) ，
设直线 l 的方程为 y k x 2 ，即 kx y 2k 0 ，
由点到直线的距离公式，得
解得
2
2
.故选 C.
k
4
4
| k 2k |
k2 1
1 ，即 k 2
1
，
8
1 1
D. ,
8 8
2 2
3. 直线 y x 1 与圆 x 2 y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB ________.
2. 已知直线 l 过点 2,0 ，当直线 l 与圆 x 2 y 2 2 x 有两个交点时，其斜率
k 的取值范围是( C )
A. (2 2, 2 2)
B. ( 2, 2)
2 2
,
C.
4
4
解析：易知圆心坐标是 1,0 ，半径是 1，直线 l 的斜率存在.
3
( x 1) ，即 x 3 y 4 0 .
3
综上，所求切线方程为 x 3 y 4 0 或 x 3 y 4 0 .
3
.
3
（2）设圆心 O 到直线 AC ，BD 的距离分别为 d1 ，d2 d1 ，d2 0 ，则 d12 d 22 | OM |2 3 .
所以，所求切线 l 的方程为 y 1 ，或 4x 3 y 5 0 .
交，则可利用勾股定理求得弦长.
例 2 过点 P(2 ，
1) 作圆 O : x 2 y 2 1 的切线 l，求切线 l 的方程.
解法 1：设切线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y 1 k ( x 2) ，
设直线 l 的方程为 y k x 2 ，即 kx y 2k 0 ，
由点到直线的距离公式，得
解得
2
2
.故选 C.
k
4
4
| k 2k |
k2 1
1 ，即 k 2
1
，
8
1 1
D. ,
8 8
2 2
3. 直线 y x 1 与圆 x 2 y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB ________.
2. 已知直线 l 过点 2,0 ，当直线 l 与圆 x 2 y 2 2 x 有两个交点时，其斜率
k 的取值范围是( C )
A. (2 2, 2 2)
B. ( 2, 2)
2 2
,
C.
4
4
解析：易知圆心坐标是 1,0 ，半径是 1，直线 l 的斜率存在.
3
( x 1) ，即 x 3 y 4 0 .
3
综上，所求切线方程为 x 3 y 4 0 或 x 3 y 4 0 .
3
.
3
（2）设圆心 O 到直线 AC ，BD 的距离分别为 d1 ，d2 d1 ，d2 0 ，则 d12 d 22 | OM |2 3 .
所以，所求切线 l 的方程为 y 1 ，或 4x 3 y 5 0 .
人教A版高中数学必修二课件：圆的方程的综合应用 (共49张PPT)
点A29, 0．
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
《直线和圆方程》课件
《直线和圆方程》 ppt课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
直线和圆的方程复习课PPT课件
1
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．
3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
返回
7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．
3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
返回
7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
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.5, 52,
所以，圆的方程为：x2(y10.5)214.52 把 P 的2 横坐标 x 代2入 圆的方程得：
( 2)2(y 10.5 )214.52
由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m) 答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.
思考：不建立坐 标系,如何解决 这个问题?
B C
解法如下
作 P2H OP，在Rt△COA中 CA2CO2OA2
12 12
2即6b2+所6.以
故x-y最大值为2＋ 6,最小值为2- .6
y (2)设 x＝k,则y＝kx与x2＋y2-4x＋1＝0
2.如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平 面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0), Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上. |AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(xn)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).
2.向量的方法：
与圆有关的最值问题
1.已知点A(3,0)及圆x2+y2=4,则圆上一点P到
点A距离的最大值是 ,最小值是
.
【解析】1.方法一(几何法):圆的半径为2,圆心到点A的距离为3,结合 图形可知,圆上一点P到点A距离的最大值是3+2=5,最小值是3-2=1. 方法二(代数法):设P(x,y)是圆上任意一点,则 |PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4-x2=13-6x, 因为-2≤x≤2, 所以当x=-2时,|PA|max2=25,则|PA|max=5; 当x=2时,|PA|min2=1,则|PA|min=1. 答案:5 1
解：建立如图所示的 直角坐标系，使圆心
y
P2 P
在y轴上，设圆心的
x
坐标是（0，b），圆 A A1 A2 O A3 A4 B 的半径为r，那么圆的方程为：x2＋（y－b）2＝r2，
点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以有
02 +(4 102 + b2
b)2 = = r2,
r2
,解得：
b r
10 2 14.
M
O
N
O'
E
D
A x
过四边形外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂 线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、 AD的中点，由中点坐标公式，有：
xE
a 2
,
yE
d 2
,
xO'
xM
ac, 2
yO'
yN
bd 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所
在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，
d），过四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD 的垂线，垂足为M、O N 、E，则M、N、E分别为AC、
BD、AD的中点，y B
C
M
O
N
O'
E
A x
第一步:建立坐 标系，用坐标 表示有关的量.
D
由中点坐标公式，有：
xE
=
a 2
,
yE
=
d 2
,
几何方法 求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线( y b)2 r2 Ax By C 0
消去y
px2 qx t 0
d < r:相交 d = r:相切 d > r:相离
Δ> 0:相交 Δ= 0:相切 Δ< 0:相离
例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的 圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用 一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
分析：建立如图所示
y
P2 P
的直角坐标系，把实
际问题转化为数学问
x
题——求出圆拱桥所 A A1 A2 O A3 A4 B
在的圆的方程；然后解决这个实际问题——利用圆
的方程求出点P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解 释实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.
xM
=
xO'
=
a+c 2,
yN
=
yO'
=
b+d 2.
由两点间的距离公式，有：
第二步:进行 有关代数运算
O'E
= (d-b+d)2+(a-a+c)2 22 22
1 2
b2 c2，
B C b2 c2，
所以 O ' E 1 B C ， 2
第三步:把代数 运算结果翻译成
几何关系.
即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
【提升总结】
利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程
表示问题中的几何元素，将平面几何问题转 化为代数问题． 第二步：通过代数运算，解决代数问题． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
练习：课 13本 页 24题
练习.如图,直角△ABC的斜边长为定值2m,以斜边 的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于 P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
直线与圆的方程的应用
一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆 (x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为
d | AaBbC| 则
A2 B2
位置 d与r的大小关系
相离 d>r
相切 d=r
相交 d<r
图形
r d
dr
dr
交点个数
0个
1个
2个
判断直线和圆的位置关系
要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是
如何选取坐标系？ y
如图所示
O
x
探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(a，
0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的
长为多少？
y B
BC c2 b2
C
M
O
A x
E D
探究：四边形ABCD的外接圆圆心O′的坐标如何表示？
y B
C
与圆有关的最值问题
2.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,
则x-y的最大值和最小值分别是______和________.
y的最大值和最是 小值和 分别 x
x2+y2的最大值和最小值分别是_____和_____.
2.(1)设x-y＝b，则y＝x-b与圆x2＋y2-4x＋1＝0有公共点,
2b 3,
即
得 r 14.5.
在Rt△CP2H中，得 C H 2r2O A 22206.25 ，
又 OC14.5410.5,
H
B
OH=CH-OC3.86.
C
所以支柱A2P2的高度约是3.86m.
例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”，首先