抛物线与圆的综合教学内容
抛物线(单元教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册(
“抛物线”单元教学设计一、内容和内容解析（一）内容1.抛物线及其标准方程2.抛物线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析内容本质：本单元是在抛物线的几何情境中，抽象出抛物线的几何特征，然后建立其标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决简单的实际问题.蕴含的思想与方法：本单元最重要的、最根本的数学思想方法是数形结合与坐标法.当然，在解决问题的过程中，数形结合、转化与化归、分类整合等思想方法也发挥着重要作用.知识点上下位关系：本单元是在学习了直线与圆的方程、椭圆、双曲线的基础上学习的，特别是抛物线与椭圆、双曲线同属圆锥曲线，其研究路径与椭圆、双曲线大致相同，是椭圆与双曲线知识的延续.育人价值：本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严密精准地分析问题与解决问题，有助于发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等方面的素养.教学重点：抛物线的概念、标准方程与简单几何性质.二、目标和目标分析（一）单元目标1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.通过实例（抛物运动轨迹、探照灯反射镜面、卫星接收天线），知道抛物线在生产生活中有广泛应用.2.通过实际绘制抛物线的过程认识抛物线的几何特征，给出椭圆的定义.能类比椭圆、双曲线的方法，通过建立适当的坐标系，得到抛物线的标准方程.能在直观认识抛物线的图形特点的基础上，用抛物线的标准方程推导出抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.能用抛物线的定义、标准方程及简单几何性质解决简单的问题.能通过抛物线与方程的学习，进一步体会建立曲线的方程、用曲线的方程研究曲线性质的方法.3.通过将关于抛物线的实际问题转化为关于抛物线的数学问题，运用抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质解决关于抛物线的数学问题，从而解决关于抛物线的实际问题，发展数学建模素养.类比用直线方程与圆、椭圆、双曲线的方程研究直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系，用直线方程与抛物线的标准方程研究直线与抛物线的位置关系，知道直线与抛物线的公共点个数与直线的方程和抛物线的标准方程组成的方程组的解的个数的关系，从而体会用方程研究曲线的方法.三、教学问题诊断分析1.学生对坐标法已有了比较深的认识，通过前面直线、圆、椭圆、双曲线方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思想方法有了了解，但是，在建立抛物线方程的时候，如何建立坐标系是第一个教学问题.在教学中，应明确“适当”的“标准”是所得方程简单，能较好的反应曲线的性质，适当的方法是尽可能使曲线关于原点及坐标轴对称.观察抛物线知道，它具有对称性，并且过定点垂直于定直线的直线就是它的对称轴，在此基础上建立适当坐标系，通过对比几种建系的方程得出最简的.2.在掌握了开口方向向右的抛物线的标准方程之后，再考虑开口方向向左、向上、向下的抛物线的标准方程，是第二个教学问题.教学中，应通过类比来建坐标系得出方程.3.在研究抛物线的几何特征时，对于焦点弦问题，是第三个教学问题.在教学过程中，抓住两个方面——一元二次方程根与系数的关系及抛物线的定义，就能解决问题.4.在研究直线与抛物线的位置关系时，通过联立直线方程与抛物线方程得方程，由此判断直线与抛物线的位置关系，是第四个教学问题.在教学时，联立方程消元后，要注意二次项系数是否可以为0，要分类讨论.教学难点：（1）发现抛物线几何特征；（2）直线与抛物线的位置关系.四、教学支持条件分析学生已经学习了直线、圆、椭圆与双曲线，对解析几何的用坐标法研究曲线的基本思想与方法有了比较深入的了解.在本单元的教学中，充分运用网络画板的动态演示效果，包括演示圆锥曲线的统一定义、抛物线的几何特征、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系.五、课时教学设计本单元共3课时，具体分配如下：第1课时，抛物线及其标准方程；第2课时，抛物线的简单几何性质（一）；第3课时，抛物线的简单几何性质（二）.。
教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》
教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。
本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。
通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。
（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。
学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。
（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。
二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。
只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。
难点：抛物线的简单几何性质的应用。
要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。
四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
抛物线的准线和圆相切知识点
抛物线的准线和圆相切知识点
1.定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
2.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0).
3.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y 轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
4.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
5.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
6.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)。
直线和圆的位置关系有相离、相交、相切。
判定方法有两种：一是由直线与圆的公共点的个数来判断；二是由圆心到直线的距离与半径的关系来判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则结论为：相离：d＞r；相切：d=r；相交：d ＜r。
抛物线教案
抛物线教案(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--抛物线教案：抛物线及其标准方程索争科攀钢一中【教学目的】1．掌握抛物线的定义及其标准方程；2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；3．认识抛物线的变化规律.【教学重点】抛物线的定义及标准方程【教学难点】区分标准方程的四种形式【课时安排】两课时【教学过程】第一课时一、导入新课：通过前面的学习，我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线。
下面，我们就将学习抛物线的定义及其标准方程。
二、讲授新课：1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F 叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程。
2．抛物线的标准方程：23①推导过程：取过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，线段KF 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图8—20）。
设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2p x -=设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d 。
由抛物线的定义知，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222px y p x p x d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得y 2=2px （p >0） ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是2p x -=。
②抛物线标准方程的四种形式：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ，x 2=2py ，x 2=－2py 。
圆与抛物线相切问题
圆与抛物线相切问题圆与抛物线相切是一个经典的几何问题，涉及到圆和抛物线的性质以及它们相切的条件。
首先，我们来看一下圆和抛物线的基本性质。
圆是一个闭合的曲线，所有点到圆心的距离都相等。
圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径。
抛物线是一种二次曲线，其图像呈现出类似抛物体运动的形状。
抛物线的一般方程是y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数且a不等于0。
抛物线开口的方向取决于a的正负。
当圆与抛物线相切时，它们满足以下几个条件：1. 相切点处的切线相切于圆和抛物线，且切线垂直于相切点处的切线。
2. 相切点处的切线是圆和抛物线的公共切线。
为了找到圆与抛物线的相切点，我们需要解决一个联立方程组。
假设圆的方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，抛物线的方程是y =ax² + bx + c。
我们可以通过联立这两个方程组成的方程组，解出相切点的坐标。
另外，我们还可以利用切线的性质来解决这个问题。
在相切点处，圆和抛物线的切线斜率相等。
我们可以求出圆和抛物线在相切点处的切线方程，然后比较它们的斜率是否相等来判断它们是否相切。
总之，圆与抛物线相切是一个涉及到几何、代数和微积分知识的问题，需要综合运用这些知识来解决。
通过分析圆和抛物线的性质，以及切线的性质，我们可以找到它们相切的条件和相切点的坐标。
希望这个回答能够帮助你更好地理解圆与抛物线相切的问题。
高三数学《抛物线》教案
高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的第二节《抛物线》。
详细内容包括：1. 抛物线的定义与标准方程；2. 抛物线的简单几何性质；3. 抛物线的焦点、准线及其应用；4. 实践活动中抛物线的绘制。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；2. 培养学生运用抛物线的焦点、准线解决实际问题的能力；3. 激发学生学习兴趣，培养空间想象力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及焦点、准线。
难点：抛物线焦点、准线的求解与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 引入：通过展示生活中抛物线的实例（如抛物线运动、拱桥等），引出本节课的主题——抛物线。
2. 新课导入：讲解抛物线的定义，引导学生观察抛物线的特点，推导抛物线的标准方程。
3. 知识讲解：（1）抛物线的定义与标准方程；（2）抛物线的简单几何性质；（3）抛物线的焦点、准线及其应用。
4. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的焦点、准线；（3）抛物线在实际问题中的应用。
5. 随堂练习：针对例题进行变式训练，巩固所学知识。
6. 实践活动：分组讨论，利用学具绘制抛物线，观察抛物线的性质，加深对知识的理解。
六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 简单几何性质：对称性、开口方向、顶点、渐近线；4. 焦点、准线：F（p,0），x=p；5. 例题与解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）求抛物线x^2=4y的顶点、对称轴；（3）抛物线y^2=4x与直线y=2x+1相交，求交点坐标。
2. 答案：（1）焦点F（2,0），准线x=2；（2）顶点（0,0），对称轴y轴；（3）交点（2,5）。
高三数学《抛物线》教案
高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。
具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。
2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。
2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。
（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。
（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。
3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。
（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。
4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。
（2）求下列抛物线的标准方程。
5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。
（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。
六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。
2. 例题解答步骤。
3. 课后作业及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。
（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。
2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
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拔高专题 抛物线与圆的综合常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标 ，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。
再根据三角形的形状，再解决其它问题。
二、拔高精讲精练探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题例1: （2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），⊙M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A ，B 两点．（1）则点A ，B ，C 的坐标分别是A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ； （2）设经过A ，B 两点的抛物线解析式为y=14（x-5）2+k ，它的顶点为E ，求证：直线EA 与⊙M 相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）解：连接MC 、MA ，如图1所示：∵⊙M 与y 轴相切于点C ，∴MC ⊥y 轴，∵M （5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C （0，4），∵MD ⊥AB ，∴DA=DB ，∠MDA=90°，∴2254 =3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A （2，0），B （8，0）；（2）证明：把点A （2，0）代入抛物线y=14（x-5）2+k ，得：k=-94，∴E （5，-94），∴DE=94，∴ME=MD+DE=4+94=254，EA 2=32+（94）2=22516，∵MA 2+EA 2=52+22516=22516，ME 2=22516，∴MA 2+EA 2=ME 2，∴∠MAE=90°，即EA ⊥MA ，∴EA 与⊙M 相切；（3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）；理由如下： 由勾股定理得：BC=22OC OB +=2248+=45，分三种情况：①当PB=PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合， ∴P （5，4）；②当BP=BC=45时，如图2所示：∵PD=22BP BD -=2803-=71，∴P （5，71）；③当PC=BC=45时，连接MC ，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM=22PC MC -=2805-=55，∴PD=4+55，∴P （5，4+55）；综上所述：存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形， 点P 的坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）．【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=-12（x 2-7x+6）的顶点坐标为M ，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0），并指出顶点M 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR+AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标； （3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线．（1）解：∵y=-12（x 2-7x+6）=-12（x 2-7x ）-3=-12（x-72）2+258，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-12（x-72）2+258，顶点M 的坐标是（72，258）；（2）解：∵y=-12（x 2-7x+6），∴当y=0时，-12（x 2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A （1，0），B （6，0），∵x=0时，y=-3，∴C （0，-3）．连接BC ，则BC 与对称轴x=72的交点为R ，连接AR ，则CR+AR=CR+BR=BC ，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR 的值最小，最小值为2263+5．设直线BC 的解析式为y=kx+b ，∵B （6，0），C （0，-3），∴603k b b ⎨⎩+-⎧＝＝，解得231k b -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线BC 的解析式为：y=12x-3，令x=72，得y=12×72-3=-54，∴R 点坐标为（72，-54）； （3）证明：设点P 坐标为（x ，-12x 2+72x-3）．∵A （1，0），B （6，0），∴N （72，0），∴以AB 为直径的⊙N 的半径为12AB=52，∴NP=52，即（x-72）2+（-12x 2+72x-3）2=（52）2，化简整理得，x 4-14x 3+65x 2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x 1=1（与A重合，舍去），x 2=2，x 3=5（在对称轴的右侧，舍去），x 4=6（与B 重合，舍去），∴点P 坐标为（2，2）．∵M （72，258），N （72，0），∴PM 2=（2-72）2+（2-258）2=22564，PN 2=（2-72）2+22=254=40064，MN 2=（258）2=62564，∴PM 2+PN 2=MN 2，∴∠MPN=90°，∵点P 在⊙N 上，∴直线MP是⊙N 的切线．【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题例2:（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与x 轴相交于C （-2，0），D （-8，0）两点，与y 轴相切于点B （0，4）．（1）求经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E ，证明：直线CE 与⊙A 相切；（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F ，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标。
解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，把B （0，4），C （-2，0），D （-8，0）代入得：40420648c a b c a b c ⎧⎪⎨⎪-+⎩-+＝＝＝， 解得41452a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＝＝＝．∴经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式为：y=14x 2+52x+4；（2）∵y=14x 2+52x+4=14（x+5）2-94，∴E （-5，-94），设直线CE 的函数解析式为y=mx+n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则05429m n m n ⎧⎪⎨⎪-+⎩-+-＝＝，解得：3432m n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴y=34x+32，在y=34x+32中，令x=0，y=32，∴G （0，32）， 如图1，连接AB ，AC ，AG ，则BG=OB-OG=4-32=52，=52，∴BG=CG ，AB=AC ，在△ABG 与△ACG 中，AB ACBG CG AG AG ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABG ≌△ACG ，∴∠ACG=∠ABG ，∵⊙A 与y轴相切于点B （0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C 在⊙A 上，∴直线CE 与⊙A 相切；（3）存在点F ，使△BDF 面积最大， 如图2连接BD ，BF ，DF ，设F （t ，14t 2+52t+4），过F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，设直线BD 的解析式为y=kx+d ，则408dk d-+⎧⎨⎩＝＝，解得412k d ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝．∴直线BD 的解析式为y=12x+4， ∴点N 的坐标为（t ，12t+4），∴FN=12t+4-（14t 2+52t+4）=-14t 2-2t ，∴S △DBF =S △DNF +S △BNF =12OD •FN=12×8×（-14t 2-2t ）=-t 2-8t=-（t+4）2+16，∴当t=-4时，S △BDF最大，最大值是16，当t=-4时，14t 2+52t+4=-2，∴F （-4，-2）．【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D．已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）．（1）求此抛物线的表达式与点D的坐标；（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值。
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴420 64804a b ca b cc-++⎪+⎪-⎧⎨⎩＝＝＝，解得14324abc⎧⎪⎪⎪-⎨⎪-⎪⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为：y=14x2-32x-4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、BC，由勾股定理得：20，80AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）；（2）解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴804k bb⎨⎩+⎧＝＝，解得142k b -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为：y=-12x+4．设M （x ，14x 2-32x-4），如答图2-1，过点M 作ME ∥y 轴，交BD 于点E ，则E （x ，-12x+4）．∴ME=（-12x+4）-（14x 2-32x-4）=-14x 2+x+8．∴S △BDM =S △MED +S △MEB =12ME （x E -x D ）+12ME （x B -x E ）=12ME （x B -x D ）=4ME ，∴S △BDM =4（-14x 2+x+8）=-x 2+4x+32=-（x-2）2+36．∴当x=2时，△BDM 的面积有最大值为36；解法二：如答图2-2，过M 作MN ⊥y 轴于点N ．设M （m ，14m 2-32m-4），∵S △OBD =12OB •OD=12=16，S 梯形OBMN =12（MN+OB ）•ON=12（m+8）[-（14m 2-32m-4）]=-12m （14m 2-32m-4）-4（14m 2-32m-4），S △MND =12MN •DN=12m[4-（14m 2-32m-4）]=2m-12m （14m 2-32m-4），∴S △BDM =S △OBD +S 梯形OBMN -S △MND =16-12m （14m 2-32m-4）-4（14m 2-32m-4）-2m+12m （14m 2-32m-4）=16-4（14m 2-32m-4）-2m=-m 2+4m+32=-（m-2）2+36；∴当m=2时，△BDM 的面积有最大值为36．【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式，在解答此类问题时要注意构造出辅助线，利用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.。