圆与抛物线综合试题

综合测试题
命题人：于成翔
备注：本卷共八页，满分150分，本卷难度较大，试做班级2至5班，必做班级1班；
一、如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E 为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC
上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也Array是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你
同意他的看法吗请充分
．．说明理由．
二、已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E 在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请
说明理由．
三、如图15，点P 在y 轴上，P e 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交P e
C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于
D ，且P e 54AB =． （1）求点B
P C ，，的坐标； （2）求证：CD 是P e 的切线；
（3）若二次函数2
(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．
四、如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标．
（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上，求这个抛物线的解析式．
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｐ
Ｂ
Ｏ
x
y
（3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点说明理由．
五、如图3.以A(0，3)为圆心的圆与x 轴相切于坐标点O,与y 轴相交于点B,弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E, 且∠BEO = 600 , AD 的延长线交x 轴于点C.
（1)分别求点E, C 的坐标．
(2)求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．
(3)设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心, ME 为半径的圆与☉A 的位置关系，并说明理由．
六、如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O 1和⊙O 2，由重合状态．．．．
沿水平方向P
o
N M
E
D C
B A
y x
运动到互相外切．．．．
过程中的三个位置，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，分别连结O 1A 、O 1B 、O 2A 、O 2B 和AB 。

（1）如图②，当∠AO 1B =120°时，求两圆重叠部分．．．．图形的周长l ；(4分) （2）设∠AO 1B 的度数为x ，两圆重叠部分．．．．图形的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(4分)
（3）由(2)，若y =2x ，则线段O 2A 所在的直线与⊙O 1有何位置关系为什么除此之外，它们还有其它的位置关系，写出其它位置关系时x 的取值范围。

(4分)
七、如图，点A 在Y 轴上，点B 在X 轴上，且OA=OB=1，经过原点O 的直线L 交线段AB 于点C ，过C 作OC 的垂线，与直线X=1相交于点P ，现将直线L 绕O 点旋转，使交点C 从A 向B 运动，但C 点必须在第一象限内，并记AC 的长为t ，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当△AOC 和△BCP 全等时，求出t 的值。

（2）通过动手测量线段OC 和CP 的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论。

（3）①设点P 的坐标为（1,b ）,试写出b 关于t 的函数关系式和变量t 的取值范围。

②求出当△PBC 为等腰三角形时点P 的坐标。

A
B
O 1
O 2
②
A
B
O 1
O 2
③
A B
O 1 O 2
①
八、已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线2
14
y x
=
上的一个动点．（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的相切； （2）设直线PM 与抛物线2
14
y x =
的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．
九、（本小题满分10分）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P
是抛物线21
4y x =上的一个动点．（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直
线1y =-的相切；
（2）设直线PM 与抛物线2
14
y x =
的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．
B
C
D
F G O
十、如图：矩形的顶点在坐标原点O，OA在y轴上，A点坐标为（0，3），另一
边OB在x的正半轴上,点M是AC边的中点，点P是OB边上一动点,PF⊥OM，PE⊥BM，垂足分别为E、F．
（1）若四边形PEMF为矩形，求B点坐标；
（2）在（1）的条件下，求过A、M、B三点的抛物线解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点N，使得四边形AMON是平行四边形，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由。

十一、如图，梯形OABC中，BC∥AO，∠BAO=90°，B（－33，3），直线OC
的解析式为
y=－3x，将ΔOBC绕点C顺时针旋转60°后，O到O
1
，B到B
1
，得ΔO
1
B
1
C.
（1）求证：点O
1
在x轴上；
（2）将点O
1
运动到点M（－43，0），求∠B
1
MC的度数；
（3）在（2）的条件下，将直线MC向下平移m个单位长度，设直线MC与线段AB交于点P，与线段OC的交于点Q，四边形OAPQ的面积为S，求S 与m的函数关系式，并求出m的取值范围.
3
y
x
A
O
B
C
M
P
F
E
十二、已知抛物线ax ax y 22-=与直线l ：)0(>=a ax y 的交点除了原点O 外，还相交于另一点A .
（1）分别求出这个抛物线的顶点、点A 的坐标（可用含a 的式子表示）；
（2）将抛物线ax ax y 22-=沿着x 轴对折（翻转︒180）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：
①当1=a 时，求这个“新抛物线”的解
析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l 上；
②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离等于线段OA 的24
1
若存在，请直接写出满足条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由。

十三、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，以A 点为
圆心，AB 为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交y 轴于点E 、F 两点，交直线AB 于C 点，连结BE 、CF ，∠CBD 的平分线交CE 于点H. （1）求证：BE=HE ；
（2）若AH ⊥CE ，Q 为 BF ⌒ 上一点，连结DQ 交y 轴于T ，连结BQ 并延长交y 轴于G ，求AT •AG 的值；
（3）如图2, P 为线段AB 上一动点(不与A 、B 两点重合)，连结PD 交y 轴于点
M ，过P 、M 、B 三点作⊙O 1交y 轴于另一点N ，设⊙O 1的半径为R ，当k=3
4 时，给
出下列两个结论：①MN 的长度不变；②MN
R 的值不变.其中有且只有一个结论是
正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.
十四、已知双曲线k y x
=与直线14
y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，
n ）（在A 点左侧）是双曲线k y x
=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k
y x
=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．
Q
O H
G F
E
D
C
B
A
x
y T
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．。