2020届湖南省怀化市麻阳一中2017级高三下学期3月第七次月考数学(文)试卷及解析
2020届湖南省怀化市麻阳一中2017级高三下学期3月第七次月考
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
注意事项：
1. 答题前,请考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并认真核对试卷有误缺页、漏页等现象.
2. 本试卷共4页.试卷满分150分.考试时量120分钟.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选修部分外）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3},B＝{x|2x＜2},则A∩B＝（）
A. （﹣∞,﹣2）
B. ∅
C. （﹣2,1）
D. （1,+∞）
【答案】C
【解析】
解不等式求得集合,A B,由此求得A B.
【详解】∵A＝{x|x＞﹣2},B＝{x|x＜1},
∴A∩B＝（﹣2,1）．
故选：C．
2.设z＝i（i﹣3）,则|z|＝（）
B. 3
【答案】A
【解析】
利用复数乘法运算求得z,再求z的模.
【详解】∵z ＝i （i ﹣3）＝﹣1﹣3i ,∴|z |=
故选：A ．
3.已知向量a =）,b =（,则向量a ,b 的夹角为（ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 6
π 【答案】D
【解析】
利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值,由此求得两个向量的夹角.
【详解】232a b cos a b a b ⋅+=
==＜，＞且0a b π≤≤＜，＞,
∴a b ，的夹角为6π．
故选：D ．
4.曲线y ＝sin x 在点（0,0）处的切线方程为（ ）
A. y ＝2x
B. y ＝x
C. y ＝﹣2x
D. y ＝﹣x 【答案】B
【解析】
求得sin y x =的导函数,由此求得切线的斜率,进而求得切线方程.
【详解】由y ＝sin x ,得y ′＝cos x ,可得切线的斜率k ＝cos0＝1, ∴曲线y ＝sin x 在点（0,0）处的切线方程为y ＝x ．
故选：B ．
5.已知8log 7a =,3log 2b =,0.1c π=,则（ ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D. c a b << 【答案】C
【解析】
根据89log 7log 7>,将39log 2log 4b ==,利用对数函数的单调性,可得,a b 大小关系,然后借助中间值1,以及指数函数的单调性,可得结果.
【详解】由对数函数比较底数大小口诀：
在第一象限,图像越靠近y 轴,则底数越小。
2020届湖南省长沙一中2017级高三第七次月考数学(理)试卷无答案
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测 检 合 联 主 自 上 线 三 高
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13、 7 25
14、[5,9]
15、 4 3
16、-2,
1 2
a
1【解析】(1)
f
' ( x)
e x
2
，曲线 C1
在
x
0
处的切线的斜率
k1
f ' (0) 3 ，
g ' ( x)
a
sin
x
C2 在
x
2
处的切线的斜率 k2
事件 A 为“2 人中至少有一人是女生”， 数学参考答案 第 1 页（共 4 页）
测
检
合
联
主
自 上 线 三 高
则
P（A）=
9 15
=
3 5
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8
分
（3） K 2 50( 2410 412 )2 5.937 5.024 „„„„„„„„„„„„„„12 分 28 223614
应抽取 2 人，记为 a,b；
从这 6 人中随机抽取 2 人，所有的情况为：（A,B,),（A,C),（A,D), （A, a),（A, b),（B,C),（B,D),（B,a),
（B,b),（C,D),（C,a),(C,b),(D,a),(D,b),（a,b),共 15 种，其中“至少有一人是女生”的情况有 9 中，记
1
n 1
3 (2n 1)(2n 3)
„„„„„„„„11 分 „„„„„„„„12 分
18. 【解析】（1）由题知：对移动支付不关注的男生有 4 人，总数 50 人，所以 P= 4 = 2 50 25
湖南省怀化市麻阳苗族自治县第一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试题含解析
湖南省怀化市麻阳苗族自治县第一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数①，②，则下列结论正确的是（）A.两个函数的图像均关于点成中心对称B. ①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②的图像C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同参考答案：C略2. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=55，则a3+a8=（）A．5 B． C．10 D．11参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5（a3+a8），由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=55，∴S10===5（a3+a8）=55，解得a3+a8=11．故选：D．3. 若是平面内夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：D，，，，所以的夹角的余弦值为，所以，选D.4. 四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：C5. 在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A．B．C．D．参考答案：A6. 下列关于函数的命题正确的是（）(A) 函数在区间上单调递增(B) 函数的对称轴方程是（）(C) 函数的对称中心是（）（）(D) 函数以由函数向右平移个单位得到参考答案：B略7. 已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。
8. 已知关于的不等式有解，函数为减函数，则成立是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B9. 已知点,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案：A10. 已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为（）(A) (B)8 (C)9 (D) 12参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，P为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP中点M的轨迹方程为参考答案：；．12. 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的= .参考答案：,13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 参考答案：[-1，3]14. 若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．参考答案：4略15. 下表给出一个“直角三角形数阵”参考答案：16. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= ．参考答案：10【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，利用坐标法，确定A，B，D，P的坐标，求出相应的距离，即可得到结论．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B （0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案为：1017. 从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两数之和的概率是 .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省高三数学下学期月考试题(七)理
湖南省2017届高三数学下学期月考试题（七） 理本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，B ＝{}x |ax ＋1＝0，且B A ，则a 的可取值组成的集合为(D )(A ){－3，2} (B ){－3，0，2} (C ){3，－2} (D ){3，0，－2}【解析】a ＝0B ＝满足条件；a≠0时，由－1a ＝－13或－1a ＝12得a ＝3，－2，故a的可取值组成的集合为{3，0，－2}，故选D .(2)已知命题p x 0∈R ，使2x 0＋2－x 0＝1；命题q x ∈R ，都有lg(x 2＋2x ＋3)>0.下列结论中正确的是(A)(A)命题“綈p ∧q ”是真命题 (B)命题“p ∧綈q ”是真命题 (C)命题“p ∧q ”是真命题 (D)命题“綈p ∨綈q ”是假命题【解析】由判断p ：2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，故命题p 错误；命题q ：lg(x 2＋2x ＋3)＝lg[(x ＋1)2＋2]≥lg 2>0，命题q 正确，故选A.(3)一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ，b 分别是数列{2n －2}(n ∈N *)的第2项和第4项，则这个样本的方差是(C)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【解析】由已知a ＝1，b ＝4，则s 2＝14[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5，故选C.(4)下面给出了关于复数的三种类比推理，其中类比错误的是(A) ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2可以类比复数的性质|z |2＝z 2； ③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． (A)② (B)①② (C)①③ (D)③【解析】对于复数的乘法运算法则判断出①对；对于②向量a 的性质|a |2＝a 2，但|z |2是实数，但z 2不一定是实数，如z ＝i ，就不成立，故错；对于③复数加法的几何意义判断出③对．故选A.(5)设M 是△ABC 边BC 上一点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为(C) (A)14 (B)13 (C)12(D)1 【解析】∵M 在BC 边上，∴存在实数t ∈[]0，1使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t ()AC →－AB→＝()1－t AB →＋tAC →， ∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝1－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12.故C 正确．(6)已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为x ，y ，z ，则1x ＋y ＋x ＋yz的最小值是(B)(A)2 (B)3 (C)3.5 (D)4 【解析】由已知可得，∵x ＋y ＋z ＝1，∴1x ＋y ＋x ＋y z ＝x ＋y ＋z x ＋y ＋x ＋y z ＝1＋z x ＋y ＋x ＋yz≥3.选B.(7)与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(B) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)6条【解析】当直线截距为零时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；当直线截距不为零时，设方程为x a ＋y a＝1，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，故满足题意的直线共有3条．选B.(8)函数f (x )＝lg(||x －1)的大致图象是(B)【解析】易知f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，由|x |－1>0可得其定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以选B.(9)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C ，2tan B 依次成等差数列，则sin 2B ＝(C)(A)1 (B)－45 (C)45 (D)±45【解析】由条件，得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形，又t anA ＝－tan(C ＋B )＝－tanC ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，得tan B ＝2，所以sin 2B ＝2sinB cos B ＝2sin B cos B sin 2B ＋cos 2B ＝2tan B tan 2B ＋1＝45，故选C. (10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)(A)803 (B)403 (C)203 (D)103【解析】该几何体可以看作是三棱柱割出一个三棱锥形成的，故V ＝12×4×4×4－13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4×4＝803. (11)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝14b 2，sin A ＋sin C ＝p sinB ，且B 为锐角，则实数p 的取值范围是(B)(A)(1，2) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫62，3 (D)(1，3)【解析】由正弦定理知a ＋c ＝pb ，由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac－2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题意知p >0于是p ∈⎝⎛⎭⎪⎫62，2，选B. (12)已知圆O 的方程为 x 2＋y 2＝9，若抛物线C 过点A (－1，0)，B (1，0)，且以圆O 的切线为准线，则抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为(D)(A)x 29－y 28＝1(x ≠0) (B)x 29＋y 28＝1(x ≠0)(C)x 29－y 28＝1(y ≠0) (D)x 29＋y 28＝1(y ≠0) 【解析】设抛物线C 的焦点为F (x ，y )，准线为l ，过点A ，B ，O 分别作AA ′⊥l ，BB ′⊥l ，OP ⊥l ，其中A ′，B ′，P 分别为垂足，则l 为圆的切线，P 为切点，且||AA ′＋||BB ′＝2||OP ＝6.因为抛物线过点A ，B ，所以||AA ′＝||FA ，||FB ＝||BB ′，所以||FA ＋||FB ＝||AA ′＋||BB ′＝6>||AB ＝2，所以点F 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且点F 不在x 轴上，所以抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1(y ≠0)，选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．(13)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中，系数最大的项为第__3或5__项．【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大．(14)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0，4]内任取的实数，则不等式f (1)>0成立的概率是__932__．【解析】f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如图，A (1，0)，B (4，0)，C (4，3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 正方形＝924×4＝932. (15)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1，0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞__． 【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0在(－1，0)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝3－2a ＋b ≤0f ′（0）＝b ≤0，显然点(a ，b )在直线3－2a ＋b ＝0的右下方及a 轴下方(如图)，点(a ，b )到原点的距离最小值为3（－2）2＋12＝35，无最大值，因此a 2＋b 2的最小值为95.(16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x，其中c >a >0，c >b >0.若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__①②③__．(写出所有正确结论的序号)x ∈(－∞，1)，f (x )>0；x 0∈R ，使ax 0，bx 0，cx 0不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC x 0∈(1，2)，使f (x 0)＝0； ④若△ABC n ∈N *，f (2n )>0恒成立． 【解析】①因为a ，b ，c 是三角形的三条边长，所以a ＋b >c .又因为c >a >0，c >b >0，所以0<a c<1，0<b c<1，所以当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>c x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c c >0. 故①正确．②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a ，b ，c 可以构成三角形的三边长，但a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16却不能构成三角形的三边长，故②正确．③因为c >a >0，c >b >0，且△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2－c 2<0，于是f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0.故函数f (x )在区间(1，2)内存在零点，故③正确．④若△ABC 为直角三角形，由题意得，c 2＝a 2＋b 2，对于n ∈N *，f (2n )＝a 2n ＋b 2n －c 2n ＝a 2n ＋b 2n －(a 2＋b 2)n≤0.故④不正确． 综上，正确结论的序号为①②③.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围．【解析】(Ⅰ)设公差为d ，由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3n .5分(Ⅱ)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n，8分 ∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故m ≥32.12分(18)(本小题满分12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(Ⅰ) 取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； (Ⅱ) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解析】(Ⅰ)由于从10件产品中任取3件的结果为C 103，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C 3k C 73－k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C 3k C 73－k C 103，k ＝0，1，2，3.所以随机变量XX 的数学期望EX ＝0×24＋1×40＋2×40＋3×120＝10.6分(Ⅱ)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品“为事件A 2”，恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3而P (A 1)＝C 31C 32C 103＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.12分 (19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(Ⅰ)证明：BE ⊥DC ；(Ⅱ)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．【解析】(Ⅰ)依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).2分由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)． BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)， 故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .4分(Ⅱ)BC →＝(1，2，0)，CP →＝(－2，－2，2)，AC →＝(2，2，0)，AB →＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1， 故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.8分设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以余弦值为31010.12分(20)(本小题满分12分)已知M (4，0)，N (1，0)，曲线C 上的任意一点P 满足：MN →·MP →＝6|PN →|. (Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)过点N (1，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点，交y 轴于H 点，设HA →＝λ1AN →，HB →＝λ2BN →，试问λ1＋λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．【解析】(Ⅰ)设P (x ，y )，则MN →＝(－3，0)，MP →＝(x －4，y )，PN →＝(1－x ，－y )． ∵MN →·MP →＝6|PN →|，∴－3×(x －4)＋0×y ＝6（x －1）2＋y 2，化简得，x 24＋y 23＝1为所求点P 的轨迹方程.4分(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m .从而HA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋1m ，AN →＝(1－x 1，－y 1), 由HA →＝λ1AN →得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋1m ＝λ1(1－x 1，－y 1)，y 1＋1m ＝－λ1y 1，－λ1＝1＋1my 1.同理由HB →＝λ2BN →得－λ2＝1＋1my 2.∴－(λ1＋λ2)＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫1my 1＋1my 2＝2＋1m ·y 1＋y 2y 1y 2.①7分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1.得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0.∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m2.代入①式得－(λ1＋λ2)＝2＋1m ·y 1＋y 2y 1y 2＝2＋23＝83，∴λ1＋λ2＝－83.10分②当直线l 与x 轴重合时，A (－2，0)，B (2，0)，H (0，0)．由HA →＝λAN →，HB →＝λ2BN →，得λ1＝－23，λ2＝－2，∴λ1＋λ2＝－83. 11分综上，λ1＋λ2为定值－83.12分(21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ae x.(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＝2，证明：对任意的实数x >0，都有f (x )>e －x.【解析】(Ⅰ)定义域为x >0，f ′(x )＝1x －a e x 2＝e x －ae x2①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，令f ′(x )＝0，有x ＝ae，所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，＋∞.6分 综合①②，当a ≤0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a e ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ae ，＋∞. (Ⅱ)要证明f (x )>e －x，即证明eln x ＋2x >1ex －1，下面先证明：e x≥x ＋1(x ≥0)．构造函数h (x )＝e x －(x ＋1)(x ≥0)，h ′(x )＝e x－1.令h ′(x )＝0得x ＝0，当x ≥0时，h ′(x )≥0即h (x )在[0，＋∞)上单调递增．∴h (x )＝e x－(x ＋1)≥h (0)＝0.于是有e x>x ＋1，x >0.∴当x >0时，e x －1>x .从而1e x －1<1x.9分接下来只需证：eln x ＋2x ≥1x，即证：eln x ＋1x≥0，令F (x )＝eln x ＋1x (x >0)，则F ′(x )＝e x －1x 2＝e x －1x2，所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 即F (x )≥F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0， ∵x ＝1e 时，e x －1>x ，∴0<1e x －1<1x，∴eln x ＋2x >1ex －1.(12分)选做题：请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．(22)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程(Ⅰ)若圆x 2＋y 2＝4在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝3y (λ>0)的作用下变成一个焦点在x 轴上，且离心率为45的椭圆，求λ的值；(Ⅱ)在极坐标系中，已知点A (2，0)，点P 在曲线C ：ρ＝2＋2cos θsin 2θ上运动，求P 、A 两点间的距离的最小值．【解析】(Ⅰ)依题意变换后椭圆y 轴正半轴顶点为(0，6)，所以短半轴长b ＝6，再由离心率为45可得长半轴长为10，所以λ的值为5.5分(Ⅱ)曲线C 的极坐标方程可化为ρ＝21－cos θ，即ρ－ρcos θ＝2.化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝2，即y 2＝4(x ＋1)．设点P (x ，y )(x ≥－1)，则|PA |＝（x －2）2＋y 2＝x 2＋8≥22，当且仅当x ＝0时取等号．故|PA |min ＝2 2.10分(23)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲(Ⅰ)若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件为13<x <12，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)关于x 的不等式|x －3|＋|x －5|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)不等式|x －m |<1的解集为{x |m －1<x <m ＋1}，依题意有⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12{x |m －1<x <m ＋1}，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43.5分(Ⅱ)∵|x －3|＋|x －5|≥|(x －3)－(x －5)|＝2， 且|x －3|＋|x －5|<a 的解集不是空集， ∴a >2，即a 的取值范围是(2，＋∞).10分。
湖南省怀化市麻阳一中2020届高三5月高考模拟考试文数试题(含答案)
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定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图： （1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取 6 个班级，再从这 6 个班级中随机抽取 2 个班级进行抽样复核，求所抽取的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和不少 于 3 的概率.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。写在本试卷上无效。
13. 曲线 f (x) ex ln x 在点（1,0）处的切线方程为
.
14. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 3a2 3n1an n ，则 S4
.
15. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实
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2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学(文)试题
绝密★启用前 2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学(文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合A ＝{x |2x +1＞﹣3}，B ＝{x |2x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ．∅ C ．（﹣2，1） D ．（1，+∞） 2．设z ＝i （i ﹣3），则|z |＝（ ） A B ．3 C ． D 3．已知向量a =r 1），b =r （2，，则向量a r ，b r 的夹角为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4．曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝2x B ．y ＝x C ．y ＝﹣2x D ．y ＝﹣x 5．已知8log 7a =，3log 2b =，0.1c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，L ，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（ ）A ．487号职工B ．307号职工C ．607号职工D ．520号职工 7．已知函数()()111+-+=+x x x e x e g x ，则下列说法错误的是（ ） A ．()g x 的定义域是R B ．()g x 是偶函数…………订……※订※※线※※内※※答※…………订……C ．()g x 在()0,∞+单调递减 D ．()g x 的最小值为1 8．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60,3==o A b c ，角A 的平分线交BC 于点D ，且BD =cos ADB ∠的值为（ ） A ． B C D ． 9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖牖P ADE -的体积为l ，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）．A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π10．某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）A ．2536B ．1136C ．2530 D ．53011．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．4812．已知20192018,(),x x af x x xa ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数m ，使函数()y f x m =-有两个零点，则a 的取值范围( )A ．(1,)+∞B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(,0)-∞第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若x，y满足2103230210x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z＝4x+3y的最小值是_____．14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____．15．在等比数列{}n a中，182na a+=，3281na a-=，且前n项和121nS=，则此数列的项数n等于_____．16．已知函数f(x)={ln(x+1),x>0,−x2+3x,x≤0，若不等式|f(x)|−mx+2≥0恒成立，则实数m的取值范围为__________．三、解答题17．在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos cos2b A a B c-=. （1）证明：tan3tanB A=-；（2）若222b c a+=，且ABC∆a.18．已知数列{}n a的前n项和为n S，0na>，2*2,n n nS a a n N=+∈.（1）求n a；（2）若1nnbS=，数列{}nb的前n项和为nT，求nT.19．如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD⊥平面ABCD，且4,MC MD CD BC====，N为BC中点.…………○………………○……（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】解不等式求得集合,A B ，由此求得A B I .【详解】∵A ＝{x |x ＞﹣2}，B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝（﹣2，1）．故选：C ．【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．A【解析】【分析】利用复数乘法运算求得z ，再求z 的模.【详解】∵z ＝i （i ﹣3）＝﹣1﹣3i ，∴|z|==故选：A ．【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的求法，属于基础题.3．D【解析】【分析】利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.【详解】242a b cos a b a b⋅===⨯r r r r r r ＜，＞，且0a b π≤≤r r ＜，＞， ∴a b r r ，的夹角为6π． 故选：D ．本小题主要考查向量夹角的坐标运算，属于基础题.4．B【解析】【分析】求得sin y x =的导函数，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程.【详解】由y ＝sin x ，得y ′＝cos x ，可得切线的斜率k ＝cos0＝1，∴曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为y ＝x ．故选：B ．【点睛】本小题主要考查在曲线上某点切线方程的求法，属于基础题.5．C【解析】【分析】根据89log 7log 7>，将39log 2log 4b ==，利用对数函数的单调性，可得,a b 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近y 轴，则底数越小所以可知89log 7log 7a =>，而39log 2log 4b ==又9log y x =在定义域单调递增，所以99log 7log 4>且99991log 9log 7log 4log 10=>>>=所以01b a <<<由xy π=在R 上单调递增，所以0.101ππ>=所以1c >，故c a b >>故选：C本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较,a b 大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题.6．D【解析】【分析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等差数列，结合442号在第30组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果.【详解】 由题可知：抽样距为8401556=， 设第一组抽出的号码为1a ，由前29组共有435项，前30组有450项所以可知442号落在第30组又因为每组抽出号码成等差数列{}n a ，公差为15所以()11301154427a a +-⨯=⇒=所以()7151158n a n n =+-=-当520n a =时，则52815852015n n -=⇒= 又n *∈N ，所以520号职工不是被抽到的员工故选：D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出1a ，属基础题.7．C【解析】【分析】由()()111+-+=+x x x e x e g x 分别判断函数的定义域，奇偶性，利用导数判断函数的单调性与最值，可得答案.解：易得()()111+-+=+x x x e x e g x 定义域是R ，故A 正确； 由()()()111(1)11x x x x g x e x x x e x g e e x ---+++-+++===++-，故()g x 是偶函数，故B 正确； 当0x ≥时，()()222101+-'=≥+x x x xe e g x e ，所以()g x 在()0,∞+单调递增, 故C 不正确；由()g x 是偶函数，且0x ≥时()g x 单调递增，可得()g x 的最小值为()()min 01g x g ==，故D 正确；故选：C.【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等知识，熟悉函数的相关知识并利用导数求解是解题的关键.8．B【解析】【分析】由题意，60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，可得3CD b BD c==，由BD ==CD==a CB ，在ABC ∆,由余弦定理可得4c =，在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD c BAD ADB，可得sin ∠=ADB ，判断出ADB ∠为锐角，可得答案.【详解】解法1：因为60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=o CAD BAD ，又3b c =，所以1sin 2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CAD DAB πb AD S CD b πBD S c AD c ，因为BD ==CD==a CB .因为2222cos a b c bc A =+-， 所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =，在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD c BAD ADB即41sin 2=∠ADB，所以sin ∠=ADB ， 因为3=>b c c ，所以B C >，因为30,30∠=+∠=+o o ADB C ADC B ，所以∠<∠ADB ADC ，所以ADB ∠为锐角，所以cos 7∠==ADB . 法2：因为60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=o CAD BAD ， 又3b c =，所以1sin 2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CAD DAB πb AD S CD b πBD S c AD c ，因为BD ==CD==a CB ，因为2222cos a b c bc A =+-， 所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =， 由余弦定理可得：222cos 2+-∠=⋅AD c BD BAD AD c，即216728+-=AD AD，所以290-+=AD ，所以(0-=AD AD .所以AD =AD =3=>b c c ，所以B C >又120+=o B C ，所以60>>∠o B BAD ，所以>=AD BD AD =所以222cos27+-∠===⋅DA DB AB ADB DA DB . 故选：B【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查学生的综合计算能力，熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活运用是解题的关键.9．A【解析】【分析】先根据鳖牖P ADE -的体积为l ，求得3PA =，再根据阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积．【详解】由题意，因为PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =， 又由鳖牖P ADE -的体积为1，所以111211332p AED AED V PA S PA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V ， 解得3PA =，而阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线，所以2222244917R AD AB AP =++=++=（），即2417R =，球的表面积为2417R ππ=．故选A ．【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10．A【解析】【分析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.【详解】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，(),x y 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为(){},030,030x y x y Ω=≤≤≤≤是一个正方形区域，对应的面积3030900S =⨯=，则小张与小王至少相差5分钟到校事件(){},5A x y x y =-≥(如阴影部分)则符合题意的区域2525625A S =⨯=， 由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为6252590036P ==. 故选：A【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题.11．C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0），则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p ∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点，又∵AB ⊥x 轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P 在准线上∴DP=（2p +|-2p |）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12．B【解析】【分析】 由()y f x m =-有两个零点可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图像可得a 的取值范围.【详解】解：由()y f x m =-有两个零点，可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，由20182019x x =，可得0x =或1x =，① 当1a ＞时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故1a ＞满足题意；② 当1a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；③ 当01a ＜＜时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；④ 当0a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；⑤ 当0a ＜时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故0a ＜满足题意；综上可得，0a ＜或1a ＞，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点与方程跟的关系，考查了分段函数的相关知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的运用，属于中档题.13．12【解析】【分析】画出可行域，平移直线4133y x z=-+到可行域边界点11,42A⎛⎫-⎪⎝⎭时，目标函数取得最小值12.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝4x+3y得y43=-x13+z，平移直线y43=-x13+z，由图象可知当直线43=-x13+z经过点A时，直线43=-x13+z的截距最小，此时z最小．由210210yx y-=⎧⎨-+=⎩，解得1214yx⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即A（14-，12），代入目标函数z＝4x+3y得z12 =．即目标函数z＝4x+3y的最小值为12．故答案为：1 2【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 14．丙【解析】【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙．【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海， 若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙．故答案为：丙．【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.15．5【解析】【分析】由题意，易得1a 和n a 是方程282810x x -+=的两根，求解方程得到两根，分数列递增和数列递减可得1a ，n a ，再由121n S =得q ，进一步可得n 值.【详解】由等比数列的性质可得，13281n n a a a a -==，又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程可得1x =或81x =，若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q q q q--∴==-- 解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q--∴==-- 解得13q =，111813n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =综上，数列的项数5n =故答案为：5【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式的计算，考查计算能力，属于基础题.16．[−3−2√2,0]【解析】不等式即：mx ≤|f (x )|+2恒成立，作出函数y =|f (x )+2|的图象，则正比例函数y =mx 恒在函数y =|f (x )+2|的图象下方，考查函数： y =x 2﹣3x +2经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为k =−3−2√2，由此可得：实数m 的取值范围为[−3−2√2,0]，故答案为[−3−2√2,0]．17．（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由cos cos 2b A a B c -=，根据正弦定理可得sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos 3cos sin B A B A =-，所以， tan 3tan B A =-；（2）由222b c a +=+，根据余弦定理可得cos 2A =，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得a c =，由12sin 23S ac π=2122a =⨯=2a =. 试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得： sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+，展开得： sin cos cos sin B A B A - ()2sin cos cos sin B A B A =+，整理得： sin cos 3cos sin B A B A =-，所以， tan 3tan B A =-.（2）由已知得： 222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc +-= ==由0A π<<，得： 6A π=， tan 3A =，∴tan B = 由0B π<<，得： 23B π=，所以6C π=， a c =，由12sin 23S ac π= 2122a =⨯= 2a =. 18．（1）,*=∈n a n n N （2）1211n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭【解析】【分析】（1）由2*2,n n n S a a n N =+∈，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-进行化简，可得11,2--=≥n n a a n ，可得n a 的表达式；（2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ，可得()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n nb S n n n n ，由裂项相消法可得n T 的值.【详解】解：（1）由21112S a a =+得，21112a a a =+， 解得10a =（舍去），或11a =，∴11a =，∵2*2,n n n S a a n N =+∈，∴21112,2---=+≥n n n S a a n ，两式相减得，()22*1112,----=-+-∈n n n n n n S S a a a a n N 22112,*--=-+-∈n n n n n a a a a a n N()()()2211110,10,2------+=+--=≥n n n n n n n n a a a a a a a a n ，∵10n n a a ->+，∴11,2--=≥n n a a n ，∴{}n a 为等差数列，公差为1，11a =.∴,*=∈n a n n N .（2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ∴()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n n b S n n n n ， ∴111111212122311⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n n . 【点睛】本题主要考查由递推式求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题.19．（1）见解析（2 【解析】【分析】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，证明MO ⊥平面ABCD ， 再利用勾股定理证明AN MN ⊥；（2）利用等积法得13C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯△，通过计算即可得到答案. 【详解】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ， Q MC MD =，O 为CD 中点，∴MO CD ⊥，又Q 平面MCD ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，则6MO ON ===，22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=，22248AM MO OA =+=，∴222MN AN AM +=，∴AN MN ⊥.（2）连接AC ，NAC △的面积为：11422NAC S AB NC =⨯⨯=⨯⨯△∴三棱锥C MAN -的体积为：1133C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯=⨯△【点睛】本题考查线面垂直判定定理和勾股定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意三棱锥的等体积法的应用. 20．（1）12（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 【解析】 【分析】（1）根据题意，用样本中近视的学生人数除以样本容量，得到近视率；（2）根据独立性检验的方法，计算2K ，将2K 观测值与6.635比较，运用独立性检验的相关知识给出结论即可. 【详解】（1）从表格中可知，100名学生中，近视的学生有203050+＝名， 所以可估计该中学一年级学生的近视率为5011002=； （2）22100(20153530)9.09 6.63555455050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 【点睛】本题考查（1）用样本估计总体（2）独立性检验，考查计算能力，考查数据分析能力，属于基础题.21．（1）221(0)2x y x +=≠（2【解析】【分析】（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且1112y y x x -+⋅=-，化简即可得出答案； （2）由题意OM ON ⊥，当点M 在椭圆的左右顶点位置时，易求出面积；当点M 不在椭圆的左右顶点位置时，设直线OM 的斜率k，联立直线与椭圆的方程可求得||OM =||ON = 【详解】解：（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且11,PA PB y y k k x x-+==， 所以1112y y x x -+⋅=-， 化简得2212x y +=，故点P 的轨迹C 的方程为221(0)2x y x +=≠；（2）因为0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，所以OM ON ⊥，当点M 在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，122OMN S ∆==当点M 不在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，直线OM 的斜率存在且不为0，设为k ，则OM 的方程为y kx =，22,1,2y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得222222,122,12x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以||OM =， 此时ON 的方程为1=-y x k，所以(2,2),||N k ON -=，1||||2OMN S OM ON ∆===，令212t k =+，则1t >，且212t k -=，所以，OMNS ∆==>综上可知，OMN ∆． 【点睛】本题主要考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于难题． 22．（1）最小值为14．（2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据题意，确定函数定义域，然后求导，若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，则211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立，转化不等式为2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭，令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求解()g x 的最小值，则min ()a g x -≤，即可求解参数最值.（2）问题等价于当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的具体范围即可. 【详解】（1）由已知得()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞， ∵()f x 在(1,)+∞上为减函数， ∴211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立，2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭， 令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故当111nx 2=，即2x e =时，()g x 的最小值为14-，∴14a -≤-，即14a ≥∴a 的最小值为14．（2）命题“若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立”， 等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min max ()'()f x f x a ≤+”，由（1）知，当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，ln [1,2]x ∈，11,1ln 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 22ln 1111()(ln )ln 24x f x a a x x -⎛⎫'=-+=--+- ⎪⎝⎭， max 1()4f x a '∴+=， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4f x ≤”， ①当14a -≤-，即14a ≥时，由（1），()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()222min 2211111(),,244224e f x f eae a a e e==-+≤∴-≤-∴≥-．②当104a -<-<，即104a <<时，21,,ln ,12x e e x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦Q ， ∵211()(1)nx f x a nx -'=-+，由复合函数的单调性知()f x '在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，∴存在唯()20,x e e-∈，使()00f x '=且满足：()0min 000()ln x f x f x ax x ==-+， 要使min00111111(),44ln 424f x a x x ≤∴-≤-<-=-， 与104a -<-<矛盾，∴104a -<-<不合题意． 综上，实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题（2）利用导数研究函数恒成立与能成立的问题，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.。
2020年湖南省怀化三中高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
率为 0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据 =2.0946）（ ）
A. 3.1419
B. 3.1417
C. 3.1415
D. 3.1413
9. 已知函数 f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0）的最小正周期为 π，且对 x∈R，
恒成立，
若函数 y＝f（x）在[0，a]上单调递减，则 a 的最大值是（ ）
11.答案：D
解析：【分析】 本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算 能力，属于中档题． 由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2c，再由三 角形的余弦定理，可得 3c=5a，4c=5b，即可得到所求方程． 【解答】
直线 y=mx-e 恒过点（0，-e）．当直线 y=mx-e 与曲线 y=|f（x）|相切时，
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切点为（x0，y0），此时
，解得
．
结合图象可知，关于 x 的方程|f（x）|=mx-e 无实数解，此时 m∈（-2e，0]． 故选 A．
8.答案：A
解析：【分析】 本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题．
由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得： =0.8269，所以
=0.8269，又
=2.0946，所以 π≈3.1419，得解． 【解答】 解：由几何概型中的面积型可得：
=0.8269，
所以 =0.8269，
，
又对任意的 x，都有
，
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所以函数 f（x）在 上取得最小值，
则
，k∈Z，
湖南省高三数学下学期月考试题(七)文
湖南省2017届高三数学下学期月考试题（七） 文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合M ＝{x||x|<1}，N ＝{y|y ＝2x，x ∈M}，则集合∁R (M ∩N )等于(A)(A)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[)1，＋∞ (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 (D)[)1，＋∞ 【解析】由M ＝{x ||x |<1}得：M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{y |y ＝2x，x ∈M }得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12<y <2，则∁R (M ∩N )＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[)1，＋∞，故选A. (2)已知复数z ＝4＋b i1－i(b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点在(B)(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【解析】由z ＝4＋b i 1－i ＝（4＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝4－b ＋（4＋b ）i 2的实部为－1，得4－b2＝－1，得b ＝6.∴z ＝－1＋5i ，则z －b ＝－7＋5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，5)，在第二象限．故选B.(3)下列说法中正确的是(D)(A)若分类变量X 和Y 的随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小 (B)对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定关系叫做函数关系(C)相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱(D)若分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【解析】函数关系中自变量x 和因变量y 是确定关系，故B 错．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，故C 错．随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越大，观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小．故A 错，D 正确．(4)下图是2016年某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字．⎪⎪⎪78994 5 8 8 94这些数据的中位数是______，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是(C) (A)86.5 ; 86.7 (B)88; 86.7 (C)88；86.8 (D)86.5；86.8【解析】中位数为由小到大排列后位于中间的数，即为88，平均数为84＋85＋88＋88＋895＝86.8.(5)在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有(C)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【解析】根据知识结构图得，“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”均为“求简单函数的导数”的“上位”要素，共有3个．故选C.(6)下面四个推理，不属于演绎推理的是(C) (A)因为函数y ＝sin x (x ∈R )的值域为[－1，1]，2x －1∈R ，所以y ＝sin(2x －1)(x ∈R )的值域也为[－1，1](B)昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿(C)在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c ，将此结论放到空间中也是如此(D)如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【解析】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理． (7)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝(B)(A)31010 (B)1010 (C)510 (D)515【解析】由图象知∠DEA ＝π4，tan ∠CEB ＝12，所以有tan ∠CED ＝tan(∠DEA －∠CEB )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－∠CEB ＝1－tan ∠CEB 1＋tan ∠CEB ＝13，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED ＝1010，选B.(8)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f ()－x ＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为(B)(A)4 (B)－4 (C)6 (D)－6【解析】由题意f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )为奇函数，由奇函数的性质可得f (0)＝e 0＋m ＝0，∴m ＝－1，则当x ≥0时，f (x )＝e x－1，∵ln 5>0，∴f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4，选B.(9)若实数数列：－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，则圆锥曲线x 2＋y 2a 2＝1的离心率是(D)(A)13或10 (B)10或223 (C)223(D)10 【解析】因为－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，所以a 22＝－1×(－81)＝81，a 2＝－9(等比数列的奇数项同号)，所以圆锥曲线的方程为x 2－y 29＝1，其中a ＝1，b ＝3，c ＝1＋9＝10，离心率为e ＝c a＝10，故选D.(10)四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为(A)(A)12π (B)24π (C)36π (D)48π【解析】由三视图可知，该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥P －ABCD ，其中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，该四棱锥外接球的球心为PC 的中点O ，由直观图可知O 到线段EF 的距离为a 2，球的半径R ＝3a2，所以，直线EF 被球面所截得的线段长为2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2a ＝22，即a ＝2，R ＝3a 2＝3，所以该球的表面积为S＝4πR 2＝12π，故选A.(11)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为(B)(A)0 (B)1 (C)94 (D)3【解析】∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数， ∴ xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤12x y ·4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”)， ∴(xyz )max ＝1，此时，x ＝2y .∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时取得“＝”，满足题意．∴2x ＋1y －2z的最大值为1.故选B.(12)已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈(－2，2)，函数y ＝h (x )的零点个数为(D)(A)8 (B)11 (C)10 (D)9【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，1和－1是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，所以有1＋(－1)＝－2a 3，1×(－1)＝b 3，求得a ＝0，b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x ，若令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c ，考查方程f (x )＝d ，d ∈(－2，2)的根的情况，因为f (－2)－d ＝－2－d <0，f (－1)－d ＝2－d >0，函数f (x )的图象是连续不断的， 所以f (x )＝d 在(－2，－1)内有唯一零点，同理可以判断f (x )＝d 在(－1，1)，(1，2)内各有唯一的零点，所以得到方程f (x )＝d ，d ∈(－2，2)的根有3个；再看函数y ＝h (x )的零点，当c ∈(－2，2)时，f (t )＝c 有三个不同的根x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3∈(－2，2)，而f (x )＝t 有三个不同的根，所以函数y ＝h (x )有9个零点. 故选D.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)有三张卡片，分别写有1和2, 1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__1和3__．【解析】先从丙说的可得丙拿的是1和2，或1和3，再由乙说的可得乙拿的是2和3，再从甲说的可得甲拿的是1和3.(14)已知△ABC 的外接圆半径为8，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则△ABC 的面积为4．【解析】因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，所以由余弦定理得cos A ＝78，cos B ＝1116，cos C ＝－14，所以sin A ＝1564，sin B ＝135256，sin C ＝1516， 所以三角形面积为S ＝2R 2sin A sin B sin C ＝45415.(15)已知O 为三角形ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a，∠BAC ＝120°，若AO →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋6y 的最小值为．【解析】∵AO →＝xAB ＋yAC ，∴AO →·AB →＝xAB →2＋yAB →·AC →⇒4a 2x －2y ＝2a 2①，同理AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC →2⇒－2x ＋4a 2y ＝2a 2②，联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a 2＋13a 2y ＝a 2＋23，∴3x ＋6y ＝2a 2＋1a 2＋2a 2＋4＝6＋2a 2＋1a2≥6＋22a 2·1a2＝6＋22，当且仅当2a 2＝1a 2⇒a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1214时，等号成立，即3x ＋6y 的最小值是6＋2 2.(16)设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <ea ln x ，x ≥e 的图象上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是__⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ＋1__． 【解析】假设函数y ＝f (x )图象上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 两点只能在y 轴两侧，设P (t ，f (t ))(t >0)，则Q (－t ，f (－t ))，f (－t )＝－(－t )3＋(－t )2＝t 3＋t 2，因为△POQ是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP →⊥OQ →，OP →·OQ →＝0，即t 2－f (t )(t 3＋t 2)＝0(1)，当0<t <e 时，f (t )＝－t 3＋t 2，代入(1)中，得t 4－t 2＋1＝0，方程无解，故t ≥e，所以f (t )＝a ln t ，代入(1)中，得1a＝(t ＋1)ln t ，设函数g (x )＝(x ＋1)ln x (x ≥e)，则g '(x )＝ln x＋1＋1x >0，所以函数g (x )在区间[)e ，＋∞上为增函数，g (x )≥g (e)＝e ＋1，由题意有1a＝(t ＋1)ln t ≥e ＋1，所以有0<a ≤1e ＋1. 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)在等比数列{}a n 中，已知a 4＝8a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}||a n －4的前n 项和S n .【解析】(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1·q 3＝8a 1.∴q ＝2(2分) 又a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即2()a 2＋1＝a 1＋a 3，∴a 1＝2(4分)∴a n ＝2n(6分)(Ⅱ)当n ＝1时，a 1－4＝－2<0，∴S 1＝2(8分) 当n ≥2时，a n －4≥0.∴S n ＝2＋(a 2－4)＋...＋(a n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝2（1－2n）1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2(11分)又当n ＝1时，上式也满足．∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.(12分) (18)(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋2.(Ⅰ)任取a ∈{1，2，3}，b ∈{－1，1，2，3，4}，记“f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A ，求A 发生的概率；(Ⅱ)任取(a ，b )∈{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}，记“关于x 的方程f (x )＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率．【解析】(Ⅰ)因为a 有3种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个．(2分)因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2b a 对称，若事件A 发生，则a ＞0且2ba≤1.(3分)数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)共5种．(5分)所以P (A )＝515＝13.(6分)(Ⅱ)集合{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}对应的平面区域为Rt △AOB ，如图．其中点A (6，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则△AOB 的面积为12×32×6＝92.(8分)若事件B 发生，则f (1)<0，即a －4b ＋2<0.(9分) 所以事件B 对应的平面区域为△BCD . 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b －6＝0a －4b ＋2＝0，得交点坐标为D (2，1)． 又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则△BCD 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12×2＝1.所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝29.(12分) (19)(本小题满分12分)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BRRH.将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示．(Ⅰ)求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径． 【解析】(Ⅰ)在正方形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 为直角， ∴在三棱锥P －DEF 中，PE ，PF ，PD 三条线段两两垂直 ∴PD ⊥平面PEF (3分)∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PRRH ，∴在△PDH 中，RG ∥PD∴GR ⊥平面PEF (6分)(Ⅱ)正方形ABCD 边长为4.由题意，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝25(7分)∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4.S △DEF ＝12×22×()252－()22＝6(10分)设三棱锥P －DEF 内切球半径为r .则三棱锥的体积V P －DEF ＝16×2×2×4＝13()S △PEF ＋2S △DPF ＋S △DEF ·r∴r ＝12，即三棱锥P －DEF 的内切球的半径为12.(12分)(20)(本小题满分12分)如图，设双曲线C 1：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端点. 已知C 1的离心率为233，且△ABF 的面积S ＝1－32.(Ⅰ)求双曲线C 1的方程；(Ⅱ)设抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与C 2相切于点P ，与C 2的准线相交于点Q . 试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(Ⅰ)由已知c a ＝233，即2a ＝3c ，则4a 2＝3c 2，即4a 2＝3(a 2＋b 2)，得a ＝3b ，c ＝2b .(2分)又12(c －a )b ＝1－32，则(2b －3b )b ＝2－3，得b ＝1.(4分) 从而a ＝3，c ＝2，所以双曲线C 1的方程为y 23－x 2＝1.(5分)(Ⅱ)由题设，抛物线C 2的方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2.(7分)由y ＝18x 2，得y ′＝14x .设点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，18x 20，则直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20.联立y ＝－2，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2.(9分) 假设存在定点M (0，m )满足题设条件，则MP →·MQ →＝0对任意点P 恒成立．因为MP →＝(x 0，18x 20－m )，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2－m ，则x 20－162－(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 20－m ＝0， 即2－m 8x 20＋m (m ＋2)－8＝0对任意实数x 0恒成立．(11分)所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0m （m ＋2）－8＝0，即m ＝2. 故以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点M (0，2)．(12分)(21)(本小题满分12分)已知f (x )＝e x ，g (x )＝－x 2＋2x ＋a ，a ∈R . (Ⅰ)讨论函数h (x )＝f (x )g (x )的单调性；(Ⅱ)记φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x <0g （x ），x >0，设A (x 1，φ(x 1))，B (x 2，φ(x 2))为函数φ(x )图象上的两点，且x 1<x 2.(ⅰ)当x >0时，若φ(x )在A ，B 处的切线相互垂直，求证x 2－x 1≥1； (ⅱ)若在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)h (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )，则h ′(x )＝－e x [x 2－(a ＋2)](2分) 当a ＋2≤0即a ≤－2时，h ′(x )≤0，h (x )在R 上单调递减；(3分)当a ＋2>0即a >－2时，h ′(x )＝－e x [x 2－(a ＋2)]＝－e x(x ＋a ＋2)(x －a ＋2)， 此时h (x )在(－∞，－a ＋2)和(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2) 上是单调递增的；(5分)(Ⅱ)(ⅰ)g ′(x )＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2， 则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0，⇒(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1，法1: x 2－x 1＝12[(－2x 1＋2)＋(2x 2－2)]≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号(8分)法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1⇒x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）⇒x 1＝12时取等号(8分)(ⅱ)要在点A ，B 处的切线重合，首先需在点A ，B 处的切线的斜率相等，而x <0时，φ′(x )＝f ′(x )＝e x∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1，即A (x 1，e x 1)，B (x 2，－x 22＋2x 2＋a )A 处的切线方程是：y －e x 1＝e x 1(x －x 1)⇒y ＝e x 1x ＋e x 1(1－x 1)，B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a )＝(－2x 2＋2)(x －x 2)即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，(10分)据题意则⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝－2x 2＋2e x 1（1－x 1）＝x 22＋a⇒4a ＋4＝－e x 1(e x 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0) 设p (x )＝－e x (e x ＋4x －8)，x <0，p ′(x )＝－2e x (e x＋2x －2)设q (x )＝e x ＋2x －2，x <0⇒q ′(x )＝e x＋2>0在(－∞，0)上恒成立， 则q (x )在(－∞，0)上单调递增⇒q (x )<q (0)＝－1<0，则p ′(x )＝－2e x (e x＋2x －2)>0，⇒p (x )在(－∞，0)上单调递增，则p (x )<p (0)＝7，再设r (x )＝e x＋4x －8，x <0r ′(x )＝e x ＋4>0，⇒r (x )在(－∞，0)上单调递增，⇒r (x )<r (0)＝－7<0则p (x )＝－e x (e x＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立 即当x ∈(－∞，0)时p (x )的值域是(0，7)故4a ＋4∈(0，7)⇒－1<a <34，即为所求．(12分)请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋22ty ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．(Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的值； (Ⅱ)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 【解析】(Ⅰ)易知曲线C 的标准方程为x 212＋y 24＝1，则其左焦点为(－22，0)，则m ＝－22，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋22t y ＝22t与曲线C 的方程x 212＋y24＝1联立，得t 2－2t －2＝0，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝2.(5分)(Ⅱ)由曲线C 的方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点P (23cos θ，2sin θ)， 则以P 为顶点的内接矩形周长为4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2， 因此该内接矩形周长的最大值为16.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲 设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (Ⅰ)求f (x )≤x ＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由f (x )≤x ＋2得： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ≤－11－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0－1<x <11－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ≥1x －1＋x ＋1≤x ＋2，解得0≤x ≤2 ∴f (x )≤x ＋2的解集为{x |0≤x ≤2}(5分)(Ⅱ)⎪⎪⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3 当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ≤0时，取等号．由不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3，解得：x ≤－32或x ≥32.故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(10分)。
2017年湖南省怀化市高考数学四模试卷(文科)
2017年湖南省怀化市高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（0，3） D．（1，3）2．设复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+=（）A． +i B．﹣i C．i D．﹣i3．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为2：3；5，现从该学校中抽取一个容量为100的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为（）A．200 B．400 C．500 D．10004．设x1，x2为f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的两个零点，且|x2﹣x1|的最小值为1，则ω=（）A．πB．C．D．5．若平面向量，，，，满足+=x，﹣=y（x，y∈R），且||=||，，不垂直，则xy=（）A．1 B．2 C．﹣3 D．06．某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的外接球的表面积为（）A．32+8B．36πC．18πD．π7．执行如图所示的程序框图，若输入的x为4，则运行的次数与输出x的值分别为（）8．在三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB，CD的中点，若AD=BC=2，AD与BC 所成的角为θ，EF=，则sinθ=（）A．B．C．D．9．若x，y满足：，则z=的最大值与最小值之和为（）A．B．C．D．10．在正项等比数列{a n}和正项等差数列{b n}中，已知a1，a2017的等比中项与b1，b2017的等差中项相等，且+≤1，当a1009取得最小值时，等差数列{b n}的公差d的取值集合为（）A．{d|d≥}B．{d|0＜d＜}C．{}D．{d|d≥}11．神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想，某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，如图所示，假设航天员到地球最近距离为d1，到地球最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则神秘信号传导的最短距离为（）A．d1+d2+R B．d2﹣d1+2R C．d2+d1﹣2R D．d1+d212．设x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x的两个极值点，若b ≥，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若命题p：“∀x∈（﹣∞，0），x2≥0”，则￢p为．14．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，且它的一个顶点到较近焦点的距离为﹣1，则双曲线C的方程为．15．已知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，f（﹣3）=0，则满足f（x2﹣x+1）＞0的x的取值范围为．16．已知数列{a n}，a n=（2n+m）+（﹣1）n（3n﹣2）（m∈N*，m与n无关），则a2i的最大值为．﹣1三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，D为BC的中点，∠BAD+∠C≥90°．（Ⅰ）求证：sin2C≤sin2B；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，AB=2，AD=3，求AC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2，在侧面PAD中，PA=PD，E为侧棱PC上不同于端点的任意一点且PA⊥DE．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若PA∥平面BDE，求的值．19．为了政府对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取110人进行统计，得到如下列联表：买房不买房纠结城市人515农村人2010已知样本中城市人数与农村人数之比是3：8．（1）分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；（2）用独立性检验的思想方法说明在这三种买房的心理预期中哪一种与城乡有关？参考公式：K2=．P（k2≥k）k20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴切于点（3，0）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，命题p：∃x1，x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1为假命题，求实数c的取值范围．21．已知点P（，）在椭圆E： +=1（a＞b＞0）上，F为右焦点，PF垂直于x轴，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），满足=，判断k AB+k BC的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由．选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考(七)数学试题试卷(七)
长沙市一中2024 届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 样本数据15 、13 、12 、31 、29 、23 、43 、19 、17 、38 的中位数为( )(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 182. 已知集合A = {x''' e x2 −2x ≤ 1}, B = {−1, 0, 1}, 则集合A ∩ B 的非空子集个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 73. 已知实部为3 的复数z 满足z · (1 −2i) 为纯虚数, 则|z| = ( )(D) √54. 已知数列{a n } 满足a n = 3n −b (n ∈ N* , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|a n |} 是递增数列”的( )(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5. 已知tan θ= 2, 则 sin 2θ= ( )(A) (B) 2 (C) 1 (D)6. 过抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线交E 于点A, B , 交E 的准线l 于点C , AD ⊥ l , 点D 为垂足.若F 是AC 的中点, 且|AF | = 3, 则|AB| = ( )(A) 4 (B) 2√3 (C) 3√2 (D) 37. 已知双曲线C: kx2 −y2 = 1 的左焦点为F , P (3m, −4m) (m > 0) 为C 上一点, 且P 与F 关于C 的一条渐近线对称, 则C 的离心率为( )(A) (B) √3 (C) 2 (D)√58. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足f(x) + f(3 −x) = 4, f(x) 的导函数为g(x), 函数y = g(x −1) 的图象关于点(2, 1) 中心对称, 则f + g(2024) = ( )(A) 3 (B) −3 (C) 1 (D) −1二、多项选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.9. 已知函数cos 2x + sin 2x, 则( )(A) 函数f (x −关于原点对称(B) 曲线y = f(x) 的对称轴为x = + , k ∈ Z2 cos2 θ + 4 sin2 θ(C) f (x) 在区间单调递减(D) 曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为2x −2y + 1 = 010. 已知二面角A −CD −B 的大小为, AC ⊥ CD , BD ⊥ CD , 且CD = 1, AC + BD = 2, 则( )(A) △ABD 是钝角三角形(B) 异面直线AD 与BC 可能垂直(C) 线段AB 长度的取值范围是[2, √5) (D) 四面体A −BCD 体积的最大值为11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继续; 若回答错误, 得0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是和 , 且第1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第i 次答题者是甲的概率为P i , 第i 次回答问题结束后中甲的得分是K i , 则( )(A) P2 =(C) P i+1= P i+ P i+ K i−1三、填空题: 本题共3 小题, 每小题5 分, 共15 分.12. (x + 3y)(x −y)8 的展开式中x3 y6 的系数为.13. 已知动点P 在圆M : (x −m + 1)2 + (y −m)2 = 1 上, 动点Q 在曲线y = ln x 上. 若对任意的m ∈ R, |PQ| ≥ n恒成立, 则n 的最大值是.14. 已知正六棱锥的高是底面边长的2√3 倍, 侧棱长为√13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 盒中有形状、大小均相同的卡片6 张, 卡片依次标记数字1, 2, 2, 3, 3, 3.(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为1 的概率;(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量X , 求X 的分布列和E(X).16. 如图三棱锥P −ABC 中, PA = BC , AB = PC , AC ⊥ PB.(1) 证明: AB = BC;(2) 若平面PAC ⊥ 平面ABC , AC = √2AB , 求二面角A −PB −C 的余弦值.PA CB17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f (x) = cos 2 x + sin x.(1) 求 f (x) 的极大值点;(2) 证明: 对任意x 4 − x 2 + 1. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为 A(0, 1), B(0, −1), 其右焦点为 F , 且 F #---A -→ · B #---A -→ = F #---A -→ · F #---B -→ .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若点 P (2, −1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P 1 , P 2 满足 P #---P ---1→ · P #---P ---2→ = P #---B -→2 . 若直线 AP 1 与直线 AP 2 分别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a,b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a,b, c) ∈D.(1) 证明:“ (a,b, c) ∈ D ”是“(√a, √b, √c) ∈ D ”的充分不必要条件;(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O , 且 x O #---A -→ + y O #---B -→ + z O #---C -→ = 0, 设 I = (x,y, z) (x, y, z > 0).① 若 I = (3, 4, 5), 求 S △AOB : S △AOC ;② 证明: I ∈ D.。