您的位置：360文档中心› 八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题(含答案)

八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题(含答案)

合集下载

八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题(含答案)

八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题(含答案)

八年级数学上册第12章 全等三角形证明经典50道含答案1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2ABAD B CDA B C3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGAB C D EF 2 1 B ACDF21 E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典习题(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．1B解析：B【分析】 先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质得：OE ＝OF ＝OD 然后根据△ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O 到边BC 的距离．【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12 OD=3故选：C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．3．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF，∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．4．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA C解析：C【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．5．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDCD ．ED ＋AC >AD B解析：B【分析】 利用角平分线的性质定理判断A ；利用直角三角形两锐角互余判断B ；证明△AED ≌△ACD ，由此判断C ；利用三角形三边关系得到AC+CD>AD ，由此判断D ．【详解】∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DC ，∠BAD=∠DAC ，∵BD+DC=BC ，∴BD+ED=BC ，故A 正确；∵∠C=90︒，∴∠B+∠BAC=90︒，∴∠B+2∠DAC=90︒，故B 错误；∵DE ⊥AB ，∴∠AED=∠C=90︒,又∵∠BAD=∠DAC ，DE=CD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠ADE=∠ADC ，∴AD 平分∠EDC ，故C 正确；在△ACD 中，AC+CD>AD ，∴ED ＋AC >AD ，故D 正确；故选：B ．【点睛】此题考查三角形的三边关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．6．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ C解析：C【分析】 先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．【详解】解：在ABC ∆和CED ∆中，AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC CED SSS ∴∆≅∆，B E ∴∠=∠，FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，2CFE x ∴∠=︒，2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，FDC x ∴∠=︒．故答案为C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．7．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL D解析：D直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.8．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）A ．β＝α+γB ．β＝2γ﹣αC ．β＝α+2γD ．β＝2α﹣2γB解析：B【分析】 根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD ，根据∠ADC 是△BDC 的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD ，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB ，于是得到结果．【详解】解：∵EF ∥AB ，∠EFC=β，∴∠B=∠EFC=β，∵CD 平分∠BCA ，∴∠ACB=2∠BCD ，∵∠ADC 是△BDC 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD ，∵∠ADC=γ，∴∠BCD=γ-β，∵∠MAC 是△ABC 的外角，∴∠MAC=∠B+∠ACB ，∵∠MAC=α，∴α=β+2（γ-β），∴β=2γ-α，故选：B ．本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5D解析：D【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设点Q的运动速度是x cm/s，∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，则1×t=4-1×t，则3=2x，解得：t=2，x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，则1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．10．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．二、填空题11．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．12．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．13．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____1＜AC ＜17【分析】作出图形延长AD 至E 使DE ＝AD 然后利用边角边证明△ABD 和△ECD 全等根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE 再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD解析：4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．【详解】∵ DC ⊥BC ，∴ ∠BCD=90︒，∵ ∠ACB=120︒，∴ ∠ACD=30︒，如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，∵ D 为 AB 的中点，∴ AD=BD ，在 ΔADH 与 ΔBCD 中，CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴点A 到CD 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ∠ACE ＝2∠DCE 再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC 即得出∠A ＝2∠D 即得出答案【详解】∵∠ABC 解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ．再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ．即得出∠A ＝2∠D ，即得出答案．【详解】∵∠ABC 的平分线交∠ACE 的外角平分线∠ACE 的平分线于点D ，∴∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ，∵∠DCE 是△BCD 的外角，∴∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∵∠ACE 是△ABC 的外角，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ＝2∠DCE ﹣2∠DBE ＝2（∠DCE ﹣∠DBE ），∴∠A ＝2∠D ＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．16．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．17．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时PM 最小∵OP 平分PD=5∴PM=PD=5故答案为：5【点睛】此题考查角平分线的性质垂线段最短掌握点到直线的所有 解析：5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答.【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，∵OP 平分AOC ∠，PD OA ⊥，PD=5，∴PM=PD=5，故答案为：5.【点睛】此题考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握点到直线的所有连线中垂线段最短是解题的18．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：由图可知带第4块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：4；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判解析：ASA【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析：1或72【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：PEC ∆与QFC ∆全等，PC QC ，683∴-=-t t ，解得:1t =；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或72．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边BC上（不与点B，C重合），过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，连接DF．（1）请直接写出∠CAD与∠BCF的数量关系；（2）若点D是BC中点，在图2中画出图形，猜想线段AD，CF，FD之间的数量关系，并证明你的猜想．解析：（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，∴∠CAD＝∠BCF；（2）如图所示：猜想：AD ＝CF +DF ，理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，则∠ACB +∠CBG ＝180°，∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，在△ACD 和△CBG 中，∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，∵D 是BC 的中点，∴CD ＝BG ＝BD ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠CBA ＝45°，∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG ＝∠FBD ，在△BDF 和△BGF 中，BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF （SAS ），∴DF ＝GF ，∵AD ＝CG ＝CF +FG ，∴AD ＝CF +DF ．【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．22．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．解析：（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC【分析】（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．【详解】（1）作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（2）（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=60°，∴∠APB=120°，在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（3）OA=2BC-OB ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，同（2），可证△APD ≌△BPC ，∴AD=BC ，点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，在Rt △OPD 和RtOPC 中，PC PD OP OP =⎧⎨=⎩∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，∴OC=OD ，∴OA-AD=OD=OC ，∴OA-BC=OC ，∴OA=BC+OC ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6， 故答案为：6；（2）①如图，'A BC 即为所求，②如图，''AB C 即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．24．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD =80°，试求： （1）∠EDC 的度数．（2）若∠BCD =n °，试求∠BED 的度数．（用含n 的式子表示）（3）类比探究：已知AB ∥CD ，BE 、DE 分别是∠ABC 、∠ADC 的n 等分线，ABE ∠=1ABC n ∠，1CDE ADC n∠=∠，∠BAD =α，∠BCD =β，请猜想∠BED = ．解析：（1）40︒；（2）1402BED n ∠=︒+︒；（3）1()αβ+n 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的性质即可得解；（2）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，由AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，推出12BEF ABE n ∠=∠=︒，利用EF ∥CD ，求得∠FED =∠EDC =40°，即可得到 1402BED n ∠=︒+︒；（3）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，利用AB ∥CD 推出∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，求得1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=，利用EF ∥AB ，求出1BEF ABE n β∠=∠=，即可得到1()BED n αβ∠=+． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ADC =∠BAD =80°，又∵DE 平分∠ADC ，∴1402EDC ADC ∠=∠=︒；（2）如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =n °，又∵BE 平分∠ABC ，∴12ABE n ∠=︒， ∵EF ∥AB ， ∴12BEF ABE n ∠=∠=︒， ∵EF ∥CD ，∴∠FED =∠EDC =40°，∴1402BED n ∠=︒+︒． （3）1()αβ+n．如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，∴1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=， ∵EF ∥AB ， ∴1BEF ABE n β∠=∠=， ∴1()BED nαβ∠=+． 故答案为：1()αβ+n ．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记平行线的性质并正确引出辅助线解决问题是解题的关键．25．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案； （2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案； （3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图2，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ，∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD ∠CAD ．（2）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图3，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：解析：（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ， ∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．27．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．28．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．解析：（1）∠BDE ＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH ＞∠ABC ，又根据平行线的性质得出∠ABC=∠ADE ，即可得出答案；（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．【详解】（1）解：∵DE//BC ，∠EBC ＝35°，∴∠DEB ＝∠EBC ＝35°，又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE ＝180°，∠DBE ＝40°，∴∠BDE ＝105°；（2）证明：∵∠EGH 是△FBG 的外角，∴∠EGH ＞∠ABC ，又∵DE//BC ，∴∠ABC ＝∠ADE ，∴∠EGH ＞∠ADE ；（3）全等．证明：E 是AC 和FG 的中点，∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，在△AFE 和△CEG 中，AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．。

八年级全等三角形证明经典50题(含答案)

八年级全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2AD BC证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGB ACDF21E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习(含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 2．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不能使ABC DCB △△≌的是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．ACB DBC ∠=∠ 3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA4．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．95．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A．40︒B．45︒C．50︒D．55︒6．下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等7．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形两锐角互余B．全等三角形对应角相等C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等8．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=2，△ABC的面积是（）A．20 B．24 C．32 D．409．如图，已知∠A=∠D， AM=DN，根据下列条件不能够判定△ABN≅△DCN的是（）A．BM∥CN B．∠M=∠N C．BM=CN D．AB=CD10．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 11．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 12．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 13．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABCB ．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABCD ．AD=BC ，BD=AC14．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b 15．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠二、填空题16．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．18．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．19．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________秒．20．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．21．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．22．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．23．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．24．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．25．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．26．ABC 中，4AB =，6AC =， 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______．三、解答题27．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC ≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（问题解决）（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．28．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；再以点N 为圆心，MN 长为半径作弧交前面的弧于点F ，作射线BF 交AC 的延长线于点E ．②以点B 为圆心，BA 长为半径作弧交BE 于点D ，连接CD ．请你观察图形，解答下列问题．（1）由尺规作图可证得BMN BFN ≌△△，依据是____________；（2）求证：ABC DBC △≌△；（3）若100BAC ∠=︒，50E ∠=︒，求∠ACB 的度数．29．如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，BC 与DF 交于点G ，AD BE =，//BC EF ，BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．30．已知：如图，AB ＝ AD ．请添加一个条件使得△ABC ≌△ADC ，然后再加以证明．。

人教版数学八年级上册 第十二章《全等三角形》证明练习题(含答案)

人教版数学八年级上册 第十二章《全等三角形》证明练习题(含答案)

人教版数学八年级上《全等三角形》经典习题集锦1.如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。

2.如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？3.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？4.如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= .5.已知，如图所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD是多少？6.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE= .7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。

8.如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。

9.已知，如图：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：AF⊥CD10.如图，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？为什么？11.如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC12.△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD （2）CM=CN （3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC13.已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F（1）求证：AN=BM（2）求证：△CEF为等边三角形14.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（）A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个15.已知：BD、CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB，求证：AG⊥AF16.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG求证：（1）AD=AG（2）AD与AG的位置关系如何17．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE求证：AF=AD-CF18．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AE=BE+BC19．如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF20．已知如图：AB=DE，直线AE、BD相交于C，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD于F，求证：CF=CD21．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上一点，连接DF和EF，求证：DF=EF22．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：（1）△BDE≌△CDF （2）点D在∠A的平分线上23．如图，已知AB∥CD，O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离是多少？24．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E（1）∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》习题(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（ ）A ．7B ．10C ．6D ．52．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100° 3．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b ＋c 4．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm5．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 7．下列说法正确的是（ ）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．48．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图3 9．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形两锐角互余B ．全等三角形对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等10．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等11．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD =180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 12．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 13．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （ ）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF14．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 15．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题16．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．17．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．18．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝10cm ，则DEB 的周长是_____cm ．19．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，=．已知旗杆此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM DMBD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是________秒．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,则S△ABD=______．21．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若22．如图，ABC ADE∠=________︒．∠=︒，10120B∠=︒，30EABCAD∠=︒，则CFD23．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．24．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______25．ABC 中，4AB =，6AC =， 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______． 26．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．三、解答题27．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．28．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．29．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =30．作图：已知ABC 和线段r ，请在ABC 内部作点P ，使得点P 到AC 和BC 的距离相等，并且点A 到点P 的距离等于定长r ．（不写作法，保留痕迹）。

(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典题(含答案解析)

(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典题(含答案解析)

一、选择题1．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（ ）A ．ACB ADB ∠=∠B ．AB BD =C ．AC AD =D ．CAB DAB ∠=∠ B解析：B【分析】 根据已知条件可得∠ABC=∠ABD=90°，AB=AB ，结合全等三角形的判定定理依次对各个选项判断．【详解】解：∵AB CD ⊥，∴∠ABC=∠ABD=90°，∵AB=AB ，∴若添加ACB ADB ∠=∠，可借助AAS 证明ABC ABD △≌△，A 选项不符合题意； 若添加AB BD =，无法证明ABC ABD △≌△，B 选项符合题意；若添加AC AD =，可借助HL 证明ABC ABD △≌△，C 选项不符合题意；若添加CAB DAB ∠=∠，可借助ASA 证明ABC ABD △≌△，D 选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能结合题上已知条件选取合适的定理是解题关键．2．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：B【分析】 根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．【详解】∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠E B ∠=∠，即E B EAF BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；①和④不构成三角形全等的条件，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．3．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = D解析：D【分析】 根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．【详解】解：∵∠B=∠DEF ，AB=DE ，∴添加∠A=∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；添加BC=EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；添加∠ACB=∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；添加AC DF =，不符合任何一个全等判定定理，不能证明△ABC ≌△DEF ；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS 、ASA 、SAS 、AAS 和HL 是解题的关键．4．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对B解析：B【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．【详解】解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．5．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C解析：C【分析】 根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.6．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等D解析：D【分析】根据三角形全等的判定方法对A 、D 进行判断；利用三角形高的位置不同可对B 、C 进行判断．A 、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A 选项错误；B 、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B 选项错误；C 、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C 选错误；D 、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．7．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】 由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．8．如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°A解析：A【分析】 根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．【详解】根据题意ABE ACD ≅（SAS ），∴30B C ∠=∠=︒∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．9．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B【分析】 由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅ ∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．10．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （ ）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF A解析：A【分析】欲使△AED ≌△BFC ，已知AC=DB ，AE ∥BF ，可证明全等三角形判定定理AAS 、SAS 、ASA 添加条件，逐一证明即可；【详解】∵ AC=BD ，∴ AD=CE ，∵ AE ∥BF ，∴ ∠A=∠E ，A 、如添加ED=CF ，不能证明△AED ≌△BFC ，故该选项符合题意；B 、如添加AE=BF ，根据SAS ，能证明△AED ≌△BFC ，故该选项不符合题意；C 、如添加∠E=∠F ，利用AAS 即可证明△AED ≌△BFC ，故该选项不符合题意； D 、如添加ED ∥CF ，得出∠EDC=∠FCE ，利用ASA 即可证明△AED ≌△BFC ，故该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理；二、填空题11．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．21【分析】如图作DHBA 交BA 的延长线于H 作DFBC的延长线于F 作DEAC 于E 首先证明利用面积法求出DE 即可解决问题【详解】解：作DHBA 交BA 的延长线于H 作DFBC 的延长线于F 作DEAC 于E 设则 解析：21【分析】如图，作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，作DF ⊥BC 的延长线于F ，作DE ⊥AC 于E ，首先证明DH DE DF ==，利用面积法求出DE ，即可解决问题．【详解】解：作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，作DF ⊥BC 的延长线于F ，作DE ⊥AC 于E ，180,180BAD CAD BAD DAH ∠+∠=︒∠+∠=︒，CAD DAH ∴∠=∠，180,180BCD ACD BCD DCF ∠+∠=︒∠+∠=︒，ACD DCF ∴∠=∠，,,DH BH DE AC DF BF ⊥⊥⊥，DH DE DF ∴==，设DH DE DF x ===， 则有：11112222AB DH BC DF AB BC AC DE ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∴34125x x x +=+， 6x ∴=，∴S 四边形ABCD=11113456212222AB CB AC DE ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=． 故答案为：21．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角 解析：212cm【分析】如图，延长AE ，BC 交于点M ，通过条件证明()ABE MBE AAS ≅，再证明()ADE MCE ASA ≅，可知ADE MCE SS =，=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果．【详解】 解：如图，延长AE ，BC 交于点M ，AE 平分DAB ∠，BAE DAE ∴∠=∠，//AD BC ，//AD BM ∴，BAE DAE CME ∴∠=∠=∠，又 BE 平分CBA ∠，ABE MBE ∴∠=∠，BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠，，BE=BE ，()ABE MBE AAS ∴≅，90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=，，DAE CME AE ME ∠=∠=，，AED MEC ∠=∠，()ADE MCE ASA ∴≅，ADE MCE S S ∴=，3cm AE =，4cm BE =，21==2234122ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形， 故答案为：212cm ．【点睛】 本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．13．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时PM 最小∵OP 平分PD=5∴PM=PD=5故答案为：5【点睛】此题考查角平分线的性质垂线段最短掌握点到直线的所有 解析：5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答.【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，∵OP 平分AOC ∠，PD OA ⊥，PD=5，∴PM=PD=5，故答案为：5.【点睛】此题考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握点到直线的所有连线中垂线段最短是解题的关键.14．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过解析：46︒【分析】先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得()1462ADB CBE BAC ∠=∠-∠=︒． 【详解】 解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥∴12BAD BAC ∠=∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒∴CD 平分BCF ∠∵DF AC ⊥，DG BC ⊥∴DF DG =∴DE DG =∵DE AB ⊥，DG BC ⊥∴BD 平分CBE ∠ ∴12DBE CBE ∠=∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠1122CBE BAC =∠-∠ ()12CBE BAC =∠-∠ 12BCA =∠ 46=︒．故答案是：46︒【点睛】本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS ）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB ＝AC 在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△A解析：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）即可得出答案．【详解】解：添加条件：AB ＝AC ，在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；添加条件：∠B ＝∠C ，在△ABE 和△ACD 中，B C A A AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；添加条件：∠AEB ＝∠ADC ，在△ABE 和△ACD 中，AEB ADC AE ADA A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ）；故答案为：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．17．如图，在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，AD BD ⊥于点D ，CE BD ⊥于点E ，若7CE =，5AD =，则DE 的长是______．2【分析】通过证明≌得到即可求解【详解】解：∵∴∵∴∴∴在和中∴≌∴∴故答案为：2【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键解析：2【分析】通过证明CBE △≌BAD ，得到7BD CE ==，5BE AD ==，即可求解． 【详解】解：∵90ABC ∠=︒，∴90ABD CBE ∠+∠=︒，∵AD BD ⊥，CE BD ⊥，∴90CEB D ∠=∠=︒，∴90ABD BAD ∠+∠=︒，∴CBE BAD ∠=∠，在CBE △和BAD 中，CEB D CBE BAD CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴CBE △≌BAD ，∴7BD CE ==，5BE AD ==，∴2DE BD BE =-=，故答案为：2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，垂足为B 、C ，AC 与BD 相交于点E ，AC=BD 且∠A=50°，则∠BEA=___________．80°【分析】先证明△ABC ≌△DCB 得∠DBC=∠ACB进一步得∠ACB=40°根据三角形外角的性质可求出∠BEA 【详解】解：∵AB ⊥BCDC ⊥BC ∴∠ABC=∠DCB=90°在Rt △ABC 和Rt解析：80°【分析】先证明△ABC ≌△DCB 得∠DBC=∠ACB ，进一步得∠ACB=40°，根据三角形外角的性质可求出∠BEA ．【详解】解：∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠ABC=∠DCB=90°，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AC BD BC CB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ）；∴∠DBC=∠ACB ，∵∠A=50°，∴∠ACB=∠DCB=40°∵∠AEB=∠DBC+∠ABC∴∠AEB=40°+40°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定以及三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解答此题的关键．19．如图，已知ABC DCB ∠=∠，则需添加的一个条件是______可使ACB DBC ≌．（只写一个即可，不添加辅助线）．AB=DC （答案不唯一）【分析】因为和公共边BC根据全等证明方法即可求得【详解】当AB=DC 时根据全等证明方法SAS 可证故答案为：AB=DC （答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定条件掌握五种解析：AB=DC （答案不唯一）【分析】因为ABC DCB ∠=∠和公共边BC ，根据全等证明方法即可求得．【详解】当AB=DC 时根据全等证明方法SAS 可证ACB DBC ≌故答案为：AB=DC （答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，掌握五种全等证明方法是解题的关键．20．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可解析：①③【分析】由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明③正确；连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△CFD ，从而得到BE=FC ，从而可得AB+AC=2AE ，故可判断④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．（1）∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠AED=∠AFD=90°，∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，故①正确；②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故②错误；③∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．故③正确．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④错误．因此正确的结论是：①③，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题21．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．解析：见解析【分析】先证明AF BE =，然后根据平行线的性质得到∠CAF=∠DBE ，用SAS 即可证明△ACF ≌△BDE ．【详解】证明：AE BF =，AE EF BF EF ∴+=+，即AF BE =；//AC BD ， CAF DBE ∴∠=∠在ACF 与BDE 中，AC BD CAF DBE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF BDE ∴≅．【点睛】本题考查的是全等三角形的SAS 判定、平行线的性质，掌握SAS 判定是解题的关键． 22．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．解析：（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC【分析】（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．【详解】（1）作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（2）（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=60°，∴∠APB=120°，在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（3）OA=2BC-OB ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，同（2），可证△APD ≌△BPC ，∴AD=BC ，点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，在Rt △OPD 和RtOPC 中，PC PD OP OP =⎧⎨=⎩∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，∴OC=OD ，∴OA-AD=OD=OC ，∴OA-BC=OC ，∴OA=BC+OC ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．23．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．解析：（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF ，再根据HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌；（2）先证明∠AFG=∠DCH ，从而证明∆AFG ≅∆DCH ，进而即可求解． 【详解】（1）∵AF CD =，∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，在Rt ABC 与Rt DEF △中，∵AC DF AB DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC ≅Rt DEF △（HL ）；（2）∵Rt ABC ≅Rt DEF △，∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，∴∠AFG=∠DCH ，又∵AF CD =，∴∆AFG ≅∆DCH ，∴HC=GF =1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．24．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．解析：见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．【详解】证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，∠ABF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ACD=∠ABF ，在△AFB 和△ADC 中，90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；∴CD=BF ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠FCE ，在△BCE 和△FCE 中，90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），∴BE=EF ，∴BF=2BE∴CD=2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．25．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD =80°，试求： （1）∠EDC 的度数．（2）若∠BCD =n °，试求∠BED 的度数．（用含n 的式子表示）（3）类比探究：已知AB ∥CD ，BE 、DE 分别是∠ABC 、∠ADC 的n 等分线，ABE ∠=1ABC n ∠，1CDE ADC n∠=∠，∠BAD =α，∠BCD =β，请猜想∠BED = ．解析：（1）40︒；（2）1402BED n ∠=︒+︒；（3）1()αβ+n 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的性质即可得解；（2）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，由AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，推出12BEF ABE n ∠=∠=︒，利用EF ∥CD ，求得∠FED =∠EDC =40°，即可得到 1402BED n ∠=︒+︒； （3）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，利用AB ∥CD 推出∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，求得1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=，利用EF ∥AB ，求出1BEF ABE n β∠=∠=，即可得到1()BED n αβ∠=+． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ADC =∠BAD =80°，又∵DE 平分∠ADC ，∴1402EDC ADC ∠=∠=︒；（2）如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =n °，又∵BE 平分∠ABC ， ∴12ABE n ∠=︒， ∵EF ∥AB ， ∴12BEF ABE n ∠=∠=︒， ∵EF ∥CD ，∴∠FED =∠EDC =40°，∴1402BED n ∠=︒+︒． （3）1()αβ+n．如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，∴1ABE nβ∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=， ∵EF ∥AB ， ∴1BEF ABE n β∠=∠=， ∴1()BED nαβ∠=+． 故答案为：1()αβ+n ．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记平行线的性质并正确引出辅助线解决问题是解题的关键．26．如图，在ACD △与BCE 中，AC BC =，CD CE =，ECD ACB ∠=∠．（1）求证：AD BE =；（2）若105ACD ∠=︒，32D ∠=︒，求B 的度数．解析：（1）见解析；（2）43°【分析】利用 SAS 证明≌ACD BCE 即可;由全等三角形的性质可知:B A ∠=∠ 再根据三角形内角和为180︒，可求出A ∠的度数，即可求出B ．【详解】（1）证明：∵ECD ACB ∠=∠．∴ECD ACE ACB ACE ∠+∠=∠+∠∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD BCE SAS ≌∴AD BE =（2）∵105ACD ∠=︒，32D ∠=︒∴1801053243A ∠=︒-︒-︒=︒由（1）得≌ACD BCE∴43B A ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，属于中考常考题型． 27．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．解析：见解析【分析】由BE ＝CF 得BF ＝CE ，由AB ⊥CB ，DC ⊥CB 得到∠ABF ＝∠DCE ＝90°，然后根据“HL ”可判断Rt ABF ≌Rt DCE ，则AB ＝DC 即可．【详解】证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，∵AB ⊥CB ，DC ⊥CB ，∴∠ABF ＝∠DCE ＝90°，∵在Rt ABF 和Rt DCE 中，AF DE BF CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABF ≌Rt DCE （HL ），∴AB ＝DC ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．28．求证：全等三角形对应边上的中线相等．（根据图形写出已知，求证并完成证明）解析：见解析【分析】利用SAS 证明ABD ≌A B D '''△，即可证得结论．【详解】 解：已知：如图，ABC ≌A B C '''，AD 和A D ''分别是BC 和B C ''上的中线，求证：AD ＝A D ''．证明：∵ABC ≌A B C '''， ∴AB ＝A B ''，∠B ＝∠B '，BC ＝B C ''，∵AD 、A D ''是 BC 和B C ''上的中线，∴BD ＝12BC ，12B D B C ''''=，∴BD ＝B D ''，∴在ABD 与A B D '''△中AB A B B B BD B D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩' ∴ABD ≌A B D '''△（SAS ），∴AD ＝A D ''．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．。

八年级数学上册第十二章全等三角形考点题型与解题方法(带答案)

八年级数学上册第十二章全等三角形考点题型与解题方法(带答案)

八年级数学上册第十二章全等三角形考点题型与解题方法单选题1、如图，已知△ABC≌△DAE，BC=2，DE=5，则CE的长为（）A．7B．3.5C．3D．2答案：C分析：利用全等三角形的性质求解即可．解：∵△ABC≌△DAE，∴AC=DE=5，AE=BC=2，∴CE=AC-AE=3，故选C．小提示：本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．2、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：A分析：过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB,∠ABC=∠FBC=12∠ABF，∵BF∥AC，∴∠CAB+∠ABF=180°，∴∠DAB+∠ABD=90°，即∠ADB=90°，∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高，故①正确；∵∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴DB=DC，即AD是△ABC的中线，故②正确；∵BF∥AC，∴∠CED=∠F，∵∠CDE=∠BDF，∴△DEC≌△DFB（AAS），∴ED＝FD，故③正确；过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，∠AED=∠F=90°，∴DE=DG=DF，∵AD=AD，∴△AED≌△AGD（HL），∴AE=AG，同理可知BF=BG，∵AB=AG+BG，∴AB=AE+BF，故④正确；综上所述：正确的个数有4个；故选A．小提示：本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．3、墨墨想在纸上作∠A1O1B1等于已知的∠AOB，步骤有：①画射线O1M；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以点A1为圆心，以CD为半径画弧，与已画的弧交于点B1，作射线O1B1；④以点O1为圆心，以OC为半径画弧，交O1M于点A1．在上述的步骤中，作∠A1O1B1的正确顺序应为（）A．①④②③B．②③④①C．①②④③D．①③④②答案：C分析：根据作一个角等于已知角的方法，选择合适的顺序即可．解：根据作一个角等于已知角的步骤可知，正确的顺序是①②④③故选C．小提示：此题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，熟练掌握其作法步骤过程是解题的关键．4、如图，已知AB=AD，BC=DE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF的度数为（）A．120°B．135°C．115°D．125°答案：C分析：由已知可得△ABC≌△ADE，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度数，进而得∠GFD的度数，在△FGD中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF的度数．在△ABC和△ADE中{AB=AD ∠B=∠D BC=DE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC=∠DAE∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°∴∠BAC=∠DAE=12×(120°−10°)=55°∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°∴∠GFD=90°在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°故选：C小提示：本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC的度数．5、如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6，CD＝4．则DE的长度为（）A．2B．1C．1.4D．1.6答案：B分析：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，根据AAS证明△AFC≌△AEB，得到AF=AE，CF=BE，再根据HL 证明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF=DE，最后根据线段的和差即可求解．解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，∴∠AFC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFC=∠AED=∠AEB=90°，在△AFC和△AEB中，{∠AFC=AEB∠ACF=∠ABEAC=AB，∴△AFC≌△AEB（AAS），∴AF=AE，CF=BE，在Rt△AFD和Rt△AED中，{AF=AEAD=AD，∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），∴DF=DE，∵CF=CD+DF，BE=BD-DE，CF=BE，∴CD+DF=BD-DE，∴2DE=BD-CD，∵BD=6，CD=4，∴2DE=2，∴DE=1，故选：B．小提示：此题考查了全等三角形的判定与性质，根据AAS证明△AFC≌△AEB及根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED是解题的关键．6、如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（）A．2B．2.5C．3D．103答案：C分析：过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF＝AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，然后求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长．如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在△ABC与△ADE中，{AC=AE∠C=∠E BC=DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，∴12×DE×AF=12×BC×AH，∴AF＝AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG＝∠AHG＝90°，在Rt△AFG和Rt△AHG中，，{AG=AGAF=AH∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴SRt△AFG＝6，∵AF＝4，∴1×FG×4=6，2解得：FG＝3．故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质，综合运用各知识点是解题的基础，作出合适的辅助线是解此题的关键．7、如图，已知AB=AD,AE=AC=BC,∠1=∠2,∠C=40°，则∠ADE的度数为（）A．40°B．65°C．70°D．75°答案：C分析：首先根据已知条件证明△ABC≅△ADE，再利用等腰三角形求角度即可．解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC与△ADE中，∵{AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△ABC≅△ADE（SAS），∴∠C=∠E=40°，AE=BC=DE，∴∠ADE=∠EAD=12(180°−∠E)=12(180°−40°)=70°，故选：C．小提示：本题主要考查三角形全等的证明，利用已知条件进行证明是解题的关键．8、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块答案：B分析：根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．小提示：本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．9、如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去答案：C分析：根据三角形的定义，不在同一平面的三条线段，首尾相连组成的图形是三角形，即可求出答案．解：A选项的①上下两边可以无限延伸，无法确定③的大小，不符合题意；B选项的②上下两边可以无限延伸，能确定①的大小，无法确定③的大小，不符合题意；C选项的③上下两边可以延伸，能确定①、②的大小，符合题意，故选C；D选项不符合题意，只需带③即可配一块完全相同的玻璃．故选：C．小提示：本题主要考查三角形的定义，理解和识记三角形的定义，即可求出答案．10、如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( )A．0.5B．1C．1.5D．2答案：B分析：根据平行线的性质，得出∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据全等三角形的判定，得出ΔADE≅ΔCFE，根据全等三角形的性质，得出AD=CF，根据AB=4，CF=3，即可求线段DB的长．∵CF//AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，在ΔADE和ΔFCE中{∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，∴ΔADE≅ΔCFE(AAS)，∴AD=CF=3，∵AB=4，∴DB=AB−AD=4−3=1.故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ΔADE≅ΔFCE是解此题的关键．填空题11、如图所示，△ABC与△ADE全等，则∠B的对应角是_________，AC的对应边是_________．答案：∠E AD首先确定三角形的对应顶点，再将对应顶点放在对应位置写出两个三角形的全等关系，即△ABC≌△AED，然后按照对应关系即可写出对应边和对应角，∠B的对应角为∠E，AC的对应边为AD．∠E AD12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AE，DE⊥AB，若∠BDE=46°，则∠DAE=_______．答案：23°##23度分析：根据题目所给条件，可以得到∠CDE的度数，再根据题目所给条件以及角平分线的判定定理，可以得到DA是∠CDE的角平分线，即可得到∠ADE，再根据△ADE是直角三角形，从而得到最后的答案．解：∵∠BDE=46°，∴∠CDE=180°−∠BDE=180°−46°=134°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，又∵AC=AE，∠DEA=90°，∠C=90°，∴DA是∠CDE的角平分线，∴∠ADE=12∠CDE=12×134°=67°，∴在Rt△ADE中，∠DAE=180°−∠DEA−∠ADE=180°−∠90°−67°=23°，所以答案是：23°．小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的判定定理与性质，解答本题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定定理．13、如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF=______．答案：6分析：由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质求解即可．解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6．所以答案是：6．小提示：考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找准相互重合的对应边．14、如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为_____时，△ABP与△PCQ全等．答案：2或83分析：可分两种情况：①ΔABP≅ΔPCQ得到BP=CQ，AB=PC，②ΔABP≅ΔQCP得到BA=CQ，PB= PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．解：①当BP=CQ，AB=PC时，ΔABP≅ΔPCQ，∵AB=8cm，∴PC=8cm，∴BP=12−8=4(cm)，∴2t=4，解得：t=2，∴CQ=BP=4cm，∴v×2=4，解得：v=2；②当BA=CQ，PB=PC时，ΔABP≅ΔQCP，∵PB=PC，∴BP=PC=6cm，∴2t=6，解得：t=3，∵CQ=AB=8cm，∴v×3=8，，解得：v=83时，ΔABP与ΔPQC全等，综上所述，当v=2或83．所以答案是：2或83小提示：主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．15、如图，AD是△ABC的角平分线，若△ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是______．答案：4分析：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到SΔABD+SΔACD=SΔABC，再利用三角形面积公式得到12×8×DE+12×DE×16=48，然后求出DE即可．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，∵AD是ΔABC的角平分线，∴DE=DF，∵SΔABD+SΔACD=SΔABC，∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=48，即12×8×DE+12×DE×16=48，∴DE=4，即点D到AB的距离为4．所以答案是：4．小提示：本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积．解答题16、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．答案：(1)证明见解析(2)AD =BE +DE ，证明见解析(3)BE =AD +DE ，证明见解析分析：（1）先用AAS 证明△ADC ≌△CEB ，得AD =CE ，BE =CD ，进而得出DE =BE +CD ；（2）先证明△ACD ≌△CBE （AAS ），可得AD =CE ，CD =BE ，进而得出AD =CD +DE =BE +DE ；（3）证明过程同（2），进而可得BE =AD +DE ．（1）证明：由题意知，∠BCA =90°，∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠BCE +CBE =90°，∴∠ACD =∠CBE ，在△ADC 和△CEB 中，∵{∠ADC ＝∠CEB =90°∠ACD ＝∠CBE AC ＝BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，BE =CD ，∴DE =DC +CE =BE +AD ．（2）解：AD=BE+DE．证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ABD和△ACE中，∵{∠ADC＝∠CEB∠ACD＝∠CBEAC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴AD=CD+DE=BE+DE．（3）解：BE=AD+DE．证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠BEC=90º，∴∠EBC+∠BCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD和△CBE中，∵{∠ADC＝∠CEB∠ACD＝∠CBEAC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴BE=CD，AD=CE，∴BE=CE+DE=AD+DE，∴BE=AD+DE．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于找出证明三角形全等的条件．17、如图，已知点C是AB的中点，CD//BE，且CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE．（2）若∠A=87°,∠D=32°，求∠B的度数．答案：（1）见解析；（2）61∘分析：（1）根据SAS证明△ACD≌△CBE；（2）根据三角形内角和定理求得∠ACD，再根据三角形全等的性质得到∠B=∠ACD．（1）∵C是AB的中点，∴AC＝CB，∵CD//BE，∴∠ACD=∠CBE，在△ACD和△CBE中，{AC=CB∠ACD=∠CBECD=BE，∴ΔACD≅ΔCBE；（2）∵∠A=87°，∠D=32°，∴∠ACD=180°−∠A−∠D=180°−87°−32°=61°，又∵ΔACD≅ΔCBE，∴∠B=∠ACD=61°．小提示：考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是根据SAS证明△ACD≌△CBE．18、阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．答案：（1）2；（2）4分析：（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证△FGH≌△FNK，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证△FMK≌△FMH，故可求解．（1）由题意知S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC=12AC2=2，故答案为2；（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：∵ FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴△FGH≌△FNK，∴FH=FK，又∵FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，∴△FMK≌△FMH，∴MK=FN=2cm，∴S五边形FGHMN =S△FGH+S△HFM+S△MFN=2S△FMK=2×12MK⋅FN=4．小提示：本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2AD B CDA B C证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGAB C D EF 2 1 B ACDF21 E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=28. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=29. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2DA B C证明：连接BF 和EF 。

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

∴ ∠EBF=∠BEF 。

又∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGB ACDF21 EAB C D EF 21∠CGD ＝∠EFD又EF ∥AB∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG又 EF ＝CG∴EF ＝AC11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE ＝AC ，AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C∵AC ＝AB+BD∴AE ＝AB+BD∵AE ＝AB+BE∴BD ＝BE∴∠BDE ＝∠E∵∠ABC ＝∠E+∠BDE∴∠ABC ＝2∠E∴∠ABC ＝2∠C12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BECD B A在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC又∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCECE平分∠BCDCE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CAB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，∵∠EAB=∠BDE ，∴∠AED=∠ABD ，∴四边形ABDE 是平行四边形。

∴得：AE=BD ，∵AF=CD,EF=BC ，∴三角形AEF 全等于三角形DBC ，∴∠F=∠C 。

14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD<BC 时，E 点是射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。

∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）∴△BEC 是等腰三角形∴∠B=∠C.15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB在AC 上取点E ，使AE ＝AB 。

DC B A FE A B CDPD A CB∵AE＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G∴AGE 全等BDE∴AG=BD=5∴AGF ∽CDFAF=AG=5∴DC=CF=218．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 解：延长AD 至BC 于点E,∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB∴△ABC 是等腰三角形∴AB=AC在△ABD 和△ACD 中｛AB=AC∠1=∠2BD=DC∴△ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD∴AE 是△ABC 的中垂线∴AE ⊥BC∴AD ⊥BC19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA证明：∵OM 平分∠POQ∴∠POM ＝∠QOMF A EDCB∵MA ⊥OP ，MB ⊥OQ∴∠MAO ＝∠MBO ＝90∵OM ＝OM∴△AOM ≌△BOM （AAS ）∴OA ＝OB∵ON ＝ON∴△AON ≌△BON （SAS ）∴∠OAB=∠OBA ，∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB ＝180∴∠ONA ＝∠ONB ＝90∴OM ⊥AB20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B延长AC 到E 使AE=AC 连接 ED∵ AB=AC+CD∴ CD=CE可得∠B=∠E△CDE 为等腰∠ACB=2∠BP E DCB A DC B A22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．（1）连接BE ，DF ．∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，∵AF=CE ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ），∴DE=BF ．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD ，ME=MF ；（2）连接BE ，DF ．∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，∵AF=CE ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ），∴DE=BF ．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD ，ME=MF ．23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：A证明：∵DC ∥AB∴∠CDE ＝∠AED∵DE ＝DE ，DC ＝AE∴△AED ≌△EDC∵E 为AB 中点∴AE ＝BE∴BE ＝DC∵DC ∥AB∴∠DCE ＝∠BEC∵CE ＝CE∴△EBC ≌△EDC∴△AED ≌△EBC24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．证明：∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE 四点共元∵∠AB E=∠CB E∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取线段BD 的中点G ，连接AG ，则：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=ABFED C B A∴△AEC ≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

相关文档
最新文档