高一数学教案：第三章第二节二倍角的正弦、余弦、正切(1)
人教A版数学必修四《二倍角的正弦、余弦和正切公式1》教案
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。
2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。
二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.四、教学重、难点教学难点：二倍教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 角的理解及其灵活运用.五、学法与教学用具学法：研讨式教学，多媒体教学；六、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式，()βsin αsin -βcos αcos βαcos =+；()βsin αcos βcos αsin βαsin +=+；()βtan αtan -1βtan αtan βαtan +=+． （二）公式推导：我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例一、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练：。
二倍角的正弦、余弦、正切公式第一课时教案-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.3人教A版
第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、学习目标1.知识与技能1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程，培养学生发现数学规律的思维方法，分析问题和解决问题的能力，体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习，培养学生的探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养.二、教学重点难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、专家建议通过对二倍角推理，变形应用的学习，要特别加强二倍角公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结五、教学过程●课堂探究探究点一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导问题1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan2α.问题2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ．解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1)＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.练习2：函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是 ． 解析 f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )max ＝3； 当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－5. ●新知展示 1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝ ，sin α2cos α2＝ ；(2)C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ； (3)T 2α：tan 2α＝ . 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝ ，sin 2α2cos α＝ ； (2)(sin α±cos α)2＝ ；(3)sin 2α＝ ，cos 2α＝ ； (4)1－cos α＝ ,1＋cos α＝ . ●典例剖析类型一 利用二倍角公式给角求值例1 .求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)sin 10°sin 50°sin 70°.【分析】 第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)题需将所求式变形逆用二倍角公式化简求值；(3)逆用二倍角的正切公式求解；(4)利用互余关系把正弦变成余弦，逆用二倍角公式化简、求值.【解析】(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝ 2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝18·sin 160°sin 20°＝18. 【小结】对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.【变式训练】求下列各式的值. (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50° . 【解】 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二 利用二倍角公式给值求值例2.已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2xcos (π4＋x )的值.【分析】【解析】∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4). 又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213. 又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x ) ＝2×513×1213＝120169，cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )] ＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413.【小结】1.条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.2.当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.【变式训练】 (2014·扬州高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值.【解】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13.∴cos 2α＝13.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α∈(π，2π).∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223. ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 类型三 二倍角公式的综合应用 (1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ；(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°； (3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【分析】 (2)1±sin 10°＝(sin 5°±cos 5°)2. (3)处理好2α与π4－α与π4＋α的关系. 【解析】(1)法一 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝2cos θ(cos θ－sin θ)2sin θ(sin θ－cos θ)＝－1tan θ， ∴原式＝－1tan θ.法二 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝(1－sin 2θ)＋cos 2θ(1－sin 2θ)－cos 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ－cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ－cos θ－sin θ)(sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ) ＝－2cos θ2sin θ＝－1tan θ，∴原式＝－1tan θ.(2)1＋sin 10°－1－sin 10°＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5° ＝(cos 5°＋sin 5°)2－(cos 5°－sin 5°)2 ＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°) ＝2sin 5°. ∴原式＝2sin 5°.(3)原式＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.【小结】1.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数种数尽量少.(3)使三角函数式中的项数尽量少.(4)尽量使分母不含有三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.2.化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角. (2)降幂或升幂.(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ. 【变式训练】 化简下列各式.(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________； (2)化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.【解析】 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α ＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α. 【答案】 (1)sin α－cos α(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2 ●课堂小结1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2 ·α2n ＋1(n ∈N *).2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2. 六、板书设计3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式七．当堂检测1.12sinπ12cosπ12的值等于()A.14 B.18C.116 D.12【解析】原式＝14sinπ6＝18.【答案】 B2.下列各式中，值为32的是()A.2sin 15°－cos 15°B.cos215°－sin215°C.2sin215°－1D.cos215°＋sin215°【解析】A：2sin 15°－cos 15°≠3 2，B：cos215°－sin215°＝cos 30°＝3 2，C：2sin215°－1＝－cos 30°＝－3 2，D：cos215°＋sin215°＝1.故选B. 【答案】 B3.(2014·广州高一模拟)若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋sin 2α的值为________.【解析】由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1 3，则1cos2α＋sin 2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sin αcos α＝tan2α＋11＋2tanα＝⎝⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝⎛⎭⎪⎫－13＝103.【答案】10 34.(2014·盐城高一检测)证明：1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α＝12tan α＋12.【证明】左边＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α2cos2α＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)22cos α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α。
二倍角的正弦、余弦、正切公式第一课时教案-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.3人教A版
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式一、学习目标 1.知识与技能(1)掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. (2)能用两角差的余弦公式化简、求值.(重点) 2.过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.3.情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.二、教学重点难点重点：灵活运用两角差的余弦公式. 难点：用向量推导两角差的余弦公式. 三、专家建议通过对两角差的余弦公式的推理，变形应用的学习，以及两角差的余弦公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结 五、教学过程 ●课堂探究知识点 两角差的余弦公式 【问题导思】1.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β). OA →与OB →的夹角是α－β.2.你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3.根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 两角差的余弦公式●典例剖析类型1 运用公式求值例1.求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解. (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.【总结提升】1.两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.【变式训练】求值：cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝1 2.类型2 给值求值例2.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值.【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦.只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论. 【自主解答】∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2.又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.【总结提升】1.利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.2.在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 2α＝[(β＋α)－(β－α)]等. 【变式训练】α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值. 【解】∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 类型3 给值求角例3.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值.【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值.再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值.【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.【总结提升】解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围； (3)根据角的范围写出所求的角.特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.【变式训练】已知sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，求cos(α-β)的值.【解】∵sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫162＝356，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.∴cos(α-β)＝cos αcos β+sin αsin β＝356×13+16×223＝.●课堂小结对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α，β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.②把所得的积相加.六、板书设计两角差的余弦公式七．当堂检测1.(2014·天水高一检测)cos 15°＝()A.6－22 B.6＋22C.6－24 D.6＋24【解析】cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，故选D.【答案】 D2.(2014·乐清高一检测)化简sin(x＋y)sin(x－y)+cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A.sin 2xB.cos 2yC.－cos2yD.－sin 2x【解析】原式＝cos[(x＋y)-(x－y)]＝cos 2y，故选B.【答案】 B3.(2014·青岛高一检测)已知sin θ＝－513，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－513且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos θ＝－1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θ·sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－1213＝－17226.【答案】 －172264.已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值. 【解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.。
高一数学教案：二倍角的正弦、余弦、正切(1)
课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（1） 教学目的：1掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：1二倍角公式的推导；2二倍角公式的简单应用教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T 二、讲解新课：二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： αααcos sin 22sin =；)(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT 因为1cos sin 22=+αα，所以公式)(2αC 可以变形为1cos 22cos 2-=αα或 αα2sin 212cos -=)(2αC ' 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式．探究：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍，2α是4α的两倍，α3是23α的两倍，3α是6α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当2=βα时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式．尤其是“倍角”的意义是相对的（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4） 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα．其他∈α（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用 三、讲解范例：例1 不查表．求下列各式的值（１） 15cos 15sin ； （２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-； （４） 75sin 212-． 解: （１） 15cos 15sin =214130sin = ； （２）8sin 8cos 22ππ-＝224cos =π； （３）5.22tan 15.22tan 22-＝145tan = ； （４） 75sin 212-＝23150cos -= ．例２不查表．求下列各式的值 （１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sinππππ-+ （２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+ 解: （１）=-+)125cos 125)(sin 125cos 125(sinππππ2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π （２）=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222（３）=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 22 （４）=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例３若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值解：sin2θ - cos2θ = θθθθθ2222cos sin cos sin cos sin 2+-+57tan 11tan tan 222=+-+=θθθ 例4 已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2α = 2sin αcos α = 169120- cos2α = 169119sin 212=α- tan2α = 119120- 四、练习（公式巩固性练习）求值：1．sin22︒30’cos22︒30’=4245sin 21= 2．=-π18cos 22224cos =π 3．=π-π8cos 8sin 22224cos -=π- 4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 五、小结要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律六、课后作业：1若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( Ｄ ) A sin2α B cos 2α C －sin 2α Ｄ－cos 2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1 ∴cos α＝2cos 22α－1 ∴ααα22cos 2121)1cos 2(212121212cos 21212121+=-++=++ 又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180°∴原式＝2cos 2cos )12cos 2(2121cos 212122αααα-==-+=+ 2求sin10°sin30°sin50°sin70°的值解：∵sin10°＝cos80° ,sin50°＝cos40°, sin70°＝cos20° ∴原式＝21cos80°cos40°cos20° ＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos ︒⨯︒︒︒⨯=20sin 2140sin 40cos 80cos 21 ︒⨯⨯︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2116120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒= 3求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8（cos 2θ）2＝8(22cos 1θ+)2 ＝2（cos 22θ＋2cos2θ＋1）＝2（44cos 1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3七、板书设计（略）八、课后记：。
数学人教A版必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(1)
tan tan
tan( )
1 tan tan
令β=α
2tan
tan 2
2
1 tan
π
kπ π
α kπ 且α
,k Z
2
2 4
二倍角公式
sin2α 2sinαcosα
cos2α cos α sin α
2
2
2tanα
tan2α
2
1 tan α
左到右：升幂缩角；
右到左：降幂扩角
倍角公式例题
例5(课本P211) 已知 sin2α=
5
13
,
<
4
2
α< ，求sin4α, cos4α，tan4α的值.
2
5
5 144
2
2
解：由sin2α cos 2α 1 sin 2α 1
13
13 169
4
例6(课本p222)：在∆ABC中，cos A ,tan B 2，求tan(2A+2B).
5
解法1： cos A
判断角A的范围
sin A
tan A
正切的二倍角公式
tan 2A
正切的两角和公式
tan (2A+2B)
tan B
tan 2B
倍角公式例题
4
例6：在∆ABC中， cos A ,tan B 2，求tan(2A+2B)的值.
13 13 169
2
2
求cosα是否
有其它方法？
倍角公式
cos 2 cos sin 变形
2
2
cos4α cos 2α sin 2α
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(共11张PPT) 高一数学人教A版必修第一册
sin 4α
120
tan 4α =
=−
.
cos 4α
119
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α
的二倍，
2
是
4
的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
3
5
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
1 – tan 2A· tan 2B 117
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没
有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 已知 tan 2α =
1
，求
3
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
高一数学 二倍角的正弦余弦和正切公式教案
诚西郊市崇武区沿街学校高一数学3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式教案A 版一、教学目的以两角和正弦、余弦和正切公式为根底，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为根底，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵敏运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：〔一〕复习式导入：大家首先回忆一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？〔学生自己动手，把上述公式中β看成α即可〕，〔二〕公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 考虑：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或者者cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+()k z ∈〔三〕例题讲解例1、5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-+或者者tan 2α=--．〔四〕课堂练习：详见学案〔五〕小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要擅长发现规律，学会灵敏运用. 〔六〕作业： 15034.P T T。
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》的教案
《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案单县一中 朱瑞朋 2011.04.14教学目标：1、知识与技能：（1）掌握222,,S C T ααα公式的推导，明确α的取值范围。
（2）能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。
2、过程与方法：（1）通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养学生的类比推理能力，自主探究的学习能力。
（2）通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从“一般”化归为“特殊”的数学思想，体会公式所蕴含的和谐美，激发学生学习数学的兴趣；引导学生发现数学规律，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质。
教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。
教学难点：二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，二倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。
教学方法：类比启发探究式教学方法 教学用具：ppt 课件、学案等。
教学过程：一、复习旧知，导入新课：（1）默写“两角差”的正弦、余弦、正切公式：()S αβ-：()sin αβ-= ；注：ββ=-令可得()S αβ+：()sin αβ+= ()C αβ-：()cos αβ-= ； ()C αβ+：()cos αβ+= ()T αβ-：()tan αβ-= ． ()T αβ+：()tan αβ+=提示：注意公式的使用范围。
处理方式：让学生默写公式及回答变形公式，目的是让学生熟悉学习过的公式；并让学生自主探究问题，使学生亲身经历公式的探索过程二、探究新知、学习新课：1． 学生自主推导“二倍角”公式：2S α：sin 2α= 2C α：cos2α=()()()sin 2,cos 2,tan 2αβαβαβααα±±±问题探究：你能类比两角和的三角函数公式的推导方法，利用S 、C 、T 推导出的公式吗？2T α：tan 2α=处理方式：让学生自主完成，学生经过自主思考，发现倍角是和角的特殊情况，从而推导出公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 2cos 2
n
n
1 二 cos —
8 4
2 7T
(3) sin cos
8
2
二
二
cos —
8
4
2_
—)
H Jl
8sin cos cos —
48 48
24
2 .例题分析：
JT
JI
1
cos
茜
4sin
24
cos
24
cos ^=2sin ^cos ^
=sin
6 =
2
例1 :已知sin 〉二一,
13
5 _
解：••• sin
，忙
二
H 、 :（，二），求 sin2： , cos2 , tan2：的值。
2
（—，「：）,
2
12 ••• sin 2： = 2sin ： cos ：
120 169 13
2
119 120 ；cos2： =1-2sin 2
； tan2：
169
119
第三章 第二节二倍角的正弦、余弦、正切（1）
一、
课题：二倍角的正弦、余弦、正切（ 1）
二、 教学目标：1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2. 会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；
3. 领会从一般化归为特殊的数学思想， 体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴 趣。
三、 教学重、难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。
四、 教学过程： （一）复习：
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2•提出问题：若 ，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（二）新课讲解：
1.二倍角公式的推导：
sin2： - 2sin : cos ：
cos2匚-cos 2 ： -sin 2:■
丄
小
2 tan a
tan 2
2- 1 -tan a
1
【练习 1 】求值：(1) sin22；30 cos22；30:=丄sin4^ =—
2
4
说明：（1） “倍角”的意义是相对的，如： 上是二的二倍角； 4
8
“倍角”与“二次”的关系； ・2
丄
2 /
sin ： cos 1,
2 2
cos2： = 2cos 二 T = 1 -2sin :,
2 2
,cos2： = 2cos
-1 , cos2： ==1-2sin :
（降幕公式）： （2） 观察公式特征： （3） 利用三角函数关系式 可将余弦的倍角公式变形为:
cos2:
2 . 2
=cos -sin : 类似地也有公式 1 cos 2： 统称为升
sin □= ----------------
这两个形式今后常用； 2 2
（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
k 二
k ；
（k Z ）.
2
4 2
3 3
【练习2［①已知：tan x = 2，则tan 2(x_—) ; tan2(x •—)=
4 4 4 4
②已知：sin x = 5 "，贝U sin 2(x ) = 2「£5 .
2 4 --------
例2：化简(1)、1 -sin 40 ； (2)、1 cos20；； (3). 1 sin 40 ； (4)、1 - cos20 .
解：(1) 1 — sin40「= ：、；1 —2sin 20：cos20'=(sin 20「cos20)2
=| sin20 - cos20 I = cos20 - sin20‘ ;
(2).1 -cos20； = 1 2cos210；-1 =、2cos10；；
(3)、1 sin4“ = u1 2sin 20'：‘cos20： = _ (sin20'： cos20'：)2二sin20
cos20 ；
(4),1 —cos2(? = J1 —(1—2sin210：) = J2sin210—「2 sin10 .
说明：形如、、1二sin 与'.1二cos〉的化简方法及基本形式。
五、小结：1.二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；
2.二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角〉的三角函数值复角(和、差、倍)的三角函数值没，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
六、作业：
补充：1.化简2 -sin22 +cos4 ；
2 .已知v为第三象限角，且sin4 v - cos4 - 5，求sin 2的
9。