高中数学--二倍角的正弦、余弦、正切公式ppt
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二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
意向转换，逆用公式，应用时要对公式特点有一个整体
感知．主要逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；cosα＝s2isni2nαα；
cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；
2tanα 1－tan2α
＝tan2α.
[例2] 求下列各式的值：
(1)cosπ5cos25π；
＝1＋c2os2β－cos2β[sin2α＋12(1－2sin2α)]
＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝
1－cos2α 2
1－cos2β ·2
＋
1＋cos2α 2
1＋cos2β ·2
－
1 2
cos2α·cos2β
＝
1 4
(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋
[例3] 化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2αcos2β.
[解析] 解法一：(从“角”入手，复角化单角) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β ＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12
自主预习 阅读教材P132－135回答下列问题． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 in2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
人教版高中数学必修4-3.1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》参考课件
结论
(1) 2
2
(2) 4 2 2
例6 化简:
(1) sin400 (tan 100 3) (2)
解: (1) 原式
sin400
(
sin100 cos 100
例4
sin2 sin2
1 cos 2 1 cos 2
(
)
A tan B cot C sin
1 2sin2
D sin2
解:
原式
s in 2 s in 2
1 (1 2sin2 ) 1 (2cos 2 1)
s in 2 s in 2
(sin5 cos5)2 | sin5 cos5 | (sin5 cos5)
sin2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos 2 1 1 2sin2
tan
2
1
2 tan tan2
例5 用二倍角公式化简: (0 )
13
13
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
解
:
sin
12 13
, cos
5 13
,
sin2 2sin cos 2 12 ( 5 ) 120 0
13 13 169
cos 2 cos2 sin2 ( 5 )2 (12)2
(1 sin2 ) sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 cos 2 1 2sin2
sin2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 2cos2 1
新教材高中数学第5章三角恒等变换第4课时二倍角的正弦余弦正切公式pptx课件新人教A版必修第一册
−
π
4
24
π
－1＝－ ，因为x∈ቀ ，
25
2
，因此cos 2x＝－ 1 −
1
2
3
4
7
－
2x＝________．
25
7
2
sin 2＝－ ．]
25
• 回顾本节知识，自主完成以下问题：
• 1．本节学习了哪些二倍角公式？
[提示]
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
1
α＝ sin
2
sin 2
2 tan
2
2
α＝
，cos α－sin α＝cos2α，
＝tan2α．
2 sin
1−tan2
• (3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α⇒cos αcos 2αcos 22α…
• cos
sin 2
n-1
2 α＝
．
2 sin
π
4
sin
cos
−
π
+2
2
π
+
4
− ＝cos
π
π
π
∴ ＋x∈ ，
4
4
2
π
4
π
4
的值．
4
＝
2 sin
+
，∴sin
12
24
∴原式＝2× ＝ ．
13
13
5
π
cos 2
＝ ，0<x< ，求
π
13
4
cos
+
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
高中数学精品课件： 二倍角的正弦、余弦、正切公式
88
(3)2cos2 1(4)1 2sin2 75
12
2 tan 22.5
(5)
(6)sin cos cos
1 tan2 22.5
24 24 12
2化简：
（1）（sin cos )2(2) cos4 sin4
(3) 1 1 (4) 1 sin 40
1 tan 1 tan
3.若cos 1 , ( ,3 ),则cos _____
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝1 tan tan
当α＝β时, tan 2
tan2α ＝
1
2
tan tan2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
2
tan tan2
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
2 2
cos cos
2 2
2 sin 2 2 cos 2
2 2
2sin 2 (cos 2 sin 2 ) 2cos 2 (sin 2 cos 2 )
＝tan2θ＝右边
∴ ①式成立.
即：原式成立。
2. 降幂公式
由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得：
cos2 1 cos 2 , sin2 1 cos 2 .
2
2 练习p46—2(3), 3(3).
例12 求cos cos 2 cos 4 cos 8 的值。
1
17 17 17 17
求sin sin 9 sin13 sin15 的值。
16
34 34 34 34
(3)2cos2 1(4)1 2sin2 75
12
2 tan 22.5
(5)
(6)sin cos cos
1 tan2 22.5
24 24 12
2化简：
（1）（sin cos )2(2) cos4 sin4
(3) 1 1 (4) 1 sin 40
1 tan 1 tan
3.若cos 1 , ( ,3 ),则cos _____
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝1 tan tan
当α＝β时, tan 2
tan2α ＝
1
2
tan tan2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
2
tan tan2
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
2 2
cos cos
2 2
2 sin 2 2 cos 2
2 2
2sin 2 (cos 2 sin 2 ) 2cos 2 (sin 2 cos 2 )
＝tan2θ＝右边
∴ ①式成立.
即：原式成立。
2. 降幂公式
由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得：
cos2 1 cos 2 , sin2 1 cos 2 .
2
2 练习p46—2(3), 3(3).
例12 求cos cos 2 cos 4 cos 8 的值。
1
17 17 17 17
求sin sin 9 sin13 sin15 的值。
16
34 34 34 34
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
数学 必修 第一册 A
地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
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练习：
讲授新课
思考：
讲授新课
思考：
由此我们能否得到sin2，cos2， tan2的公式呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
本节我们学习了二倍角的正弦、 余弦律，学 会灵活运用.
课后作业
1. 阅读教材P.132到P.134; 2. 《习案》作业三十二.
3.1.3 两倍角的正弦、 余弦、正切公式
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
练习：
1.在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB， 则△ABC为 ( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
注意：
讲解范例： 例1.
讲解范例： 例2. 在△ABC中,
讲解范例： 例3.
讲解范例： 例4.
讲解范例： 例4.
练习. 教材P.135练习第1、2、3、4、5题.
课堂小结