山东省潍坊市临朐县2020届高三综合高考模拟考试试题一数学【含解析】

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山东省潍坊市临朐县2020届高三数学综合模拟考试试题一含解析

山东省潍坊市临朐县2020届高三数学综合模拟考试试题（一）（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20log 16A x N x =∈<<，集合{}220xB x =->，则集合A B 子集个数是（） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】B 【解析】【分析】先求出集合A ，集合B ，由此求出AB ，从而能求出集合A B 子集个数.【详解】∵集合{}{}20log 16{|04}1,2,3A x N x x N x =∈<<=∈<<=，集合{}{}2201xB x x x =->=，{2,3}A B ∴=.∴集合A B 子集个数是22＝4.故选：B.【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z iz i-+为纯虚数，则z =（）A. 2C. 1D.2【答案】C 【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b aiz i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.||1z ∴==.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.设p ：a ，b 是正实数，q ：a b +> ） A. p 是q 的充分条件但不是必要条件 B. p 是q 的必要条件但不是充分条件 C. p 是q 的充要条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件【答案】D 【解析】【分析】举例并结合充分必要条件的判断得答案.【详解】解：由a ，b 是正实数，不一定得到a b +>1a b ==；反之，由a b +>a ，b 是正实数，如1,0a b ==. ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.4.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（） A.1910B.3910C.3455D.4455【答案】D 【解析】【分析】所有的基本事件个数315C ，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数315C ，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个， ∴这三个数为勾股数的概率为：31544455P C ==．故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题． 5.已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，且2c a ⋅=，1c b ⋅=，则b c +=（）C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据题意可设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===，然后根据2c a ⋅=，1c b ⋅=即可得出(2,1)c =，这样即可得出b c +的坐标，从而可求出b c +的值.【详解】解：a b ⊥，且a ，b 都是单位向量，∴设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===，且2c a ⋅=，1c b ⋅=，1x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ∴(2,1)c =，(2,2)b c ∴+=， ||6b c ∴+=.故选：A.【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.6.在611x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含5x 项的系数为（） A. 6- B. 6C. 24-D. 24【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出.【详解】解：通项公式为：161kkk T C x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式211(1)(1)rr r k r r r k rr k k T C x x x C --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令25k r -=，则5,0k r ==.∴含5x 项的系数为05566C C ⋅=.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（）D. 2【答案】C 【解析】【分析】先求双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得()21b a ⨯-=-，代入e =. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，渐近线b y x a =与直线230x y ++=垂直，得()21b a ⨯-=-，即12b a =，代入2e === 故选C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.8.已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. ,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设()()cos f x g x x =，结合题意求导分析可得函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数()g x 为奇函数，进而将不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭转化为()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x+=，又由02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，则函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，又由()f x 为定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇函数，则()()()()cos()cosf x f xg x gxx x--===-，则函数()g x为奇函数，所以函数()g x在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，()()4()2cos2()4cos4cos4cos4ff x f xf x f x fg x gx xπππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇒<⇒<⇒<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以42xππ<<，即不等式的解集为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数()()cosf xg xx=，并分析其单调性.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】ABC【解析】【分析】由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误.【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A 不正确.B.月跑步平均里程不是逐月增加，因此B 不正确； C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C 不正确.D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D 正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（） A. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 B. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2D. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值.【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤sin(2)13x π≤+≤ 故选AD.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题. 11.实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（） A.1yx -B. 1y x -的最小值为C.1y x -D.1y x -的最小值为【答案】CD 【解析】【分析】1yx -的值相当于曲线上的点与定点(1,0)的斜率的最值问题，当过(1,0)的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心(1,0)，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线1yx -的最值.【详解】由题意可得方程2220x y x++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值，设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得3k =±，所以[,133y x ∈--，即1y x -3- 故选：CD .【点睛】本题考查了与圆相关的分式型式子的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A. 当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒B. 无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D ⊥C. 当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且13A EEF= D. 无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30【答案】BD 【解析】【分析】A ，当F 为1BC 中点时，可求出最大角的余弦值，进而可判断；B ，通过1B D ⊥面11A BC ，可判断；C ，设1A F 和1BD 相交于点E ，则11~DE A E FB ，根据相似比可判断； D ，F 为1BC 中点时，可求出最小角的正切值，进而可判断.【详解】解：对于A 选项，当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为1A 在平面1BDC 上的投影，1O A F ∠为直线1A F 与平面1BDC 所成角，11cos OFO FA F A =∠，当F 为1BC 中点时，1A F 最小，则最大角的余弦值为16116326OFA F==<，最大角大于60°，即A错误；对于B选项，在正方体中，1B D⊥面11A BC，又1A F⊂面11A BC，∴11A FB D⊥，即B正确；对于C选项，当点F为1BC中点时，也是1B C的中点，1A F与1B D共面于平面11A B CD，且必相交，设交点为E，连接1A D和1B F，如图所示，因为11~DEA EFB，所以1112A E DAEF B F==，即C错误；对于D选项，当F从B移至1C时，异面直线1A F与CD所成角由大变小再变大，且F为1BC中点时，最小角的正切值为223223=>，最小角大于30°，即D正确.故选：BD.【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知3cos 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______. 【答案】725【解析】【分析】由3cos sin ,cos 225ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得sin θ，从而可求得cos2θ. 【详解】解：3cos sin 25πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3sin 5θ∴=-，27cos 212sin 25θθ∴=-=. 故答案为：725. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题. 14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为______．【答案】2- 【解析】【分析】先判断()f x 的周期为4，结合()f x 是奇函数，可得()()()()78111f f f f =-=-=-，从而可得结果.【详解】因为()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4. 又因为()f x 是奇函数，所以()()()()78111f f f f =-=-=-，因为()0,2x ∈时，()21f x x =+，所以()21112f =+=，()()712f f =-=-，故答案为-2.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；15.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-，点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（）故答案为2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.16.三棱锥P ABC -的4的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为A 到平面PBC 的距离为______．【答案】65【解析】【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点A 到平面PBC 的距离【详解】△ABC的正三角形，可得外接圆的半径2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R ==,解得h=2,又PBC S ∆=由P ABC A PBC V V --=知'113?2=?33 ，得'65d = 故点A到平面PBC 的距离为65 故答案为65．【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①21n n S b =-，②14n n b b --=（2n ≥），③12n n b b -=+（2n ≥）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}nb 的首项11b =，其前n 项和为n S ，______，是否存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】见解析【解析】【分析】由数列{}n a 为等比数列可得23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①通过1n n n S S b --=，整理可得12n n b b -=，进而可求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；②由14n n b b --=可得数列{}n b 为等比数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；③由12n n b b -=+知数列{}n b 是等差数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用作差法求最大项即可判断.. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123a =，所以312a a a =，所以3223a q a ==，故23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 若选择①，则21n n S b =-，则1121n n S b --=-（2n ≥），两式相减整理得12nn b b -=（2n ≥），又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n nb -=所以12142323n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由指数函数的性质知，数列{}n n a b 单调递增，没有最大值，所以不存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择②，则由14n n b b --=（2n ≥），11b =，知数列{}n b 是首项为1，公比为14-的等比数列，所以114n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()12114346nn nn n a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()11124446663nnn n a b ⎛⎫⎛⎫=-⨯-≤⨯≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1n =时取得最大值23. 所以存在1k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择③，则由12n n b b -=+（2n ≥）知数列{}n b 是公差为2的等差数列. 又11b =，所以21n b n =-.设()2213nn n n c a b n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()112252221213333n n nn n n c c n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以当2n ≤时，1n n c c +>，当3n ≥时，1n n c c +<. 即12345c c c c c <<>>>所以存在3k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3sin c Ba A=，且ABC ∆的面积ABC S ∆=c 的值.【答案】（1）tan 4A =；（2）c =【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化思想得222b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出2b c =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值.【详解】（1）因()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故2223b c a bc +-=，222cos 2b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a =，即2b c =，ABC ∆的面积为1sin 222ABCS bc A ∆==，即21122232⨯⨯=，故28c =，解得22c =.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知ABC ∆的各边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足12CE EA =，D 为AB 的三等分点（靠近点A ），（如图（1）），将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --的平面角为90︒，连接1A B ，1A C （如图（2））.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）存在，52PB = 【解析】【分析】（1）等边ABC ∆中，由已知得到2AE =，1AD =，由余弦定理算出DE ，从而得到222AD DE AE +=，则AD DE ⊥.结合题意得1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出1A D 平面BCED ；（2）以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1A BD 的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可. 【详解】（1）证明：由图（1）可得：2AE =，1AD =，60A =︒. 从而2212212cos603DE =+-⨯⨯⨯︒=故得222AD DE AE +=，∴AD DE ⊥，BD DE ⊥. ∴1A DDE ⊥，BD DE ⊥，∴1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角，∴190A DB ∠=︒，即1A D DB ⊥， ∵DE DB D ⋂=且DE ，DB ⊂平面BCED ， ∴1A D ⊥平面BCED ；（2）存在，由（1）知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图，过P 作PHDE 交BD 于点H ，设2PB a =（023a ≤≤），则BH a =，3PH a =，2DH a =-，易知()10,0,1A ，()23,0P a a -，()3,0E ，所以()12,3,1PAa a =--. 因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD 的一个法向量为()3,0DE =因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，所以1213sin 604453PA DE PA DEa a ⋅︒===-+⨯54a =. ∴522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =. 【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题.20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布()2,N μσ，从而求出(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826． ②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点1⎛ ⎝⎭，且离心率e = （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A B ，，点P 的坐标为()21，，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为αβ，，证明：αβπ+=．【答案】（1）22182x y +=（2）详见解析【解析】【分析】(1)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.【详解】（1）由题意得2271412a b e ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪==⎩，解得2282a b ==，，所以椭圆的方程为22182x y C +=：．（2）设直线12l y x m =+：，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ∆=-+>，解得22m -<<．设()()1122A x y B x y ，，，，则21212224x m x m +=-⋅=-x ，x ，由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以2παβ≠，．设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，，则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-，只需证120k k +=， ∵11112y k x -=-，21212y k x -=-，故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+，又1112y x m =+，2212y x m =+，所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ⎛⎫⎛⎫--+--=+--++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=， ∴120k k +=，αβπ+=．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()()ln m f x m x x m R x =-+∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，不等式()()122212f x f x a x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)[ln 2,)a ∈+∞【解析】【分析】(1)根据m 的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可.(2)根据题意，需求()()122212f x f x x x ++的最值，结合(1)可得1212,x x m x x m +==且4m >，于是此式可转化为关于m 的函数，再利用导数求其最值即可.【详解】（1）由题意得()0,x ∈+∞，()2221m m x mx m f x x x x-+'=--=-，令()()22,44g x x mx m m m m m =-+∆=-=-. ①当04m ≤≤时，()0,0g x ∆≤≥恒成立，则()()0,f x f x '≤在()0+∞，上单调递减. ②当0m <时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=<=<则120,0x x <>，所以当0,2m x ⎛+∈ ⎪⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '<>单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '><单调递减.③当4m >时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=>=>则120,0x x >>，所以x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递减；x ∈⎝⎭时，()f x 单调递增；2m x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()fx 单调递减.综上所述：当04m ≤≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减.当0m <时，0,2m x ⎛+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增；2m x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.当4m >时，x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递减；x ∈⎝⎭时，()f x 单调递增；x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.（2）由（1）知：4m >时()f x 有两个极值点12,x x ，且12,x x 为方程20x mx m -+=的两根，1212,.x x m x x m +==()()12112212ln ln mmf x f x m x x m x x x x +=-++-+()()12121212ln ln ln m x x m x x x x m m m m m m x x +=-++=-+=.()222212121222x x x x x x m m +=+-=-.所以()()1222212ln ln 22f x f x m m m x x m m m +==+--. 所以ln 2m a m >-在()4,m ∈+∞时恒成立. 令()()ln 42m h m m m =>-，则()()221ln 2m m h m m --'=-. 令()21ln ,m m mϕ=--则()222120m m m m m ϕ-'=-=<，所以()m ϕ在()4+∞，上单调递减.又()14=12ln 202ϕ--<，所以()0m ϕ<在()4+∞，上恒成立，即2ln 0m m 1--<.所以0h m . 所以()h m 在()4+∞，上减函数.所以()()4ln 2h m h <=.所以ln 2a ≥，即a 的取值范围是[ln 2,)+∞.【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立问题.利用导数讨论函数的单调性时，导函数若是二次型，一般可按二次项系数的正负、判别式的正负、根的大小结合定义域进行讨论.。

2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试数学试题(一)(带答案解析)

2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试数学试题（一)A ．2B ．4C ．8D ．16 2．己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z i z i-+为纯虚数，则z =（）A ．2BC ．1 D3．设p ：a ，b 是正实数，q ：a b +> ）A ．p 是q 的充分条件但不是必要条件B ．p 是q 的必要条件但不是充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（） A ．1910 B ．3910 C ．3455 D ．44555．已知a r ，b r 是两个相互垂直的单位向量，且c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，则b c +=r r （）AB C ．D ．2 6．在611x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含5x 项的系数为（） A ．6- B ．6 C ．24- D ．247．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（）A B C D ．28．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是（）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 11．实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1y x -的判断正确的是（）A ．1y x - B ．1y x -的最小值为C ．1y x -D ．1y x -的最小值为-12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒B ．无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F BD ⊥C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且13A E EF= D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°13．已知3cos 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______. 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为______．15．已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C的焦点的距离是______.16．三棱锥P ABC -的4的球面上，PA ⊥平面ABC ，V ABC 是的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______．17．在①21n n S b =-，②14n n b b --=（2n ≥），③12n n b b -=+（2n ≥）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}nb 的首项11b =，其前n 项和为n S ，______，是否存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3c a =，且ABC ∆的面积ABC S ∆=c 的值.19．已知ABC ∆的各边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足12CE EA =，D 为AB 的三等分点（靠近点A ），（如图（1）），将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --的平面角为90︒，连接1A B ，1A C （如图（2））.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.20．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点12⎛ ⎝⎭，，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A B ，，点P 的坐标为()21，，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为αβ，，证明：αβπ+=．22．已知函数()()ln m f x m x x m R x =-+∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，不等式()()122212f x f x a x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】先求出集合A ，集合B ，由此求出A B I ，从而能求出集合A B I 子集个数.【详解】∵集合{}{}20log 16{|04}1,2,3A x N x x N x =∈<<=∈<<=，集合{}{}2201x B x x x =->=， {2,3}A B ∴=I .∴集合A B I 子集个数是22＝4.故选：B.【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．C【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b ai z i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.||1z ∴==.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3．D【解析】【分析】举例并结合充分必要条件的判断得答案.【详解】解：由a ，b是正实数，不一定得到a b +>，如1a b ==；反之，由a b +>a ，b 是正实数，如1,0a b ==.∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.4．D【解析】【分析】所有的基本事件个数315C ，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数315C ，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个， ∴这三个数为勾股数的概率为：31544455P C ==．故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题． 5．A【解析】【分析】根据题意可设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===r r r，然后根据c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r即可得出c =r ，这样即可得出b c +r r 的坐标，从而可求出b c +r r 的值.【详解】解：a b ⊥Q r r ，且a r ，b r都是单位向量，∴设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===r r r ，且c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，1x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴c =r，2)b c ∴+=r r ，||b c ∴+=r r 故选：A.【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题. 6．B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出.【详解】解：通项公式为：161k k k T C x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式211(1)(1)rr r k r r r k r r k k T C x x x C --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令25k r -=，则5,0k r ==.∴含5x 项的系数为05566C C ⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7．C【解析】【分析】先求双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得()21b a ⨯-=-，代入e =即可. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，Q 渐近线b y x a = 与直线230x y ++=垂直，得()21b a ⨯-=-，即12b a =，代入2e === 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.8．B【解析】【分析】根据题意，设()()cos f x g x x =，结合题意求导分析可得函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数()g x 为偶函数，进而将不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭转化为()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得||4x π>，解可得x 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x+=，又由02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，则函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，又由()f x 为定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的偶函数，则()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，则函数()g x 为偶函数，()()4()cos ()4cos 4cos 4cos 4f f x f x f x xg x g x x πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇒<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由()g x 为偶函数且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且其定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得：24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数()()cos f x g x x=，并分析其单调性. 9．ABC 【解析】【分析】由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误. 【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A 不正确.B.月跑步平均里程不是逐月增加，因此B 不正确；C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C 不正确.D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 10．AD 【解析】【分析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值.【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,42333x πππ∴≤+≤sin(2)13x π≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题. 11．CD 【解析】【分析】1yx -的值相当于曲线上的点与定点(1,0)的斜率的最值问题，当过(1,0)的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心(1,0)，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线1yx -的最值. 【详解】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值，设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得3k =±，所以[1y x ∈-，即1y x - 故选：CD . 【点睛】本题考查了与圆相关的分式型式子的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12．BD 【解析】【分析】A ，当F 为1BC 中点时，可求出最大角的余弦值，进而可判断；B ，通过1B D ⊥面11A BC ，可判断；C ，设1A F 和1BD 相交于点E ，则11~DE A E FB V V ，根据相似比可判断； D ，F 为1BC 中点时，可求出最小角的正切值，进而可判断. 【详解】解：对于A 选项，当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为1A 在平面1BDC 上的投影，1O A F ∠为直线1A F 与平面1BDC 所成角，11cos OFO FA F A =∠，当F 为1BC 中点时，1A F 最小，则最大角的余弦值为11132OF A F ==<，最大角大于60°，即A 错误；对于B 选项，在正方体中，1B D ⊥面11A BC ，又1A F ⊂面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即B 正确；对于C 选项，当点F 为1BC 中点时，也是1B C 的中点，1A F 与1B D 共面于平面11A B CD ，且必相交，设交点为E ，连接1A D 和1B F ，如图所示，因为11~DE A E FB V V，所以1112A EDA EF B F==，即C 错误；对于D 选项，当F 从B 移至1C 时，异面直线1A F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为1BC 中点时，最小角的正切值为223223=>，最小角大于30°，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题. 13．725【解析】【分析】由3cos sin ,cos 225ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得sin θ，从而可求得cos2θ. 【详解】解：3cos sin 25πθθ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭Q ，3sin 5θ∴=-，27cos 212sin 25θθ∴=-=. 故答案为：725. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题. 14．2- 【解析】【分析】先判断()f x 的周期为4，结合()f x 是奇函数，可得()()()()78111f f f f =-=-=-，从而可得结果. 【详解】因为()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4. 又因为()f x 是奇函数，所以()()()()78111f f f f =-=-=-，因为()0,2x ∈时，()21f x x =+，所以()21112f =+=，()()712f f =-=-，故答案为-2.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 15．2 2 【解析】【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-，点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（）故答案为2,2 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题. 16．65【解析】【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点A 到平面PBC 的距离【详解】△ABC2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R ==,解得h=2,又PBC S ∆=由P ABC A PBC V V --=知'113?2=?33 ，得'65d = 故点A 到平面PBC 的距离为65故答案为65．【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题 17．见解析【解析】【分析】由数列{}n a 为等比数列可得23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①通过1n n n S S b --=，整理可得12n n b b -=，进而可求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；②由14n n b b --=可得数列{}n b 为等比数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；③由12n n b b -=+知数列{}n b 是等差数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用作差法求最大项即可判断.. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123a =，所以312a a a =，所以3223a q a ==，故23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 若选择①，则21n n S b =-，则1121n n S b --=-（2n ≥），两式相减整理得12nn b b -=（2n ≥），又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n nb -=所以12142323n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由指数函数的性质知，数列{}n n a b 单调递增，没有最大值，所以不存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择②，则由14n n b b --=（2n ≥），11b =，知数列{}n b 是首项为1，公比为14-的等比数列，所以114n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()12114346nn nn n a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()11124446663nnn n a b ⎛⎫⎛⎫=-⨯-≤⨯≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1n =时取得最大值23. 所以存在1k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择③，则由12n n b b -=+（2n ≥）知数列{}n b 是公差为2的等差数列. 又11b =，所以21n b n =-.设()2213nn n n c a b n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()112252221213333n n nn n n c c n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以当2n ≤时，1n n c c +>，当3n ≥时，1n n c c +<. 即12345c c c c c <<>>>L所以存在3k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18．（1）tan A =；（2）c =【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出b =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故222b c a +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a=，即b =，Q ABC ∆的面积为1sin2ABCS bc A ∆==21123=，故28c =，解得c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．（1）见解析；（2）存在，52PB = 【解析】【分析】（1）等边ABC ∆中，由已知得到2AE =，1AD =，由余弦定理算出DE ，从而得到222AD DE AE +=，则AD DE ⊥.结合题意得1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出1A D 平面BCED ；（2）以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1A BD 的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可. 【详解】（1）证明：由图（1）可得：2AE =，1AD =，60A =︒.从而DE ==故得222AD DE AE +=，∴AD DE ⊥，BD DE ⊥. ∴1A DDE ⊥，BD DE ⊥，∴1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角，∴190A DB ∠=︒，即1A D DB ⊥， ∵DE DB D ⋂=且DE ，DB ⊂平面BCED ， ∴1A D ⊥平面BCED ；（2）存在，由（1）知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图，过P 作PH DE P 交BD 于点H ，设2PB a =（023a ≤≤），则BH a =，PH =，2DH a =-，易知()10,0,1A，()2,0P a -，()E，所以()12,,1PAa =-u u u r. 因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD的一个法向量为()DE =u u u r因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，所以11sin 60PA DE PA DE ⋅︒===u u u v u u u v u u u v u u u v 54a =.∴522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =. 【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题.20．（1）26.5（2）①0.6826②见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布()2,N μσ，从而求出(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=． 21．（1）22182x y +=（2）详见解析【解析】【分析】(1)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论. 【详解】（1）由题意得2271412a b e ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪==⎩，解得2282a b ==，，所以椭圆的方程为22182x y C +=：．（2）设直线12l y x m =+：，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ∆=-+>，解得22m -<<．设()()1122A x y B x y ，，，，则21212224x m x m +=-⋅=-x ，x ，由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以2παβ≠，．设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，，则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-，只需证120k k +=， ∵11112y k x -=-，21212y k x -=-，故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+，又1112y x m =+，2212y x m =+，所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ⎛⎫⎛⎫--+--=+--++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=，∴120k k +=，αβπ+=．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．(1)见解析；(2)[ln 2,)a ∈+∞【解析】【分析】(1)根据m 的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可. (2)根据题意，需求()()122212f x f x x x ++的最值，结合(1)可得1212,x x m x x m +==且4m >，于是此式可转化为关于m 的函数，再利用导数求其最值即可. 【详解】（1）由题意得()0,x ∈+∞，()2221m m x mx mf x x x x-+'=--=-，令()()22,44g x x mx m m m m m =-+∆=-=-.①当04m ≤≤时，()0,0g x ∆≤≥恒成立，则()()0,f x f x '≤在()0+∞，上单调递减. ②当0m <时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=<=<则120,0x x <>，所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '<>单调递增；当2m x ⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '><单调递减. ③当4m >时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=>=>则120,0x x >>，所以x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递减；22m m x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增；,2m x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.综上所述：当04m ≤≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减.当0m <时，x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递增；,2m x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.当4m >时，0,2m x ⎛∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；x ∈⎝⎭时，()f x 单调递增；x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.（2）由（1）知：4m >时()f x 有两个极值点12,x x ，且12,x x 为方程20x mx m -+=的两根，1212,.x x m x x m +==()()12112212ln ln m mf x f x m x x m x x x x +=-++-+ ()()12121212ln ln ln m x x m x x x x m m m m m m x x +=-++=-+=.()222212121222x x x x x x m m +=+-=-.所以()()1222212ln ln 22f x f x m m mx x m m m +==+--. 所以ln 2ma m >-在()4,m ∈+∞时恒成立. 令()()ln 42mh m m m =>-，则()()221ln 2m m h m m --'=-. 令()21ln ,m m mϕ=--则()222120mm m m m ϕ-'=-=<，所以()m ϕ在()4+∞，上单调递减.又()14=12ln 202ϕ--<，所以()0m ϕ<在()4+∞，上恒成立，即2ln 0m m1--<.所以()0h m ¢<. 所以()h m 在()4+∞，上为减函数.所以()()4ln 2h m h <=. 所以ln 2a ≥，即a 的取值范围是[ln 2,)+∞. 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立问题.利用导数讨论函数的单调性时，导函数若是二次型，一般可按二次项系数的正负、判别式的正负、根的大小结合定义域进行讨论.。

2020届山东省潍坊市高三联合模拟考试数学试题解析

绝密★启用前2020届山东省潍坊市高三联合模拟考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，则M N =I （）A ．{}21x x -≤≤B ．{}01x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}22x x -≤< 解：由()()22210x x x x +-=+-≤解得21x -≤≤.由22log log 2x <解得02x <<. ∵{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =<<， ∴{}01M N x x ⋂=<≤.故选：B.点评：本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，属于基础题. 2．已知向量()2,1AB =u u u r ，()3,AC t =u u u r ，1BC =u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r （）A ．2B ．3C ．7D ．8解：因为()1,1BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ； ∵1BC =u u u r ，∴()2221110t t +-=⇒=； ∴()3,1AC =u u u r ，∴23117AB AC ⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r ；故选：C.点评：本小题主要考查向量减法、模和数量积的坐标运算，属于基础题.3．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B先化简z ，求出a ，再判断即可.解：复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数，则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.点评：本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（）A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．()3f x x =可以是某个圆的“优美函数” C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形答案：D利用“优美函数”的定义判断选项A ，B ，C 正确，函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D 错误.解：对于A ：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A 正确；对于B ：因为函数()3f x x =图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数()3f x x =是该圆的“优美函数”，故选项B 正确；对于C ：将圆的圆心放在正弦函数sin y x =的对称中心上，则正弦函数sin y x =是该圆的“优美函数”，故选项C 正确；对于D ：函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：，所以函数()y f x =的图象是中心对称图形是函数()y f x =是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D 错误，故选：D.点评：本小题主要考查新定义概念的理解和应用，考查函数的对称性，属于基础题.5．已知33cos(),tan 222ππϕϕϕ-=<且则等于（） A ．3B 3C 3D 3答案：C解：分析：利用诱导公式求得sin ϕ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得tan ϕ的值．详解：3cos sin 2πϕϕ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭Q即 sin ϕ=2πϕ<，12cos ϕ∴==，则sin tan cos ϕϕϕ== 故选C ．点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．已知直三棱柱111ABC A B C -2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则该球的表面积为（）A ．4πB ．C ．8πD ．32π 答案：C利用三棱柱111ABC A B C -，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，求出1AA ，再求出ABC ∆外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.解：∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，∴1121sin 602AA ⨯⨯⨯︒⨯=，∴12AA =∵2222cos604123BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-=，∴BC =.设ABC ∆外接圆的半径为R ，则2sin 60BC R =︒，∴1R =.=，∴球的表面积等于248ππ⨯=.故选：C.点评：本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（）A ．13B ．39C ．48D ．58答案：C 根据题意，分析可得第n 行的第一个数字为()112n n -+，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案.解：由排列的规律可得，第1n -行结束的时候共排了()()()()1111123122n n n n n -+--++++-==L 个数，则第n 行的第一个数字为()112n n -+，则第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48；故选：C.点评：本小题主要考查合情推理，考查等差数列前n 项和，属于基础题.8．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点，A ，B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=u u u r u u u r，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为（）A 51B ．221C 31D 51 答案：A根据条件设出A ，B 的坐标，结合向量数量积求出A ，B 的坐标，结合中点坐标公式建立方程进行求解即可.解：设双曲线的一条渐近线是b y x a =，设,b A m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0m >，则,b B m m a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(),0F c ，则由0AF BF ⋅=u u u r u u u r 得,,0b b c m m c m m a a ⎛⎫⎛⎫--⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得222220b m c m a --=，即2222c c m a =，得22m a =，则m a =，即(),A a b ，则AF 的中点为,22a c b +⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵AF 的中点在双曲线C 上， ∴2222241a c b a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭-=，即2151244a c a +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()2151e 44+=，则()21e 5+=，则1e +=，即e 1=，故选：A.点评：本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、多选题9．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选。

2020年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷(一)(3月份)(含答案解析)

2020年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷(一)(3月份)一、单项选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1. 若随机变量X ～B( 5 , 13 )，则P(X =2)=( )A. (13)2×(23)3B. (23)2×(13)3C. C 52(23)2×(13)3 D. C 52(13)2×(23)3 2. 在(x 2−yx )5的展开式中，xy 3的系数为( )A. 20B. 10C. −10D. −203. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105,σ2),(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )A. 150B. 200C. 300D. 4004. 将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E 中，恰有两个小球放入同一个盒子的概率为( )A. 425B. 1225C. 4125D. 121255. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程ŷ=3−5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过(x,y )﹔④在一个2×2列联表中，由计算得k =13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )本题可以参考独立性检验临界值表：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）6.某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为．7.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有______种(用数字作答)．)，则Dξ=______ ．8.设随机变量ξ～B(10,259.在多项式(1+2x)6·(1+y)5的展开式中，xy3项的系数为____.三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）10.口袋里装有7个大小相同的小球，其中三个标有数字1，两个标有数字2，一个标有数字3，一个标有数字4．(Ⅰ)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为ξ.当ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；(Ⅱ)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为η.求η的分布列和数学期望．11.某小组有4名男生，3名女生．(1)若从男，女生中各选1人主持节目，有多少种不同的选法？(2)若从男，女生中各选2人，组成一个小合唱队，要求站成一排且2名女生不相邻，共有多少种不同的排法？12. 对某种书籍每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy ω ∑(x i −x 6i=1)2∑ωi 2−6i=16ω2∑(x i −x 6i=1)(y i −y) ∑ωi y i −6i=16ωy 4.834.220.377560.17 0.60−39.384.8表中ωi =1x i，ω=16∑ωi 6i=1．为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：y =a +bx ，y =c +dx ．(1)根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？(只选出模型即可)(2)根据所给数据和(1)中选择的模型，求y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费．附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归方程v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i v i −nuv ni=1∑u i2−nu2n i=1，α̂=v −β̂u ．13.某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球(每次只能抽取一个，且不放回抽取)，若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ元．求ξ的分布列和E(ξ)的值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，本题解题的关键是正确写出概率的表示形式，再代入数值进行运算．根据变量符合二项分布，即可得到概率的值．解：∵随机变量X ～B( 5 , 13 )，∴P(X =2)=C 52(13)2×(23)3．故选：D ．2.答案：C解析：解：在(x 2−yx )5的展开式中，通项为T r+1=C 5r ⋅(−1)r ⋅x 10−3r ⋅y r ，令r =3，可得xy 3的系数为C 53(−1)3=−10，故选：C ．在二项展开式的通项中，令y 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中xy 3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，利用二项展开式的通项求二项展开式的系数，属于基础题．3.答案：C解析：本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，概率密度函数曲线以均值为对称中线，方差越小，分布越集中在均值附近．先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数，属于中档题．解：∵成绩N (105,σ2)，(σ>0)， ∴其正态曲线关于直线x =105对称，又∵数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，∴成绩在90分到120分之间占总人数的35，∴成绩在90分到105分之间占总人数的310∴数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为：310×1000=300．故选C．4.答案：B解析：解：将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A，B，C，D，E中，基本事件总数n=53=125，恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数m=C32A52=60，∴恰有两个小球放入同一个盒子的概率p=mn =60125=1225．故选：B．基本事件总数n=53=125，恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数m=C32A52=60，由此能求出恰有两个小球放入同一个盒子的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，属于基础题．根据方差是表示一组数据波动大小的量，判断①正确；根据回归方程的系数判断x与y是负相关，得②错误；根据线性回归方程必过样本中心点，判断③正确；根据观测值与临界值的关系，判断④正确．解：对于①，根据方差是表示一组数据波动大小的量，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②，设有一个回归方程ŷ=3−5x，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误对于③，线性回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心点(x,y)，③正确；对于④，在2×2列联表中，计算得K2的观测值k=13.079>10.828，对照临界值表知，有99.9%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．综上，其中错误序号是②，共1个．故选：B．6.答案：910解析：本题考查古典概型求概率，先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率，属基础题．解：某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，基本事件总数n=C53=10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，∴选出的学生中男女生都有的概率为p=1−C33C53=1−110=910．故答案为910．7.答案：630解析：本题主要考查组合、排列的综合应用与分类计数原理的运用，属于中档题．注意分类时，明确分类的标准，做到不重不漏．解：根据题意，分为三类：第一类是只用两种颜色则为：C62A22=30种，第二类是用三种颜色则为：C63C31C21C21=240种，第三类是用四种颜色则为：C64A44=360种，由分类计数原理，共计为30+240+360=630种．故答案为630．8.答案：125解析：本题考查二项分布的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布列的方差的计算公式的灵活运用．利用二项分布列的方差的计算公式求解．解：∵随机变量ξ～B(10,25)，∴Dξ=10×25×(1−25)=125．故答案为：125．9.答案：120解析：本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用二项式展开式的通项公式即可得出．解：根据题意(1+2x)6(1+y)5=(1+∁61⋅2x+⋯)(y5+∁51y4+∁52y3+⋯)，∴xy3的系数为∁61×2×∁52=120，故答案为120．10.答案：解：(Ⅰ)由题设知ξ可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，P(ξ=2)=C31C31C71C71=949，P(ξ=3)=C31C21×2C71C71=1249，P(ξ=4)=C21C21C71C71+C31C11×2C71C71=1049，P(ξ=5)=C21C11×2C71C71+C31C11×2C71C71=1049，P(ξ=6)=C21C11×2C71C71+C11C11C71C71=549，P(ξ=7)=2C71C71=249，P(ξ=8)=1C71C71=149，所以当ξ为3时，其发生的概率最大．(Ⅱ)由题设知η可能的取值为2，3，4，5，6，7，P(η=2)=C32C72=17，P(η=3)=C31C21C72=27，P(η=4)=C31+C22C72=421，P(η=5)=C31+C21C72=521，P(η=6)=C21C72=221，P(η=7)=1C72=121，∴η的分布列为：E(η)=2×17+3×27+4×421+5×521+6×221+7×121=4．解析：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，属于中档题．(Ⅰ)由题设知ξ可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，由题设条件分别求出P(ξ=2)，P(ξ=3)，P(ξ=4)，P(ξ=5)，P(ξ=6)，P(ξ=7)，P(ξ=8)，由此求出当ξ为3时，其发生的概率最大．(Ⅱ)由题设知η可能的取值为2，3，4，5，6，7，分别求出P(η=2)，P(η=3)，P(η=4)，P(η=5)，P(η=6)，P(η=7)，由此能求出η的分布列和E(η)．11.答案：解：(1)完成这件事情可分为两步进行：第一步，从4名男生中选1名男生，有4种选法，第二步，从3名女生中选1名女生，有3种选法，根据分步计数原理，共有4×3=12种选法答：有12种不同的选法；(2)完成这件事情可分为四步进行：第一步，从4名男生中选2名男生，有C42=6种选法，第二步，从3名女生中选2名女生，有C32=3种选法，第三步，将选取的2名男生排成一排，有A22=2种排法，第四步，在2名男生之间及两端共3个位置选2个排2个女生，有A32=6，根据分步计数原理，不同的排法种数为6×3×2×6=216答：有216种不同的排法．解析：(1)完成这件事情可分为两步进行：第一步，从4名男生中选1名男生，第二步，从3名女生中选1名女生，根据分步计数原理即可得．(2)完成这件事情可分为四步进行：第一步，从4名男生中选2名男生，第二步，从3名女生中选2名女生，第三步，将选取的2名男生排成一排，第四步，在2名男生之间及两端共3个位置选2个排2个女生，根据分步计数原理可得．本题主要考查了分步计数原理，如何分步是关键，属于中档题12.答案：解：(1)由散点图可以判断，模型y =c +dx 更可靠．(2)令ω=1x ，则建立y 关于ω的线性回归方程y =dω+c ，则d ̂=i 6i=1i −6ωy ∑ω26−6ω2= 4.80.60=8． ∴c ̂=y −d ̂ω=4.22−0.3775×8=1.2， ∴y 关于ω的线性回归方程为y ̂=1.2+8ω．因此，y 关于x 的回归方程为y ̂=1.2+8x ．当x =20时，该书每册的成本费y ̂=1.2+820=1.6(元)．解析：(1)利用散点图直接判断函数即可．(2)利用已知条件求出回归直线方程的数据，即可得到过的直线方程，然后估计印刷20千册时每册的成本费．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查计算能力．13.答案：解：(1)某顾客在该商场当日消费金额为2000元时，该顾客共有4次抽奖机会，顾客获得奖金70元，由两种可能，抽中3红球，1黑球；抽中1红球，3白球； ∴改顾客获得70元奖金的概率为P =C 43C 21+C 41C 33C 94=221；(2)X =1200时，共有2次抽奖机会， ξ的取值为20，30，40，50，60，80， ∴P(ξ=20)=C 42C 92=16，P(ξ=30)=C 41C 31C 92=13，。

2020年4月山东省潍坊市2020届高三下学期高考模拟考试(一模)数学试题

2020年4月山东省潍坊市2020届高三下学期高考模拟考试(一模)数学试题山东省潍坊市2020届高三下学期高考模拟考试(一模)数学试题一、单项选择题：1.设集合A，则AUB= {2,4}，B= {x∈N|x-3≤0}，则A的取值为 {2}。

2.四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r，如下表：相关系数。

| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |r。

| -0.82 | 0.78 | 0.69 | 0.87 |则试验结果体现两变量有更强的线性相关性的是同学丁。

3.在平面直角坐标系xOy中，点P将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得到向量2u，则点Q的坐标为 (-1,2)。

4.“a＜1且对于任意x，x2+1≥a”是必要不充分条件。

5.函数f(x)= (x-sin x)/(x-e+e^x)在区间[-π,π]上的图像大致为：6.XXX是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址。

玉琮王通高8.8cm，孔径4.9cm、外径17.6cm。

琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔。

该神人纹玉琮王的体积约为 2850 cm³。

7.定义在R上的偶函数f(x)= 2|x-m|-1，记a=(f^-1(3n))，b=(flog5)，c=f(2m)，则a<c<b。

8.如图，已知抛物线C:y=2px的焦点为F，点P（x,2px）(x>2p)是抛物线C上一点。

以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q，与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A,B，AB=PQ，直线PF与抛物线C的另一交点为M，若PF=3PQ，则.二、多项选择题：1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)>0，下列命题中正确的是：A。

∫₀¹f(x)dx=∫₀¹lnf(x)dxB。

山东省潍坊市新高考2020届模拟考试数学试题

山东省潍坊市新高考2020届模拟考试数学试卷本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2110,60P x x Q x x x =≤≤=+-=，则P Q ⋂等于 A.{}1,2,3B.{}2,3C.{}1,2D.{}22.将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 A.23π B.2π C.5πD.3π3.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是A.该教职工具有本科学历的概率低于60%B.该教职工具有研究生学历的概率超过50%C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D.该职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%4.已知向量()31,3,,3a b λ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，若3a b a b ⊥+，则与a 的夹角为 A.6πB.4π C.3πD.23π5.函数()()231ln 31xxx f x -=+的部分图像大致为6.若20200x x a x>+≥，则恒成立的一个充分条件是 A.80a >B.80a <C.0a >10D.0a <107.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马刺先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问相逢时良马比驽马多行几里？ A.540B.426C.963D.1148.已知函数()f x 的导函数()()()()324123f x x x x x '=---，则下列结论正确的是A.()f x 在0x =处有极大值B.()f x 在2x =处有极小值C.()f x 在[]1,3上单调递减D.()f x 至少有3个零点二、多项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设复数122z =-+，则以下结论正确的是 A.20z ≥B.2z z =C.31z =D.2020z z =10.已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是 A.若,,////m n m n αβαβ⊥⊥，则B.若//αγβγαβ⊥⊥，，则C.若//,//,,//m n m n ββααβ⊂，则D.若,n n αβαβ⊂⊥⊥，则11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图像就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是A.函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB.函数()f x 为奇函数C.函数()y f x =的图像关于直线2x π=对称D.函数()f x 的导函数()f x '的最大值为712.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是A.1QF QP +的最小值为21a -B.椭圆C 的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.若11PF FQ =，则椭圆C+ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()ln ,0,1,0,2x x x f x x >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________. 14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()22:23F x y -+=相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为____________. 15.在2ABC A π∆∠=中，，点D 在线段AC 上，且满足32,cos 5AD CD C ==，则sin CBD ∠=____________.16．如图1，四边形ABCD 是边长为10的菱形，其对角线AC=12，现将△ABC 沿对角线AC 折起，连接BD ，形成如图2的四面体ABCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________；在图2中，设棱AC 的中点为M ，BD 的中点为N ，若四面体ABCD 的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN 长度的取值范围为________．(注：第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图像如图所示． (1)求()f x 的解析式； (2)将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，得到函数()()(),y g x h x g x ==+设()f x ，求函数()02h x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的最大值．18．(12分)如图，点C 是以AB 为直径的圆上的动点(异于A ，B)，已知2,7,AB AE EB ==⊥平面ABC ，四边形BEDC 为平行四边形． (1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．19．(12分)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布()2Nμσ，．如果加工的零件内径小于3μσ-或大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少； (2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L (单位：元)与零件的内径X 有如下关系：5343=6353.X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-⎧⎪-≤<-⎪⎨-≤<+⎪⎪->+⎩，，，，，，，求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布()()2,=0.6826NP X μσμσμσ-<≤+，有，()()22=0.954433=0.9974P X P X μσμσμσμσ-<≤+-<≤+，．20．(12分)设抛物线()220E x py p =>：的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为(1，1)．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若B ，C 为抛物线E 上的两个动点(异于点A)，且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围．21．(12分)已知函数()()()21121ln ,2x x e f x x x mx m R g x x e e e+-=-∈=--+． (1)若函数()()()11f x f 在，处的切线与直线10x y -+=平行，求m ；(2)证明：在(1)的条件下，对任意()()()1212,0,,x x f x g x ∈+∞>成立．22．(12分)设()n f x 是数列()()()21,1,1,,1nx x x ++⋅⋅⋅+的各项和，2,n n N ≥∈．(1)设()()()1202n n n g x f x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，证明：在，内有且只有一个零点； (2)当1x >-时，设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列，其各项和为()n h x ，比较()n f x 与()n h x 的大小，并说明理由；(3)给出由公式sin 22sin cos x x x =推导出公式22cos 2cos sin x x x =-的一种方法如下：在公式sin 22sin cos x x x =中两边求导得：2cos22cos cos 2sin sin x x x x x =⋅-⋅所以22cos 2cos sin x x x =-成立．请类比该方法，利用上述数列的末项()1nx +的二项展开式证明： n ≥2时，()110nkk n i kC =-=∑(其中k n C 表示组合数)。

【附15套精选模拟试卷】山东省潍坊市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷含解析

山东省潍坊市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．2．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n na aa L =⨯⨯⨯∏（即n∏表示数列{}na 的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是（）A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏3．函数23420182019()(1...)cos 223420182019x x x x x f x x x =+-+-+-+在区间[3,4]-上零点的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．84．函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．23 B ．1 C ．43 D ．2236．若函数()()2ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )A ．[)1,+∞B ．1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a =4b =，则B =（）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒8．过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)...(2018)f f f f ++++=（）A ．50B ．2C ．0D ．-201810．若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩…，则yz x =的最大值为（）A ．4B ．2C ．12D ．5411．已知直线a ，b 和平面α，若a α⊂，b α⊄，则“a b ⊥rr”是“b α⊥”的（）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12． “函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省潍坊市2020届高三数学第一次模拟考试理(潍坊市一模,含解析)新人教B版

20 1 3年高考模拟考试数学（理工农医类）本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数31i z i +=-的共轭复数z =(A) 12i + (B)12i - (C)2i + (D)2i -【答案】B 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+，所以12z i =-，选B. 2．设集合{}|24x A x =≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =I (A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2]【答案】D 【解析】{}|24{2}x A x x x =≤=≤，由10x ->得1x >，即{1}B x x =>,所以{12}A B x x =<≤I ，所以选D. 3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。

若l m ⊥，则推不出//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，选A.4．设随机变量~X N (3，1)，若(4)P X p >=，，则P(2<X<4)=( A)12p + ( B)l —p (C)l-2p (D)12p -【答案】C【解析】因为(4)(2)P X P X p >=<=，所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-，选C.5．设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为．【答案】C【解析】'cos y x =,即()cos g x x =，所以22()cos y x g x x x ==，为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除A,B.当2cos 0y x x ==，得0x =或,2x k k Z ππ=+∈，即函数过原点，所以选C. 6．运行右面框图输出的S 是254，则①应为(A) n ≤5(B) n ≤6 (C)n ≤7(D) n ≤8【答案】C 【解析】本程序计算的是212(12)2222212n nn S +-=+++==--L ，由122254n +-=，得12256n +=，解得7n =。

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山东省潍坊市临朐县2020届高三综合高考模拟考试试题一数学【含解析】一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20log 16A x N x =∈<<，集合{}220xB x =->，则集合A B 子集个数是（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B 【解析】【分析】先求出集合A ，集合B ，由此求出AB ，从而能求出集合A B 子集个数.【详解】∵集合{}{}20log 16{|04}1,2,3A x N x x N x =∈<<=∈<<=，集合{}{}2201xB x x x =->=，{2,3}A B ∴=.∴集合A B 子集个数是22＝4.故选：B.【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z iz i-+为纯虚数，则z =（） A. 2 2C. 12 【答案】C 【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b aiz i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.22||1z a b ∴=+=.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.设p ：a ，b 是正实数，q ：2a b ab +> ） A. p 是q 的充分条件但不是必要条件 B. p 是q 的必要条件但不是充分条件 C. p 是q 的充要条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件【答案】D 【解析】【分析】举例并结合充分必要条件的判断得答案.【详解】解：由a ，b 是正实数，不一定得到2a b ab +>，如1a b ==；反之，由2a b ab +>a ，b 是正实数，如1,0a b ==. ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.4.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（） A.1910B.3910C.3455D.4455【答案】D 【解析】【分析】所有的基本事件个数315C ，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数315C ，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个， ∴这三个数为勾股数的概率为：31544455P C ==．故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题． 5.已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，且2c a ⋅=，1c b ⋅=，则b c +=（）6 7C. 2D. 23【答案】A 【解析】【分析】根据题意可设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===，然后根据2c a ⋅=，1c b ⋅=即可得出(2,1)c =，这样即可得出b c +的坐标，从而可求出b c +的值. 【详解】解：a b ⊥，且a ，b 都是单位向量，∴设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===，且2c a ⋅=，1c b ⋅=，21x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ∴(2,1)c =，(2,2)b c ∴+=， ||6b c ∴+=.故选：A.【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.6.在611x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含5x 项的系数为（）A. 6-B. 6C. 24-D. 24【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出.【详解】解：通项公式为：161kk k T C x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式211(1)(1)rr r k r r r k rr k k T C x x x C --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令25k r -=，则5,0k r ==.∴含5x 项的系数为05566C C ⋅=.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（）535D. 2【答案】C 【解析】【分析】先求双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得()21b a ⨯-=-，代入21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，渐近线b y x a =与直线230x y ++=垂直，得()21b a ⨯-=-，即12b a =，代入215114b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭故选C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.8.已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（） A. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设()()cos f x g x x =，结合题意求导分析可得函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数()g x 为奇函数，进而将不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭转化为()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x+=，又由02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，则函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，又由()f x 为定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇函数，则()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，则函数()g x 为奇函数，所以函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，()()4()2cos 2()4cos 4cos 4cos 4f f x f x f x xg x g x x πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇒<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以42x ππ<<，即不等式的解集为,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数()()cos f x g x x=，并分析其单调性. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】ABC 【解析】【分析】由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误.【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A 不正确. B.月跑步平均里程不逐月增加，因此B 不正确； C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C 不正确.D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D 正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（） A. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3B. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3D. ()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值.【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤3sin(2)13x π≤+≤ 故选AD.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题. 11.实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（） A.1yx -3 B. 1y x -的最小值为3-C.1y x -3 D.1y x -的最小值为3【答案】CD 【解析】分析】1yx -的值相当于曲线上的点与定点(1,0)的斜率的最值问题，当过(1,0)的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心(1,0)，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线1yx -的最值.【详解】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值，设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =，即211k =+，整理可得231k =解得33k =±，所以33[,]1y x ∈--，即1y x -的最大值为3，最小值为3-。