山东省潍坊市临朐县2020届高三综合高考模拟考试试题一 数学【含解析】

山东省潍坊市临朐县2020届高三综合高考模拟考试试题一 数学【含

解析】

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}

20log 16A x N x =∈<<，集合{

}

220x

B x =->，则集合A B 子集个数是（ ）

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出集合A ，集合B ，由此求出A

B ，从而能求出集合A B 子集个数.

【详解】∵集合{}

{}20log 16{|04}1,2,3A x N x x N x =∈<<=∈<<=， 集合{

}{}

2201x

B x x x =->=，

{2,3}A B ∴=.

∴集合A B 子集个数是22＝4.

故选：B.

【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数

z i

z i

-+为纯虚数，则z =（ ） A. 2 2

C. 1

2 【答案】C 【解析】 【分析】

设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，

∴复数222222

(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b ai

z i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.

22||1z a b ∴=+=.

故选：C.

【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.设p ：a ，b 是正实数，q ：2a b ab +> ） A. p 是q 的充分条件但不是必要条件 B. p 是q 的必要条件但不是充分条件 C. p 是q 的充要条件

D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】

举例并结合充分必要条件的判断得答案.

【详解】解：由a ，b 是正实数，不一定得到2a b ab +>，如1a b ==； 反之，由2a b ab +>a ，b 是正实数，如1,0a b ==. ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件. 故选：D.

【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.

4.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ） A.

1910

B.

3910

C.

3455

D.

4455

【答案】D 【解析】 【分析】

所有的基本事件个数3

15C ，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率． 【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数3

15C ，

其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个， ∴这三个数为勾股数的概率为：31544

455

P C ==． 故选D ．

【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题． 5.已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，且2c a ?=，1c b ?=，则b c +=（ ）

6 7

C. 2

D. 23

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意可设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===，然后根据2c a ?=，1c b ?=即可得出(2,1)c =，这样即

可得出b c +的坐标，从而可求出b c +的值. 【详解】解：

a b ⊥，且a ，b 都是单位向量，

∴设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===，且2c a ?=

，1c b ?=，

2

1

x y ?=?∴?=?? ∴(2,1)c =，

(2,2)b c ∴+=， ||6b c ∴+=.

故选：A.

【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.

6.在6

11x x ??-+ ??

?的展开式中，含5x 项的系数为（ ）

A. 6-

B. 6

C. 24-

D. 24

【答案】B 【解析】 【分析】

利用二项展开式的通项公式即可得出.

【详解】解：通项公式为：161k

k k T C x x +??=- ??

?， 1k x x ??- ??

?的通项公式211(1)(1)r

r r k r r r k r

r k k T C x x x C --+??=-=- ???. 令25k r -=，则5,0k r ==.

∴含5x 项的系数为05

566C C ?=.

故选：B.

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（ ）

53

5

D. 2

【答案】C 【解析】 【分析】

先求双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得()21b a ?-=-，代

入2

1b e a ??=+ ???

.

【详解】双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线为b y x a =，渐近线b y x a =

与直线230x y ++=垂直，

得()21b a ?-=-，即12b a =，代入2

15114b e a ??=+=+= ???

故选C

【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.

8.已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ??

- ???

，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0

f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π??

<

? ???

的解集为（ ） A. ,42ππ?? ???

B. ,,2442ππππ????--? ? ?????

C. ,00,44ππ????

-

? ? ????? D. ,0,442πππ????

-

? ? ?????

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意，设()()cos f x g x x =

，结合题意求导分析可得函数()g x 在0,2π??

???

上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数()g x 为奇函数，进而将不等式()2cos 4f x x π??

??

转化为()4g x g π??

< ???，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x 的取值范围，即可得答案.

【详解】根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''

2

()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x

+=， 又由02

x π

<<

时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，

则有()0g x '<， 则函数()g x 在0,

2π?

?

??

?

上为减函数， 又由()f x 为定义域为,22ππ??

- ???

的奇函数，

则()()

()()cos()cos f x f x g x g x x x

--=

==-，则函数()g x 为奇函数，

所以函数()g x 在,22ππ??

- ???

上为减函数，

()()4()2cos 2()4cos 4cos 4cos 4

f f x f x f x x

g x g x x πππππ?? ?

??????

??

，

所以

42

x π

π

<<

，

即不等式的解集为,42ππ?? ??

?. 故选：A.

【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数()

()cos f x g x x

=

，并分析其单调性. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.

根据折线图，下列结论错误的是（ ）

A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B. 月跑步平均里程逐月增加

C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】ABC 【解析】 【分析】

由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误.

【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A 不正确. B.月跑步平均里程不逐月增加，因此B 不正确； C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C 不正确.

D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D 正确. 故选：ABC.

【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

10.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6

π

个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（） A. ()g x 在0,

2π??????

上的最小值为3

B. ()g x 在0,2π??

????

上的最小值为-1

C. ()g x 在0,

2π??????3

D. ()g x 在0,2π??

????

上的最大值为1

【答案】AD 【解析】 【分析】

根据函数图象的平移可得()sin(2)3

g x x π

=+

，结合正弦函数的图像和性质可求最值.

【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移

6π

个单位长度后得到函数()sin(2)3

g x x π=+, 0,2x π??

∈????

, 423

3

3

x π

π

π∴

≤+

≤

3sin(2)13

x π

≤+≤ 故选AD.

【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题. 11.实数x ，y 满足2

2

20x y x ++=，则下列关于

1

y

x -的判断正确的是（ ） A.

1

y

x -3 B. 1

y x -的最小值为3-C.

1y x -3 D.

1y x -的最小值为3【答案】CD 【解析】 分析】

1

y

x -的值相当于曲线上的点与定点(1,0)的斜率的最值问题，当过(1,0)的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心(1,0)，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线1

y

x -的最值.

【详解】由题意可得方程2

2

20x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆， 由

1

y

x -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值， 设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，

圆心到到直线的距离d r =，即

211k =+，整理可得231k =解得33

k =±，

所以

33[,]

1y x ∈--，即1y x -的最大值为3

，最小值为3-。 故选：CD .

【点睛】本题考查了与圆相关的分式型式子的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60?

B. 无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D ⊥

C. 当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且13A E

EF

= D. 无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能30

【答案】BD 【解析】 【分析】

A ，当F 为1BC 中点时，可求出最大角的余弦值，进而可判断；

B ，通过1B D ⊥面11A B

C ，可判断；

C ，设1A F 和1B

D 相交于点

E ，则11~DE A E FB ，根据相似比可判断；

D ，F 为1BC 中点时，可求出最小角的正切值，进而可判断.

【详解】解：对于A 选项，当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为1A 在平面1BDC 上的投影，1O A F ∠为直线1A F 与平面1BDC 所成角，

11cos

OF

O F

A F A =

∠，当F 为1BC 中点时，1A F 最小，

则最大角的余弦值为16

11

632

6OF A F ==<， 最大角大于60°，即A 错误；

对于B 选项，在正方体中，1B D ⊥面11A BC ，又1A F ?面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即B 正确； 对于C 选项，当点F 为1BC 中点时，也是1B C 的中点，1A F 与1B D 共面于平面11A B CD ，且必相交，设交点为E ，连接1A D 和1B F ，如图所示，

因为11~DE A E FB ，所以

11

12A E DA EF B F

==，即C 错误； 对于D 选项，当F 从B 移至1C 时，异面直线1A F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为1BC 中点时，最小角的正切值为223

223

=>

，最小角大于30°，即D 正确. 故选：BD.

【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知3

cos 25

πθ??+= ???，则cos2θ=______. 【答案】

725

【解析】 【分析】 由3

cos sin ,cos 225

ππθθθ????+=-+=

? ?????可求得sin θ，从而可求得cos2θ. 【详解】解：3cos sin 25πθθ??

+=-= ?

??

， 3

sin 5θ∴=-，

27cos 212sin 25

θθ∴=-=

. 故答案为：

725

. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题. 14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且

()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为______．

【答案】2- 【解析】 【分析】

先判断()f x 的周期为4，结合()f x 是奇函数，可得()()()()78111f f f f =-=-=-，从而可得结果.

【详解】因为()()4f x f x +=， 所以()f x 的周期为4. 又因为()f x 是奇函数，

所以()()()()78111f f f f =-=-=-， 因为()0,2x ∈时，()2

1f x x =+，

所以()2

1112f =+=，

()()712f f =-=-，故答案为-2.

【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 15.已知点(1,2)M 在抛物线2

:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是

______.

【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】 【分析】

将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：

2221p =?，解得：2p ＝；

抛物线方程为：2

4y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为2,2

【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.

16.三棱锥P ABC -的42的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC 3的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______． 【答案】

6

5

【解析】 【分析】

由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点A 到平面PBC 的距离

【详解】△ABC 32r a

sin60==?

2，即r ＝1．

∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h

2

，

那么球的半径R 22

h r 2（）=

+=

2,解得h=2,又53

4

PBC S ?=

由P ABC A PBC V V --= 知'13153×

3?2=?3

434

d ，得'

65d = 故点A

到平面PBC 的距离为65 故答案为

6

5

． 【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①21n n S b =-，②14n n b b --=（2n ≥），③12n n b b -=+（2n ≥）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 为等比数列，

12

3

a =

，312a a a =，数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ，______，是否存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】见解析 【解析】 【分析】

由数列{}n a 为等比数列可得23n

n a ??= ???

，①通过1n n n S S b --=，整理可得1

2n n b b -=，进而可求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；②由14n n b b --=可得数列{}n b 为等比数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；③由12n n b b -=+知数列{}n b 是等差数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用作差法求最大项即可判断..

【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12

3

a =，所以312a a a =， 所以3223

a q a =

=， 故23n

n a ??= ???

. 若选择①，则21n n S b =-，则1121n n S b --=-（2n ≥），两式相减整理得1

2n

n b b -=（2n ≥），又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n

b -=

所以12142323n n

n n n a b -????=?=? ? ???

?? 由指数函数的性质知，数列{}n n a b 单调递增，没有最大值， 所以不存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.

若选择②，则由14n n b b --=（2n ≥），11b =，知数列{}n b 是首项为1，公比为1

4

-

的等比数列， 所以1

14n n b -??=- ???

所以()1

2114346n

n n

n n a b -??????

=?-=-?- ? ? ???????

因为()11124446663n

n

n n a b ????=-?-≤?≤?= ? ?????

.当且仅当1n =时取得最大值23. 所以存在1k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.

若选择③，则由12n n b b -=+（2n ≥）知数列{}n b 是公差为2的等差数列. 又11b =，所以21n b n =-.

设()2213n

n n n c a b n ??==- ???，

则()()1

12252221213333n n n

n n n c c n n ++-??????-=+--= ? ? ?

??

??

??

所以当2n ≤时，1n n c c +>，当3n ≥时，1n n c c +<.

即12345c c c c c <<>>>

所以存在3k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

()2223sin sin 42sin 3sin B C B C A +=+.

（1）求tan A 的值； （2）若

32sin c B

a =

，且ABC ?的面积22ABC S ?=，求c 的值. 【答案】（1）2

tan 4

A =；（2）22c =【解析】 【分析】

（1）由正弦定理边角互化思想得2222

3

b c a bc +-=

，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值； （2）由正弦定理边角互化思想得出32

b =

，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因

()2223sin sin 42sin 3sin B C B C A +=+，故22223

b c a +-=，

22222

cos 23

b c a A bc +-∴==

，故281sin 1cos 193A A =-=-=， 因此，sin 12

tan cos 34

22A A A =

==

； （2）因为

32sin c B a A =，故32c b a a =，即32

b =，

ABC ?的面积为1

sin 22

2ABC

S bc A ?==2112223

2=，故28c =， 解得22c =

【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

19.已知ABC ?的各边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足

1

2

CE EA =，D 为AB 的三等分点（靠近点A ），（如图（1）），将ADE ?沿DE 折起到1A DE ?的位置，使二面角1A DE B --的平面角为90?，连接1A B ，1A C （如图（2））.

（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；

（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，5

2

PB = 【解析】 【分析】

（1）等边ABC ?中，由已知得到2AE =，1AD =，由余弦定理算出DE ，从而得到222AD DE AE +=，则AD DE ⊥.结合题意得1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出1A D 平面BCED ；

（2）以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、

1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1A BD 的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可. 【详解】（1）证明：由图（1）可得：2AE =，1AD =，60A =?. 从而2212212cos603DE +-????=故得222AD DE AE +=，∴AD DE ⊥，BD DE ⊥. ∴1A D

DE ⊥，BD DE ⊥，

∴1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，

又二面角1A DE B --为直二面角，∴190A DB ∠=?，即1A D DB ⊥， ∵DE DB D ?=且DE ，DB ?平面BCED ， ∴1A D ⊥平面BCED ；

（2）存在，由（1）知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED .

以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图，

过P 作PH

DE 交BD 于点H ，

设2PB a =（023a ≤≤），则BH a =，3PH a =，2DH a =-，

易知()10,0,1A ，()23,0P a a -，()3,0E ，所以()

12,3,1PA

a a =--. 因为ED ⊥平面1

A BD ，所以平面1

A BD 的一个法向量为()

3,0DE =

因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?，所以1213

sin 604453

PA DE PA DE

a a ??=

=

=

-+?解得54

a =

. ∴5

22

PB a ==

，满足023a ≤≤，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?，此时52

PB =

. 【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题.

20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z

落在(14.55,38.45)内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；

②若2

~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．

【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析 【解析】

试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布(

)2

,N μσ

，从而求出

(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ??

???

，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概

率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：

50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =?+?+?+?+?=．

（2）①∵Z 服从正态分布(

)2

,N μσ

，且26μ=，11.95σ≈，

∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826． ②根据题意得1~4,

2X B ?

? ???

，

()4

04110216P X C ??=== ???；()4

1411124P X C ??=== ???；()4

2413228P X C ??=== ?

??；()4

3

4

11324P X C ??=== ???；()4

44114216

P X C ??=== ?

??. ∴X 的分布列为

X

0 1 2 3 4

P

116 14 38 14 116

∴()1

422

E X =?

=． 21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点712? ??

，，且离心率32e =． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知斜率为

1

2

的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A B ，，点P 的坐标为()21，

，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为αβ，，证明：αβπ+=．

【答案】（1）22

182

x y +=（2）详见解析

【解析】 【分析】

(1)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.

【详解】（1）由题意得2222714

1312a b b e a ?

?+=????=-=?

，

解得2282a b ==，，

所以椭圆的方程为22

182

x y C +=：．

（2）设直线1

2

l y x m =

+：， 由22

1218

2y x m x y ?=+????+=??，，消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ?=-+>， 解得22m -<<．

设()()1122A x y B x y ，，，，

则2

1212224x m x m +=-?=-x ，x ，

由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以2

π

αβ≠，．

设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，， 则1tan k α=，2tan k β=，

要证αβπ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-， 只需证120k k +=， ∵11112y k x -=

-，2121

2

y k x -=-，

故()()()()()()

1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+，

又1112y x m =

+，221

2

y x m =+， 所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ????

--+--=+--++--

? ?????

()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =?+-+--=-+----=，

∴120k k +=，αβπ+=．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22.已知函数()()ln m

f x m x x m R x

=-+

∈.

(1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，不等式()()

1222

12

f x f x a x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)[ln 2,)a ∈+∞ 【解析】 【分析】

(1)根据m 的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可.

(2)根据题意，需求()()

1222

12

f x f x x x ++的最值，结合(1)可得1212,x x m x x m +==且4m >，于是此式可转化为关于m 的函数，再利用导数求其最值即可. 【详解】（1）由题意得()0,x ∈+∞，

()222

1m m x mx m

f x x x x -+'=--=-

， 令()()2

2

,44g x x mx m m m m m =-+?=-=-.

①当04m ≤≤时，()0,0g x ?≤≥恒成立，则()()0,f x f x '≤在()0+∞，

上单调递减. ②当0m <时，>0?，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，

12120,0,x x m x x m +=<=<则120,0x x <>，

所以当24m m m x ?+-∈ ??时，()()()0,0,g x f x f x '<>单调递增； 当242m m m x ??

+-∈+∞

? ???

时，()()()0,0,g x f x f x '><单调递减. ③当4m >时，>0?，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，

12120,0,x x m x x m +=>=>则120,0x x >>， 所以24m m m x ?--∈ ??时，()f x 单调递减； 2244,22m m m m m m x ??

--∈ ? ???

时，()f x 单调递增；