人教版初三数学上册公式法第二课时

合集下载

21.2.2 公式法第2课根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)

2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式

人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件

△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0，解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解：移项，得 x2+4x-2=0

人教版数学九年级上册21.2.2公式法(第二课时)教学设计

a.通过数形结合的方法，将一元二次方程与二次函数图像相结合，让学生直观地理解方程解的几何意义。
b.设置典型例题，引导学生从不同角度分析问题，培养他们灵活运用求根公式的能力。
c.创设生活情境，让学生在实际问题中运用求根公式，提高他们解决实际问题的能力。
5.在课堂练习环节，设计分层练习，让不同水平的学生都能得到有效的巩固和提升。同时，鼓励学生相互讨论、交流，提高课堂互动性。
3.采用分组讨论的形式，让学生在小组合作中交流想法，培养团队合作能力及解决问题的策略。
4.设计实际应用题，让学生体验数学知识在实际生活中的应用，提高学以致用的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的热情，特别是对于代数问题的探索和研究。
2.增强学生解决问题的自信心，特别是面对复杂问题时，能够保持冷静，运用所学知识分析问题、解决问题。
4.解决实际问题时，能够将问题转化为数学模型，进而使用公式法求解一元二次方程。
（二）过程与方法
在教学过程中，引导学生通过以下方法来达成学习目标：
1.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
2.运用问题驱动法，设置不同难度层次的问题，让学生在实践中掌握公式法的步骤和要点。
五、作业布置
为了巩固学生对公式法求解一元二次方程的理解和应用，以及提高他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生巩固求根公式的记忆和基本运用。
2.提高应用题：设计一些需要运用判别式的提高题，让学生在实际问题中学会判断方程有几个解以及解的性质，提高他们分析和解决问题的能力。
5.小组合作题：分组布置一道综合性的大题，要求学生在小组内合作完成，通过讨论、分析、共同求解，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

人教版数学九年级上册21 公式法(第二课时)课件

15
• 15．已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. • (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； • (2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m
－5的值． • (1)证明：∵关于x的方程为x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0，∴Δ＝(2m＋
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法(第二课时)
以练助学名师点睛基础过关能力提升思维训练
3
以练助学
名师点睛
知识点 1 一元二次方程根的判别式及其与方程根的情况的关系一般地，式子 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ＝b2－4ac.当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当
免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． • 【典例】用公式法解方程：x2－17＝8x. • 分析：先将一元二次方程化为一般形式，确定a、b、c的值，再计算Δ
＝b2－4ac的值，最后利用求根公式求解．
解答：移项，得 x2－8x－17＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝－17，∴Δ＝(－8)2－4×1×(－ 17)＝132，∴x＝8±2132＝4± 33，∴x1＝4＋ 33，x2＝4－ 33.
B
12
• 10．关于x的方程(m－3)x2－4x－2＝0有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是( )
• A．m≥1D B．m＞1 • C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
13
11．已知 a＞b＞0，且2a＋1b＋b－3 a＝0，则ba＝－__1_＋2___.3 12．对于实数 m、n，定义一种运算“*”为 m*n＝mn＋m.如果关于 x 的方程 x*(a*x) ＝－1 有两个相等的实数根，那么满足条件的实数 a 的值是___1___. 13．若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0 没有实数根，则 k 的取值范围

最新人教版九年级数学上册第二十一章《公式法》教案(第2课时)

第2课时一元二次方程根的判别式教学目标1．理解一元二次方程根的判别式，并能用其判定一元二次方程根的情况．2．能根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值或取值范围．教学重难点重点是理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；难点是用根的判别式b 2－4ac 来判别ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的应用．教学过程导入新课〈方式1〉用公式法解下列方程：(1)2x 2－3x ＝0；(2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.得出正确答案后思考以下问题：方程(1)b 2－4ac ＝9＞0，方程的根有什么特点？方程(2)b 2－4ac ＝12－12＝0，方程的根有什么特点？方程(3)b 2－4ac ＝1－16＝－15＜0，方程根的情况如何？综合以上问题，你认为一元二次方程根的规律和b 2－4ac 的关系是怎样的？〈方式2〉我们在一元二次方程的配方过程中得到：(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，发现当且仅当b 2－4ac ≥0时，右式b 2－4ac 4a 2有平方根．直接开平方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a.也就是说，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当且仅当系数a 、b 、c 满足条件b 2－4ac ≥0时有实数根．我们是否可以用b 2－4ac 来判断方程根的情况呢？这节课我们就来学习它．推进新课一、合作探究一元二次方程根的判别式议一议：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的情况由谁确定？为什么？提示：从求根公式的角度来分析：求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac 2a，当b 2－4ac ＞0时，根据平方根的意义，b 2－4ac 等于一个具体数，所以一元二次方程的根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，即有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，根据平方根的意义，b 2－4ac ＝0，所以x 1＝x 2＝－b 2a，即有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数根．结论：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的情况由b 2－4ac 的正负情况确定：(1)当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. (2)当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a. (3)当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式．想一想：不解方程，你会判别一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况吗？二、应用迁移1．利用根的判别式判别一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的情况不解方程，判别方程根的情况：(1)16x 2＋8x ＝－3；(2)9x 2＋6x ＋1＝0；(3)2x 2－9x ＋8＝0；(4)x 2－7x －18＝0.分析：不解方程，判别根的情况，只需用b 2－4ac 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．解：(1)化为16x 2＋8x ＋3＝0.这里a ＝16，b ＝8，c ＝3，b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128＜0，∴方程没有实数根．(2)a ＝9，b ＝6，c ＝1，b 2－4ac ＝36－36＝0，∴方程有两个相等的实数根．(3)a ＝2，b ＝－9，c ＝8，b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(4)a ＝1，b ＝－7，c ＝－18，b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0，∴方程有两个不相等的实数根．2．根据一元二次方程根的情况解决问题若关于x 的一元二次方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋1＝0没有实数根，求ax ＋3＞0的解集(用含a 的式子表示)．分析：要求ax ＋3＞0的解集，就是求ax ＞－3的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、负或0.因为一元二次方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋1＝0没有实数根，即(－2a )2－4(a －2)(a ＋1)＜0，就可求出a 的取值范围．解：∵关于x 的一元二次方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋1＝0没有实数根，∴(－2a )2－4(a －2)(a ＋1)＝4a 2－4a 2＋4a ＋8＜0.a ＜－2.∵ax ＋3＞0，即ax ＞－3，∴x ＜－3a. ∴所求不等式的解集为x ＜－3a. 点拨：已知一元二次方程根的情况，可以求出方程中某些字母的范围．三、巩固提高1．一元二次方程x 2－ax ＋1＝0的两实数根相等，则a 的值为( )．A ．a ＝0B ．a ＝2，或a ＝－2C ．a ＝2D ．a ＝2，或a ＝0答案：B2．已知k ≠1，一元二次方程(k －1)x 2＋kx ＋1＝0有根，则k 的取值范围是( )．A ．k ≠2B ．k ＞2C ．k ＜2且k ≠1D ．k ≠1答案：D3．不解方程，试判定下列方程根的情况．(1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0.4．不解方程，判别关于x 的方程x 2－2kx ＋(2k －1)＝0的根的情况．本课小结本节课要掌握：b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根；b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实根；b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根及其他的运用．。

人教版数学九年级上册第21章第2节解一元二次方程公式法求根公式中判别式的应用初中数学教学课件PPT

∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根． 2.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0有两个实
根，则m的取值范围是
.
解： b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
∴ m 1 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能
有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
难点突破例1:不解方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0. ∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
知识讲解
应用2：已知方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件
3.已知关于x的方程x2-kx-2=0,求证：方程总有两个不相等的实数根。
10
小结【课堂小结】
应用1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
求根公式中根应用2：已知一元二次方程根的情况，求方程中
的判别式应用
字母系数所满足的条件
应用3：证明方程根的情况
通过以上例题介绍了求根公式中判别式的三种应用，其实它的应用不仅仅是这些，比如与几何知识的问题，在解决二次函数的相关问题、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解以及求最值问题等都有应用。因此可以看出一元二次方程的判别式在初中数学中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。
九年级-上册-第21 章第2节
课题：解一元二次方程—公式法求根公式中根的判别式的应用
难点名称：1.一元二次方程根的判别式使用条件的忽略； 2.当方程有实根时，求方程中字母系数的取值范围。

最新人教版初中九年级上册数学【21.2.2公式法(2)】教学课件

b2 4ac 42 4 1 (2) 24 0 .
方程有两个不等的实数根
24 2 6
x b b2 4ac 4 24 2 6 ,
2a
21
即 x1 2 6 , x2 2 6 .
例1 用公式法解下列方程： (3) x 2 17 8x . 解：方程化为 x2 8x 17 0 .
解: a 2, b 2 2, c 1 .
b2 4ac 2
2
2 4 21 0 .
方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a2 2 222. 2例1 用公式法解下列方程：
(2) x(x 4) 2 8x ;
解：方程化为 x2 4x 2 0 .
a 1, b 4, c 2 .
x b b2 4ac ,求出方程的根 . 2a
当b2 4ac 0时,方程无实数根 . ⑤结果化成最简形式 .
小结2: 关于x的一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 实数根的情况 ① 当b2 4ac 0 时, 方程有两个不等实数根 ;
② 当b2 4ac 0 时, 方程有两个相等实数根 ;
a 1 , b 8 , c 17 . b2 4ac (8)2 4 117 4 0 .
方程无实数根 .
小结1：用公式法解一元二次方程的一般步骤 ①化为“一般形式”. ②确定a、b、c ③计算 b2 4ac 的值 . ④当b2 4ac 0时 ,将a、b、c及 b2 4ac代入公式
4 2(m 2)
2 m2
.
运用公式
例1 用公式法解下列方程： (1) 2x 2 2 2x 1 0 ; (2) x(x 4) 2 8x ;
(3) x2 17 8x .
例2 用公式法解关于x的方程： (1) x 2 mx m2 0 ; (2) mx 2 (m 2)x2 (m 2) .

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

-0。

一元二次方程的解法
【教学目标】：
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

【重点难点】：
1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为
负数时，代入求根公式常出符号错误。

【教学过程】：
一、复习旧知，提出问题
1、用配方法解下列方程：
1
(1)x 2 15=10x (2) 3x 2 -12x 0
3 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，
计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得
一元二次方程的实数根呢？
二、探索同底数幕除法法则
问题1 :能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax 2 • bx • c = 0 (a = 0)转化为因为a = 0，方程两边都除以 a ，得
x 2 b x ^0 a a
移项，得
2 b c x X = a a
配方，得
/ 2煜唱亍哙
2 b 2 -4ac
4a 2
(x -)2 二 b 2 -4ac 4a 2 呢？
教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识: 即(x 』)2」2—4ac
2a 4a 2
问题2：当b 2 -4ac 亠0 ,且a 0时, b 2 -4ac
4a 2 大于等于零吗?
让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当
b 2 -4a
c -0时，因为a = 0，所以4a 2 • 0 ,从而
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？
让学生讨论、交流，从中得出结论，当沪—4处乏0时.一般形式的一元二次方程
ax2 +Z»x + c = 00)的根为x + — - 土—----
2a 2a
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)的求根公式：
—b 土J b2 -4ac x =
2a
2
(b —4ac _ 0)
这个公式说明方程的根是由方程的系数 a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：当b 2 -4ac _0时，方程有实数根吗?
三、例题
例1、解下列方程:
2
1、2x x -6 =0 ； 2
教学要点：(1)对于方程(2)和(4)，首先要把方程化为一般形式;
(2)强调确定a 、b 、c 值时，不要把它们的符号弄错;
(3)先计算b 2 -4ac 的值，再代入公式。

例2、(补充)解方程x 2 - x • 1 = 0 解：这里 a=1， b = -1， c=1，
2 2 b -4ac =(-1) -4 1 1 = —
3 ：： 0
因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。

让学生反思以上解题过程，归纳得出：
2 当
b -4a
c 0时，方程有两个不相等的实数根；
2 当b -4ac =0时，方程有两个相等的实数根；
2 当b -4ac ：：： 0时，方程没有实数根。

四、课堂练习
1、 P 35练习。

2、阅读P 39 “阅读材料”。

五、小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。

六、作业
P 38 习题 4. ( 3)、(4 )、( 5)、(6)、( 7)、(8) , 5。

2 3、5x -4x-12=0 ； 4 2
、4x 4x 10 =1—8x。

人教版初三数学上册公式法第二课时

21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)