2009考研数学(一)试题及详细答案解析
2 B 0
（7）设随机变量 X 的分布函数为 F x 0.3 x 0.7 态分布函数，则 EX
x 1 ，其中 x 为标准正 2
A 0 .
【答案】 C
B 0.3 .
C 0.7 .
D 1.
n
A 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n 1 n 1
B 当 bn 发散时， anbn 发散.
n 1 n 1
C 当 bn
n 1
收敛时，
a b
n 1
2 2 n n
收敛.
D 当 bn
n 1
发散时，
a b
n 1
【答案】A 【解析】因为 1 ,2 , 的过渡矩阵。
1 2 0 B 0 2 3 . 1 0 3
1 6 1 . 6 1 6 1 2 1 D 4 1 6 1 2 1 4 1 6 1 2 1 . 4 1 6
① x 0,1 时， F ( x) 0 ，且单调递减。 ② x 1, 2 时， F ( x) 单调递增。
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③ x 2,3 时， F ( x) 为常函数。 ④ x 1,0 时， F ( x) 0 为线性函数，单调递增。 ⑤由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 D 。 （4）设有两个数列 an , bn ，若 lim an 0 ，则
（2）如图，正方形
x, y x 1, y 1 被其对角线划分为
1
四个区域 Dk k 1, 2,3, 4 ， I k 则 max I k
1 k 4
y cos xdxdy ，
Dk
D1
-1
D2 D3
-1
D4
1
x
A I1 .
B I2 .
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 f u, v 具有二阶连续偏导数， z f x, xy ，则
2 z xy
。
f 2 xyf 22 【答案】 xf12
【解析】
z f1 f 2 y ， x
X , Y 独立
1 FZ ( z ) [ P( X 0 z ) P( X z )] 2 1 （1）若 z 0 ，则 FZ ( z ) ( z ) 2 1 （2）当 z 0 ，则 FZ ( z ) (1 ( z )) 2 z 0 为间断点，故选（B）
从而可见 a 2, b 1。
2
f ( x) x sin ax x sin ax a 2 sin ax 1 a cos ax lim lim 2 lim 2 洛 lim 洛 lim x 0 g ( x ) x 0 x ln(1 bx) x 0 x ( bx) x 0 x 0 3bx 2 6bx
2 z f 2 yx f 22 xf12 f 2 xyf 22 xf12 xy
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 0 的通解为 y C1 C2 x e ，则非
x
齐次方程 y ay by x 满足条件 y 0 2, y 0 0 的解为 y 【答案】 y xe x 2
【解析】因为 F x 0.3 x 0.7 所以 F x 0.3 x
x 1 ， 2
0.7 x 1 ， 2 2
所以 EX
xF x dx
x 1 x 0.3 x 0.35 dx 2
1 0 1 1 1 1 , 2 , 3 2 2 0 2 3 0 3 3
所以此题选 A 。
* * （6）设 A, B 均为 2 阶矩阵， A , B 分别为 A, B 的伴随矩阵，若 A 2, B 3 ，则分块
矩阵
x
。
【解析】由常系数线性齐次微分方程 y ay by 0 的通解为 y C1 C2 x e 可知
x
y1 e x ， y2 xe x 为其线性无关解。代入齐次方程，有
ay1 by1 (1 a b)e x 0 1 a b 0 y1 ay2 by2 [2 a (a 1 b) x]e x 0 2 a 0 y2
2 2 n n
发散.
【答案】C 【解析】 方法一： 举反例 A 取 an bn (1)
n
1 n
B 取 an bn
1 n 1 D 取 an bn n
故答案为（C） 方法二： 因为 lim an 0, 则由定义可知 N1 , 使得 n N1 时，有 an 1
n
的间断点个数为
A 0.
【答案】 B
B 1.
C 2.
D 3.
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【解析】
FZ ( z ) P( XY z ) P( XY z Y 0) P(Y 0) P ( XY z Y 1) P (Y 1) 1 [ P( XY z Y 0) P( XY z Y 1)] 2 1 [ P( X 0 z Y 0) P( X z Y 1)] 2
C I3 .
D I4 .
【答案】A 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
D2 , D4 两区域关于 x 轴对称，而 f ( x, y) y cos x f ( x, y) ，即被积函数是关于 y 的
奇函数，所以 I 2 I 4 0 ;
D1, D3 两区域关于 y 轴对称，而 f ( x, y) y cos( x) y cos x f (x, y ) ，即被积函数是
3
1 2
1 3
1 2 , 2 3 ,3 1 的过渡矩阵为
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1 0 1 A 2 2 0 . 0 3 3
1 2 1 C 2 1 2
a 2 sin ax a3 lim 1 x 0 6b 6b ax a
另外 lim
a3 6b
故排除 B, C 。
所以本题选 A。
1 a cos ax 存在，蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 故 a 1. 排除 D 。 x 0 3bx 2 y
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当 x 0 时， f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 等价无穷小，则
【解析】根据 CC C E ，若 C C C , C
1
1
分块矩阵
0 B
A 0 的行列式 B 0
A 22 A B 2 3 6 ，即分块矩阵可逆 （ 1 ） 0
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0 B
A 0 B 0
A0 0 B
A 0 6 1 0 A
1
0 B 1 6 1 0 A A
1 B B 0
0 6 1 A 2
故答案为 B。
1 B 3 0 3A 0
O A 的伴随矩阵为 B O
A
O 2A
*
3B* . O
B
O 3A
*
2 B* . O 2 A* . O
1 C C
O 3 A* C * . D * 3B
2
1 . 6 1 C a 1, b . 6 【答案】 A
A a 1, b
1 . 6 1 D a 1, b . 6
B a 1, b
【解析】 f ( x) x sin ax, g ( x) x ln(1 bx) 为等价无穷小，则
0.3
而
x x dx 0.35
x 1 x dx 2
x x dx 0 ，
x 1 x 1 x dx u 2 2u 1 u du 2 2 2
（3）设函数 y f x 在区间 1,3 上的图形为：
则函数 F x
f t dt 的图形为
0
x
A
B
C
【答案】 D
D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y f ( x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、
x x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F ( x) ，从而可得出几个方面的特征：
所以 EX 0 0.35 2 0.7 。 （ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N 0,1 ， Y 的概率分布为
1 记 FZ z 为随机变量 Z XY 的分布函数， 则函数 FZ z P Y 0 P Y 1 ， 2
, n 到1 ,2 , ,n
2009考研数学一真题及答案
2009考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（ ）()A 1I .()B 2I . ()C 3I .(D 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰； x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数(F()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009考研数一真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()(A)11,6a b ==-.(B)11,6a b ==.(C)11,6a b =-=-.(D)11,6a b =-=.(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤=()(A)1I .(B)2I .(C)3I .(D)4I .(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()(A)(B)-1-111xy1D 2D 3D 4D(C)(D)(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则()(A)当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛.(B)当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时,221n nn a b∞=∑收敛.(D)当1nn b∞=∑发散时,221n nn a b∞=∑发散.(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23αα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为()(A)**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(B)**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX =()(A)0.(B)0.3.(C)0.7.(D)1.(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂.(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y =.(11)已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰.(12)设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰.(13)若3维列向量,αβ满足2T αβ=,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k =.三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线ny x =与()11,2,n y xn +== 所围成区域的面积,记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.(Ⅰ)求1S 及2S 的方程；(Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z ∑++=++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.(23)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1)【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a ax bx bx bx a ax a b axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D.所以本题选A.(2)【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =,24,D D 两区域关于x 轴对称,(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称,(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函数是关于x 的偶函数,所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A).(3)【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：①[]1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增；②[]0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减；③[]1,2x ∈时,()F x 单调递增；④[]2,3x ∈时,()F x 为常函数；⑤()F x 为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D).(4)【答案】C【解析】解法1举反例：取(1)nn n a b ==-,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是收敛的,但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散,排除(A)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(B)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但224111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(D),故答案为(C).解法2因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时,有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛,可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时,有1n b <,从而,当12n N N >+时,有22n nn a b b <,则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5)【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23αα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M ααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).(6)【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236OA AB B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(7)【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭,因此,()()10.30.352x EX xF x dx x x dx+∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数,所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰,()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8)【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤.(1)当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2)当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】12222xf f xyf '''''++【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂,21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂.(10)【答案】(1)2x x e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =,2x y xe =为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,x x y ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=,非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+,代入非齐次微分方程,得2A Ax B x -++=,即11(2)202A A Ax AB x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+,通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解,得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,0y x x =≤≤ds ==,所以()21148Lxds x ==+⎰⎰11386==.(12)【答案】415π【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρπΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydzΩ⎰⎰⎰所以,()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅=⎰⎰⎰.(13)【答案】2【解析】2T αβ=,()2TTβαββαββ∴==⋅,又由于0β≠,Tβα∴的非零特征值为2.(14)【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量,所以22()E X kS np +=,即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)【解析】2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+=所以2212(2)0,B AC e e -=-+<且0A >.从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分9分)【解析】曲线n y x =与1n y x +=的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰,111lim 1111111lim ()lim (),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑ 22111211111111(1)22123456n n n n n S a n n n ∞∞∞-=====-=-+-+=-+∑∑∑ （）.考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑,知其收敛域为(1,1]-,和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑,令1x =,得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=.设切点为00(,)x y ,则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=.将4,0x y ==代入切线方程得01x =,从而032y ==±.所以切线方程为142x y ±=,从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=,即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差,其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b a f b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()00()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈.由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧,Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyx y z xy z ∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z ∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰ .()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy z dxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 可求得2122122k k k ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭ ,可求得312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka k bξξξ--+--=-=-≠-,所以123,,ξξξ线性无关.解法2由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=,①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=,②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111a E A a a a a a λλλλλλλ---=-=--+----+,所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意.当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意.当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +.综上可知,2a =.解法2由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零.又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========.(Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,00,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为X012Y01/41/61/3611/31/9021/9(23)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =,即2X λ=,得λ的矩估计量为 12Xλ=.(Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >= 为样本观测值,则似然函数为()12121,,,;,nii nx n n ii L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏ 11ln 2ln ln nni i i i L n x x λλ===-+∑∑,由1ln 20n i i d L n x d λλ==-=∑,得λ的最大似然估计量为 22Xλ=.。
2009年考研数学一真题及答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1. 当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.2. 如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（ ）()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()DI 3. 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .x()C .()D .4. 设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（ ）()A 当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛.()B 当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散.()C 当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛.()D 当1nn b ∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.5. 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ）()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.7. 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ）()A 0.()B 0.3. ()C 0.7.()D 1.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）9. 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ 。
2009年考研数学一真题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(2) 如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤= ( )(A) 1I .(B) 2I .(C) 3I .(D) 4I .(3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C)(D)(4) 设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则 ( )(A) 当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛. (B) 当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C) 当1n n b ∞=∑收敛时,221n nn a b ∞=∑收敛.(D) 当1n n b ∞=∑发散时,221n n n a b ∞=∑发散. (5) 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( )(A) 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D) 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (6) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7) 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX = ( ) (A) 0.(B) 0.3.(C) 0.7.(D) 1.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( ) (A) 0.(B) 1. (C) 2.(D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂ .(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11) 已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰ .(12) 设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13) 若3维列向量,αβ满足2T αβ=,其中Tα为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为.(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线n y x =与()11,2,n y xn +== 所围成区域的面积,记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (Ⅰ)求1S 及2S 的方程； (Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积. (18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分) 设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布. (23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他, 其中参数(0)λλ>未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ) 求参数λ的矩估计量；(Ⅱ )求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分. (1) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选A. (2) 【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =,24,D D 两区域关于x 轴对称,(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称,(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函数是关于x 的偶函数,所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A).(3) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增； ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减；③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (4) 【答案】C【解析】解法1 举反例：取(1)nn n a b ==-,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是收敛的,但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散,排除(A)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(B)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但224111n n n n a b n∞∞===∑∑收敛,排除(D),故答案为(C).解法2 因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时,有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛,可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时,有1n b <,从而,当12n N N >+时,有22n nn a b b <,则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5) 【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M αααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A). (6) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B). (7) 【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,所以 ()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭, 因此, ()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数,所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰,()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8) 【答案】(B) 【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】12222xf f xyf '''''++ 【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂, 21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂. (10) 【答案】(1)2x x e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =,2x y xe =为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,x xy ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=,非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+,代入非齐次微分方程,得2A Ax B x -++=,即11(2)202A A Ax A B x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+,通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解,得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,0y x x =≤≤,则ds ==,所以()21148Lxds x ==+⎰11386==. (12) 【答案】415π 【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρππΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以,()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅⋅=⎰⎰⎰. (13) 【答案】2【解析】2T αβ=,()2T T βαββαββ∴==⋅,又由于0β≠,T βα∴的非零特征值为2. (14) 【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量,所以22()E X kS np +=,即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e-=-+<且0A >. 从而1(0,)f e是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e =-.(16)(本题满分9分)【解析】曲线n y x =与1n y x +=的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰, 111lim 1111111lim()lim(),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑22111211111111(1)22123456n n n n n S a n n n ∞∞∞-=====-=-+-++=-+∑∑∑ （）.考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑,知其收敛域为(1,1]-,和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑,令1x =,得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=.设切点为00(,)x y ,则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=.将4,0x y ==代入切线方程得01x =,从而032y ==±. 所以切线方程为142x y ±=,从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=,即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差,其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰. 故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且 ()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧,Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zxy z∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰ .()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zdxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k k k ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫-⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭,可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=, ①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=, ②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+, 所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故 1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知,2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零. 又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为(23)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =,即2X λ=,得λ的矩估计量为 12Xλ=. (Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >= 为样本观测值,则似然函数为()12121,,,;,nii nx nn i i L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===-+∑∑,由1ln 20n i i d L n x d λλ==-=∑,得λ的最大似然估计量为 22X λ=.。
2009考研数学一试题及答案解析
一、选择题：（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则2222()sin sin 1cos sin limlimlimlimlim()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bxbx→→→→→---==-⋅---洛洛23sin lim166x a ax ab baxa →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外21cos lim3x a ax bx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为 四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14m ax kk I ≤≤=()A 1I .()B 2I .()C 3I .()D 4I .【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为： 则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为x()A ()B()C ()D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
当 时，
当 时，
因此函数 仅在 处间断，故选（B）.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 .
【答案】
【考点】多元函数的偏导数
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用复合函数的链式求导法则求多元函数的偏导数的方法。
在本题中，
，
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方程 满足条件 的解为 .
【答案】
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
在本题中，
由通解表达式 该二阶线性常系数齐次方程的特征值为 ，于是特征方程为
，
而在 上， 有连续的一阶偏导数且 ，于是
（在 ： 上用高斯公式）
（20）（本题满分11分）
设 ， .
（Ⅰ）求满足 的 . 的所有向量 , .
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 , 证明 , , 线性无关.
【考点】向量组的线性无关，非齐次线性方程组的通解
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
非齐次线性微分方程的解的性质即叠加原理，非齐次线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
收敛级数的和的概念， 称为无穷级数 的前n项的部分和。若部分和数列 的极限存在，即 ，则称级数 收敛。当级数收敛时，其和 。
在本题中，
（Ⅰ）先求 .易求得 与 的交点为 ， ，于是曲线 与 所围成区域的面积为
（Ⅱ）按定义求
（Ⅲ）求 .
考研数学一真题解析 2009
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。
选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。
选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。
2009年数学试题及解答
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b ==（C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
【答案】A2222sin sin 1cos sin limlimlimlimln(1)()36x x x x x ax x ax a x a ax x bx x bx bxbx→→→→---===----23sin lim166.x a ax ab baxa →==-=-36a b =-意味选项B ，C 错误。
再由21cos lim 3x a ax bx→-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。
（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KK K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14max{}KK I≤≤=（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 关于x 轴对称，而cos y x -即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,I I D D =两区域关于y 轴对称，cos()cos y x y x -=即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos 0,2cos 0x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰，所以正确答案为A 。
（3）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()x F x f t dt =⎰为（）【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积 分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。
2009考研数一真题答案及详细解析
f(t)dt
I: > �f'.J<t)dt+ 八 t)dt�f (x) dx.'
又由定积分的几何意义知，『 g (x)dx>O,故 2<x<3 时 F(x)>O.故应选 D.
(4) C
解
I; 若令
an= bn=
(-l)n
嘉,则nl-im= a
n
=
O, n=
l
从收敛，却有
co
nI=;l a
n从
=
nI=;l — n1
1,1],
和函数为—
ln(l+x).
因为5 (x)=
= I;
(—l)n
X
n=
X
— ln(l+x),令
x= l,得
n= 2 n
S 2= n�= la 加一1 = S(1)= 1- ln 2.
(17) 解
(I)
椭球面 S1
的方程为X— 42
+
沪
+z 3
2 =
1.
。 设切点为
(x
口 Yo),
则
X—+
4
— y
y2dxdyd乏 ＝ 』之2dxdyd之，
{l
所以
w 上�+ ill f I I z'dxd:
。 。 。 上 2
六
(x' 二三） dxdydz� 3
亢 d0
sin钊'P'r'dr�±. 穴． 15
{l
03) 2
n 解 设入是P矿的非零特征值， 是属于入的特征向量，从而p矿T/=入1
由于入=/=-0, TJ =/=-0,故a可=l=-0.
2009年全国考研数学一真题及答案.doc
因为 lim an 0, 则由定义可知 N1, 使得 n N1 时，有 an 1 n
又因为
bn
收敛，可得
lim
n
bn
0, 则由定义可知
N 2, 使得 n N 2 时，有 bn
1
n1
从而，当 n N1 N 2 时，有 an2bn2 bn ，则由正项级数的比较判别法可知
an2bn2 收敛。
11 1, 2 2 , 3 3 到基
1 2 , 2 3 , 3 1 的过渡矩阵为（
）
101 A 2 2 0.
033
120 B 0 2 3.
103
11 1
24 6
C
11
1
.
24 6
1 11
2 46
1 11
2 22
D1 1
1
.
44 4
11 1
66 6
6. 设 A, B 均为 2 阶矩阵， A* , B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若 A 2, B 3 ，则分块矩
（Ⅱ）对①中的任意向量 2 , 3 证明 1 , 2 , 3 无关。 7. （本题满分 11 分）
设二次型 f x1, x2, x3 ax12 ax22 a 1 x32 2x1x3 2x2 x3
（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型
f 的规范形为
2
y1
2
y2 ，求
a 的值。
8. （本题满分 11 分） 袋中有 1 个红色球， 2 个黑色球与 3 个白球， 现有回放地从袋中取两次， 每次取一球，
n1
（5）设 1 , 2, 3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基