基于小扰动法的多机系统静态稳定性分析
电力系统的稳定性分析与控制方法研究
电力系统的稳定性分析与控制方法研究电力系统是现代社会中不可或缺的重要基础设施，它为生产、生活提供了稳定可靠的电能供应。
然而，电力系统中存在着各种故障和扰动，会对系统的稳定性产生负面影响。
因此，对电力系统的稳定性进行分析和控制是电力系统运行的关键任务之一。
本文将重点探讨电力系统的稳定性分析与控制方法的研究。
首先，我们需要了解电力系统的稳定性概念。
电力系统的稳定性是指系统在受到干扰或扰动后，能够以适当的方式恢复到稳定状态的能力。
在电力系统中，主要存在三种稳定性问题：暂态稳定性、小扰动稳定性和大扰动稳定性。
暂态稳定性是指电力系统在发生较大扰动（如短路故障）后恢复到稳定状态的能力。
对于暂态稳定性的分析，通常使用电力系统的动力学模型来描述系统的行为。
常用的暂态稳定性分析方法包括潮流方程分析、电动势法、直接替代法等。
小扰动稳定性是指电力系统在受到较小扰动（如瞬时负荷变化）后恢复到稳定状态的能力。
小扰动稳定性分析的主要方法是线性化方法，即将非线性动力学方程线性化，得到系统的传递函数。
通过分析系统的传递函数，可以评估系统的稳定性状况。
大扰动稳定性是指电力系统在受到较大扰动（如主变压器故障）后恢复到稳定状态的能力。
大扰动稳定性分析常用的方法是基于能量函数的稳定性分析方法，如基于绝对能量函数和相对能量函数的方法。
这些方法通过定义能量函数，利用能量的增减来评估系统的稳定性。
除了稳定性分析，控制方法也是保证电力系统稳定运行的关键。
常见的电力系统控制方法包括：功率系统稳定控制、无功补偿控制、电压稳定控制等等。
功率系统稳定控制主要针对系统暂态稳定性问题，通过控制发电机励磁控制系统、变压器控制系统等来提高系统的暂态稳定性。
无功补偿控制则主要用于改善电力系统的电压稳定性问题。
电压稳定控制则主要通过调节发电机励磁控制系统和无功补偿控制系统来维持系统电压的稳定。
近年来，随着电力系统规模和复杂性的增加，传统的稳定性分析与控制方法已经无法满足实际需求。
电力系统小干扰稳定性研究方法综述
电力系统小干扰稳定性研究方法综述张松兰【摘要】随着各种新能源接入电力系统，电网规模不断扩大形成开放互联电网，各种小干扰作用到电力系统会影响电力系统的稳定性。
介绍了电力系统数学模型表述形式及稳定性判据，阐述了小干扰电力系统稳定性分析方法和稳定域的分析方法，最后对该领域的发展趋势进行了展望。
%With various new energies linked into the power system,the power grid is expanded continuously to form the open Internet grid,so small disturbance can affect the stability of power system.The paper makes an introduction to mathematical model form of power system and mechanism of small signal stabili-ty,elaborates the analytical methods of stability and stability domain,and forecasts the development tend-ency of the field finally.【期刊名称】《西安航空技术高等专科学校学报》【年(卷),期】2017(035)001【总页数】5页(P53-57)【关键词】电力系统;稳定性;小扰动;综述【作者】张松兰【作者单位】芜湖职业技术学院电气工程学院，安徽芜湖 241006【正文语种】中文【中图分类】TM712电力系统在实际运行中会受到各种不确定性因素的影响，如负荷的波动、系统元件参数的变化、线路网络拓扑结构的变化等[1]。
尤其是风力发电新能源的接入，由于风速、风向具有随机性和不确定性，其作为一种扰动注入电力系统会对电力系统安全稳定运行产生较大影响。
电力系统小干扰稳定性分析
右观
当特定的模式被激活时，右特征向量vi中第k 个元素vki 给出 了状态变量xk 在第i个模式中的活动状况。模表征活动程度， 角度表征状态变量关于模式的相位移。
电力系统小干扰稳定性分析
¾ 5） 可控性
⎡ z1 ⎤ ⎡ u11 u21 ⎢ z ⎥ ⎢u ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 12 u22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ zn ⎦ ⎣u1n u2 n un1 ⎤ ⎡ Δx1 ⎤ ⎢ Δx ⎥ un 2 ⎥ ⎥⋅⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ unn ⎦ ⎣ Δxn ⎦
λ jt
可控可观的综合体现
电力系统小干扰稳定性分析
三、电力系统的振荡分析
¾ 含 m 台发电机的电力系统，机电振荡模式为（m－1）个 ¾ 本地模式 1-2 Hz，区间模式 0.1-0.7Hz
电力系统小干扰稳定性分析
电力系统小干扰稳定性分析步骤:
1）对系统进行线性化，计算得到特征根，左、右特征向量，参与向量 （机电模式相关比）； 2）利用指定模式的参与向量（机电模式相关比）辨识机电振荡模式（参 与向量中模值最大分量对应于δ或ω，则为机电模式）； 3）利用右特征向量中与转速相关的分量识别振荡模态（模值相差不大， 方向基本相同的为同调机群）； 4）在参与向量转子速度分量较大的机组上，加装PSS抑制振荡。
电力系统小干扰稳定性分析
根据右特征向量的定义，有：
⎡ a11 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ an1 a1n ⎤ ⎥ v v ⎥[ 1 2 ann ⎥ ⎦ ⎡λ1 vn ] ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ λn ⎥ ⎦
vn ] = [ v1 v2
AX R = X R Λ
电力系统小干扰稳定性分析
根据左特征向量的定义，有：
特征值的实部刻画了系统对振荡的阻尼，虚部指出了振荡的频率
《电力系统暂态分析》第六章提纲
第六章 电力系统静态稳定第一节 概述一、运动系统稳定性的一般定义运动系统都存在稳定性问题。
定义如下：一个运动系统处于平衡状态，若遭受某种扰动，经过一定的时间变化后，能恢复到原有平衡状态或新的平衡状态下运行，则称该运动系统是稳定的，否则是不稳定的。
【例6-1】b二、电力系统稳定性的特定含义电力系统中发电机都是同步发电机，电力系统的平衡状态是指所有发电机以同步（相同）速度运行。
当电力系统处于某种平衡状态（即发电机以相同速度）运行，遭受某种扰动后，发电机的速度发生变化，经历一定时间速度的变化，若所有发电机能恢复到同步（相同）速度下运行，则该系统是稳定的，否则是不稳定的。
在正常运行时（平衡状态），发电机输入机械功率T P 等于发电机发出的电磁功率E P （机械损耗很小，因此忽略不计），即E T P P =，发电机保持恒定速度运行。
当受到某种扰动（例如：负荷波动，导线发热、电阻变化、短路、切除线路等），发电机输出功率E P 要发生变化，但T P 不能跟随变化（因为调速系统由机械组成，不能瞬间完成），导致输入与输出功率不平衡，从而引起速度的变化。
受扰动各发电机E P 变化不一样，因此各发电机速度变化不一样，经过一段时间调整，若能够恢复到相同速度下运行，则系统是稳定的，否则是不稳定的。
三、电力系统稳定性的分类按扰动量的大小，电力系统稳定分为⎩⎨⎧大扰动下的稳定—暂态稳定小扰动下的稳定—静态稳定小扰动—如负荷正常变化、导线发热引起参数变化等。
其扰动量很小，因而可以对描述系统运动过程的非线性微分方程进行线性化处理，从而可用线性系统稳定性理论进行分析。
大扰动—如短路、切机、投切线路、投切变压器等。
其扰动量大，因而不能对描述系统运动过程的非线性微分方程进行线性化处理，从而只能用非线性系统稳定性理论进行分析。
四、如何判别稳定1. 以速度，即各机组频率。
2. 以相对转子位置角)(ij t δ的变化过程，即摇摆曲线。
若)(ij t δ能够回复到某一个稳定值则系统是稳定的。
第七章 电力系统的静态稳定性
（a） （b）
（a）特征根为两个负实根， 单调地衰减到零，系统静态稳定； （b）特征根是一对具有负实根的共轭复数， 将衰减振荡，系统静态 稳定。
S Eq 0, 且 D
2
1
0
4S EqTJ D
随时间单调增加，系统静态不稳定。 特征根中有一个为正实根，
当发电机阻尼系数为负值
SEq=0，临界状态。
（2）计及发电机的阻尼作用 特征方程的根
P 1, 2
0 D
2TJ
0
2TJ
D
2
1
0
4 S EqTJ
（4）
D —阻尼功率系数。
当发电机阻尼系数为正值
S Eq 4 S EqTJ 2 D 0 0 D 2 4 S EqTJ 0
事故后运行方式：指事故后系统尚未恢复到它原始的运行方式的情况
对凸极机：曲线上升部分运行时系统是静态稳定的
静稳定极限与功率极限一致
dp E 0 处是静态稳定极限（δ 角略小于90º ） d
第二节 小扰动法分析简单系统静态稳定
一、小扰动法的基本原理
李雅普诺夫运动稳定性理论：任何一个系统，可以用下列参数 ( x1, x2, ...) 的函数 ( x1, x2, ...) 表示时，当因某种微小的扰动使其参
三、小扰动法理论的实质
小扰动法是根据受扰动运动的线性化微分方程式组的特征方程 式的根，来判断未受扰动的运动是否稳定的方法。 如果特征方程式的根都位于复数平面上虚轴的左侧，未受扰动 的运动是稳定运动；反之，只要有一个根位于虚轴的右侧，未受扰 动的运动就是不稳定运动。
第五节 提高电力系统静态稳定性的措施
二、减小元件的电抗
华北电力大学电力系统稳定性分析第二章 复杂电力系统静态稳定分析
(2-2)式不是状态方程，因为在(2-2) 式中，除了能作为状态变量的 ， 及 其变化率外，还有其它中间变量 P 和 P 。要把这些中间变量消除后，相应 的方程才能构成状态方程。
i
i
Ti
Ei
第二章 复杂电力系统静态稳定分析
二、原动机功率方程 分析电力系统小干扰稳定性时，通 常有以下简化条件： ⑴ 原动机功率（转矩）恒定，即 P P ； ⑵ 用恒定阻抗代替负荷； ⑶ 不计电力网络内的电磁暂态过程。
m
Y mm Y mn Y nn Y nm E Y m E
Y 式中： 由发电机电势节点的自导纳和互 导纳组成。
m
第二章 复杂电力系统静态稳定分析
⑸ 发电机电磁功率表达式。
~ . Gi * i
S
PGi jQ Gi E i I
i 1, 2 , m
由式(2-7)，有：
PGi
i0 i
i i
Ti Ti 0 Ti
PEi PEi 0 PEi
i 1, 2 , m
代入(2-1)式，整理得：
. i . i
i
0
PTi P Ei
T Ji
i 1, 2 , m
(2-2)
第二章 复杂电力系统静态稳定分析
T
U . E
.
(2-5)
式中： 入电流；
.
I
m
I
.
. n2
.
n 1
,I
, , I
nm
是发电机电势节点注
. . ni . '
E E
电力系统静态稳定性
1 ∆δ ∆ω 0
T
缩记为
dX = AX , dt
∆ω ]
0 ω S = A , − N Eq TJ
1 0
根据给定运行方式的潮流计算，可得:
= S Eq dPEq Eq0V0 = cos δ 0 d δ δ =δ X dΣ
0
在平衡状态 X e 进行泰勒级数展开得：
X = Xe
d ( X e + ∆X ) dF ( X ) = F(X ) + dt dX
∆X + R(∆X )
令
A=
dF ( X ) dX
d ∆X = ，略去高阶项并计及平衡状态， dt
R ( ∆X ) ∆X
A∆X
如果 ∆X → 0 时，能满足 判稳原则：
→ 0 ，则得到稳定判断原则：
2
二、李雅普诺夫运动稳定性定义
设 X e 为系统 X = F (t , X ) 的一个平衡状态。以 X e 为圆心，以 c 为半 径的球域可以记为 X - Xe ≤c 其中
X= - Xe
2 ( ) x − x ∑ i ei i =1
n
表示向量差 X - X e 的欧氏长度，亦称欧氏范数。
3
稳定性的定义： 对于任给实数ε > 0 ，存在实数η (ε , t0 ) > 0 ，使所有满足
lim X (t ) - X e = 0
t →∞
X 0- X e ≤η
的初值 X 0 所确定的运动X (t ) 中，只要有一个运动，在 t ≥ t0 的某一时刻 不满足 X (t ) - X e < ε 则称平衡状态 X e 是不稳定的。
4
三、非线性系统的线性近似稳定性判断法 公式线性化：
电力系统暂态分析 电力系统静态稳定
第七章 电力系统静态稳定电力系统静态稳定：指电力系统受到小干扰后，不发生自发振荡或非同期失步，自动恢复到起始运行状态的能力。
实际上就是确定系统在某个运行稳态能否保持的问题。
第一节 简单系统的静态稳定简单系统：单机-无穷大系统隐极机：δϕsin Re cos∑=+=⎥⎦⎢⎣•==d q q q d d q E x I U I U I E UI P功角特性曲线为：● 转子运动方程：E T J P P dtd T -=220δω 在PT=PE 的点，功率平衡，速度不变 ● a 、b 两点为功率平衡点， a 为稳定平衡点，b 为不稳定平衡点。
∴ 在功角特性曲线上升段的运行点是静态稳定运行点，在下降段的运行点是不稳定运行点。
静态稳定判据：0>δd dP E静态稳定极限点：0=δd dPE ，其对应的功率称为静态稳定极限功率sl P其对应的功率角称为静态稳定极限功率角δsl简单系统：P sl =P max有功功率储备系数：%15%1000>⨯-=P P P k sl p 第二节 负荷的静态稳定本节中介绍转矩（有功功率）的方法，类似异步机起动的分析； 另有电压稳定的分析方法。
第三节 小干扰法分析简单系统的静态稳定分析简单系统的静态稳定⑴简单系统、简单网络：定子绕组方程可用功角特性表示 ⑵不考虑调速器和原动机方程，PT = P0 = 常数 ⑶不考虑励磁调节系统，if = 常数，Eq 恒定 列状态变量偏移量的线性方程状态方程：)sin (1)1(0δωωωδ∑-=-=d q T J x U E P T dt d dtd小干扰，δδδ∆+=0， ωωω∆+=0则)sin(0δδ∆+=∑d q E x U E P+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑222000!21sin δδδδδδδd P d d dP x U E E E d q δδδδ∆⎪⎭⎫⎝⎛+=∑0sin d dP x U E E d q 忽略高次项，线性化E P P ∆+=0∴ δδωωωδδ∆⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆=∆010d dP T dt d dtd E J矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆ωδδωωδδ01000d dP T E J 根据特征根判断系统的稳定性系数矩阵的特征根为：002,1δδωλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=d dP T E J 当00<⎪⎭⎫ ⎝⎛δδd dP E ，2,1λ为实根，则ωδ∆∆,单调增，发电机非同期失步；当00>⎪⎭⎫⎝⎛δδd dP E，2,1λ为一对虚根，则ωδ∆∆,等幅振荡，发电机在阻尼作用下减幅振荡。
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基于小扰动法的多机系统静态稳定性分析
【摘要】应用电力系统静态稳定分析方法，针对多机电力系统的静态稳定性进行了研究。
根据单机无穷大系统的k1-k6小干扰线性化模型，给出了多机系统静态稳定分析的建模原理。
针对一个3机9节点的系统进行了分析与仿真，用matlab软件编制程序，采用特征值分析法判断了其稳定性，利用时域分析法给出了系统受到小扰动时的各个参数变化曲线，仿真结果表明系统是稳定的，与理论分析一致。
【关键词】静态稳定多机系统线性化特征值分析
1 引言
随着用电需求的不断增加，电力系统规模的不断扩大，电力系统的稳定问题日益突出1-2］
干扰稳定性，一般是指电力系统在运行中受到微小的扰动后，独立地恢复到它原来的运行状态的能力。
静态稳定分析不仅能判断系统是否稳定，还可获得在小扰动下系统过渡过程的许多信息。
本文采用惯用的电力系统动态稳定分析元件模型来形成非线性
模型，经线性化后化为标准状态方程形式，采用matlab语言编程，采用特征值分析法判断了其稳定性，利用时域分析法给出了系统受到小扰动时的各个参数变化曲线，实现对多机电力系统静态稳定的分析计算。
2 小扰动法基本原理
设有一个不显含时间变量t的非线性系统，其运动方程为：(1)
x e是系统的一个平衡状态，若系统受干扰偏离平衡状态，记x=xe+δx，将其带入式（1），并将该式右端展开成泰勒级数，可得(2)
式中，h(δx )为δx的二阶及其以上阶次各项之和。
令 (3)
矩阵a称为雅克比矩阵，它的第i行第j列元素为
(4)
考虑到d xe/dt=0和f(xe )=0，并舍去高阶项h(δx )，便得(5)
这就是原非线性方程的线性近似方程，或者称为线性化的小扰动方程。
其稳定性判断原则为：若线性化方程中a矩阵没有零值和实部为零值的特征值，则非线性系统的稳定性可以完全由线性化方程的稳定性来决定。
3 多机系统的数学模型
由于多机系统情况较为复杂，需考虑各个发电机组间的相互影响。
为便于分析，我们对多机系统做如下的简化6］
（1）原动机的功率恒定，即p m=常数
（2）负荷用恒定阻抗来表示
（3）由于电力网络内部电磁暂态过程和发电机内部电磁暂态过
程相比，衰减的非常快，所以不计电力网络内部的电磁暂态过程。
基于以上简化，我们来建立多机系统静态稳定分析模型。
3.1 微分方程的列写
设多机电力系统有n台发电机，则与第i台发电机有关的各环节及网络的数学模型如下：
(8)
(9)
(10)
(11)
其中，δij=δi-δj，表示第i台发电机的暂态电势，e qj j台发电机的暂态电势，b ii
g ii i的自电纳和自电导，b ij
和g ij i和节点j之间的互电纳和互电导。
e
fdi i台发电机空载电势的强制分量，e qi为第i台发电机机端电势，t doi i台发电机励磁绕组时间常数。
v gi
3.2 状态方程的形成
将（7）-（10）式线性化得：
(12)
(13)
(14)
将（6）式线性化，并将（12）、（13）、（14）代入得多机系统线性化以后的特性方程式，采用矩阵形式表示为：
通过解特征方程式（15）的特征根，即可判断在某一运行方式下，各个机组装设电压偏差比例调节器和电压偏差比例-积分调节器的条件下的静态稳定性。
4 实例研究与分析
4.1 特征值稳定性分析
将上面分析的结果应用到具体的电力系统中，采用安德森3机9节点系统模型7］1所示，发电机参数表1所示，系统频率为120hz，在计算和仿真中，不计凸极效应。
图1 3机9节点系统单线连接图
表1 发电机参数
经过潮流运算，可以计算出系统运行开始时，p m0x’q0δ0(rad)，ω0(rad/s)的初始值如表2所示。
表2 系统的初始运行状态
根据编制的matlab程序，可得系统的状态矩阵如下所示：
从上述特征值中可以看出，所有特征值的实部都是负的，因此系统在所研究的运行点是稳定。
4.2 时域仿真分析
假设系统受到小扰动后，发电机机1的功角由0.0396（弧度）变化到0.06（弧度），发电机3的功角由0.2298（弧度）变化到0.2（弧度），则三台发电机功角、相对功角、角速度、暂态电
势的变化曲线如图2，图3，图4，图5所示：
通过以上仿真结果可以看到，此三机系统是稳定的。
5 结论
本文建立了多机系统静态稳定分析模型，直接将系统的微分方程进行线性化，推导出系统状态方程和状态矩阵。
针对一个3机9节点的系统，用matlab软件编制程序，采用特征值分析法判断了其稳定性，并利用时域分析法给出了小扰动时三台发电机功角、两两相对功角、角速度、暂态电势的变化曲线，仿真结果表明系统是稳
定的，验证了matlab软件编制程序的正确性。
参考文献
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