第五章一元一次不等式(组)复习

∵35+36-99<0
( 35 36 99 )( x 3 ) 0 ： 1 1 2 ( )( 2 x 1 ) 0 3 4 3 1 1 2 0 3 4 3
∴ 2xx31 00 ∴|x-3|+|2x-1|=3-x+2x-1=x+2
五、化归思想
xa4 0 例4. 若关于x的不等式组 无 ， 解 求 x 3a 2 0 a的 值 围 取 范
解：原不等式组可化为：
x a 4 若此不等式组有解， x 3a 2
则a+4<x<3a-2, 解得a>3,
∴a的取值范围为a≤3
五、化归思想
的解集为-1<x<1,
求(a+1)(b+1)的值
比 想 1 . 类 思 2 .分 讨 思 类 论 想 一、数学思想 3 .数 结 思 形 合 想 体 想 4 .整 思 5 .化 思 归 想 6 .方 思 程 想
二、数学思想还有很多，比如换元思想，构造思想等等， 数学思想是数学的灵魂，同一数学知识蕴含着不同的数学 思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的 知识点中，要注意加以小结并灵活应用。
(3)列方程(组)---选与未知数相关的相等 关系. (4)解方程(组)---根据等式的性质.
(3)列不等式(组)---选与未知数相关的 不等关系. (4)解不等式(组)---根据不等式的性质.
(5) 检验作答---利用方程(组)的解,写出符 (5) 检验作答---利用不等式(组)的解,写 合题意的结果. 出符合题意的结果.
不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数， 所得的不等式仍成立； 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数， 必须把不等号的方向改变，所得到的不 等式成立.
一元一次方程的概念
一元一次不等式的概念
等号的左右两边都 是整式，而且只含 有一个未知数，未 知数的最高次数是 一次，这样的方程 叫做一元一次方程
不等号的左右两边 都是整式，而且只 含有一个未知数， 未知数的最高次数 是一次，这样的不 等式叫做一元一次 不等式。
解一元一次方程的基本步骤：
步骤
去分母
解一元一次不等式的基本步骤：
步骤 去分母 去括号 根据 不等式的基本性 质3 单项式乘多项式 法则
根据
等式的基本性质 2
1
1 2
2
3 4
去括号
移项 合并同类项,得ax=b或 ax=b （a≠0）
单项式乘多项式 法则
等式的基本性质 1 合并同类项法则
3
4
移项
合并同类项,得ax>b或 ax<b （a≠0）
二、分类讨论思想
有些数学问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中 不能以统一的形式进行研究，此时，我们往往会把问题根据题目的 特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不 同情况分类，逐一解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
二、分类讨论思想
例1.已知A=2x2+3x+2，B=2x2-4x-5，试比较A与B的大小
不等式基本性质 性质1：
若a<b,b<c,则a<c，该性质叫做不等式的 传递性
性质1：
等式两边同时加上（或减去）同一个数 或式，所得结果仍使等式。
性质2：
不等式的两边都加上（或都减去）同一 个数，所得到的不等式仍成立.
性质2：
等式两边同时乘同一个数（或除以一个 不为0的数），所得结果仍使等式.
性质3：
，故原不等式组的解集为-1＜x＜1-k．
三、数形结合思想
所谓数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决 数学问题的一种数学思想。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和 解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求三 角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途 径，而且能避免复杂的计算与推理，能大大简化解题过程。
m 4 3 根据条件可得：2 m n x m 4 , 且 2 2m n 3 2 2 3
解得：
m 2 n 10
∴ 当m=2，n=-10时，（m+n）2=（2-10）组 x 2b 3
（A）1
（B）3
x 1 x 1 x 1 k
（C）-1
（D）-3
2.已知不等式组
（1）分别求出当k= 12，k=3，k=-2时不等式组的解集； （2）由（1）可知不等式组的解集随k值的变化而变化，当k为 任意实数时，写出不等式组的解集．
二、分类讨论思想
解： （2）若k为任意实数，不等式组的解集分以下三种情况：
——数学思想在不等式中的应用
一、类比思想
所谓类比思想是依据两个数学对象之间存在着某些相 同或相似的属性，从而推出它们存在其他相同或相似的属 性的一种数学思想。
利用类比思想学习数学知识，既能让我们发现并加强 知识之间的联系，也能降低学习的难度，从而达到掌握数 学知识的目的。
等式基本性质
若a=b，b=c，则a=c，该性质叫做等式 的传递性
解：∵
A=2x2+3x+2，B=2x2-4x-5
∴A-B=(2x2+3x+2)-(2x2-4x-5) = 2x2+3x+2- 2x2+4x+5 =7x+7 ∴ ①当7x+7>0即x>-1时 A-B>0，A>B ②当x=-1时 A-B=0，A=B ③当x<-1时 A-B<0，A<B
二、分类讨论思想
x 2m 1 1.如果不等式组 的解集是x>-1,那么m的值（D ） x m 2
2 x 3 0 解 求 1、如果不等式组 x m 无 ，
m的 值 围 取 范
______. 2
m
3
2、若不等式组
x m 1 x 2m 1
m≥2 无解，则m的取值范围是______.
六、方程思想
所谓方程思想，是指对于一个数学问题用方程来解决，分 析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用 方程的性质去分析、解决数学问题的思想。
不等式的基本性 质2
合并同类项法则
5
两边同除以a（或乘 以1 ）
a
等式的基本性质 2
5
两边同除以a（或乘 以 1）
a
不等式的基本性 质3
运用方程(组)解应用题一般步骤:
运用不等式(组)解应用题一般步骤:
(1)审题---明确等量关系的词语的联系与 区别. (2)设元---选合适的量为未知数.
(1)审题---明确不等关系的词语的联系 与区别.(如:‘‘不超过” 、“至少”等词 语的含义） (2)设元---选合适的量为未知数.
三、数形结合思想
例2. 已知关于x的不等式组
x 1 2a 2x 5 1
⑴ ⑵
有5个整数解，求a的取值范围 解：解（1）得：x<2a-1 解（2）得：x≥3 ∵原不等式有解 ∴3≤x<2a-1 在数轴上画出符合题意的图形
3
7 2a-1 8
≤ 由图可得：7<2a-1 8,
解 得 4 a 9 2
四、整体思想
在方程组
2 x y 1 m x 2y 2
① ②
中，
若未知数x，y满足x+y>0,求m的取值范围并在数轴上表示.
五、化归思想
所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用 某种方法将问题转化，进而达到解决的一种思想方法。
转化目标：一般是将复杂问题转化为简单问题；将难解 的问题转化为容易求解的问题；将未解决的问题转化为已 解决的问题。
三、数形结合思想
若不等式组
x 2m 1
的解集中的任何一个x的值均不在
x 2m 3
1≤x<3范围内，则m的取值范围
四、整体思想
在解数学题时, 由整体入手,把一些彼此独立实质上却紧 密联系的量作为一个整体来考虑的思想方法叫做整体思想.
该思想在代数式的化简与求值、解方程（组），不等式 （组）等方面都有广泛的应用，这种思想方法常可使许多按 常规方法解比较麻烦甚至不可解的问题，灵活地进行整体代 换,从而化繁为简、化难为易，得到快速便捷的解答.
见《自主导练》第五章复习卷
四、整体思想
例3.已知x满足 35 ( x 3 ) 18 ( 2 x 6 ) 33 ( 3 x 9 ) 0
2x 1 3 1 2x 4 2 ( 2 x 1) 3
化简 |x-3|+|2x-1| 解：原不等式可化为 即
35 ( x 3 ) 36 ( x 3 ) 99 ( x 3 ) 0 1 2 1 ( 2 x 1) ( 2 x 1) ( 2 x 1) 0 3 4 3
x 1 x 1 x 1
①当1-k≤-1即k≥2时，原不等式组可化为
，故原不等式组的解集为无解；
②当1-k≥1即k≤0时，原不等式组可化为 ，故原不等式组的解集为-1＜x＜1；
x 1 x 1 x 1
x 1 ③当-1＜1-k＜1即0＜k＜2时，原不等式组可化为 x 1 x 1 k
六、方程思想
2x m 4 的解集是 例5. 若关于x的不等式组 3 x 2 m n
解：原不等式组可化为： 2x 4 m 3 x n 2 m
- 2 x 3 , 求（ m n ）的值
2
∴
4 m x 2 n 2 m x 3