电子注-离子通道-等离子体系统中波的色散关系
光学常数及色散关系
表1.1 电导率为σ的材料中，波长为λ0的入射光的光强穿透深度d1、振幅 穿透深度d2，以及光学反射率R
1.3 极化率
假设所考察固体为无限大、均匀、且各向同性，固体的性质用介电常 数ε、磁导率μ和电导率σ来表征。 设频率为ω 的一束单色平面光波入射到该固体上，入射光的波段范围 设定为50nm~500μm (25eV ~ 0.002eV )，其下限λ0 设定为50 nm，即使波长 足够短，但仍远大于原子半径。 在这种假设下，作为一级近似，所考察的固体仍可视为连续介质，介 质中的微观场 E(rij) (i代表原胞，j代表原子)， 虽然在接近原子处会产生 某种涨落，但采用平均场近似，可以将这种扰动平滑掉，即E(rij)=E(ri)； 另外，如果晶体中相邻原胞之间的电场不发生突变的话，可将电场对每 一个原胞取平均。这样，可进一步将电场视为r的连续函数，得到平均场 E(r)，因此只需要一个坐标r，问题即得到简化。 以下所用光场即平均场E(r)，对整个晶体取平均。 一般地说，电磁波中电场E(~1V/cm)比起原子中外层电子的电场 (~108V/cm) 来说，可以忽略不计，因此电场E和电极化强度P之间为线性 关系，即使对于E~105V/cm的激光光场来说，非线性效应也很小。
在线性光学响应范围内，电极化强度的宏观表示为
P 0 E
(1.27)
电极化强度与电场强度成正比，比例系数 叫做电极化率，一般为复数量。 极化使固体中产生电位移矢量D，由于介电常数和电极化率一般为复 数， 所以电位移矢量D，电极化强度P，平均光场E，在方向上一般不再 保持平行，换言之，它们之间存在一定的相位关系。 设所考察的介质不包含自由电荷，D、P、E之间的关系为
(1.8)
2 c2 (k k )
相对论性快电子分布等离子体纵振荡的色散关系
中 图分 类 号 ： Ｐ１ ２ ； ４
１ 引言
在宇 宙 中，等离 子体是 物 质存在 的主 要形 式，占宇 宙中物 质总量 的 ９ ％ 以上 ，如地 ９
球 的 电离 层和磁 层、行 星际 空 间的太阳风 、太 阳的大气 、某些 磁变 星、星际物质 以及星 系 际物质等 ，都是等 离子体 ． 宙 间存 在各种 不 稳定过程 ，因而在等 离子体 中经 常会 激起 各 宇 种波 动，形 成复 杂的 湍动状 态．等离 子体 中许 多现象 和过 程 的机 制都 与其 中波 的不稳 定 性 有关 ，而 等离子 体 的色散 关 系是 研 究等 离子 体不 稳定性 的关键 ．色散 关 系给 出了集体
扰 动 的频 率和 波矢 之 间的关 系，决 定 了波 的模 式 ，满足 色散关 系 的波其 能量 激发 最大 ． 利 用色散 关 系，不但 可 以研 究波 的不 稳定性 问题 ，还可 以研 究波 的传播和 衰减 问题 ［ ２ １］ －， 弄 清等离 子体 中波 的色散 关 系可以为 相互 作用 过程 中哪些 波之 间能够 发 生相互 作用 ，以
（ 南昌大学物理 系 南昌 ３ ０ ３ ） ３０ １
摘 要
在相对论性情况下，从等离子体纵介电常数出发，推导出无磁化、无碰撞、各
向同 性 的快 电子 分 布 等 离 子 体 纵 振 荡 的 色散 方 程 ．对 纵 振 荡 的 色 散 方 程 进 行解 析 分 析 ，得 到 长 波 支 和 短波 支 的色 散 关 系 ． 由于解 析 色散 曲 线 的不 连 续 性 ，直 接 对 无 量 纲 化 的纵 振 荡
引进 约化速 度 Ｕ＝ ｐ ｍｃ＝ ＂ ／； 对论 因子 ＝ ／ Ｔ ｃ相 ｖ
标，这 时 Ｖ ＝Ｃ Ｓ ／ ， 且 ｄ ｚ Ｕ Ｏ － 而 Ｃ ｏｙ ｐ＝（ ） ｄ （ ｄ ｏ ｄ 因此 （） ｍｃ。 ｕ 一 ｓ ） ． ｃ １ 式化为
等离子体物理-第四章-2
小k 大k （长波长） （短波长） 电子波 恒频 恒速 离子波 恒速 恒频
第四章 等离子体中的波/§4.2等离子体中的离子静电波
3、下杂波振荡（对应与电子静电波上杂波）
当 k B
时，离子静电波的特性如何？？ 对电子和离子分别写出连续性方程及运动方程
0
exp i(k x t ) ,
c 0
2 e1 e e i i
(4.38) (4.39)
e1
将（4.38)代入(4.37)：
i ( M m)n ik ( KT KT )n ieB ( )n
0 c c e1
色散方程：
2
k
2 2 s c
(4.40)
c
第四章 等离子体中的波/§4.2等离子体中的离子静电波
处理以上方程时，采用以下的近似是合理的
一、采用“等离子体近似”
假定 ne=ni，电子密度与离子密度相等，同时认 为 E 0 ，对于低频过程，显然这种假设是合 理的，理由？？ 该近似可省去泊松方程不用 但是如何求出扰动密度？？
二、由于这是一种慢变化过程，电子又没有
受到其他因素的限制，可以认为电子总是能 保持在统计平衡状态。
i ,e 1 i ,e 1
假定：
ve1 mn e KTe ne1 en0 E en0 ve1 B 0 t ne1 n v 0 0 e1 t Mn vi1 KT n en E en v B 0 i i i1 0 0 i1 t n i1 n0 vi1 0 t
第四章 等离子体中的波/§4.2等离子体中的离子静电波
e e 则有： n n exp( KT ) n (1 KT ) n n
修正的kappa分布等离子体横振荡的色散关系
其 中 ｙ一 ， ＋ （ ／ ） ／ １ ｐ ｍｃ 是相对论 因子 。 根据 （） ３、
（ ） ， 到 ４ 式 得
／
一
２
２ ４
（ ５）
ｅ 『 ＋ ｄ 一 ｐ
（ ｃ， ｍｅ 。
鲁
相 对论 电子 的平 均 能量 满足 ：
我 们假 定扰 动沿 方 向 ， ｋ— ｋ 用 Ｕ 即 ｚ， 来代 替动 量
波支 和短波 支 的色散关 系 。 由于解析 色散 曲线 是不 完 整 的 ， 对色散 方程 进行 数值 求解 ， 到完整 的色 故 得 散 曲线 。
体环境 中广 泛地 存 在 着 过热 电子 ， 如太 阳风＿ 、 ５ 太 ］
阳耀 斑 、 冲 星＿ 、 磁 层＿ 和超 热 辐 射 带［ ］脉 ８地 ］ ９ １ 。 等
基 金 项 目 ： 国 科 学 技 术 部 国 际科 技 合 作 项 目（０ ９ Ｆ ２ ２ ）０ 中 ２ ０ Ｄ Ａ０ ３ ０ ；９国 家 自然科 学基 金 资 助 项 Ｅ（ 区 ） １９ ３ ０ ） 江 西 ｌ地 （０ ６０ ２ ； 省创 新 团 队 资 助 项 目（０ ０ ＱＢ ００ ） ２１Ｄ ０９０ 。 作 者 简 介 ： 洪 梅 （ ９ ３ ， ， 士生 。 ＊通 讯 作 者 ： 三 秋 （ ９ １ ， ， 授 ， 士 ， 士 生 导 师 。 国 １ ８ 一） 女 硕 刘 １６ 一） 女 教 博 博
一
其 中 代表 主值 积分 ， 当
／ “＜ １ ，１ ） 时 （ Ｉ 式对 ｚ
Ｊ ｒ
＿ ２７
“
Hale Waihona Puke —－ｘ１／ｚ ｉ 一 一． ｙ —ｕ ￣ ｖ －
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（ ９）
“ １ 警）４（一／ 一 Ｖｌｙ［ （ ］ ｖ Ｍ ｑｕ 一 一Ｉｚｕ） ｐ－ ｛ ￣ 一 １ ［ｎ ｙ ＋ 三
等离子体物理学
强烈的波与电子的相互作用，需要用动力学 才能加以研究。
考虑离子成分时的静电波
• 离子的运动可以产生频率较低的波动。在研 究较低频率的等离子体波动时，需要同时考 虑电子和离子的运动（其中，a代表等离子体 中的所有粒子，即电子和各种离子 ）：
( na va ) na 0 t x n m dva n q E pa a a a a dt x E 1 qa na 0 a x a d ( pa na )0 dt kva na 1 n w a0 ikpa 1 i w m v q E a a a na 0 ikE 1 q n 0 a a a1 pa 1 na 1 n0 pa 0
考虑离子时的静电波色散关系
• 将以上做过线性化和平面波分解之后的方程组再进行 消元化简，得到色散方程 ： 2 2 wp n q Ta a 2 2 a0 a 1 2 0, w pa , vsa 2 2 ma 0 ma a w k vsa • 其中wpa和vsa分别是a类粒子对应的等离子体振荡频 率和声速。 • 由于离子质量远大于电子质量，则 w pi wpe • 因此在高频时w≥wpe，色散关系公式中的求和的各项 中，离子项远小于电子项，因而可以忽略。只保留电 子项，此色散关系回到电子静电波的色散关系式。
等离子体物理学（二）
李毅 2011.10
等离子体中的线性波
• 等离子体中，电场、磁场、速度、密度、压力、温 度等任何一个物理量 y 一般会随空间和时间变化。 • 扰动量原则上它可以分解为各个平面波的叠加，即： y (x, t ) y k (k , w )ei (k x wt ) dkdw • 其中 y k (k , w ) 为波的幅度，是物理量的Fourior分解：
第5章等离子体波
电子流体力学方程
ne ne ue 0, t me ne ue ue ue ene E ue B pe , t
麦克斯韦方程组
B 0, E e ne n0 / 0 , 1 E B B en u , 0 e e 2 e
C(常量）
pe neTe
1 ne pe pe ne ne 0
1 pe pene ne pe Tene 0
pe Tene 绝热近似结果: 其中 ( f 2) / f ， f 为自由度数。 电子振荡频率比碰撞频率高得多,密度振荡是一维 3 的，波传播过程可认为是一维绝热过程：
ne1 / t n0 ue1 0 me ue1 / t eE1 E en / 1 e1 0
ne ue n0ue1 ne1ue1
设扰动发生在z轴方向，这时也沿z轴方向，取平面 波的解： / t i i ( kz t )
实际物理量为实数，最终结果都应取其实部
E r ,t E0 cos k r t
E0为波的振幅，ω为波的圆（角）频率， k为波矢量，它的方向代表波传播方向， 其数值 k = 2π/λ称为波数，这里λ为波长， k r t 称为波的相位。
2. 波的相速度和群速度
电子热运动特征速度
vte Te / me
因为 n n n e 0 e1
n0 0
所以绝热状态方程 pe Tene 变为
2 2 pe 3mevte ne 3mevte ne1
等离子体色散关系的理论研究
ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ ａｌ ｅ ｏｂｔａｉｎｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｌａｓｍａｓ
ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ
ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ
Ｆｅｒｍｉ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｅｖａｌｕａｔｅｄ
Ｍａｘｗｅｌｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
长春理工大学硕士（或博士）学位论文原创性声明
对相对论性麦氏分布等离子体中色散关系的研究，首先从等离子体的动理论出发， 对其色散方程进行了数值分析，结果表明：利用数值计算的方法可以弥补解析结果的 不足，并且得到了不同条件下的色散曲线。
同样从动理论出发，对相对论性费米分布的等离子体色散关系进行研究，分别得 到纵波和横波的色散关系的解析结果。但是理论解析的色散曲线由于受到近似的限制， 出现了不连续性，进而采用数值求解的方法得到完整的色散曲线。
ｏｎ ｔｈｅ ｋｉｎｅｔｉｃ ｏｆ ｐｌａｓｍａ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｗａｖｅ ａｎｄ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｗａｖｅ
ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｂｕｔ ｔｈｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｄｕｅ ｔｏ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｓ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｆｕｌｌ
本人郑重声明：所呈交的硕士（或博士）学位论文，《等离子体色散关系的 理论研究》是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
双离子成份等离子体的离子声色散关系
双离子成份等离子体的离子声色散关系摘要：等离子体是一种由带电粒子和中性粒子组成的物质，它的性质和行为与传统的气体和固体材料有很大的不同。
离子声色散是研究等离子体中离子振动和声波传播的重要方法之一。
本文介绍了双离子成份等离子体的离子声色散关系，讨论了离子声色散在等离子体中的应用，以及未来的研究方向。
关键词：等离子体，离子声色散，双离子成份，声波传播引言等离子体是一种由带电粒子和中性粒子组成的物质，它的性质和行为与传统的气体和固体材料有很大的不同。
等离子体广泛存在于自然界和工业应用中，如太阳、星际空间、火焰、等离子体切割、等离子体喷涂等。
由于其独特的物理性质和广泛的应用价值，等离子体的研究一直是物理学、化学、材料科学等领域的热点之一。
离子声色散是研究等离子体中离子振动和声波传播的重要方法之一。
在等离子体中，离子振动是一种重要的物理过程，它不仅影响等离子体的稳定性和动力学行为，还对等离子体中的能量传输、辐射和化学反应等过程产生重要影响。
离子声色散是一种通过测量离子振动频率和波矢之间的关系来研究等离子体中离子振动的方法。
离子声色散的研究不仅可以深入了解等离子体的物理和化学性质，而且还可以为等离子体在能源、材料、环境等领域的应用提供理论指导和技术支持。
本文主要介绍了双离子成份等离子体的离子声色散关系，讨论了离子声色散在等离子体中的应用，以及未来的研究方向。
一、双离子成份等离子体的离子声色散在等离子体中，离子振动可以分为单离子振动和双离子振动。
单离子振动是指离子在等离子体中的自由振动，其频率和波矢之间的关系可以通过离子声色散曲线来描述。
而双离子振动是指两个离子之间的相对振动，其频率和波矢之间的关系可以通过双离子声色散曲线来描述。
双离子振动在等离子体中具有重要的物理意义，它不仅影响等离子体的稳定性和动力学行为，而且还对等离子体中的能量传输、辐射和化学反应等过程产生重要影响。
在双离子成份等离子体中，离子声色散关系可以通过双离子声色散方程来描述：$$omega^2=omega_{p1}^2+omega_{p2}^2+frac{e^2}{m_1m_2}frac{k^2}{epsilon_0(epsilon_1+epsilon_2)}frac{1}{1+frac{omega^2}{ omega_{c1}^2}+frac{omega^2}{omega_{c2}^2}}$$其中，$omega$是双离子振动的频率，$omega_{p1}$和$omega_{p2}$分别是两种离子的等离子体频率，$e$是电子电荷，$m_1$和$m_2$分别是两种离子的质量，$k$是波矢，$epsilon_0$是真空介电常数，$epsilon_1$和$epsilon_2$分别是两种离子的介电常数，$omega_{c1}$和$omega_{c2}$分别是两种离子的洛伦兹频率。
表面等离子体波色散曲线
等幅面
z
等相面
dm
1
1 n K sin 2 2 n1
2
倏逝波的应用
近场光学 显微镜
倏逝波
光纤倏逝波 生物传感器 表面等离子 体光学器件
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3.什么是等离子体？
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3.什么是等离子体？
固体
液体
气体
水汽
等离子体
电离气体
冰
水
00C
2 2 n2 2 2 2 n2 2 K K sin K sin n n1 1
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证明
由于全反射时
n2 2 sin n1
2
2
于是可将上式改写为
n n K'' z iK sin 2 2 i 式中 K sin 2 2 E'' n1 n1
n2 sin n1
实验表明，在发生全反射时，光波并不是绝对地在界面上被 全部反射回n1介质，而是透入n2介质很薄的一层表面（约一个 波长）并沿着界面传输一段距离（波长量级），最后返回n1介 质。这种存在于 n2 介质中的界面附近的表面波，称为倏逝波 （衰逝波、渐消波、消逝波、隐失波）。
证明??
表面等离子体共振现象与应用 的探究
湖州师范学院
吴平辉
1. 表面等离子体共振简介
2. 从电磁理论探究全反射 3. 表面等离子体共振原理 4. 表面等离子体共振应用
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一、表面等离子体共振简介
表面等离子体共振（Surface plasmon resonance ，SPR ）， 又称等离子激元共振，是一种物理光学现象。
论等离子体对电磁波的作用
论等离子体对电磁波的作用摘要：本文综述了等离子体的震荡特性，并讨论了电磁波在等离子体内传播的特性和等离子体对电磁波的折射作用关键词：等离子体频率电磁波色散等离子体是一种大部分原子被电离的气体，其中电子和离子是独立自由的。
等离子体是一种集体效应比碰撞效应占优势的电离气体。
当温度足够高时气体会发生电离。
碰撞中电离和复合之间的平衡如下图：、原子发生电离需要达到一个阀值能量，而复合则不需要，但是复合比电离发生的可能性要小得多。
这个阀值为电离能量（13.6eV）。
等离子体是“物质的第四态”，它是由许多可流动的带电粒子组成的体系。
在自然界中99%的物质是以等离子体状态存在的。
地球就是被一弱电离的等离子体（即电离层）所包围。
太空中的一些星体及星系就是由等离子体构成的，如太阳就是一氢等离子体球。
也可以在实验室中采用放电方法使不同的气体产生等离子体。
用于材料表面改性或合成新材料的等离子体，一般都是由低气压放电产生的。
等离子体的实例有：①气体放电：荧光，火花间隙，电弧，焊接，光源，受控核聚变。
②电离层：地球周围的电离带。
③行星际介质：行星和恒星的磁圈，太阳风。
④恒星物理学：恒星，脉冲星，辐射过程。
⑤气体激光器：等离子放电泵浦激光：CO2，He，Ne，HCN。
一、等离子体特性等离子体的状态主要取决于它的化学成分、粒子密度和粒子温度等物理化学参量，其中粒子的密度和温度是等离子体的两个最基本的参量。
对于实验室中采用气体放电方式产生的等离子体主要是由电子、离子、中性粒子或粒子团组成的。
因此，描述等离子体的密度参数和温度参数主要有：电子的密度n e 和温度T e 、离子的密度n i 和温度T i 以及中性粒子的密度n g 和温度T g 。
在一般情况下，为了保证等离子体的宏观电中性，要求等离子体处在平衡状态时，电子密度近似地等于离子密度n e ≈ n i = n 0。
可以用参量“电离度”ge e n n n +=η 来描述等离子体的电离程度。
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离子通道引导电子束传输系统中的电磁特性研究李海容唐昌建（四川大学应用物理系，成都）摘要：考虑离子通道引导电子束传输系统中高速运动电荷群扰动的介质效应，得到对应的介电张量、横向和纵向场分量的关系及纵向场分量满足的亥姆霍兹方程。
采用等效介电张量和纵向分量法处理了离子通道引导电子束传输系统在相对于电子束静止的参考系中的横电和横磁模式情况，得到了对应的色散方程。
利用得到的色散方程，对弱离子通道和强离子通道两种情况下的色散关系进行了数值计算，分析了电子束的空间电荷波、betatron振荡波和电磁波的频率分界。
关键词：相对论电子束，离子通道，等效介电张量，色散关系一、引言相对论电子束在离子通道中运动会产生类似于电子束在轴向磁场中运动的聚焦效果[1-3]，因此，目前普遍认为离子通道可以取代轴向磁场成为一种新型相对论电子束输运方法。
离子通道的形成有多种方式，可以直接由相对论电子束在低压气体中将气体电离成等离子体并几乎同时排开电子形成[4]，也可以由相对论电子束注入预先形成的等离子体中形成[5]。
当考虑电磁波在其中的传输和与电子束的相互作用时不同的形成通道方式会遇到不同的波导特性。
本文将研究由相对论电子束注入预先形成的等离子体中形成的离子通道结构的电磁特性。
二、理论方法如图1所示，在均匀冷等离子体充满的波导结构中，沿着轴向注入的电子束在与其共轴的离子通道中做相对论运动，就组成了本文将要处理的离子通道引导电子束传输系统。
（1区）4区）图1 离子通道引导电子束传输系统截面图在实验室参考系和相对于电子束静止的参考系下都可以研究此系统的电磁特性。
由于等离子体的存在无论在哪一个参考系中不可避免的会遇到高速运动的电荷群，我们考虑将高速运动的电荷群等效为电介质，利用纵向分量法讨论此系统在TM 和TE 模式下的包括空间电荷波（SC-Mode ）、betatron 振荡波（Be-Mode ）和电磁波的电磁特性。
本文在相对于电子束静止的参考系下处理。
可以将扰动场的真空maxwell 方程组等效为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅⋅∇⋅-=⨯∇=⨯∇0~0)~(~~~~0B E E i B B i E εεωμω （1）考虑近轴处的冷电子束并忽略电子束形状的变化，得到静止电子束的等效介电张量1,101,1,000000r r r z εεεεε⊥⊥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 其中，()21,2221(/2)/er i e ωεωγωωγ⊥=-⎡⎤--⎣⎦，21,21e r z ωεω=-，220e e e n e m ωε=，ω为空间电荷波、betatron 振荡波或电磁波的频率，0ε为真空介电常数，e m 为电子的静止质量，γ为相对论因子，e n 为相对于电子束静止的参考系中的电子束密度，它和实验室参考系中电子束密度l e n 的关系为l e e n n γ=。
扰动场的横向分量可由纵向分量表示为1112111121111,1221111,122111ˆ1ˆ1ˆ11ˆr z z z z z z r z z r z z z r z E ik E i B r r r i E k E i B r r i B ik B E r r r c B ik B i E r r c θθωθωθθωεθωεθθ⊥⊥⎧∂∂⎡⎤=+⎪⎢⎥∂∂T ⎣⎦⎪∂∂⎡⎤⎪=-⎢⎥⎪∂∂T ⎪⎣⎦⎨∂∂⎡⎤⎪=-⎢⎥⎪∂∂T ⎣⎦⎪∂∂⎡⎤⎪=+⎢⎥∂∂⎪T ⎣⎦⎩ （3） 其中z k 为扰动场的纵向相移常数。
纵向分量满足方程组221112211100z e z z m z E E B B κκ⊥⊥⎧∇+=⎪⎪⎨⎪∇+=⎪⎩（4） 其中()2222222222222122222222e e e i e z i e e i e k c ωωωγγωωωωωωωγγκωγωωωωγ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪-------⎢⎥ ⎪ ⎪⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎣⎦=⎛⎫--- ⎪⎝⎭ （5）22222222222211222222e e i e z i m e i k c ωωωγγωωωωωγγκωγωωγ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪------⎢⎥ ⎪ ⎪⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎣⎦=T =⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （6）沿z 轴负向运动的均匀冷等离子体的等效介电张量3,3,303,3,23,3,313200r r l rr r l r l r r l z z i i i i θθεεεεεεεεεε⊥⊥⊥⎛⎫∇ ⎪=∇ ⎪ ⎪∇∇+∇⎝⎭ （7） 其中，23,21pr ωεω⊥=-，23,2()p r l z c ck ωβεωβω-=+，23,3,13,2r z r z r z εεε⊥=+∇，2223,12()/()z p r z z ck ck ωβωγεωβ+-=+，2223,222()pr z z c ck ωβεωβω=+， 211/βγ=-，220pe p e n e m ωε=为实验室参考系中的等离子体电子频率， pe n 为实验室参考系中的等离子体的电子密度。
扰动场的横向分量可由纵向分量表示为()233,33223233,33223333,3,3223333,2311ˆ1ˆ1ˆ11r z r l z z z r l z z rz z r z r l z z z r E k i E i B r r r c i E k E i B r r c i B ik B k E r r r c B ik B r θθωεωθωεωθθωεεθεθ⊥⊥⎡⎤⎛⎫∂∂=-+⎢⎥ ⎪∂∂T ⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪∂∂T ⎢⎥⎝⎭⎣⎦∂∂⎡⎤=--⎢⎥∂∂T ⎣⎦∂=+∂T ()3,32ˆz r l z k i E r c ωεθ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∂⎡⎤-⎪⎢⎥∂⎣⎦⎪⎩ （8） 纵向分量满足方程组223332233300z e z z m z E E B B κκ⊥⊥⎧∇+=⎪⎪⎨⎪∇+=⎪⎩（9） 其中222222233332pe m z k Τc ωωκκκ-===-= （10）三、色散方程1．TM 模式各区对应的的纵向分量满足波动方程：22111222222233322444000z e z z z z z z z E E E E E E E E κκκκ⊥⊥⊥⊥⎧∇+=⎪⎪⎪∇+=⎪⎨⎪∇+=⎪⎪∇+=⎪⎩（11） 其中2222222T =-=z k c ωκ（12） 2222442r z k c ωκε=-=T（13） 波动方程的解可以写成()[]()[]()[]()111222323435346474()()()()()()()z z z z i k z t z n e i k z t z n n i k z t z n n i k z t z n n E A J r e EA J r A N r e E A J r A N r e E A J r A N r e ωωωωκκκκκκκ----⎧=⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪=+⎪⎩（14） 同时，电磁场应该满足边界条件121223233434142,(),(),()0,()z z z z z z z E E B B r a E E B B r R E E B B r r E r r θθθθθθ⎧===⎪⎪⎪===⎪⎨⎪===⎪⎪==⎪⎩（15） 这里考虑条件12r r ≈，可以得到色散方程：122331222133132211223311221331222()(,)(,)(,)(,)()(,)(,)(,)(,)n e n e J a c F R r Fa R F R r F a R c J a c F R r F a R F R r F R a κκκκκκκκκκκκκκκκκκ-=+ （16） 其中211211,e r c κκε⊥T=，223,3,3()r z r l c k κεεκ⊥=-，且有123(,)()()()()(,)()()()()(,)()()()()n n n n n n n nn n n n F x y J x N y N x J y F x y J x N y N x J y F x y J x N y N x J y ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ （17）2．TE 模式各区对应的的纵向分量亥姆霍兹方程为：22111222222233322444000z m z z z z z z z B B B B B B B B κκκκ⊥⊥⊥⊥⎧∇+=⎪⎪⎪∇+=⎪⎨⎪∇+=⎪⎪∇+=⎪⎩（18） 亥姆霍兹方程的解可以写成()[]()[]()[]()111222323435346474()()()()()()()z z z z i k z t z n m i k z t z n n i k z t z n m n m i k z t z n n B C J r e BC J r C N r e B C J r C N r e B C J r C N r e ωωωωκκκκκκκ----⎧=⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪=+⎪⎩（19） 满足以下边界条件121223233434142,(),(),()0,()z z z z z z B B E E r a B B E E r R B B E E r r E r r θθθθθθθ⎧===⎪⎪⎪===⎪⎨⎪===⎪⎪==⎪⎩（20） 考虑到条件12r r ≈，可得到色散方程：122331222133132211223311221331222()(,)(,)(,)(,)()(,)(,)(,)(,)n m n m J a c F R r F a R F R r F a R c J a c F R r F a R F R r F R a κκκκκκκκκκκκκκκκκκ-=+（16） 其中211κκm c =以及223c κκ=。
四、数值结果分析1．弱离子通道和强离子通道选取不同的离子通道的参数，其通道可以具有不同的电磁特性。
为了指示通道的物理结构与不同特性的关系，将通道划分为两种：空间电荷效应大于betatron 震荡效果的弱离子通道，以及betatron震荡效果大于空间电荷效应的强离子通道。
注意到，当满足/i e ωω=衡，恰可以保持不变的束形传输；当满足/i e ωωbetatron 振荡的频率刚好相等；当满足/i e ωω两种通道并分别选取参量数值计算如下：i．/i e ωω时，为弱离子通道情况。
选择计算参数值为：4γ=，/ 1.2e R c ω=，//0.75i p R c R c ωω==，/0.5a R =，1/5r R =。
如图2所示。
ii．/i e ωω时，为强离子通道情况。