6气体分子的平均碰撞频率及平均自由程
解答：根据公式
1
2n d 2
dengyonghe1@
质量一定，体积保持不变，则气体的分子数 密度 n 也不变，
1
2n d 2
平均自由程也不变。
讲解例题：P343，Example10.7
dengyonghe1@
第六节
气体分子的平 均碰撞频率及
平均自由程
dengyonghe1@
一、平均碰撞频率
发难:分子运动论佯谬 在常温下，空气分子速率 400~500米/秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的 同学立刻就可闻到香水味。但实际需要 1~2 分钟才能 闻到，扩散与分子速率102m/s矛盾.
解释: 实际上由于 分子激烈的热运动，不 断地和其它分子碰撞， 分子不是走直线，而是 折线。
Z 2n d 2 v
例：求空气在27ºC、1atm下平均碰撞频率是多少？ （空气分子直径为310-10m ）
解：由 P nkT 有
n
1
.
1.013 38 10
10 -23
5
300
n P kT
2.45 10 25 m -3
dengyonghe1@
由
v 8RT
气分子直径为310-10m ）
解：标准状态
T0 273 K , P0 1.013 105 Pa
dengyonghe1@
kT
2d 2P
1.38 10 -23 273
2 (3 10 -10 )2 1.013 10 5
9.3 10 -8 m
问题：一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加 时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，平均 自由程如何变化？
平均自由程= 分子在1秒内平均路程 1秒内平均碰撞次数
即
v
Z
v
2n d 2 v
1
2n d 2
dengyonghe1@
平均自由程
1
2n d 2
由 n P kT
平均自由程
kT
2d 2P
P245；表8.3给出 了不同压强下分 子的平均自由程
例1：求空气分子在标准状态下的平均自由程。 （空
dengyonghe1@
建立模型
跟踪一个分子，设分子是直径为d的弹性小球
1.以直代曲，将分子运动的折线用直线来代替。 2.以静代动，认为跟踪的分子运动，其它的分子静止。 3.以相对速率u与其它分子发生弹性碰撞。 4.作直径为2d长为u的圆柱体（1秒钟分子运动的距 离），体内的气体分子数密度为n。
M
v
8 8.31 300
29 10 -3
468 m/s
代入平均碰撞频率公式
Z 2n d 2 v
Z 2 (3 10 -10 )2 468 2.45 1025
4.58 亿次/秒
dengyonghe1@
二、平均自由程
分子相邻两次碰撞之间的平均距离。
由统计观点可知，分子在各个方向发生碰撞的概率是相 同的，分子在0º~180º发生都可以发生碰撞，平均起来 碰撞v
两分子相互垂直碰撞的平均相对速率为：
u 2 v2 v2 2v2
dengyonghe1@
u 2v
代入平均碰撞频率
Z n d 2 u
dengyonghe1@
质心位于圆柱体 内的分子数，跟 踪的分子都能和 它发生碰撞。则 圆柱体内的分子 数，
2d d
n u
即为分子1秒钟的碰撞次数----平均碰撞频率。
Z nV 体 n d 2 u
5. v 与 u 的关系
建立平均速率与平均相对速率的关系。
dengyonghe1@
合集下载
大学物理-4-6分子的平均碰撞次数和平均自由程
(2) 若温度不变，气压降至 少﹖
时，分子自由程变为多
解：标准状态下，分子数密度
再求平均速率 : 得
(2) 由
公式可知，当 T 不变时可得
此时 已近 0.5 m 左右，比普通容器（如真空管） 的线度大得多，因而分子在两器壁间飞行时，很少 与其它分子碰撞，此即为真空状态。
容器的线度l << 时
实际分子的平均自由程就是容器的线度l 与压强无关 微观上的真空
分子平均碰撞次 数
Z 平均2自由π程d与2 平v均n 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关。 p nkT
v
z
1 2π d 2n
T一定时 1
p
p一定时 T
例1：（1）如果理想气体的温度保持不变，当压强 降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由 程为原来的多少？（2）如果压强保持不变，温度降 为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由程 又为原来的多少？
解 Z 2d 2vn ，
n p kT
v 8RT
M mol
，
Z 2d 2
8RT p 16R d 2 p
，
Mmol k T
kT
kT 2d 2 p
（1）Z1
Z0 2
， 1（ 22）0
Z1 2Z0
2
1 2
0
例2 已知氮分子的有效直径为
，求：
(1) 标准状态下，氮分子的平均碰撞频率和平均自由程。
第六节分子的平均碰撞次数和 平均自由程
分子碰撞的引入：
分子热运动速率很大，平均 速率可达几百米/秒，而扩散 运动却进行得很慢。
克劳修斯为了说明这个问题，提出了分子碰撞次数与 自由程的概念。
研究碰撞的意义：
气体分子的平均自由程和碰撞频率
B A
平均碰撞频率：每个分子平均在单位时间与其他
分子相碰的次数平均值，用 z 表示。
平均自由程与平均碰撞频率之间的关系为：
vt v
zt z
首页
Байду номын сангаас
上页
下页
末页
退出
二、平均自由程与平均碰撞频率之间的关系
简化模型 （1）分子为刚性小球；
（2）分子有效直径为 d （分子间距平均值）；
（3）其他分子皆静止，某一分子以平均速率 u 相
首页
上页
下页
末页
退出
【例题7–4】计算空气分子在标准状态下的平均自 由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.5×10-10m 。 已知空气的平均分子量为29。
解： T 273K P 1.0atm 1.013105 Pa
d 3.51010 m
kT
2πd 2P
1.38 10 23 273 1.41 3.14 (3.510 10 ) 1.01105
6.9 10 8 m
首页
上页
下页
末页
退出
v 8RT 448m / s πM mol
z
v
448 6.9 108
6.5109 / s
首页
上页
下页
末页
退出
首页
上页
下页
末页
退出
问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率） 达几百米每秒。为什么在几米远的地方，打开酒精瓶塞， 需几秒甚至更长的时间才能嗅到酒精味 ?
首页
上页
下页
末页
退出
一、分子的平均自由程和平均碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
分子碰撞频率和平均自由度
过程看作弹性碰撞过程,两分子质心间的最小
距离(d)的平均值看作分子直径,这直径只是分 子有效直径,并非分子真正大小.
r0
r
f斥
d
µKH2g/=m2o×l 10−3 d=2.0 ×10-10 米
v = 8RT = 1.73×103米/秒
πµ
n = p = 2.69 ×1025 个/米3 kT
则λ =
1
2πd
2n
=
2.14
×10−7
(米)
Z = v = 7.95×109 次/秒
λ
讨论
(1)研究分子碰撞的意义: 由于气体分子间有碰撞,可是气体由非平衡态至平衡态.如:气 体内各部分温度不同,分子碰撞交换能量,可使温度一致.分子 碰撞决定气体扩散,内摩擦,热传导等过程进行的快慢.
定了气体的扩散 ,热传导,内摩擦等过程进行的快慢.
(二) λ Z 间的关系
v ----气体分子运动的平均速度,即每秒走过的平均距离.
Z -故(-1-)-,气气λ体体或分分Z子子平平与气均均体自每所由秒出程碰的:撞状态次有数λ关.=,如Zv气体单位体积内分子
数n大,分子碰撞的机会多.
(2) λ 或 Z 与气体种类(或性质)有关,分子直径大,碰撞机会多.
地球海平面 p=1大气压=
帕,
T=237K
此时 1.01=31×0-710米5
{ 地面上空(100公里处) p=0.133帕,
=1米λ
地面上空(300公里处) p=
帕
=10米λ
1.33×10−5 λ
(2)p一定时,T增加, λ 增大.
例:H2在标准状态下
Z = 7.95×10次9 /秒
p=1大气压= 1.013×105 帕 T=237K
平均碰撞频率和自由程
(2)
(1)
dS V
V2 d V pdV V2 R R ln 0 V 1 T V V1
20
实际气体的性质
一. 实际气体的等温线
实际气体的等温线 可以分成四个区域
汽态区(能液化) 汽液共存区 液态区 气态区(不能液化)
CO 2 等Байду номын сангаас线
从图中的曲线可知
只有在较高温度或低的 压强时，CO2气体的性 质才和理想气体相近。
u 运动，其它分子都看作静止不动。
3
单位时间内与分子 A · 发生碰撞的分子数为 平均碰撞频率为 ·
n π d 2u
Z n π d 2u
考虑到所有分子实际上都在运动，则有 u ·
2v
Z 2 nπ d 2v
用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为
p p 2 8 RT Z 2 nπ d v 2 πd kT πM T
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
2
4
二. 分子的平均自由程
分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程。
v 1 λ 2 Z 2πd n
用宏观量 p、T 表示的分子平均自由程为
k T T λ 2 2π d p p
(1)
dS V
V2 d V pdV V2 R R ln 0 V 1 T V V1
20
实际气体的性质
一. 实际气体的等温线
实际气体的等温线 可以分成四个区域
汽态区(能液化) 汽液共存区 液态区 气态区(不能液化)
CO 2 等Байду номын сангаас线
从图中的曲线可知
只有在较高温度或低的 压强时，CO2气体的性 质才和理想气体相近。
u 运动，其它分子都看作静止不动。
3
单位时间内与分子 A · 发生碰撞的分子数为 平均碰撞频率为 ·
n π d 2u
Z n π d 2u
考虑到所有分子实际上都在运动，则有 u ·
2v
Z 2 nπ d 2v
用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为
p p 2 8 RT Z 2 nπ d v 2 πd kT πM T
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
2
4
二. 分子的平均自由程
分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程。
v 1 λ 2 Z 2πd n
用宏观量 p、T 表示的分子平均自由程为
k T T λ 2 2π d p p
分子平均碰撞次数和平均自由程
p 1.33 103 n 3.21 1017 m 3 kT 1.38 1023 300
1 1 2 2π d n 2π (3 1010 ) 2 3.21 1017
7.79 m
在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不 断地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程 就应该是容器的线度。 即
分子的平均碰撞次数和平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什 么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
一 平均碰撞次数
Z
碰撞频率： 指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数Z。 平均碰撞频率： 一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值
z n d u
理论证明：气体分子的平均相对速率 u 与平均速率 v 间有
u 2v
z 2nd 2 v v 1 z 2 d 2n
（１） 这说明：平均自由程 与分子数密度 （２）对于理想气体
n成反比。
p p nkT 即 n kT
2 kT 2 d v P 2 d 2 P 或 z kT
说明
1 P
，即真空度越高， 越大。
的数量级是 10-7m，是分子有效直径的 1000 倍。 -1 9 z 的数量级是 10 秒 ，即一秒种要碰撞几十亿次。
-2 -3 例 真空管的线度为 10 m ，其中真空度为 1.33× 10 Pa 。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m 。
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 解 由气体的状态方程, 有
102 m
分子的平均碰撞频率和平均自由程
第21讲 分子的平均碰撞频率和平均自由程 习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。
重点与难点重点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
难点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动，频繁碰撞。
每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。
但对大量分子，从统计的角度看，每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。
7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统，一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。
根据简化的气体分子模型，同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球，设想跟踪一个气体分子A ，为简化计算起见，首先假定其它分子不动，A 分子以平均相对速率u 接近其它分子，那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中，它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的，都将与A 分子相碰（图7-11）。
如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴，以分子有效直径d 为半径作一圆柱体（该圆柱体体积为2πd u ）。
质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。
设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ，亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。
所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中，，2πd σ=称为分子的碰撞截面。
考虑所有分子同时以平均速率υ运动，分子间平均相对运动速率为υ2=u ， 故2Z d n υ=(7-23)上式表明，分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比，也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。
7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。
气体分子的平均自由程输运过程的宏观规律输运过程的微观解释
一.热传导现象的宏观规律
热传导是热传递的三种方式(热传导.对流.热辐射)之一,它是当气体各处温度不均匀时 热量由温度高处向温度低处输运的过程.
1. dQ dS 2. dQ dt 3. dQ dT dz z0
2
2
在 T = 300K 时：
气体 J (10-46kgm2 )
2 kT
J
(s1)
H2 O2 N2 CO 2
0.0407 1.94 1.39 1.45
3.19× 1013 4.62 × 1012 5.45 × 1012
5.34× 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
§2. 输运过程（transport process）
vt v 1
p nkT
Zt Z 2d 2n
二. 平均碰撞频率与平均自由程的关系
理想气体，在平衡态下，并假定：
kT
2d 2 p
（1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球； （3）被考虑的分子以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
3
dz z0
3
例5-2.实验测得标准状态下氢气的粘滞系数为 的平均自由程和氢气分子的有效直径.
8.5 .试10 求6 kg氢m气1s 1
解:根据
1 v 解出 ,并将, v的有关公式代入, 得
3
3 3 RT 3 RT 1.66107 (m)
气体的黏度随温度升高而增加，液体的黏度随温度升高而减少。
根据动量定理:dk=fdt,有:
dk du dSdt
dz z0
由于动量沿流速 减小的方向
06-6气体分子的平均自由程
我们需要探讨分子之间相互碰撞的规律！ 我们需要探讨分子之间相互碰撞的规律！
任一个分子在什么时间与其他分子发生碰撞 以及与哪个分子碰撞都不是我们想关心的
1 平均碰撞频率 Z
单位时间内一个分子平均 碰撞的次数
如何计算分子的平均碰撞频率呢？ 如何计算分子的平均碰撞频率呢？ 追踪一个分子A， 追踪一个分子 ，计算单位时间内与该分 子相碰的分子数
σ = πd
σ u∆t
2
时间内，分子A走过的路程 在 ∆t 时间内，分子 走过的路程 相应圆柱体的体积
u∆t
在 ∆t 时间内，分子A与 时间内， ， 设分子数密度n，该 设分子数密度分子 与 其他分子的碰撞次数 圆柱体内总分子数
nπd u ∆t
2
根据麦克斯韦速率分布 根据麦克斯韦速率分布 律，气体分子的平均相 对速率与分子的平均速率存在下列关系 平均碰撞频率
√
A. Z 和λ 都增大一倍 B. Z 和λ 都减为原来的一半 C. Z 增大一倍而 减为原来的一半 增大一倍而λ D. Z 减为原来的一半而 增大一倍 减为原来的一半而λ
u = 2 ⋅v
nπd
2
Z=
2 v ∆t 2 = nπd 2 v ∆t
2 分子的平均自由程 λ
一个分子在连续两次碰撞之间所经过的自 由路程的平均值 单位时间内分子走过的平均路程为 v 单位时间内分子与其他分子平均碰撞次数 Z 分子的平均自由程
1 v v = λ= = 2 2 2nπd Z nπd 2 v
追踪一个分子a计算单位时间内与该分子相碰的分子数分子间碰撞的简化模型把所有分子视为有效直径为d的刚性小球假设其他分子静止不动只有分子a在它们之间以平均相对速率运动以分子a的运动轨迹为轴线分子有效直为半径作一曲折圆柱体凡是分子中心在此圆柱体内的分子都会与分子a相碰圆柱体的截面积又称分子的碰撞截面设分子数密度n该圆柱体内总分子数时间内分子a与其他分子的碰撞次数根据麦克斯韦速率分布律气体分子的平均相对速率与分子的平均速率存在下列关系平均碰撞频率一个分子在连续两次碰撞之间所经过的自由路程的平均值分子的平均自由程nkt分子的平均自由程与平均速率无关与分子的有效直径及分子数密度有关当温度一定时分子的平均自由程与气体压强成反比
分子平均碰撞次数和平均自由程
第一节
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂 自由程 ： 分 子两次相邻碰 撞之间自由通 过的路程 .
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
简化模型
(1) 分子为刚性小球 .d (2) 分子有效直径为 （分子间距平均值）. (3) 其它分子皆静止，某分子以平均速率 u 相对其它分子运动 .
第十二章 气体动理论
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
碰撞时两分子质心距离的平均值称为
分子的有效直径
平均碰撞频率:分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数称 碰撞频率的倒数为 相邻两次碰撞时间
分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为
平均自由程
为分子的平均速率
可联系
进行估算
第十二章 气体动理论
3、理想气体的内能
1 mol 理想气体的内能 1 i E N A N Ai kT RT 2 2
( R N Ak )
理想气体的内能
m' i i E RT RT M 2 2
m' ( 为气体的摩尔数 ) M
试指出下列各式所表示的物理意义
1 3 i i m i (1) kT , (2) kT , (3) kT , (4) RT , (5) RT 2 2 2 2 M2
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
平均自由程
若能找出
与
的关系，则
可求
设分子 的碰撞路径ABCD长度
设气体分子数密度
则柱内分子数为
平均碰撞频率
质心在半径为 、长度为 的圆柱 体内的分子都会与 相碰。
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂 自由程 ： 分 子两次相邻碰 撞之间自由通 过的路程 .
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
简化模型
(1) 分子为刚性小球 .d (2) 分子有效直径为 （分子间距平均值）. (3) 其它分子皆静止，某分子以平均速率 u 相对其它分子运动 .
第十二章 气体动理论
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
碰撞时两分子质心距离的平均值称为
分子的有效直径
平均碰撞频率:分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数称 碰撞频率的倒数为 相邻两次碰撞时间
分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为
平均自由程
为分子的平均速率
可联系
进行估算
第十二章 气体动理论
3、理想气体的内能
1 mol 理想气体的内能 1 i E N A N Ai kT RT 2 2
( R N Ak )
理想气体的内能
m' i i E RT RT M 2 2
m' ( 为气体的摩尔数 ) M
试指出下列各式所表示的物理意义
1 3 i i m i (1) kT , (2) kT , (3) kT , (4) RT , (5) RT 2 2 2 2 M2
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
平均自由程
若能找出
与
的关系，则
可求
设分子 的碰撞路径ABCD长度
设气体分子数密度
则柱内分子数为
平均碰撞频率
质心在半径为 、长度为 的圆柱 体内的分子都会与 相碰。