stochastic processes-2

0
随 向 . 机 量
2 一维随机向量即随机变 . 量
0
3 对 n个 数 1, x2 ,L, xn , 于 实 x
0
{X1(ω) ≤ x1, X2 (ω) ≤ x2 ,L, Xn (ω) ≤ xn}
n i=1
= I{Xi (ω) ≤ xi }∈ℑ
2.分布函数 2.分布函数
F 称 (x1, x2 ,L, xn ) = P{X1(ω) ≤ x1, X2 (ω) ≤ x2 L, Xn (ω) ≤ xn} ˆ r 为 机 量 (ω) = ( X1(ω), X2 (ω),L, Xn (ω)) 随 向 X 的 布 数 分 函 .
j =1 ∞ ∞
p• j = P{ = y j } = ∑ pij , Y
i=1
j =1 2,L ,
对 一 pi• , p• j > 0, 有 于 切 在 = y j条 下 X的 件 布 为 件 ， 条 分 列 Y P{X = xi | Y = y j } = P{X = xi ,Y = y j } P{Y = y j } = pij p• j
2 连续函数、单调函数是 一元Borel函数 .
0
30 Borel函数类关于代数运算及极限运算封闭 .
2. 定 : 设 是 Ω, ℑ, P)上 r.v., g(x)是 元 理 X ( 的 一 Borel 函 ,则 = g( X )是 Ω, ℑ, P)上 r.v.. 数 Y ( 的
y 3. 推广: 设 = g(x1,L, xn )是R 到R 的一个映射 ,
n

⇔∀自 数 (2 ≤ m ≤ n)以 1≤ i1 < i2 <L< im ≤ n, 然 m 及 有 i1 ,L, Xim 相 独 X 互 立
i=1
例 . 设 X,Y) ~ N a, b,σ ,σ , r , 5 (
2 1 2 2
(
)
则 ,Y相 独 ⇔r = 0. X 互 立
1 例 . 设随机变量X ,Y相互独立 且皆以概率 取 6 , 2 值 与−1, 令Z = XY, 试证: X ,Y, Z两两独立 1 , 但不相互独立 .
n 1
若对R 中一切 Borel集B , 有 1
1
g (B ) ={( x1,L, xn ) : g(x1,L, xn ) ∈B }∈β , 1 ˆ 1 n 则称g(x1,L, xn )为n元Borel (可测函数 ) .
−1
设( X1,L, Xn )是概率空间 Ω, ℑ, P)上的随机向量 ( , , g(x1,L, xn )是n元Borel函数 则Y = g( X1,L, Xn ) 是(Ω, ℑ, P)上的随机变量 .
称 在 = x下 Y的 为 X ， 条件 分布 数 函 . f (x, y) f (x, y) 记f X|Y (x | y) = , fY| X ( y | x) = fY ( y) f X (x)
, 分 称 在 = y下 X的 件 率 度 别 为 Y 条 概 密 及 X = x下 Y的 件 率 度 在 , 条 概 密 .
x, y ∈ R
其 a, b,σ1 > 0,σ2 > 0,−1< r <1 常 ， 中 为 数 称 X ,Y)服 参 为a, b,σ1,σ2 , r的二 ( 从 数 维 正 分 ， 为 X ,Y) ~ N(a, b,σ ,σ , r). 态 布 记 (
2 1 2 2
求 缘概 密 及 件概 密 . 边 率 度 条 率 度
例 . 设随机向量( X ,Y)的概率密度为 7 g(x)h( y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d f (x, y) = 0, 其它 其中a < b, c < d为常数 g(x)在 a, b]上非负可 , [ 积 h( y)在 c, d]上非负可积 证明: X ,Y独立 , [ , .
*
Borel函数与随机变量的函数 Borel函数与随机变量的函数
1 1
1.定义: 设y = g(x)是R 到R 的一个映射 若∀B ∈β1, , 1 g (B ) ={x : g(x) ∈B }∈β,则称g(x)是一 1 ˆ 1 1 元Borel (可测 函数 ) .
−1
注：0 一元Borel函数是(R1, β1)到 R1, β1)的可测函数 1 ( .
i =1 2,L , 在 = xi条 下 Y的 件 布 为 X 件 ， 条 分 列
P{Y = y j | X = xi } =
P{X = xi ,Y = y j } P{X = xi }
=
pij pi•
j =1,2,L
称 (x | y j ) = P{X ≤ x | Y = y j } F =
i:xi ≤x
X |Y = y ~ N
σ1 a + r σ2 σ2 σ1
) (x − a),σ (1− r )).
2 1 2 2 2 2
( y −b),σ (1− r ) ,
3)联 分 决 边 分 ,反 不 立 合 布 定 缘 布 之 成 .
二、随机变量的独立性
1.定 义
1 设X1(ω),L, Xn (ω)是定义在概率空间 Ω, ℑ, P) (
§2 随机向量 随机变量的独立性
一、随机向量及其分布
1.定 : 若 X1(ω), X2 (ω),L, Xn (ω)定 在 一 率 义 r.v. 义 同 概 空 (Ω, ℑ, P)上 则 间 , 称 r X (ω) = ( X1(ω), X2 (ω),L, Xn (ω))为 个n维 一
r n 注 1 X (ω)是 个 (Ω, ℑ)到 R , βn )的 测 数 ： 一 从 ( 可 函 . r −1 r ∀Bn ∈βn , X (Bn ) ={ω : X (ω) ∈Bn} ˆ ={ω : ( X1(ω), X2 (ω),L, Xn (ω)) ∈Bn}∈ℑ
序列独立⇔ 其中任意有限个随机变量相互独立 .
r 30 记随机向量Xi = ( Xi1,L, Xini )(i =1,2,L, k) 如果∀xi1, xi 2 ,L, xini ∈R, (i =1,2,L, k)有 P{I( Xi1 ≤ xi1,L, Xini ≤ xini )}
i=1 k
r r = ∏P{Xi1 ≤ xi1,L, Xini ≤ xini },则称X1,L, Xk
−∞ −∞ +∞ +∞
称FX|Y (x | y) = P{X ≤ x | Y = y} ˆ
= lim P{X ≤ x | y − ε < Y ≤ y} ˆ
P{X ≤ x, y − ε < Y ≤ y} = lim ε →+0 P{y − ε < Y ≤ y}
ε →+0
F(x, y) − F(x, y − ε ) = lim ε →+0 F ( y) − F ( y − ε ) Y Y [F(x, y) − F(x, y − ε )] / ε = lim ε →+0 [F ( y) − F ( y − ε )] / ε Y Y
3.分布函数的性质 3.分布函数的性质
1 对任一xi , i =1,2,L, n, F(x1, x2 ,L, xn )关于xi是单
0
调增加的 .
2 对任一xi , i =1,2,L, n, F(x1, x2 ,L, xn )关于xi右连续 .
0
30 F(x1,L, xi−1,−∞, xi+1,L, xn ) = lim F(x1,L, xn ) = 0 ˆ
例.设 维 3 二 r.v.(X, Y)的 率 度 概 密 为 f (x, y)
x − a y −b ( y −b)2 1 (x − a)2 + = exp− − 2r 2 2 σ σ 2 , 2 2(1− r ) σ1 2πσ1σ2 1− r σ1 2 2 1
结论: 1)正态随机向量的边缘分布仍是正态分布 但相 , 2 2 反结论不成立 若 X,Y) ~ N(a, b,σ1 ,σ2 , r), . (
则 ~ N(a,σ ),Y ~ N(b,σ ). X
2 1 2 2
2)正态随机向量的部分分 量对另外一部分分量 的条件分布仍是正态分 . 布
( Y | X = x ~ N(b + r
⇔∀实数x1,L, xn有F(x1,L, xn ) = F (x1)LFn (xn ) 1
⇔离 型 .v. ∀一 可 值 1,L, an , 散 r 组 能 a 有 {X1 = a1,L, Xn = an} = ∏P{Xi = ai } P
i=1 n
连 型 .v. ∀实 x1,L, xn , 有 (x1,L, xn ) = ∏ fi (xi ) 续 r 数 f
0 x1 xn
度函数 .
3 概率密度函数的性质
0
(1) f (x1,L, xn ) ≥ 0
(2) ∫ L f (x1,L, xn )dx1 Ldxn =1 ∫
−∞ −∞ +∞ +∞
∂F (3) = f (x1,L, xn )(几 处 成 ) 乎 处 立 ∂x1 L∂xn
n
(4) P{a1 < X1 ≤ b ,L, an < Xn ≤ bn} 1 ∫ L f (x1,L, xn )dxn Ldx1 = ∫
∂F(x, y) ∂y =
∂ y x x f (u, v)dudv ∫−∞ ∫−∞ ∂y ∫−∞ f (u, y)du = = fY ( y) fY ( y)
dF ( y) Y dy
=∫
x
−∞
f (u, y) du（ fY ( y) > 0 设 ） fY ( y)
为 Y = y下 X的 件 布 数 在 ， 条 分 函 . y f (x, v) 同 样的 F | X ( y | x) = ∫ , Y dv 设 X (x) > 0 （ f ） −∞ f (x) X