二次函数图像变换
二次函数图像的变化规律及应用
二次函数图像的变化规律及应用引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具有丰富的变化规律和广泛的应用。
本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。
一、图像的变化规律1. 平移变换二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。
平移变换是指在坐标平面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。
通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。
2. 缩放变换缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。
缩放变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。
3. 翻折变换翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。
翻折变换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。
二、图像的应用1. 最值问题二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。
当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。
最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。
2. 零点问题二次函数的图像与x轴的交点称为零点，也叫根或解。
通过观察图像与x轴的交点，我们可以求解二次函数的零点。
二次函数的像变换规律
二次函数的像变换规律二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中有着广泛的应用。
像变换是二次函数的一种重要操作，通过对函数的像进行变换，可以获得新的函数图像。
本文将介绍二次函数的像变换规律，以帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 平移变换平移变换是将函数图像沿着坐标轴进行移动的操作。
对二次函数来说，平移变换包括水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是将函数图像在横轴方向上的移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = a(x - h)^2 + bx + c的形式，可实现水平平移。
其中，h为平移的距离，若h为正值，则向右平移；若h为负值，则向左平移。
1.2 垂直平移垂直平移是将函数图像在纵轴方向上的移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = ax^2 + bx + (c + k)的形式，可实现垂直平移。
其中，k为平移的距离，若k为正值，则向上平移；若k为负值，则向下平移。
2. 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的系数，使得函数图像在坐标轴上扩大或缩小。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，a的取值决定了函数图像的开口方向和形状，而a的绝对值的大小则影响图像的扁平或瘦长程度。
2.1 改变a的绝对值当a的绝对值越大时，函数图像越瘦长；当a的绝对值越小时，函数图像越扁平。
具体而言，当|a| > 1时，函数图像相比y = x^2更瘦长；当0 < |a| < 1时，函数图像相比y = x^2更扁平。
2.2 改变b的值对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，b的取值决定了函数图像在x轴方向上的平移。
当b > 0时，函数图像向右平移；当b < 0时，函数图像向左平移。
3. 翻转变换翻转变换是改变函数图像的开口方向，可以将上凹变为上凸，或将上凸变为上凹。
二次函数图像的变换与解析式
二次函数图像的变换与解析式二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。
在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。
首先，我们来讨论二次函数图像的变换。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。
首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。
当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0<a<1时，图像会变得更加扁平；当a<0时，图像会上下翻转。
这是因为a决定了二次函数的开口方向和大小。
其次，当b的值发生变化时，二次函数的图像会发生平移。
当b>0时，图像会向左平移；当b<0时，图像会向右平移。
这是因为b决定了二次函数图像的对称轴位置。
最后，当c的值发生变化时，二次函数的图像会发生上下平移。
当c>0时，图像会向上平移；当c<0时，图像会向下平移。
这是因为c决定了二次函数图像与y 轴的交点位置。
除了上述变换规律外，我们还可以通过组合这些变换来实现更加复杂的图像变换。
例如，如果我们希望将二次函数图像向左平移2个单位，并且同时使图像更加瘦长，我们可以将b的值设为-2，a的值设为2。
接下来，我们来讨论二次函数的解析式。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法来推导其解析式。
首先，我们将二次函数写成完全平方的形式，即y = a(x + p)^2 + q。
其中p和q 为常数，需要根据实际情况进行确定。
然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。
接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。
最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。
通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。
二次函数的变换规律
二次函数的变换规律二次函数是高中数学中的重要内容，它是一种常见的数学函数形式。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的变换规律，即通过对函数中的参数进行变化，能够改变函数的形状和位置。
在本文中，我将详细介绍二次函数的变换规律，以加深对该主题的理解。
1. 平移变换平移变换是指通过改变二次函数的平移量，使函数图像在坐标平面上上下左右移动。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在平移变换中，平移量为h和k，表示在横轴和纵轴上的平移距离。
1.1 沿x轴平移二次函数沿x轴正方向平移h个单位，相当于将函数图像向左移动h个单位；沿x轴负方向平移h个单位，相当于将函数图像向右移动h个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = a(x-h)² + bx + c，其中h代表横轴的平移量。
1.2 沿y轴平移二次函数沿y轴正方向平移k个单位，相当于将函数图像向上移动k个单位；沿y轴负方向平移k个单位，相当于将函数图像向下移动k个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = ax² + bx + (c-k)，其中k代表纵轴的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是指通过改变二次函数的参数a和导致函数图像的纵向和横向的缩放。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在缩放变换中，缩放因子为p和q，表示纵向和横向的缩放比例。
2.1 纵向缩放当缩放因子p大于1时，二次函数的图像会纵向收缩；当p在0和1之间时，二次函数的图像会纵向拉伸。
缩放后的函数可表示为f(x) = pax² + bx + c，其中p表示纵向缩放因子。
2.2 横向缩放当缩放因子q大于1时，二次函数的图像会横向拉伸；当q在0和1之间时，二次函数的图像会横向收缩。
缩放后的函数可表示为f(x) =a(qx)² + bx + c，其中q表示横向缩放因子。
3. 翻转变换翻转变换改变了二次函数图像的方向。
二次函数图像的变换
二次函数图像的变换第一环节 【知识储备】一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．第二环节 【新知探究】【问题一】 平移变换求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。
二次函数的像变换
二次函数的像变换二次函数是数学中的一种特殊函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——拱形或抛物线，且拥有一条对称轴。
在学习二次函数时，我们会涉及到像变换，即通过对函数图像进行平移、缩放或翻转等操作，从而改变函数图像的位置、大小和方向。
一、平移变换平移变换指的是将函数图像沿x轴或y轴方向进行移动，可以使图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移将函数图像沿x轴的正方向平移k个单位，可记作f(x - k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向左平移k个单位后的新函数为y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
2. 向右平移将函数图像沿x轴的负方向平移k个单位，可记作f(x + k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向右平移k个单位后的新函数为y = a(x - k)^2 + b(x - k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
3. 向上平移将函数图像沿y轴的正方向平移k个单位，可记作f(x) + k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向上平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c + k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
4. 向下平移将函数图像沿y轴的负方向平移k个单位，可记作f(x) - k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向下平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c - k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
二、缩放变换缩放变换指的是改变函数图像的大小，可以使图像变窄或变宽，变高或变矮。
二次函数图像的转化与性质
二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。
在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。
本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。
一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。
平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。
常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。
1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。
这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。
这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。
二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。
翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。
常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。
1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。
具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。
这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。
2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。
具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。
这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。
三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
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解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
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类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
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续表
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图象关系
点坐标变化
横坐标 互
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关于 轴
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为相反数，
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系数关系
不变
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本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
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二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。