二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(上)
二次函数的图像表示与解析
顶点：h, k
开口方向：a>0时 ，向上开口；a<0 时，向下开口
开口大小：|a|越 大，开口越小
二次函数的对称轴
二次函数的基本 形式为 y=ax^2+bx+c
对称轴的公式为 x=-b/2a
对称轴的几何意 义是函数图像的 对称轴
对称轴的应用可 以帮助我们理解 和分析二次函数 的性质和图像
03 二次函数的图像表示
单调递减，右侧单调递增
二次函数的对称轴为x=-b/2a
二次函数的极值点
极值点的定义：函数在某点的值大 于或小于其邻近点的值，则称该点 为函数的极值点。
极值点的性质：在极值点处，函数 的导数为0，且函数值在该点两侧 单调性发生变化。
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应用领域：经济、工程、物理等领 域中广泛涉及最优化问题，二次函 数作为基础数学工具具有重要应用 价值。
利用二次函数解决生活中的问题
计算最优化问 题：利用二次 函数求最值， 解决生活中的 资源分配、成 本预算等问题。
物理建模：在 物理现象中， 利用二次函数 描述加速度、 速度与时间的 关系，解决运
动学问题。
二次函数的极值点：对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，其极 值点x坐标为x=-b/2a。
极值点的应用：在数学、物理、工 程等领域中，极值点常用于解决最 优化问题，如最大值、最小值问题。
二次函数的零点求解
定义：二次函数的零点是指函数值 为0的x值
公式法：将二次函数化为标准形式， 利用公式计算零点
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求解方法：使用公式或图像法求解
图像法：通过观察二次函数的图像， 找到与x轴交点的横坐标
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数图像的变换与解析式
二次函数图像的变换与解析式二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。
在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。
首先，我们来讨论二次函数图像的变换。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。
首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。
当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0<a<1时，图像会变得更加扁平；当a<0时，图像会上下翻转。
这是因为a决定了二次函数的开口方向和大小。
其次，当b的值发生变化时，二次函数的图像会发生平移。
当b>0时，图像会向左平移；当b<0时，图像会向右平移。
这是因为b决定了二次函数图像的对称轴位置。
最后，当c的值发生变化时，二次函数的图像会发生上下平移。
当c>0时，图像会向上平移；当c<0时，图像会向下平移。
这是因为c决定了二次函数图像与y 轴的交点位置。
除了上述变换规律外，我们还可以通过组合这些变换来实现更加复杂的图像变换。
例如，如果我们希望将二次函数图像向左平移2个单位，并且同时使图像更加瘦长，我们可以将b的值设为-2，a的值设为2。
接下来，我们来讨论二次函数的解析式。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法来推导其解析式。
首先，我们将二次函数写成完全平方的形式，即y = a(x + p)^2 + q。
其中p和q 为常数，需要根据实际情况进行确定。
然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。
接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。
最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。
通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。
初三数学课程-第8讲-二次函数的基本解析式与图像变换(上)
初三数学：模块一 二次函数的解析式三种形式解析式一般式： __________________________________________________。
顶点式： __________________________________________________。
两根式： __________________________________________________。
【例1】⑴把函数y ＝－2x 2＋4x ＋3配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得 ，当x ＝____时，函数y 有最大值______。
⑵把函数y ＝x 2＋4x －5配方成y ＝a (x －x 1)(x －x 2)的形式为 ，当x ＝____时，y ＝0。
【例2】⑴(常德中考)已知二次函数过点A (0，－2)，B (－1，0)，5948C ，。
求此二次函数的解析式。
⑵(通州期末)已知二次函数图象的顶点坐标是(1，－4)，且与y 轴交于点(0，－3)，求此二次函数的解析式。
⑶(海淀期末)已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－2，0)、B (8，0)，与y 轴交于点C (0，－4)，求抛物线的解析式。
二次函数的基本解析式与图像变换(上)与图像变换(上)⑷当x＝3时，二次函数的最大值是1，且图象与x轴两交点之间的距离为2，求这个二次函数的解析式。
模块二二次函数的图象变换【挑战题】将y＝2x2－4x＋4的图像向上平移2个单位长度再向右平移3个单位长度，求新的图像的二次函数解析式。
一、二次函数图象的平移【例3】⑴将二次函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图象的解析式为()A．y＝2(x－1)2－3 B．y＝2(x－1)2＋3C．y＝2(x＋1)2－3 D．y＝2(x＋1)2＋3⑵(延庆期末)将抛物线y＝3x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝3(x－1)2 ＋2 ( )A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位⑶如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，二次函数y＝x2的图象记为抛物线l1。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
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解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
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类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
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续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
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关于 轴
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为相反数，
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系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质
XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程 关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为 两个一次方程的乘积，然后分别解这 两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根 ；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方 程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和 性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该 函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求 该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对 称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图 像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。
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题型一：二次函数的解析式
【引例】
如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，若OB＝OC＝3OA，则抛物线的解析式为__________。
【例1】
⑴抛物线y＝ax2－2ax＋a2－1的顶点在直线y＝x上，则抛物线的解析式为________。
⑵如图，抛物线223
y ax ax
=-+经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC。
则抛物线的解析式为___________。
二次函数的基本解析式
与图像变换进阶篇（上）
⑶设抛物线y＝-x2＋(m＋4)x－4m，其中0＜m＜4，与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0，-2)，且AD·BD＝10，求抛物线的解析式。
【例2】
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线。
(例如：y＝x2＋2x＋2)。
⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式__________。
(不必证明)
⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1
2
的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛
物线的解析式；若不存在，请说明理由。
题型二：二次函数的图象变换
【引例】
在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)。
⑴求该二次函数的解析式；
⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
【例3】
已知抛物线C1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1(a＞0，m＞1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于点P(1，3) 成中心对称。
⑴用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标；
⑵求m的值和抛物线C2的解析式；
⑶设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。
【挑战题】
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。
⑴求该二次函数的解析表达式；
⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物
线的另一个交点为C，求△ABC的面积。
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．下列说法不正确的是( )
A ．抛物线23y ax bx =+-与y 轴的交点为()03-，
B ．抛物线2221y ax ax a =-+-的对称轴为1x =
C ．抛物线()21y ax a m x ma =-++与x 轴的交点为()0m ，
和()10， D ．抛物线()2
πy a x x =+-的顶点坐标为()πx -，
2．将一抛物线向右平移4个单位后，再向上平移4个单位得抛物线y ＝x 2＋4，则平移前抛物线的解析式是( )
A ．()24y x+=
B ．()24y x =-
C ．()24y x+=-
D ．()2
4y x =--
3．已知二次函数的解析式为222y x x =-+，则该二次函数的图象经过( )的平移，可使平移后的顶点在坐标原点上。
A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
4．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若3OB OC OA ==,则抛物线的解析式为( ) A ．223y x +x =- B ．223y x +x+=
C ．223y x x+=-
D ．223y x x =--
y
x
O C
B A 5．将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y ＝的解析式是( )
A ．2818y x x =-+
B ．2818y x x =++
C ．2818y x x =--+
D ．2818y x x =--
6．如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，且与抛物线221y ax ax =--相交于
A B ，两点．则a 的值为( )
A ．12-
B ．1
2
C ．0
D ．1
7．将抛物线21y x =+向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是( )
A ．21y x =--
B ．21y x =+
C ．21y x =-+
D ．21y x =-
8．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为( )
A ．2(1)3y x =---
B ．2(1)3y x =-++
C ．2(1)3y x =--+
D ．2(1)3y x =-+-
9．把抛物线2y x bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为235y x x =-+，则下列正确的是( )
A ．3b =，7c =
B ．9b =-，5c =-
C ．6b =，3c =
D ．9b =-，21c =
10．把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，
，求p 、q 的值为( ) A ．21p q =⎧⎨=⎩，，
B ．21p q =-⎧⎨=-⎩
，，
C ．21p q =-⎧⎨=⎩，，
D ．21p q =⎧⎨=-⎩
，，
11．已知二次函数()()2
21y x a a =-+-(a 为常数)，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。
下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象。
它们的顶点
在一条直线上，则这条直线的解析式是( )
A ．y =112x
+
B ．y =1
12x -
C ．y =112x -+
D ．y =1
12x --
O
a=2a=1a=0a=-1
y
x
12．如图，已知抛物线2y ax =上的点D ，C 与x 轴上的点()50A ,-，()30B ,构成平行四边形
ABCD ，DC 与y 轴交于点()06E ,，则BC 所在直线的方程为
A ．618y x =-
B ．618y x =+
C ．618y x =--
D ．618y x =-+。