北京市海淀区北京一零一中学23届高三上学期9月月考数学含答案
北京101中学2022届高三上学期9月月考统练一数学试题(含答案).docx
2022届北京101中学高三（上）数学统练（一）一、选择题共io小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合 A = ｛y|y = 2、｝, 3 = ｛/y = Io% （1-次）｝,则A^\B=（）A. |x|-l<x<l｝B. |x|0<x<l｝C. [x\ x > ijD. 01272.数列｛%｝满足。
1。
0, a n+i =2a n（n>l）, S〃表示｛。
〃｝的前〃项和，且S n = —^~a2，则n =A. 6B. 7C. 8D. 93.△ABC中，若c = 2ocos8,则△ABC的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形4.若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（l） = 8,则/（2010）-/（2009）=.A6 B. 7 C. 8 D. 9TT 7T5.函数y = sin(2x-y)在区间［-y, 7Z-］的简图是7. 设等比数列｛%｝的前〃项和为S“,贝卜％<0”是“细<0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知y = loga （3—破）在［0,1］上是x 的减函数，则。
的取值范围是（） A.（0,1） B. （1,3） C.（0,3） D.［3,+8）9TT9. △A3C 中，内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若c? =（。
2）一+6, C = ^,则△A3C 的面积为（） A. 3B.C.巧D. 3A /3226.设/'（x ）是定义域为夫的奇函数，且/（l + x ） = /（-x ）.^/yz x x -ax + 2.x> a z x10.已知函数f(x) =〈| | ，若对于任意正数上，关于X的方程f(x) = k都I X + Cl\, X V。
恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数。
2023-2024学年北京一零一中学高三上学期统考一数学试卷含详解
北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5a B.7a C.9a D.10a 4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.127.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b > B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若2m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：243lg6lg(4)5--=___________.12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.17.已知ABC 的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞【答案】D【分析】解指数不等式求出{}0B x x =<，从而求出并集.【详解】因为0313x <=，解得0x <，故{}0B x x =<，故{}{}{}0111A B x x x x x x ⋃=<⋃-≤≤=≤.故选：D2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.【详解】2332ii i+=-，∴在复平面内对应的点的坐标为()3,2-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5aB.7a C.9a D.10a 【答案】D【分析】设出公比，利用等比数列的性质进行求解.【详解】设公比为q ，则1a q =，由等比数列的性质可知3719910a a a a a q a ===.故选：D4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =【答案】B【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()22()()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上不是单调递减，不符合题意；故A 错误；对于B ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()2211()()f f x x x x -==-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故B 正确；对于C ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()e e ()x xf x f x --===，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递增；不符合题意；故C 错误；对于D ，()|ln |f x x =的定义域为(0,)+∞，不是偶函数，不符合题意；故D 错误；故选：B.5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【分析】当=1x -时，排除A ；当1=x e 时，排除D,从而可得结果.【详解】当=1x -时，函数2ln 1xy x x=+=，所以选项A B 不正确；当1=x e 时，函数22ln 10x y x e x e ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，所以选项D 不正确，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.12【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为(2,0)a=，所以||2a =，2a b +====故选：B7.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b >B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义和不等式的性质判断即可.【详解】因为由a b >推不出22a b >，由22a b >也推不出a b >，故A 不满足题意因为33a b a b >⇔>，22a b a b >⇔>，所以B 、C 不满足题意因为由22ac bc >可以推出a b >，由a b >推不出22ac bc >所以22ac bc >是a b >的充分不必要条件故选：D8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能【答案】C【分析】由已知结合诱导公式及三角函数的单调性，可得A+B 的范围，进而可以得解.【详解】∵sin A ＜cos B ，∴sin A ＜sin 2B π⎛⎫-⎪⎝⎭∵0＜A ＜2π，2π-<2B π-<2π∴0＜A ＜2Bπ-∴0＜A+B ＜2π∴C ＞2π∴△ABC 为钝角三角形故选C ．9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据题意求出y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合正弦函数的单调性求解函数在[0,12]上的增区间.【详解】因为P 在单位圆上的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点，所以1A =，π2,4ωϕ==-，所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由πππ2π22π,Z 242k t k k -+≤-≤+∈，得π3πππ,Z 88k t k k -+≤≤+∈，因为012t ≤≤，所以3π08t ≤≤，7π11π88t ≤≤，15π19π88t ≤≤，23π27π88t ≤≤.所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，15π19π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23π27π88,⎡⎤⎢⎣⎦.故选：B10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列【答案】D【分析】A.若34a =，根据11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别对21,a a 讨论求解即可；B.若m =11,11,01n n n n n a a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别求得234,,,...a a a 即可判断；C.利用数列周期的定义运算可得；D.用反证法判断.【详解】A.若34a =，因为11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，当21a >时，2314a a -==，解得25a =，当11a >时，1215a a -==，解得16a =，当101a <<时，2115a a ==，解得115a =，当201a <<时，3214a a ==，解得214a =，当11a >时，12114a a -==，解得154a =，当101a <<时，21114a a ==，解得14a =，不合题意，故m 可以取3个不同的值，故正确；B.若m =213432111,1,1a a a a a a =-=-==+=-=，所以3n n a a +=，则数列{}n a 是周期为3的数列，故正确；C.N T *∀∈且2T ≥，若存在1m >，数列{}n a 周期为T ，不妨设1T m T -<<，则1a m =，21a m =-…()121,2T m T a -=-+∈，()10,1T m T a =-+∈，则1111T T a m T a +==-+，又11T m a a +==，所以11m m T =-+，即()2110m T m ---=，因为0m >，故解得m =，1112T T T -+->=-，112T T T -++<=，故N T *∀∈且2T≥，存在m =，使得数列{}na 周期为T ，故正确；D.假设存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列，当2m =时，2132111,1...(2)n a a a a n a =-=====≥，此时，数列{}n a 不是周期数列，当m>2时，当01m k <-≤时，11k a a k m k +=-=-，21111k k a a m k++==>-，若2k i a a +=，11i k ≤≤+，则()11m i m k=---，即2(1)10m m k i ki k -+-+--=，而()2(1)41k i ki k ∆=+----不为平方数，因此假设不正确，故数列{}n a 不是周期数列，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查数列的周期性，还考查了分类讨论的思想和逻辑推理的能力，属于难题.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：3lg6lg 5-=___________.【答案】1-【分析】根据对数运算法则以及指数幂的运算化简即可求得结果.【详解】()114443lg6lg lg 6lg101612121535--=⨯-=-=-=-⎛⎫⎪⎝⎭=- .故答案为：1-12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.【详解】由于()f x 在(],0-∞上是减函数，且()f x 为偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上是增函数，若()()12f a f a ->-，则12a a ->-，平方可得222144a a a a -+>-+，解得32a >，故答案为：3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.【答案】①.4②.π3-【分析】由三角函数图象性质可知5ππ11262T -=，可求得4ω=，再利用图象的对称性可计算出ϕ的取值.【详解】由图利用对称性可知，5ππ112ππ12622T ωω-==⨯=，解得4ω=；又0π,6y ⎛⎫ ⎪⎝⎭和0π,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，所以πsin 03ωϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭；即4ππ,Z 3k k ϕ+=∈，解得4ππ,Z 3k k ϕ=-∈；又π2ϕ<，所以1k =，π3ϕ=-符合题意.故答案为：4，π3-14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.【答案】2-【分析】将CP分解计算，利用向量数量积的运算即可得解.【详解】()CP AB CA AP AB ⋅=+⋅ CA AB AP AB =⋅+⋅4AP AB =-+⋅ cos 4AP AB BAP =⋅⋅∠-12cos 4BAP =⨯⨯∠-242≤-=-.故答案为：2-.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当0=t 时，()()()22e xy f x g x x x ==-，则()22e xy x '=-，由0'<y可得x <<，由0y >'可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =-的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =->，当02x <<时，()22e 0xy x x =-<，故函数()22e xy x x =-在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，令()e 1xh x x =-+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=->，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0x h x x h =-+≥=>，则e 1e 0x x -≤-<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=-+-+≥可得()22e2e 1xxx t x -≥-+，构造函数()()22e e 1xxx p x x -=-+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x xxx x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+，令()2442e x q x x x =-+-，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=--<，所以，函数()q x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减，()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对；对于③，()()22e xy f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，10x y ==-'< ，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减，当0x x >时，0y >' ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；对于④，令()22e xu x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，由③可知，函数()22e 1xu x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =->，所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.【答案】（1）21,(N )n a n n *=-∈;（2）15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可求解；（2）由等比中项的性质即可求解.【小问1详解】因为2512a a +=，所以3412a a +=，而3435a a =，所以3457a a =⎧⎨=⎩或3475a a =⎧⎨=⎩，又因为公差大于0，所以3457a a =⎧⎨=⎩，得2d =，所以3(3)21n a a n d n =+-=-.即21,(N )n a n n *=-∈【小问2详解】21((121)22)n n n a a n n S n ++-===，所以2m S m =，23a =，若m S ，2a ，i a 成等比数列，则有22m i S a a =⨯，即29i m a ⨯=，又因为,*m i ∈N ，且*i a ∈N ，所以219i m a ⎧=⎨=⎩或291i m a ⎧=⎨=⎩，解得15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.17.已知ABC的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.【答案】（1）若选①：2b =，c =8b =，c =；（2）若选①：429；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【小问1详解】若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C =，∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，∴c =；若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，42sin 9B ==，∵21142sin 229S ac B c ==⨯=，∴a c ==，由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；【小问2详解】若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，可得62sin sin A B =，∴sin 3A =，6sin 9B =，∵,(0,2A B π∈，∴3cos 3A =，cosB =，∴sin()sin cos cos sin 39399A B A B A B -=-=⨯⨯.若选择条件②：由正弦定理得sin sin a bA B=，∴1sin sin 3a A Bb ==，∵(0,2A π∈，∴cos 3A ==，∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯---．18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）最大值为3，最小值为0（2）答案见解析.【分析】(1)对函数求导，判断函数的单调性，根据单调性求函数的最值；(2)对函数求导，求出导函数的零点为12,3ax x a ==，对两根的大小进行分类讨论，根据导函数的值的符号，得到函数的单调区间.【小问1详解】解：（1）当2a =时，32()44f x x x x =-+，2()384f x x x '=-+()(32)(2)f x x x '=--，令()0f x '=得，23x =或2x =.当x 在区间[1,3]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表x(1，2)2(2，3)()f x '-+()f x 单调递减0单调递增因为(1)1,(3)3f f ==，所以()f x 在区间[1,3]上的最大值为3，最小值为0.【小问2详解】（2）22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=得，3ax =或x a =，当0a =时，2()30f x x '=≥，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当0a >时，3aa <，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)3a -∞3a (,)3a a a (,)a +∞()f x '+-+()f x 单调递增3427a 单调递减0单调递增所以()f x 的单调递增区间为(,3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，3aa >，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)a -∞a (,)3a a )3a (,)3a+∞()f x '+-+()f x 单调递增0单调递减3427a 单调递增所以()f x 的单调递增区间为(-∞，a )，(3a ，+∞)；()f x 的单调递减区间为(a ，3a ).综上所述：当0a =时，所以()f x 的()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间.当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(,)3a +∞；()f x 的单调递减区间为(,3a a .19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.【答案】（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π.【分析】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出3sin 2,132π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.【详解】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，Z k ∈.所以42233ππkπx kπ+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14sin cos sin 22x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin x x x=+cos2)sin 2x x=-+2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤，所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤.解得：55126m ππ≤≤.所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(1)y a x =+（2）1a =-（3）(,1)-∞-【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；（2）由(0)0f '=求得a 值，并验证此时0x =是极小值点；（3）求出导函数()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，然后根据(0)f '的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出()f x '在(0,)m （存在正实数m ）上()f x '与(0)f '同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，又(0)0f =，∴切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】由（1）()e cos x f x a x '=+，函数()f x 在0x =处取得极小值，则(0)0f '=，即10a +=，1a =-，设()()e cos x g x f x x '==-，则()e sin x g x x '=+，(0)1g '=，由()g x '的图象的连续性知()g x '在0x =附近是正值，因此()f x '在0x =附近是递增的，又(0)0f '=，所以()f x '在0x =附近从左到右，由负变正，()f x 在0x =左侧递减，在0x =右侧递增，(0)f 是极小值，符合题意；所以1a =-．【小问3详解】()e cos x f x a x '=+，(0)0f =，当(0)10f a '=+>，即1a >-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '>，对应()f x 递增，因此()(0)0f x f >=，不合题意，当(0)10f a '=+<，即1a <-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '<，对应()f x 递减，因此()(0)0f x f <=，满足题意，1a =-时，()e cos x f x x '=-，0x >时，e 1x >，cos 1≤x ，()e cos 0x f x x '=->恒成立，()e sin 1x f x x =--在(0,)+∞上递增，()(0)0f x f >=，不合题意，综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【小问1详解】由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2M n a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m M n m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
北京一零一中学2022届高三9月月考统练一数学试题
北京一零一中学2022届高三9月月考统练一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2xA y y ==，(){}22log 1B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}1x x >D ．∅2．数列{}n a 满足10a ≠，12(1)n n a a n +=≥，n S 表示{}n a 的前n 项和，且21272n S a =，则n = A ．6B ．7C ．8D ．93．ABC 中，若2cos c a B =，则ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．锐角三角形4．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=. A ．6B ．7C ．8D ．95．函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A ．B ．C ．D ．6．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．13-C ．13D ．537．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知()log 3a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,3C ．()0,3D ．[)3,+∞9．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ）A ．3B C D ．10．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数二、填空题11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________.12．能够说明“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题的一组整数a ，b ，m 的值依次为__________.13．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.14．已知数列{}n a 的通项公式*21log ()2n n a n N n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使3n S ≤-成立的最小的自然n 为__________.三、双空题15．一种药在病人血液中的量保持在1500mg 以上时才有疗效，而低于500mg 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x 小时后，药在病人血液中的量为mg y . （1）y 关于x 的函数解析式为______；（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过______小时.(精确到0.1)(参考数据：0.30.20.6170≈， 2.30.80.5986≈，7.20.80.2006≈，7.30.80.1916≈)四、解答题16．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>. （1）当1ω=时，求π()6f 的值；（2）当函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2时， . 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求()f x 在区间π[0,]2上的最小值；②求()f x 的单调递增区间；③若()0f x ≥，求x 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.17．已知*{}()n a n ∈N 是各项均为正数的等比数列，116a =，323322a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c b C C (sin )=. （1）求角B 的大小； （2）若3A π=，D 为ABC ∆外一点，DB CD 2,1==，求四边形ABDC 面积的最大值.19．已知函数32()f x x kx k =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围． 20．已知函数1()()xaxf x a R e +=∈. （1）当1a =-时，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）已知()1f x 对任意x ∈R 恒成立，求a 的值.21．已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ；（2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项为0； （3）若a b ，求数列{}n a 的通项公式.参考答案1．B 【分析】分别求出集合A 、B ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：{}()20,xA y y ===+∞，(){}{}{}()222log 110111,1B x y x x xx x ==-=->=-<<=-， 所以()0,1A B =={}01x x <<. 故选：B. 2．B 【分析】根据12n n a a +=可知数列为等比数列，且公比为q ，利用基本元的思想，将21272n S a =转化为1,,a q n 的形式，解方程求得n 的值.【详解】由于12n n a a +=故数列是公比为2的等比数列.由21272n S a =得()11121272122n a a -=⋅-，解得7n =.故选B. 【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列的前n 项和公式和通项公式的基本量计算.属于基础题. 3．B 【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状． 【详解】因为sinC=2sinAcosB ，所以sin （A+B ）=2sinAcosB ， 所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin （A-B ）=0， 因为A ，B ，C 是三角形内角，所以A=B ．三角形的等腰三角形． 故答案为B ． 4．C 【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 5．A 【详解】 将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为B ，故选A ． 6．C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 7．C 【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 8．B 【分析】根据复合函数的单调性，进行分析求解. 【详解】由题意得：0a >，故3ax -是减函数，又30ax ->在[]0,1恒成立，所以30a ->，解得：3a <， 又()log 3a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数， 根据复合函数的单调性得，1a >， 综上所述：13a << 故选：B. 9．C 【分析】由已知求出6ab =，即得解. 【详解】因为()226,c a b =-+所以22222226,26c a b ab ab a b c =+-+∴=+-+， 所以22cos6,63ab ab ab π=+∴=，所以ABC 的面积1sin 323S ab π===故选：C 10．B 【分析】分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值. 【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意； 当0a >时，()22,,,x ax x a f x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若0a <，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解. 综上所述，1a =. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 11．32 【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2n n a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=，所以54553–22S S a ===.故答案为：32. 【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题. 12．1，2，3．（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出只要是能说明命题“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题的一组正数a 、b 、m 即可． 【详解】解：命题：“若a ，b ，m 为任意的正数，则b m ba m a+>+”， 命题“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题，如：1a =，2b =，3m =时，2352134b m ba m a++==<=++， ∴能够说明命题“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题的一组正数a ，b ，m 的值依次为1，2，3．故答案为：1，2，3．（答案不唯一） 13．2 【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2362k πππωπ-+=-，k Z ∈，解方程可得ω的最小值. 【详解】解：若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2362k πππωπ-+=-，k Z ∈，即有26k ω=-，k Z ∈， 由0>ω，可得ω的最小值为2，此时0k =. 故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14．14 【分析】先利用其通项公式以及对数函数的运算公式求出22log 2n S n =+．再利用对数的运算性质解不等式3n S -即可求出对应的自然数． 【详解】 解：因为21log (*)2n n a n N n +=∈+， 所以123n n S a a a a =+++⋯+22222341log log log log 3452n n +=+++⋯++ 22341log 3452n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⋯⨯ ⎪+⎝⎭ 22log 2n =+． 32223log 321422n S n n n -∴-⇔-⇒⇒++． 故答案为：14．15．25000.8x y =⨯ 7.2 【分析】（1）利用指数函数模型求得y 关于x 的函数解析式；（2）根据题意利用指数函数的单调性列不等式，求得再次注射该药的时间不能超过的时间. 【详解】（1）由题意，该种药在血液中以每小时20%的比例衰减，给病人注射了该药2500mg ，经过x 小时后，药在病人血液中的量为002500(120)25000.8x x y =⨯-=⨯. 即y 关于x 的函数解析式为25000.8x y =⨯（2）该药在病人血液中的量保持在1500mg 以上时才有疗效，低于500mg 时病人就有危险， 令25000.8500x ⨯≥，即0.80.2x ≥又7.20.80.2006≈，且指数函数0.8x y =为减函数，所以要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过7.2小时.16．（1）2；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据1ω=，由πππ()sin 666f =求解.（2）利用辅助角法得到()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2，得到2ω=，进而得到2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选①：由π02x ≤≤，得到42333x πππ≤+≤，再利用正弦函数的性质求解；选②：利用正弦函数的性质，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈求解；选③：将()0f x ≥，转化为2sin 203x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）当1ω=时，πππ1()sin 26662f ===.（2）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2，所以2ππ(0)T ωω==>，解得2ω=. 所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①：因为π02x ≤≤，所以42333x πππ≤+≤. 当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x在区间π[0,]2上有最小值为选②：令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π],1212k k k Z -+∈. 选③：因为()0f x ≥，所以2sin 203x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.所以222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈.解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．17．（Ⅰ）52nn a -=；（Ⅱ）()2392n S n n =--，n S 最大值为30 【分析】（Ⅰ）利用1a 和q 表示出323322a a +=，从而构造出关于q 的方程，结合{}n a 为正项数列可求得q ，根据等比数列通项公式求得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得n b ，由通项公式可验证出数列{}n b 为单调递减的等差数列，根据等差数列求和公式求得n S ；根据50b =，可确定4n =或5时，n S 最大，代入可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q116a =，323322a a += 221123324832a q a q q q ∴+=+=即22320q q +-=，解得：2q =-或12q ={}n a 各项均为正数 12q ∴=1511622n n n a --⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()523log 235153nn b n n -==-=-当2n ≥时，13n n b b --=-{}n b ∴是首项为112b =，公差为3-的单调递减的等差数列()()233121922n S n n n n n ∴=--=--又50b = ∴数列{}n b 的前4项为正数∴当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前n 项和最值的求解问题；求解等差数列前n 项和的最值的常用方法有两种：①确定数列各项中的变号项，由数列的单调性可得最值取得的位置； ②根据前n 项和的二次函数性质来确定最值的位置.18．（1）3B π=（22+ 【分析】（1）根据正弦定理化简等式可得tan B =3B π=；（2）根据题意，利用余弦定理可得254cos BC D =-，再表示出sin BDC S D ∆=，表示出四边形ABCD S ，进而可得最值. 【详解】（1）3(sin )a b C C =，由正弦定理得：sin (sin )A B C C =在ABC ∆中，()sin sin A B C =+)sin sin cos B C B C B C +=，sin sin sin B C B C =，sin 0,sin C B B ≠=，即tan B =()0,,3B B ππ∈∴=.（2）在BCD ∆中，2,1BD CD ==22212212cos BC D ∴=+-⨯⨯⨯54cos D =-又3A π=，则ABC ∆为等边三角形，21sin 23ABCSBC π=⨯=D 又1sin sin 2BDCSBD DC D D =⨯⨯⨯=，sin ABCD S D D ∴==2sin()3D π--∴当56D π=时，四边形ABCD 2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．19．（1）详见解析；(2)4(0,)27. 【分析】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可； （2）()f x 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可. 【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x < 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<， 当4027k <<>20f k =>， 所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<， 所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 20．（1）21y x =-+；（2）1. 【分析】（1）将1a =-代入，然后求导，并得到(0),(0)f f '，最后可得结果.（2）计算()'f x ，然后按照0a =，0a <，0a >进行分类讨论，并研究原函数的单调性，利用max ()1f x =计算即可. 【详解】解：（1）当1a =-时，1()ex x f x -=，2()e x x f x -'=， 所以(0)1f =，(0)2f '=- 切线l 的斜率为(0)2k f '==-.所以()f x 在0x =处的切线方程为21y x =-+. （2）依题意，()1f x ≤对任意x ∈R 恒成立，2(1)e (1)(e )1()=(e )e x x x xax ax ax a f x ''+-+-+-'=当0a =时，1()ex f x '=-，由于e 0x >，则()0f x '<恒成立， 所以()f x 在R 内单调递减， 因为(0)1f =，故当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a ≠时，令()0f x '=，得11x a=-当0a <时， 110x a=->，因为(0)1f =，那么,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以结合()f x 的单调性知：当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：当01a <<时，110x a=-<，因为(0)1f =，所以结合()f x 的单调性知当11,0)x a∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a >时，110x a=->，因为(0)1f =，所以结合()f x 的单调性知当10,1)x a∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a =时，110a-=.由()f x 的单调性可知，max ()=(0)1f x f =，所以符合题意.综上，1a =. 【点睛】 方法点睛：求解函数在某点()00,x y 处的切线方程步骤：（1）求导；（2）00(),()f x f x '；（3）点斜式可得方程.利用导数求解含参数的恒成立问题：（1）参数分离的方法；（2）求导并按参数的范围进行讨论.21．（1）7；（2）证明见解析；（3）(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =.【分析】（1）依题意代入计算可得； （2）利用反证法证明即可；（3）分a b <与a b >两种情况讨论，①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，再证明：(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =即可；②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，结合①的结论即可得解；【详解】解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥. 取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<<.显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得 02k n i a a a =-．因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->>->，所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同的数恰为 01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾. 所以数列{}n a 是递增数列.再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n =当1,2n =时，结论成立.假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<<<<<.所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为 01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 与10n m a a m d +≠+矛盾.所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12<b b .对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-. 因此数列{}n b 满足题设条件.由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n = 经检验，数列{}n a 满足题设条件. 【点睛】本题属于数列新定义问题，考查反证法的应用，以及数学归纳法的证明数列的单调性；。
2024年北京一零一中高三(上)10月月考数学试题及答案
1 2
,
又由
0
<
a
<
1,
从而
0
<
a
1 2
;
②当
1 < a < 2 时, g(x) = (a − 2)x + 4a + 1 在 (−∞, 2] 上单调递减, h(x) = 2ax−1 在 (2, +∞) 上单调
递增, 又因为 f (x) 存在最小值, 故 与 1 < a < 2 矛盾; ③当 a = 2 时,
π 6
个单位
(B) 向右平移
π 12
个单位
(D) 向右平移
π 6
个单位
5. 在菱形 ABCD 中, ∠DAB = 60◦, |A# B–| = 2, 则 |B# C– + D# C–| = ( )
√
√
√
√
(A) 3
(B) 2 3
(C) 2
(D) 2 2
北京一零一中 2024-2025 学年度第一学期高三数学统考二 第 1 页（共 4 页）
a − sin x cos x
在区间
(
π 6
,
π 3
)
上单调递增,
则实数
a
的取值范围是
＿＿＿＿＿
.
15. 若函数 f (x) = ax2 − 2x − |x2 − ax + 1| 有且仅有两个零点, 则 a 的取值范围为 ＿＿＿＿＿ .
三、解答题共 6 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
左平移
π 3
个单位长度并向下平移
1 2
个单位长度, 得到函数 g(x) 的图象. 若在 △ABC
北京一零第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析
北京一零第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点为△所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在△的内部，则的取值范围是A． B． C． D ．参考答案：D2. 已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则a2= （）A．-4 B．-6 C．-8 D．-10参考答案：B略3. 若2014=αk?5k+αk﹣1?5k﹣1+…+a1?51+a0?50，其中a k，a k﹣1，…，a0∈N，0＜a k＜5，0≤a k﹣1，a k﹣2，…，a1，a0＜5．现从a0，a1，…，a k中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，则点P落在椭圆+=1内的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意结合进位制转化求得a0，a1，…，a k，然后利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由题意可知，把十进制数2014采用除5取余法化为五进制数：2014/5=402余4，402/5=80余2，80/5=16余0，16/5=3余1，3/5=0余3．∴2014=3?54+1?53+0?52+2?51+4?50 ．则a0=4，a1=2，a2=0，a3=1，a4=3．则从4，2，0，1，3中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，共有52=25个点．其中在椭圆+=1内的点有：（0，0），（1，1），（2，2），（2，0），（2，1），（0，2），（0，1），（1，2），（1，0），（3，0），（3，1）共11个．∴点P落在椭圆+=1内的概率是．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了进位制，训练了古典概型概率计算公式的求法，是中档题．4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（）A. 15B. 16C. 47D. 48参考答案：D5. 设为虚数单位，则（）A． B．C． D．参考答案：A6. 已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（）A． B． C. D．参考答案：A7. 函数的单调增区间为（）A. B．C. D．参考答案：C8. 如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无两边相等的三角形参考答案：【知识点】三视图.G2A解析：∵六条棱长都相等的三棱锥，它的侧视图是如图所示的等腰三角形，故选A。
北京市第101中学2024-2025学年高二上学期月考数学试卷(三)(含答案)
北京市第101中学2024-2025学年高二上学期月考数学试卷（三）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3x+√ 3y+1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知直线l1：ax−y−1=0，l2：ax+(a+2)y−1=0.若l1//l2，则实数a=( )A. 0或−3B. 0C. −3D. −1与03.“a=−1”是“直线l1：x−ay+1=0和直线l2：ax+(a+2)y+1=0(a∈R)垂直”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知Q为直线l：x+2y+1=0上的动点，点P满足QP⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，记P的轨迹为E，则( )A. E是一个半径为√ 5的圆B. E是一条与l相交的直线C. E上的点到l的距离均为√ 5D. E是两条平行直线5.已知实数x，y满足x+y+1=0，则√ (x−1)2+(y−1)2+√ (x−2)2+y2的最小值为( )A. √ 5B. 2√ 2C. √ 10D. 2√ 56.P为直线y=kx−2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则k的最小值( )A. √ 3B. √ 33C. −√ 33D. −√ 37.若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=( )A. −√ 33B. √ 33C. −13D. 138.已知直线l过点(1,2)，且在x轴截距是在y轴截距的2倍，则直线l的方程为( )A. x+2y−5=0B. x+2y+5=0C. 2x−y=0或x+2y−5=0D. 2x−y=0或x−2y+3=09.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos(α1−α2)>0”是“k1k2>0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.笛卡尔、牛顿研究过方程(x−1)(x−2)(x−3)=xy，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是( )A. 该曲线关于y轴对称B. 该曲线关于原点对称C. 该曲线不经过第三象限D. 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题(含解析)
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（ ）i 1i z=-z =A.0B.1D.22.如图，在平行六面体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB AD AA --=A.B. C. D.1AC 1AC 1D B 1DB 3.已知，则的坐标为（ ）()()2,3,1,6,5,3A B ---ABA.B.C.D.()8,8,4--()8,8,4-()8,8,4-()8,8,4--4.如图，已知正方体的棱长为（ ）ABCD A B C D '-'''1,AA DB ⋅=''A.1D.1-5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（12,n n,αβ()()121,,2,,2,1n y n x =-=- α∥βx y +=）A. B. C.3 D.92-72-726.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数1l()0,0,1u =2l()1v =-1l 2l 为（ ）A.B.C.D.30601201507.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（ ）n αa l a n ⊥l ∥αA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与,,,O A B C a OA OB OC =++ b OA OB OC =+- 不能构成空间基底的向量是（ ）,a bA. B. C. D.或OA OB OC OA OB9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，Oxyz ()2,1,1A Oxz B y C 则两点间的距离为（ ）,B CB.C.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和ABCD ,M N ,BC ADAM 夹角的余弦值为（ ）CN A. C. D.231323-二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为__________.()2,3,1a =- a 12.已知向量且，则__________，__________.()()2,0,1,,2,1a b m =-=-a b ⊥ m =a b += 13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为__________.l ()()1,0,1,2,0,0A B ()2,1,4P l 14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的Oxyz ()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===CD CB余弦值为__________；在的投影向量__________.CD CB a = 15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量满足，则,,a b c a ∥,b b ∥c a ∥c ②任意向量满足,,a b c ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ ③若为空间向量的一组基底，且，则四点共面{},,OA OB OC221333OD OA OB OC=+- ,,,A B C D ④已知向量，若，则为钝角()()1,1,,3,,9a x b x ==-310x <,a b <>其中正确命题的序号是__________.三､解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.1111ABCD A B C D -2,AB E =11B C（1）求证：；11AA D E ⊥（2）求平面的法向量；1D BE （3）求点到平面的距离.1A 1D BE 17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.111ABC A B C -4,D 1CC E 11A B（1）求证：平面；1C E ∥1A BD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 1A BD18.如图，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -14,2,60AB AD AA BAD ∠====与相交于点，设.1145,BAA DAA AC ∠∠==BD O 1,,AB a AD b AA c ===（1）试用基底表示向量；{},,a b c1OA （2）求的长；1OA （3）求直线与直线所成角.1OA BC19.如图，四棱锥倍，为侧棱上的点.S ABCD -P SD（1）求证：；AC SD ⊥（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；SD ⊥PAC PAC ACD （3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；SC E BE ∥PAC :SE EC 若不存在，试说明理由.参考答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.z【详解】依题意，，则()i 1i 1iz =-=--z ==故选：C 2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111AB AD AA DB AA DB DD D B --=-=-= 故选：C 3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，()()2,3,1,6,5,3A B ---所以()8,8,4AB =-故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，DB DB BB AB AD BB AB AD AA '=+=-+'''=-+且，0,0AA AB AA AD ''⋅=⋅= 所以.()21AA DB AA AB AD AA AA AB AA AD AA '''''''⋅=⋅-+=⋅-⋅+= 故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.1n ∥1n 1221y x -==-,x y 【详解】，且分别是平面的法向量，则，α ∥β12,n n ,αβ1n ∥1n 则有，故，则.1221y x -==-1,42x y =-=72x y +=故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.cos ,u v u v u v⋅<>=⋅【详解】直线方向向量，1l ()0,0,1u= 直线方向向量，2l()1v =-，1cos ,2u v u v u v ⋅<>===-⋅所以两向量夹角为，120直线和所成角为，∴1l 2l 60故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，n αal 若，则或，充分性不成立，a n ⊥ l α⊂l ∥α若，则，必要性成立，l ∥αa n ⊥所以“”是“”的必要不充分条件.a n ⊥ l ∥α故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC=-=++-+- 与不能构成空间基底；OC ∴ a b､故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解,B C 【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，()2,1,1A Oxz B 所以，()2,0,1B 因为点关于轴的对称点为点，()2,1,1A y C 所以，()2,1,1C --所以BC ==故选：D 10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，BN P AMP ∠AM CN 计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：BN BN P ,AP MP由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又分别是的中点，所以，且,M P ,BC BN MP ∥CN 12MP CN ==所以即为异面直线和的夹角的平面角，AMP∠AM CN 又易知，且，所以BN AN ⊥12PN BN ==AP ===因此，2cos 3AMP ∠==即和夹角的余弦值为.AM CN 23故选：A二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或⎛⎝【分析】求出，再根据求解即可.aa a± 【详解】因为向量，所以()2,3,1a =-a==所以，aa ±==±所以与共线的单位向量为或.a⎛ ⎝故答案为：或.⎛ ⎝12.【答案】（1）（21##0.52【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，()()2,0,1,,2,1a b m =-=-当时，所以，a b ⊥210m -=所以；12m =因为，()12,0,1,,2,12a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，5,2,02a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 所以.a b +==故答案为：.1213.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到cos ,,AP AB AP<>AP 'PP 'P 直线的距离.l 【详解】如图，过点作于点P PP AB'⊥P '由题意得，，()()1,1,3,1,0,1,cos ,AP AB AP AB==-<>==，所以.AP ==cos ,3AP AP AP AB PP =⋅<='='>= 故答案为：3.14.【答案】①②12()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计CD CB算公式即可求出结果.【详解】因为，()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===所以，()()0,2,2,2,2,0CD AD AC CB AB AC =-=-=-=-所以，1cos ,2CD CB CD CB CD CB ⋅<>===在的投影向量为.CD CB()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB<>=-故答案为：.()1;1,1,02-15.【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据可判断1133AD AB CB=+③；当时可判断④.3x =-【详解】对于①，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，,,a b c a ∥,b b ∥c ,λμa b λ= ，故，所以，故①正确；b c μ= a c λμ= a ∥c 对于②，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；,a c ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对于③，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，{},,OA OB OC,,A B C ，且，221333OD OA OB OC =+- ()()1211133333OD OA OA OB OC OB OA OB OC-=-+-=-+- 所以，则四点共面，所以③正确；1133AD AB CB=+ ,,,A B C D 对于④，当时，反向共线，有为，所以④不正确.3x =-,a b 3,,b a a b =- 180故答案为：①③.三､解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；()2,1,1-（3.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.11A D 【小问1详解】因为是正方体，故可得面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1111A B C D又面，故可得.1D E ⊂1111A B C D 11AA D E ⊥【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：D 则可得：，()()()()110,0,2,2,2,0,1,2,2,2,0,2D B E A ()()()1111,2,0,1,0,2,2,0,0D E BE A D ==-=-设平面的法向量为，1D BE (),,m x y z =则，即，取，可得，100m D E m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩2x =1,1y z =-=故平面的一个法向量为.1D BE ()2,1,1-【小问3详解】设点到平面的距离为，1A 1D BE d 则.11A D m d m ⋅===故点到平面.1A 1D BE17.【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面1C E 1A BD 平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A 为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴1,AC AA y z ABC AC x 建立空间直角坐标系，())()()()1110,2,4,,0,2,2,,4,0,0,4,0,2,02C B D E A C ⎫⎪⎪⎭所以113 ,0,4),(2)2C E A B BD ⎫=-=-=⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，1A BD (),,n x y z = 所以，即，100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4020y z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩令，x =1,1z y ==即为平面的一个法向量，)n = 1A BD 所以，1310102C E n ⎛⎫⋅=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又因为平面，1C E ⊄1A BD 所以平面；1C E ∥1A BD 【小问2详解】由（1）知，()),BC n == 设直线与平面所成角为，BC 1A BD θ所以，sin cos ,BC θ= 所以直线与平面.BC 1A BD 18.【答案】（1）11122OA a b c =--+（2（3）π2【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；11122OA a b c =--+ （3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】()111111111;22222OA OA AA AB AD AA AB AD AA a b c =+=-++=--+=--+ 【小问2详解】，1114,2,60,45AB AD AA BAD BAA DAA ∠∠∠====== 所以，1cos604242a b a b ⋅==⨯⨯=，cos4524b c b c ⋅==⨯=，cos4548a c a c ⋅==⨯= 由（1）知，11122OA a b c =--+ 所以，22222111111322442OA a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅= ⎪⎝⎭ 所以1OA = 【小问3详解】，BC AD b == ，21111102222OA BC a b c b a b b b c ⎛⎫⋅=--+⋅=-⋅-+⋅= ⎪⎝⎭ ，111cos ,0OA BC OA BC OA BC ⋅==所以与所成角为，1OA BC π2所以直线与直线所成角为.1OA BC π219.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.30 :2:1SE EC =【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O 分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可,,OB OC OS x y z OC SD 证明；AC SD ⊥（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；PAC ACD （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法BE ∥PAC BE PAC 向量，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O ，分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系如图.OB ,OC OSx y z O xyz -设底面边长为，则高.aSO =于是,,0,0,,0S D C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,0,,0,OC SD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故，从而.0OC SD ⋅= OC SD ⊥AC SD ⊥（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量PAC DS ⎫=⎪⎪⎭ DAC ，设所求角为，则平面与平面的夹角为.OS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭θcos OS DS OS DS θ⋅==∴⋅ PAC DAC 30（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，SC E BE ∥PAC DS PAC 且.,0,DS a CS a ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 设，则CE tCS = BE BC CE BC tCS=+=+ 而，()1t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭103BE DS t ⋅=⇔= 即当时:2:1SE EC =，而不在平面内，故平面.BE DS ⊥ BE PAC BE ∥PAC。
北京101中学2021届上学期高三年级9月月考数学试卷
北京101中学2021届上学期高三年级9月月考数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1 集合}|{},42|{2x x x B x A x>=<=，则B A ＝（ ） A )0,(-∞B )2,1()0,( -∞C )4,1()0,( -∞D R2 在复平面内，复数ii+1对应的点在（ ） A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A338 B 316C 38D 16 4 函数x x x f 2cos sin 2)(-=在区间]2,0[π上的零点个数为（ ）A 2B 3C 4D 55 52)(y x x ++的展开式中，25y x 的系数为（ ） A 10B 20C 30D 606 如图是函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象，将函数)(x f 的图象向右平移8π个单位长度得到函数)(x g y =的图象，则下列命题正确的是（ ）A 函数)(x g 为偶函数B 函数)(x g 的图象的对称轴是直线)(4Z k k x ∈+=ππC 函数)(x g 的单调递增区间是)](4,4[Z k k k ∈+-ππππD 函数)(x g 的图象的对称中心是))(0,4(Z k k ∈π7 设F 为双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222ay x =+交于||||OF PQ =2354)2()1(22=-++y x 32||=AB 02=++k y x )5,5(-]5,5[-)52,52(-]52,52[-}{n a 2,061==a a 5,,2,1,2||1 ==-+i a a i i n a a a 21),2,1}(1,0{ =∈i a i ，使得),2,1( ==+i a a i m i 成立，则称其为10-周期序列，并称满足),2,1( ==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的10-序列∑=+-==mi k i i n m k a a m k C a a a 121)1,,2,1(1)(, 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的10-序列中，满足)4,3,2,1(51)(=≤k k C 的序列是（ ）A 11010…B 11011…C 10001…D 11001…二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
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北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合M ＝｛x ∈Z |1g （x -1）≤0｝，N ＝｛x ∈Z|x |＜2}，则M N ＝（ ） A.φB. （1，2）C. （-2，2］D. {-1，0，1，2｝2. 如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么（ ） A. b ＝3，ac ＝9B. b ＝-3，ac ＝9C. b ＝3，ac ＝-9D. b ＝-3，ac ＝-93. 设)(x f ，)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递减。
其中，正确的命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 若ab ＞0，且a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22b a <B.a 1＜b1C.2>+ba ab D.2ba +＞ab 5. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形6. 已知函数)(x f ＝cos 2ωx -sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，则（ ） A. )(x f 在（0，2π）内单调递增B. )(x f 在（0，2π）内单调递减 C. )(x f 在（4π，43π）内单调递增D. )(x f 在（4π，43π）内单调递减7. 若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足f （1）＝1，f （2）＝2，则f （3）-f （4）＝（ ）A. -1B. 1C. -2D. 28. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3，3］的大致图像，则该函数是（ ）A. 1323++-=x xx yB. 123+-=x xx yC. 1cos 22+=x xx yD. 1sin 22+=x xy 9. 已知函数)(x f ＝x 3+x 2-2|x |-k 。
若存在实数x 0，使得f （-x 0）＝-f （x 0）成立，则实数k 的取值范围是（ ）A. ［-1，+∞）B. （-∞，-1］C. ［0，+∞）D. （-∞，0］10. 信息熵是信息论中的一个重要概念。
设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P （X ＝i ）＝p i ＞0（i ＝1，2，…，n ），11=∑=ni ip，定义X 的信息熵H （X ）＝i ni i p p ln 1∑=-。
给出下面四个结论：①若n ＝1，则H （x ）＝0； ②若n ＝2，则当211=p 时，H （x ）取得最小值； ③若np i 1=，则H （x ）随着n 的增大而增大； ④若n ＝10，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，5，且P （Y ＝j ）＝p j +p 11-j （j ＝1，2，…，5），则H （X ）＞H （Y ）。
其中，正确结论的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共5小题。
11. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝22，B ＝2A ，则cosA ＝___________。
12. 若函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧=>+<-0,0,0,,0,12x x a x x x a 为奇函数，则参数a 的值为___________。
13. 已知数列｛a n ｝满足a n +1＝12+n n a a ，n ∈N *，若a 3＝71，则a 1＝____________。
14. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12，设1≤i ＜j ＜k ≤12。
若k -j ＝3且j -i ＝4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k -j ＝4且j -i ＝3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦。
用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________。
15. 已知函数)(x f ＝sin2x -x 3，若函数)(x g ＝f （x -4）+23x ，则函数)(x g 的图像的对称中心为__________；若数列｛a n ｝为等差数列，a 1+a 2+a 3+…+a 11＝44，则g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 11）＝__________。
三、解答题共6小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 已知函数)(x f ＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图像如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设函数)(x g ＝)(x f ·cos （2x +3π），若)(x g 在区间［0，m］上单调递减，求m 的最大值。
条件①：c -a ＝2π；条件②：b ＝3π； 条件③：c ＝127π。
17. 记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 9＝-a 5。
（1）若a 3＝4，求｛a n ｝的通项公式； （2）若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围。
18. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1-S 2+S 3=23，sin B=31。
（1）求△ABC 的面积； （2）若sinA sinC=32，求b 。
19. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥=.0,12,0,2)(2x x x x x f x（1）求))1((-f f 的值； （2）求不等式)(x f ＞1的解集；（3）当x 0＜0时，是否存在使得0)()(00=--x f x f 成立的x 0值？若存在，直接写出x 0的值；若不存在，说明理由。
20. 已知函数221)1()(ax e x x f x--=（a ∈R ）。
（1）当a ＝0时，求曲线y ＝)(x f 在x ＝0处的切线方程； （2）求函数)(x f 在［1，2］上的最小值。
21. 已知数列A ：a 1，a 2，…，a N （N≥4），其中a 1，a 2，…，a N ∈Z ，且a 1＜a 2＜…＜a N 。
若数列,~,~:~21a a A …，a ~N 满足a ~1＝a 1，a ~N ＝a N ，当i ＝2，3，…，N -1时，a ~i ＝a i -1+1或a i +1-1，则称A ~：a~1，a ~2，…，a ~N 为数列A 的“紧数列”。
例如，数列A ：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8。
（1）直接写出数列A ：1，3，6，7，8的所有“紧数列”A ~；（2）已知数列A 满足：a 1＝1，a N ＝2N ，若数列A 的所有“紧数列”A ~均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A 的个数为N+1；（3）已知数列A 满足：a 1＝0，a 2＝2，对于数列A 的一个“紧数列”A ~，定义集合S （A ~）＝｛a i -a ~i |i ＝2，3，…，N -1｝，如果对任意x ∈S （A ~），都有-x S （A ~），那么称A ~为数列A 的“强紧数列”。
若数列A 存在“强紧数列”，求a N 的最小值。
（用关于N 的代数式表示）参考答案1. D2. （2006高考北京文6）B3. （2001高考全国理10）C4. （2022房山一模3）C5. （2022朝阳高一下期末4）B6. （2022昌平高三上期末7）B7. （2010高考安徽理4）A8. （2022高考全国乙文8）A设)(x f ＝123+-x xx ，则f （1）＝0，故排除B ；设h （x ）＝1cos 22+x x x ，当x ∈（0，2π）时，0＜cos x ＜1，所以h （x ）＝1cos 22+x x x <122+x x≤1，故排除C ；设)(x g ＝1sin 22+x x ，则g（3）＝103sin 2＞0，故排除D 。
9. （2019海淀高三上期中7）A由f （-x 0）＝-f （x 0）得-x 30+x 20-2|x 0|-k ＝-（x 30+x 20-2|x 0|-k ），整理得k ＝x 20-2|x 0|，所以k ∈［-1，+∞）。
10. （2020高考山东（改编）12）C 11. （2021丰台一模13）36。
12. （2022高考上海8）1。
13. （2022东城高二上期末13）31。
14. （2020高考全国II 文（改编）3）10。
15. （原创）（4，6），66。
16. （2022西城高三上期末17） （1）选条件①②； 因为c -a ＝2π，所以2T ＝2π，即T ＝π，则ω＝T π2＝2。
由题意可知A ＝2，则)(x f ＝2sin （2x +ϕ）。
因为b ＝3π，f （b ）＝2sim （32π+ϕ）＝0，所以πϕπk =+32，k ∈Z ，即ϕ＝32π-+k π。
因为0＜ϕ＜π，所以ϕ＝3π，k ＝1。
所以)(x f ＝2sin （2x +3π）。
选条件①③： 因为c -a ＝2π，所以22π=T ，即T ＝π，则ω＝22=T π。
由题意可知A ＝2，则)(x f ＝2sin （2x +ϕ）。
因为c ＝127π，f （c ）＝2sin （67π+ϕ）＝-2， 所以67π+ϕ＝23π+2k π，k ∈Z ，即ϕ＝3π+2k π。
因为0＜ϕ＜π，所以ϕ＝3π，k ＝0。
所以)(x f ＝2sin （2x +3π）。
选条件②③： 因为b ＝3π，c ＝127π，所以c -b ＝4π＝4T ，即T ＝π，则ω＝T π2＝2。
由题意可知A ＝2，则)(x f ＝2sin （2x +ϕ）。
因为c ＝127π，)(c f ＝2sin （67π+ϕ）＝-2， 所以67π+ϕ＝23π+2k π，k ∈Z ，即ϕ＝3π+2k π。
因为0＜ϕ＜π，所以ϕ＝3π，k ＝0。
所以)(x f ＝2sin （2x +3π）。
（2）由题意得)(x g ＝sin （4x +32π）。
方法一：函数y ＝sin x 的单调递减区间为［2π+2k π，23π+2k π］（k ∈Z ）。
由2π+2k π≤4x +32π≤23π+2k π，得-224ππk +≤x ≤2245ππk +。