2018年江苏数学真题

绝密★启用前2019年09月01日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 总分 得分评卷人 得分一、填空题1.已知集合=-{1,1,6,8}A B ,那么A B ⋂=__________. 答案：{}1,8解析：观察两个集合即可求解。

2.若复数z 满足i 12i z ⋅=+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为__________. 答案：2解析：因为i 12i z ⋅=+，所以12i2i iz +==-，则z 的实部为2. 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.答案：90 解析：8989909191905++++=4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为__________.答案：8解析：代入程序前11I S =⎧⎨=⎩符合6I <, 第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩,符合6I <,继续代入；第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩,符合6I <,继续代入;第三次代入后78I S =⎧⎨=⎩,不符合6I <,输出结果8S =,故最后输出S 的值为8.5.函数2()log 1f x x =-__________.答案：[)2,+∞ 解析：2log 100x x -≥⎧⎨>⎩,解之得2x ≥,即[)2,+∞.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为__________. 答案：310解析：假设3名女生为,,a b c ,男生为,d e ,恰好选中2名女生的情况有:选a 和b ,a 和c ,b 和c 三种。

总情况有a 和b ,a 和c ,a 和d ,a 和e ,b 和c ,b 和d ,b 和e ,c 和d ,c 和e ,d 和e 这10种,两者相比即为答案3107.已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,则ϕ的值是__________. 答案：6π-解析：函数的对称轴为+k 2ππ()+k 2k Z ππ∈,故把3x π=代入得2,326k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22ππϕ-<<,所以0,6k πϕ==-.8在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是 .答案： 2解析： 由题意画图可知，渐近线与坐标轴的夹角为。

故,故.9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(]2,2-上,cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩,则((15))f f 的值为__________.答案：2解析：因为()()4f x f x +=,函数的周期为4, 所以()()()11151,1122f f f =--=-+= ∴()()115cos 242ff f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.答案：43解析：平面ABCD为底面边长,高为1的正四棱锥,141233⨯⨯=.11.若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________. 答案：-3解析：3221()212f x x ax a x x=-+⇒=+ 令()()3223122,'20231g x x g x x x x x=+=->⇒-+在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增∵有唯一零点∴()()321213231a g f x x x ==+=⇒=-+求导可知在[]1,1-上, ()()()()min max 14,01f x f f x f =-=-== ∴()()min max 3f x f x +=-12.在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, ()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为__________. 答案：3解析：∵AB 为直径∴AD BD ⊥ ∴BD 即B 到直线l 的距离。

BD ==∵r =，又 CD AB ⊥∴2AB BC ==设(),2A a a1AB a ==⇒=或3（舍去）.13.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=∠o的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为__________.答案：9解析：由面积得：111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒ 化简得()011aa c ac c a a +=⇒=<<-()()14414151159a a c a a a a +=++=-++--≥=当且仅当()1411a a -=-，即3,32a c ==时取等号。

14已知集合,将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列,记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为.答案： 27解析：与相比，元素间隔大。

所以从中加了几个中元素考虑。

个: 个: 个:个: 个: 个:发现时发生变号，以下用二分法查找：,所以所求应在之间.,所以所求应在之间.,所以所求应在之间.，所以答案为.二、解答题15.在平行六面体1111A B C D -中, 1111,AA AB AB B C =⊥.1.求证: //AB 平面11A B C2.平面11ABB A ⊥平面1A BC答案：1.∵平行六面体1111ABCD A B C D - ∴面//ABCD 面1111A B C D ∵AB ⊂面ABCD ∴//AB 面1111A B C D又面11ABA B ⋂面111111A B C D A B = 且AB ⊂面11ABA B ∴11//AB A B又11A B ⊂面11,A B C AB ⊄面11A B C ∴//AB 面11A B C 2.由1可知: 11//BC B C ∵111AB B C ⊥ ∴1AB BC ⊥∵平行六面体1111ABCD A B C D - ∴11AB A B = 又由1得11//AB A B∴四边形11ABB A 为平行四边形 ∵11AA AB =∴平行四边形11ABB A 为菱形 ∴11AB A B ⊥ 又1A B BC C ⋂=∴1AB ⊥面1A BC ∵1AB ⊂面11ABB A ∴面11ABB A ⊥面1A BC 解析：16.已知,αβ为锐角, ()4tan ,cos 35ααβ=+=- 1.求cos2α的值。

2.求()tan αβ-的值。

答案：1.方法一:∵4tan 3α=∴sin 4cos 3αα= 又22sin cos 1αα+=∴22169sin ,cos 2525αα==∴227cos 2cos sin 25ααα=-=- 方法二:2222222222cos 2cos sin cos sin 1tan cos sin 1tan 417325413ααααααααα=+--==++⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.方法一:7cos 2,25αα=-为锐角24sin 20sin 24225ππααα⇒<<⇒>⇒=∵()cos ,,5αβαβ+=-均为锐角, 2παβπ<+< ∴()sin αβ+=∴()()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβααβααβααβ-=-+=+++=∴()()()()()sin sin 2sin 2cos cos 2sin 25αβααβααβααβ-=-+=+-+=-∴()()()sin 2tan cos 11ααβαβαβ--==--方法二:∵α为锐角7cos 225α=-∴2(0,)απ∈∴24sin 225α== ∴24tan 27α=-∵,αβ为锐角∴()0,αβπ+∈又∵()cos 5αβ+=- ∴()sin αβ+=∴()tan 2αβ+=-∴()()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=++()()722257111225---==-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭解析：17.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧(MPN P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米,现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD .大棚Ⅱ内的地块形状为CDP ∆,要求,A B 均在线段MN 上, ,C D 均在圆弧上,设OC 与MN 所成的角为θ.1.用θ分别表示矩形ABCD 和CDP ∆的面积,并确定sin θ的取值范围.2.若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜, 大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 答案：1. 过N 作MN 垂直于交圆弧MPN 于,设PO 交CD 于H 40sin 10,240cos 80cos ,4040sin BC AB PH θθθθ=+=⨯==-()1180cos 4040sin 1600cos 1600sin cos 22CDP S AB PH θθθθθ∆=⨯⨯=⨯⨯-=-当C 点落在劣弧MN 上时, AB MN >,与题意矛盾。

所以点C 只能落在劣弧上.所以40sin 2MN OP θ≤<,即1sin 14θ≤<2.设甲种蔬菜年产值为()40k k >,则乙种蔬菜年产值为3k ,设总年产值为y则设()()222sin cos cos ,'cos sin sin 2sin sin 1ff θθθθθθθθθθ=+=--=--+令()'0f θ=,解得sin 1θ=-或1,根据1舍去1-,记001sin ,0,42πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭答:当6θ=时,年总产值最大.解析：18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆C 过点1)2,焦点12(F F ,圆O 的直径为12F F .1.求椭圆C 及圆O 的方程;2. 设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB ∆的面积为7,求直线l 的方程. 答案：1.椭圆C 的方程为2214x y +=. 圆O 的方程为223x y +=.2.①)②y =+解析：1.因为椭圆C 的焦点为())12,F F ,可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>.又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上,所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=. 因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=.2.设(),P m n ,则223m n += 显然l 斜率存在,设:,OP n l y kx p k m=+=, 则m k n =-,:ml y p n=-+ 将(),P m n 代入,得23m p n n n=+= ∴3:m l y x n n=-+与椭圆方程联立得()222246940m n y ny m +--+-=①与椭圆相切,则0∆=,即()()222236449440n m n m -+--=将223m n +=代入,解得2203m n ⎧=⎨=⎩ (舍去)或2221m n ⎧=⎨=⎩由于P 在第一象限,则1m n ==即)P②设l 与x 轴交点为M在3:m l y x n n =-+中令0y =,得3x n =,即3,0M n ⎛⎫= ⎪⎝⎭假设A 的纵坐标大于B 的纵坐标132OAB OAM OBM A B S S S y y m∆∆∆=-=⋅-而A B y y -=2222222694,4,144A B A B n m y y y y a b m n m n-+====++ 即327m = 将223m n +=代入化简得327m =327m = 解此方程,得220m =,(由已知条件, (m ∈舍)或251,22n =由于P 在第一象限,则22m n == 回代入3:m l y x n n=-+,得:l +19.记''(),()f x g x 分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0x R ∈,满足00()g?()f x x =且''00()()f x g x =,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.1.证明:函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”. 2.若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值.3.已知函数()2,()xbe f x x a g x x=-+=,对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”,并说明理由.答案：1. ()()'1,'22f x g x x ==+若存在,则有2000022(1)122(2)x x x x ⎧+-=⋅⋅⋅⎨=+⋅⋅⋅⎩根据2得到012x =-代入1不符合,因此不存在2. ()()1'2,'f x ax g x x==根据题意有200001ln (1)12(2)ax x ax x ⎧-=⋅⋅⋅⎪⎨=⋅⋅⋅⎪⎩且有00x > 根据2得到0x =代入1得到2ea =3. ()()()21'2,'x be x f x x g x x -=-=根据题意有()02000020(1)12(2)x x be x a x be x x x ⎧-+=⋅⋅⋅⎪⎪⎨-⎪-=⋅⋅⋅⎪⎩根据2有0200020011x x be x x -=>⇒<<-转化为22000201x x a x -++=-∵001x <<∴()3220000120x x a x x -++-+=()()22000310m x x x a x ⇒=-++-=转化为()m x 存在零点00,01x x << 又()()00,12m a m =-<=∴恒存在零点大于0小于1∴对任意均存在0b >,使得存在"S 点". 解析：20.设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列, {}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列.1.设110,1,2a b q ===,若n n 1a -b b ≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围2.若(*11a =b 0,,m N q >∈∈,证明:存在d R ∈,使得n n 1a -b b ≤对2,3,,1n m =⋅⋅⋅+均成立,并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示)。