圆周运动问题汇总

圆周运动问题汇总一．传动装置问题1.同轴传动的各点角速度相同2.当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等例1:如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系r A=r C=2r B，若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三质点的角速度，线速度和向心加速度之比。

解析：由于b、c是同轴的物体，所以ωb=ωc，由于a、b是轮子边缘上的点，所以v a=v b，线速度与角速度的关系v=rω,则可以得到ωa:ωb:ωc=1:2:2，v a:v b:v c=1:1:2，a a:a b:a c=1:2:4二．转弯问题1.水平路面转弯由静摩擦力提供向心力2.倾斜路面转弯由重力和支持力的合力提供向心力例2：汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙，以下说法正确的是A. f甲小于f乙B. f甲等于f乙C. f甲大于f乙D. f甲和f乙均与速率无关解析：因为在水平路面上转弯由静摩擦力提供向心力，根据向心力公式F=m v 2r可得 f甲小于f乙，所以选A项例3：高速行驶的竞赛汽车依靠摩擦力转弯是有困难的，所以竞赛场地的弯道处做成侧向斜坡，如果弯道半径为r，斜坡和水平方向成θ角，则汽车完全不依靠摩擦力转弯折速度大小为A.√grsinθB.√grcosθC.√grtanθD.√grtanθ解析：高速行驶的竞赛汽车完全不依靠摩擦力转弯时所需的向心力由重力和路面的支持力的合力提供，力图如图．根据牛顿第二定律得mg tanθ=m v 2r,可得v=√gr tanθ，所以选C项三．圆锥摆问题圆锥摆问题中物体所受的重力与弹力提供向心力例4：如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的CA a BbA.运动周期相同B.运动线速度大小相同C.运动角速度相同D.向心加速度大小相同解析：对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故细线的拉力与重力的合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，细线的拉力T=mgcosθ，因θ不同，故T不同，故A错误．B、C、D合力F=mgtanθ ①；由向心力公式得到，F=mω2r ②；设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r=htanθ ③；由①②③三式得，ω=gh，与绳子的长度和转动半径无关，故C正确；由v=wr，两球转动半径不等，故B错误；由a=ω2r，两球转动半径不等，故D错误；故选：C．四、汽车过拱桥问题汽车过拱桥问题中物体所受的重力与弹力提供向心力例5：有一辆质量为1.2 t的小汽车驶上半径为50 m的圆弧形拱桥，如图所示。

求：（1）汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力有多大？（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？解析：如图所示，汽车到达桥顶时，竖直方向受到重力G和桥对它的支持力N的作用．根据牛顿第二定律得，mg−N=m v 2r 解得：N=mg−m v2r=1200×10−1200(10)250=9600N根据牛顿第三定律知，汽车对桥的压力为9600N．（2）当汽车对桥没有压力时，重力提供向心力，则mg=m v 2r解得：v=√gr= 10√5m/s当小车经过凹桥时，得到N-mg=mv²/r五、临界问题1. 水平面内的临界问题在水平面内圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径有变化）的趋势。

这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时的方向如何（特别是一些接触力如静摩擦力，绳的拉力等）例6：如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴OO'的距离为L，b与转轴的距离为2L。

木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。

若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω=√kg 2L 是b 开始滑动的临界角速度D ．当ω=√2kg 3L 时，a 所受摩擦力的大小为kmg解析：小木块都随水平转盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力即f 静=mrω2，由于木块b 的半径大，所以发生相对滑动前木块b 的静摩擦力大，选项B 错。

随着角速度的增大，当静摩擦力等于滑动摩擦力时木块开始滑动，则有f 静=mrω2=kmg ，代入两个木块的半径，小木块a 开始滑动时的角速度ωa =√kg L ，木块b 开始滑动时的角速度ωb =√kg 2L ，选项C 对。

根据ωa >ωb ，所以木块b 先开始滑动，选项A 对。

当角速度ω=√2kg 3L ，木块b 已经滑动，但是ω=√2kg 3L <ωa ，所以木块a 未达到临界状态，摩擦力还没有达到最大静摩擦力，所以选项D 错。

故选AC 项 2. 竖直面内的临界问题（1）、线球模型（高中阶段只要求分析特殊位置最高点、最低点）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）②能过最高点的条件：v ≥，当V ＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。

③不能过最高点的条件：V ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。

（2）、杆球模型注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力。

①当v ＝0时，N ＝mg （N 为支持力）②当 0＜v ＜时， N 随v 增大而减小，且mg ＞N ＞0，N 为支持力．③当v=时，N ＝0Rg Rg Rg Rg Rg 无支撑模型（也叫绳模型）有支撑模型（也叫杆模型）例7：游乐场的过山车的运行过程可以抽象为如图所示的模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点（已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力）．解析：设在圆轨道最高处的速度为v，则在圆轨道最高处mg=m v2R由机械能守恒定律得：mgh=mg2R+12mv2联立以上各式得h=52R例8：长L=0.5m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A.A的质量为m=2kg，当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下杆对小球的力：（1）A在最低点的速率为√21m/s；（2）A在最低点的速率为6m/s解析：（1）设杆对小球为竖直向上的力F1从最低点到最高点过程中由机械能守恒得mg2L=12mv12−12mv22在最低点牛顿第二定律得mg−F1=m V22L 联立解得F1=16N（2）设杆对小球为竖直向上的力F2从最低点到最高点过程中由机械能守恒得mg2L=12mv32−12mv42在最低点牛顿第二定律得mg−F2=m V42L联立解得F2=−44N负号代表方向竖直向下3.斜面内的圆周运动例9：如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。

物体与盘面间的动摩擦因数为√32（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为300，g取10m/s2。

则ω的最大值是A．√5rad/s B．√3rad/sC．1.0rad/s D．0.5rad/s解析：本题考查受力分析、应用牛顿第二定律、向心力分析解决匀速圆周运动问题的能力．物体在最低点最可能出现相对滑动，对物体进行受力分析，应用牛顿第二定律，有μmg cosθ−mg sinθ=m rω2，解得ω＝1.0 rad/s，选项C正确。

4.松驰临界和分离临界松驰临界和分离临界问题关键是弹力为0时对应的临界速度或角速度例10. 如图所示，直角架ABC的AB在竖直方向上，B点和C点各系一根细绳，两绳共吊着一个质量为1kg的小球D，且BD垂直CD，θ=300，BD=40cm，当直角架以ω=10rad/s的角速度绕AB转动时，绳BD和CD的张力各为多大？解析：设CD绳恰好没有拉力时的角速度为ω0mg tan30°=mLω02sinθ解得：ω0=√50√33rad/s<10rad/s rad/s5.一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60°，如图所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动。

（1）v=√gL6时，绳上的拉力多大？（2）v=√3gL2时，绳上的拉力多大？解析：设小球刚好对圆锥没有压力时的速度为v0mgtan30°＝m v02Lsin30°解得:v0=√√36gL（1）当v＜v0时，小球受三个力，FTcos30°+FNsin30°=mgFT sin 30°-FNcos30°=mv2Lsin30°解得FT＝1.033mg（2）当v＞v0时，小球受二个力，mgtanφ=mv2Lsinφ解得φ＝60°FT＝mgcos60°=2mg3.火车转弯问题LO m60°。