5.4.1平移2
新人教数学 7年级下：作业11 §5.4 平移(2)
作业11 §5.4 平移（二）典型例题【例1】 经过平移，△ABC 的边AB 移到A ′B ′，作出平移后的三角形.【解析】 要作出平移后和三角形，应以对应点入手，先确定平移的方向和距离，再平移.另一种作法可根据平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化进行作图.【答案】 作法一 连接AA ′、BB ′，则AA ′与BB ′，平行且相等.过点C 作CC ′，使CC ′与AA ′平行且相等.连接A ′C ′、B ′C ′.则△A ′B ′C ′即为平移后的三角形(如图5-134).图5-134作法:二 过点A ′作∠A ′=∠A ，过点B ′作∠B ′=∠B ，A ′C ′与B ′C ′交于点C ′(如图5-134)，则△A ′B ′C ′即为平移后的三角形.【例2】 仔细观察下面的图案，它可以看作什么样的图案如何平移得到的.图5-135【解析】 本题考查学生观察图案、分析图案相互间联系的能力，观察的角度不同，获得的答案也可不同.如该图案可看做是两个小三角形和一个菱形平移而得到的，其中一个小三角形带阴影，另一个小三角形不带阴影，中间的菱形由两个小三角形构成.【答案】 图案可看做由上、下两层组成，上层由两个小正三角形平移而得，其中一个为带阴影部分的小三角形，另一个为不带阴影部分的小三角形；同样，下层也是由两个小三角形平移而得，其中一个三角形带阴影部分，另一个小三角形不带阴影部分.【例3】 如图5-136所示，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，HG=24 m ，WG=8 m ，WG=6m ，求阴影部分的面积.图5-136【解析】 求不规则图形面积一般将不规则图形经过割补转化为规则图形求解.用规则图形表示不规则图形的面积，利用平移的知识有时可很简便地解决不规则图形的面积计算问题. 根据平移的性质可知，四边形DWGH 为梯形，且梯形DWGH 的面积等于阴影部分的面积，求出梯形DWGH 的面积是关键.【答案】 依题意，有HG=DC ，所以DW=DC-WC=HG-WC=24-6=18(m).所以梯形DWGH 的面积为21(18+24)×8=168(m 2).因此，阴影部分的面积为168 m2.总分100分时间40分钟成绩评定___________一、填空题(每题5分，共50分)课前热身1.平移改变的是图形的___________.答案：位置2.火车在笔直的铁路上行驶，车头以100m/s的速度前进了半小时，则车尾走的路程_______km.2.答案：180课上作业3.经过平移的图形与原图形的对应点的连线段的关系是____________.3.答案：平行且相等4.如图5-137，△ABC是由△ABC平移得到的，△ABC可以先向右平移_________格，再向_________平移_________格，得到△DEF.图5-137答案：6；下；35.如图5-138，矩形ABCD中，AB=10 cm，BC=6 cm，将该矩形沿AB方向平移_________后的矩形与原矩形重叠部分的面积为24 cm2.图5-138 图5-139答案：6 cm6.如图5-139，△ABC，通过平移得到△EFG，则图中两两互相平行的线段共有_________对答案：6课下作业7.—阵西南风吹来，使得湖面上一木板以每分钟60 cm的速度向前推进，则10min后，木板沿_________方向下移了_________ cm.答案：西南;6008.将正方形ABCD沿对角线AC方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好在AC的中点O 处，则移动前后两个图形的重叠部分的面积为原正方形面积的_________.1答案：49.如图5-140，△ABC为直角三角形，AC=3cm，BC=4 cm，AB=5 cm，将△ABC沿CB方向平移3 cm，则边AB所经过的平面面积为_________.图5-140 图5-141答案：9 cm 210.天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯售价为30元/m 2，主楼梯道宽2 m ，其侧面如图5-141所示，则购买地毯至少需要_________元. 答案：504二、选择题(每题5分，共10分)模拟在线11.(2010北京)在5×5方格纸中将图5-42①中的图形N 平移后的位置如图5-142②所示，那么下面平移中正确的是( )图5-142A.先向下移动1格，再向左移动1格B.先向下移动1格，再向左移动2格C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格答案：C12.(广东)如图5-143，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为( )A.21B.26C.37D.42图5-143答案：D三、解答题(第1题10分，第2题24分，共40分)13.将直角三角形ABC 沿直角边AB 向右平移2个单位得到直角三角形DEF(如图5-144)，若AB=4，∠ABC=90°，且△ABC 的面积为6个平方单位，试求图中阴影部分的面积.图5-144解：∵S △ABC =21AB ·BC=6，∵BC=3.∵AB=DE=4， AD=2，∴BD=2.∵DF ∥AC ，D 为AB 中点，可得H 为BC 中点∴BH=21BC=1.5.∴阴影部分的面积为：21·BD.BH=1.5(平方单位). 14.如图5-145，图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b)如下：在图(1)中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2得到封闭图形A 1A 2B 1B 2，(即阴影部分)；在图(2)中，将线段A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3得到封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1(即阴影部分)；(1)在图(3)中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:S 1=_________，S 2=_________，S 3=_________；(3)联想与探索 如图(4)，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的.图5-145解：(1)画图(要求对应点在水平位置上，宽度保持一致) (2)S 1=ab-b;S 2=ab-b;S 3=ab-b (3)猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b.方案：1)将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；2)将左侧的草地向右平移一个单位；3)得到一个新的矩形(如右图)第14题图理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长变成了a-1，所以草地的面积就是：b(a-1)=ab-b 说明：在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形(或分割成多个平行四边形)的面积汁算来求阴影部分的面积，进而计算空白部分的面积.但是当阴影部分的左右边界巾折线变为任意的曲线时，计算的方法已经不再适用.因此我们考虑图形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地的面积.。
平移(1)2
（3）经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段＿＿＿＿＿＿＿，对应角＿＿＿＿，对应点所连的线段＿＿＿＿.
【问题3】
平移的概念：
教师引导学生根据以上观察，完成填空.
让学生明白平移变换，即平移.
作业设计
1.必做题：课本练习题
2.选做题：同步探究
教师灵活布置作业
可布置一些实际操作题
教学反思：
成果
展示
小结与反思：
1.本节课学到了哪些新的知识？
2.通过本节课的学习，你有哪些收获？
教师提出问题。引导学生回顾本课内容,让学生畅所欲言，说出他们对本节内容的理解.
补
偿
提
高
1.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（ ）
A△OCDB△OAB
C△OAFD△OEF
2.下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是( )
举出生活中平移现象.
尝
试
应
用
1.如图，△ABC是由四个形大小相同的三角形拼成的，则可以看成是△ADF平移得到的小三角形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.△ABC在网格中如图所示，请根据下列提示作图
(1)向上平移2个单位长度.
(2)再向右移3个单位长度.
先由学生独立完成，然后分组进行讨论，重点引导学生找准平移前后的图形，找出对应线段.
3.如图所示,△FDE经过怎样的平移可得到△ABC.( )
A.沿射线EC的方向移DB长;
B.沿射线EC的方向移动CD长
C.沿射线BD的方向移动BD长;
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件(人教版)(2)
y
1
B
T( , 3）
32
3
o 3
2
M1
x
3
问5.若x=x0呢？如何描出点(x0，sinx0)？
y
1
B
o
A
2
-1
x
3
2
2
定义法：等分圆→平移描点→连线成图
y
1
y sin x, x0, 2
o
6
32
2 5
3
6
7 6
4 3
3 2
x 5
3
11 6
2
-1
想一想: 确定正弦函数的图象形状时，应抓住
小试牛刀：
例1. 画出下列函数的简图。 （1）y=1+sinx , x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0，2π]
解：（1）按五个关键点列表：
x
0
2
π
3π 2
2π
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
y
y=1+sinx，x∈[0,2π]
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
正弦函数的图象
2
3
4
5 6 x
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
余弦函数的图象 y
余弦曲线
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
想一想: 类比正弦函数，确定余弦函数在
【0,2π】上的图象形状时，应抓住哪些关
键点？ y
(0,1)1- 最高点
七年级数学下册第五章《相交线与平行线》简介
七年级下册第五章“相交线与平行线”简介（2012修订）七年级下册第5章是“相交线与平行线”，本章主要研究平面内不重合的两条直线的位置关系：相交与平行．对于相交，研究了两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系；对于平行，借助于一条直线与另外两条直线相交所成的角，研究了平行线的判定和性质．在此基础上，学习了平移的有关知识．在本章，学生还要学习通过简单推理得出数学结论的方法，培养言之有据的思考习惯．本章共安排了四个小节以及两个个选学内容，教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：5.1 相交线3课时5.2 平行线及其判定3课时5.3 平行线的性质4课时5.4 平移2课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标1．本章知识结构本章知识结构如下图所示：2．教科书内容平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题，这些内容学生在前两个学段已经有所接触，本章在学生已有知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，首先研究了两条直线相交的情形，探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给对顶角对顶角对于推理能力的培养，在本章，不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要求“说理”和“简单推理”，并了解证明，把推理和证明作为探究得出结论的自然延续．本章这样的地方还是很多的，例如“对顶角相等”性质的得出，由判定两直线平行的方法1，得出方法2、3，由平行线的性质1，得出性质2、3，以及一些例、习题中，等等．对于推理，由于学生还比较陌生，不知道应由什么，根据什么，得出什么，对于推理所用的三段论的形式——由小前提得到结论，以大前提作为理由，一下子也很难适应．因此，逐步深入地让学生学会说理，是本章的一个难点．解决以上难点的关键是要按照教科书的安排，一步一步地，循序渐进地引入推理论证的内容．在本章，结合正文的相关内容，进行初步的说理训练；在本章最后，学习了命题及命题的构成后，学生也能对推理的理由，三段论的表达形式有进一步的认识，用这样前一步为后一步做准备，逐步提高，慢慢教会的办法克服难点．3．本章学习目标（1对顶角对顶角（5）通过具体实例，了解定义、命题、定理、的意义，会区分命题的条件和结论．知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑．了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．二、编写时考虑的几个问题1．内容呈现上充分体现认知过程，给学生提供探索与交流的时间和空间在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合．论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重要的作用．对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫．对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过设问、设置“思考”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式．例如，对于“对顶角，教科书首先设置一个“讨论”栏目，让学生度量两条相交直线所成的角的大小，对顶角这样就将实验几何与论证几何相结合．通过这样的“数学活动”培养学生的探究能力和创新意识．2．注意加强直观性密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题．几何图形是从实际中抽象出来的，所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的，这一点对于学生来说有一定的困难．为了减少学生学习的困难，在编写这一章时，我们注意根据七年级学生的认知特点，加强了直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活．许多概念、性质、定理的引入都是从解决实际问题的需要来出发的（如从剪刀剪开布片的过程引入研究两条相交直线所成角的问题，从灌溉挖渠的问题引入垂线段最短的性质，等等）；在教材编写时，也注意为利用实物、模型、计算机等多种教学手段提供材料，让学生在运动变化中寻找图形的不变的位置关系和数量关系，从而有利于发现图形的性质（如对顶角的性质，垂线、平行线的概念的引入等等）．在研究有关数学概念、性质后，再注意把所学知识应用到实际生活中（例如画交通路口示意图、检验一些平行问题、绘制住房平面图等等）．在教学时，也应注意从实际问题出发，引导学生自己多观察、多动手、勤思考，结合适合当地特点的一些问题，抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题，引入本章要学习的相关内容，通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题，体现具体——抽象——具体的过程，提高学生学习数学的兴趣，培养他们应用所学知识解决问题的能力．3．循序渐进地安排技能训练这一章的教学，除了要学习一些数学知识以外，还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务．这既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的．这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础．教科书在这方面也是作了精心安排，在教学时应当注意按照由简单到复杂，由模仿到独立操作的顺序，逐步提高要求．在这一章，要求学生进行说理和简单推理，为今后进行推理论证的进行准备．因此，也就要求学生能用较准确的语言表达学过的概念、性质，学会一些简单的、基本的推理语言（如“因为……所以……”“由……得……”等），要能区分命题的条件和结论等，能用文字语言表达说理过程，能用符号语言表达简单的推理过程，为今后进行推理论证打下一个良好的基础．对此，教科书也进行了周密的安排．例如，教科书在通过说理的方式得出了对顶角的性质的基础上，进一步的把这个说理过程写成“因为……所以……”的形式；把利用垂直的定义判断角的关系的推理过程写成“因为……所以……”的形式；后续说明“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”以及证明“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”的过程中，采用严格的证明形式，等等．这样安排，目的就是让学生循序渐进的接触推理与证明，逐步养成言之有据的习惯，并逐渐学会用符号语言表达推理过程．承接“图形认识初步”，本章仍旧要重视文字语言、符号语言、图象语言等几种不同语言的相互转化，注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程，使抽象和直观结合起来，在图形的基础上发展其他语言．在教科书中也注意了由不同方向对图形、文字和符号间转化的设计安排，安排了这样一些练习、习题，教学时也要注意这方面的训练．本章也要求学生能用各种绘图工具画出垂线、平行线，平移一个简单的图形等，教科书还安排了“你有多少画平行线的方法”的数学活动，通过这些内容，让学生较快适应，把几何图形与语句表示、符号表示联系起来，使学生能从多角度表示图形、认识图形、把握图形．4．渗透研究几何问题的内容和方法“相交线与平行线”是“图形与几何”领域的基础内容，对这部分内容的研究也包含了研究几何图形的基本内容、套路和方法，教科书在这方面也注意加强渗透．例如，本章内容呈现时，注意让学生通过观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质．同时，注意通过“推理”获得数学结论的方法，培养学生言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力，完成由实验几何到论证几何的过渡．再如，图形的性质、图形的判定是研究几何图形的基本问题，本章重点研究的就是相交线的性质对顶角，垂直、平行的的判定和性质等．为了更好的让学生认识什么是“性质”，什么是“判定”，教科书在小结部分对此专门做了阐述，即“图形的判定”讨论的是确定某种图形需要什么条件（两条直线与第三条直线相交，具备“同位角相等”，就有“两直线平行”）；“图形的性质”讨论的是这类图形有怎样的共同特性（两条直线只要平行，它们被第三条直线所截时，就一定有同位角相等）．另外，在很多情况下，图形的判定与性质具有互逆的关系，对此，教科书在“平行线的性质”一节的开头，通过提问“利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是我们下面要学习的平行线的性质．”渗透了这种关系．还有，在“相交线”一节，教科书从“两条直线相交”到“三条直线相交（两条直线被第三条直线所截）”，都是研究它们所成的角的关系．通过“根据结构特征对这些角进行分类”，对顶角三条直线所截是三条直线相交的特殊情形，这些特殊情形不仅在后续的几何图形研究中起着重要的作用，而且在生活中也有广泛的应用，这也是我们研究这些“特例”的重要原因．这些思路和方法也都是几何图形研究的重要内容和方法，教科书也都进行了渗透．三、对教学的几个建议1．有意识地培养学生有条理的思考和表达对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排．本章对于推理的要求还处在初步阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”．例如，在推导“对顶角，在平行线的判定（由判定方法1得到判定方法2），平行线的性质（由性质1得出性质2）时，教科书展示了一个简单推理的过程．这些过程中，都没有采用“已知……，求证……，证明”的形式逻辑格式，而是用说理和简单推理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续．教学中要注意循序渐进逐步提高学生的推理能力，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等．总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写，不能操之过急．另外，说理、推理的内容是本章的教学难点，教科书中注意对学生循序渐进地进行训练．由于学生的认知能力有差别，基础也不同，所以教学中一方面要按要求有计划地组织好教学，另一方面要注意因材施教．对于学习有困难的学生，一定要一步一步地使每阶段的训练到位，不要急于求成；对接受能力强的学生，要及时调整教学要求，保护他们学习的积极性，满足他们的求知欲，对于教科书中的一些要求说明理由的习题，也可以要求他们把推理的过程用简单的符号化的语言表示出来．2．注意突出重点内容这一章的内容比较丰富，除了要研究平面内两条直线间的位置关系（重点是垂直和平行关系），还包括平移以及一些有关命题的内容，由于教学时间有限，为了使学生集中精力掌握最基础的知识，并形成一定的能力，教学时应注意突出重点．例如，研究两条直线的位置关对顶角对顶角念都是结合图形，分析其位置关系给出的；垂直、平行的概念则是承接了前面学段学过的概念．对于同位角、内错角、同旁内角的内容，教科书是在研究两条直线相交的基础上，进一步研究三条直线相交的角度引入的，主要是为接下来研究平行做准备．这里要求学生掌握基本概念即可，不要做过多的变式训练．再如，对于命题、定理、证明等概念，在本章，要求学生在学过一些命题（包括数与代数的以及图形与几何的）的基础上，了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式），知道命题的真假，了解定理的概念等，知道什么是证明等，不要在这里过多要求．由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行．例如，讲5.1.1 对顶角教对于教科书中的探究栏目，可以设计一个表格，由两条直线相交的图形，让学生寻找其中所成的角，对它们进行分类，根据位置关系对它们“命名”，然后寻找它们的大小关系，最后再进行说理．在课堂上识图、画图、语言训练、作练习都可以主要围绕找“对顶角”或应用“对顶角相等”进行．3．把握好对推理与证明的教学要求在“平行线的性质”一节的最后，在介绍了命题、定理等概念的基础上，教科书结合一个完整的证明过程介绍了什么是证明．同时，教科书也安排了一些在给出的推理过程中，填写一些关键步骤和推理的理由的练习和习题．教学中，要把握好对证明的教学要求，即要求学生知道什么是证明，能在给出的推理过程中，填出一些关键步骤和理由即可，不要求学生写出完整的证明过程．这样做，目的在于逐步培养学生言之有据的习惯，为完成由实验几何到论证几何的过渡打下基础．而不是几何证明的方法和技巧．4．处理好平移内容从课程标准看，图形的变化是“图形与几何”领域中一块重要的内容，图形的变化主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等．通过对图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，因此图形的变化是研究几何问题的有效的工具．平移是一种基本的图形变化．在“平移”一节中，教科书首先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手，分析这些图案的共同特点，发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的．通过探索平移前后两个图形之间的关系，发现“两个图形大小形状完全相同”“新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点”“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质，并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题．对于平移的内容，本章只是一个初步认识，本册书在“平面直角坐标系”中还安排了“用坐标表示平移”的内容，从数的角度用代数的方法研究平移，将平移从数和形两方面统一起来，使学生对平移有更深刻的了解，为今后使用平移发现几何结论，研究几何问题打下基础；另外，在八年级下册“四边形”一章，还结合平行四边形的判定和性质对平移过程中“对应点的连线平行且相等”的性质作了理论的推导；在九年级上册“旋转”中，还要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变换进行图案设计，认识和欣赏它们在现实生活的应用．这样处理平移内容，能使学生从感性到理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解，有助于他们逐步掌握平移的内容．在教学时要注意教科书的安排，完成好这部分内容的教学．5．重视信息技术的应用信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具．利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来．许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质，这可以使得许多传统的数学教学做不到或做不好的事情变得容易起来．在这一章，信息技术工具是大有用武之地的，教科书还专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，对教科书中一些可以应用信息技术的地方进行了举例说明．例如，我们随意画两条相交直线，就得到了一个相交线的“模型”，这个模型比我们用木条做成的模型又进一步，它不仅可以随意转动，通过寻找转动过程中角的不变的位置关系得到邻补角对顶角还可以利用软件的测量功能，测出这些角的大小，再观察转动过程中角的大小的变化，去发对顶角术工具的优势所在．其他探索垂线的性质、探索平行线的性质和判定方法也是类似的．因此，有条件的学校，应尽可能多的使用计算机或图形计算器等信息技术工具，帮助学生的数学学习．。
人教版初中数学七年级下册5.4.2《平移的简单应用》教案
一、教学内容
人教版初中数学七年级下册5.4.2《平移的简单应用》教案，本节课我们将围绕以下内容展开：
1.理解平移的概念及其性质；
2.学会运用平移进行图形的变换；
3.掌握平移在实际问题中的应用。
教学内容包括：
（1）平移的定义及性质；
（2）图形的平移变换；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平移的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平移的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（2）掌握图形的平移变换方法：学会将一个图形沿指定方向和距离进行平移，并能正确画出平移后的图形。
举例：在方格纸上，将一个三角形沿指定方向平移一定的距离，并准确画出平移后的三角形。
（3）运用平移解决实际问题：将平移知识应用于生活实际问题，如地图、建筑设计等。
举例：在地图上，运用平移知识进行路线规划。
2.教学难点
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了《平移的简单应用》，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，关于教学内容的处理。在讲解平移的定义和性质时，我尽量用生动的例子和实际操作来帮助学生理解。从学生的反馈来看，这种方法效果还不错，他们能够较快地掌握平移的基本概念。但在讲解平移在实际问题中的应用时，我感觉自己举的例子还不够丰富，以后可以在这方面多下一些功夫，让学生更好地体会平移的实用价值。
（3）运用平移知识解决实际问题：学生在解决实际问题时，往往难以将平移知识灵活运用。
教学设计2：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象． 3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【要点梳理】1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．2．正弦函数图象的画法 (1)几何法①利用正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可，这是由于cos x＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(2)用“五点法”：画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【思考诊断】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( ) (4)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√【课堂探究】题型一 用“五点法”作简图【典例1】 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．[思路导引] 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线． [解] (1)列表：描点连线，如图所示．(2)列表：描点连线，如图所示．[名师提醒]用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 (1)列表(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝⎛⎭⎫π2，y 2，(π，y 3)，⎝⎛⎭⎫3π2，y 4，(2π，y 5)．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [针对训练]1．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． [解] (1)列表：在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)，⎝⎛⎭⎫3π2， －1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．(2)列表：在直角坐标系中，描出五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．题型二 正、余弦函数图象的简单应用【典例2】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合． (1)sin x ≥12；(2)cos x ≤12.[思路导引] 先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．[解] (1)作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . (2)作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z . [名师提醒]用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)； (2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． [针对训练]2．求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )；(2)y ＝2sin x － 2.[解] (1)为使函数有意义，则需要满足－cos x >0，即cos x <0. 由余弦函数图象可知满足条件的x 为π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z . (2)为使函数有意义，则需要满足2sin x －2≥0，即sin x ≥22. 由正弦函数图象可知满足条件的x 为π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z . 【课堂小结】1．本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x 轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点．2．用“五点法”在[0,2π]内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.【随堂验收】1．用“五点法”画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0)D ．(2π，0)[解析] 五个关键点为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，故选A. [答案] A2．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[解析] 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确． [答案] D3．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )[解析] 列表描点与选项比较，可知选B. [答案] B4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π[解析] 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 由图可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. [答案] C5．画出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y ＝32的交点个数．[解] 在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.。
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册) (2)
图象向左平移
2
2
个单位长度而得到, 所以, 将正弦函数的图象向左平移
个单位长度, 就得到余弦函数的图象.
余弦函数y=cosx(x ∈R)的图象
sin(
x+ 2
)= cosx
y
余弦曲线 正弦曲线
x
-2
-
o
2
3
2
3
4
2
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左
平行移动/2个单位长度而得到
足够多的点T ( x0 ,sin x0 ), 将这些点用光滑的曲线连接起来 , 可得到比
较精确的函数y sin x , x [0, 2 ]的图象(图5.4 3)
2
3
5
6
2
3
6
7
6
y
1
2
4
3
3
2
5
3
y=sinx ( x ∈ [0, 2 ] )
●
1
●
0
6
7 4 3 5 11
【变式 2】
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域.
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
sin x>0，
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
【变式3】若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的．
正弦函数的“五点画图法”
5.4 平移(第2课时)
- 1 -学习内容： 5.4.1 平移(第2课时) 新授课 总第13课时 学习目标：知识与技能：1、经历对图形观察、欣赏、分析和动手操作、图形等过程，掌握图形的操作技能，发展初步的审美能力。
2、能按要求作出简单的平面图形平移后的图形。
数学思考：经历观察、分析、操作、欣赏及抽象、概括的过程。
解决问题：经历对图形的进行观察、分析、欣赏和动手操作、图形的过程，增强学生对图形美欣赏的意识，培养其审美观念。
情感态度与价值观：进一步发展空间观念，增强审美意识。
学习重点：能按要求作出简单的平面图形平移后的图形，并会运用平的性质解决简单的问题。
学习难点：利用平移的性质作图 学习过程： 一、情境导课：（知识链接、自查辨误、情景激趣）平移特征：1、把一个图形整体沿某一个方向移动，会得到一个新的图形。
新图形与原图形的 和 完全相同．2、新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是对应点。
连接各组对应点的简单的说： (1)平移不改变图形的形状和大小； (2)对应点连线平行且相等．平移的定义：一个图形沿着移动一定的，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。
3、怎样用平移的方法说明平行四边形的面积S=ah？ 4、下列各组图形中，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）5、下列四组图形中,•有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是( )二、教材导学：（独学教材，对学交流，群学探究、精讲点拨）探究：平移作图1、将线段AB平移，使点A 与点D 对应。
（1）、连结AD 。
（2）、过点B 作AD 的平行线。
（3）、在平行线上作线段BC ，使BC=AD 。
（4）、连结CD2、已知三角形ABC 、点D ，D 为A 的对应点。
过点D 作三角形ABC 平移后的图形。
BC D ACDA B C D BD- 2 -3、如图，有一条小船，若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船。
平移 (1) 2教用
出几对对应点吗？
2．小组合作，探究性质 把对应点分别连接起来，这些线段有 怎样的关系呢？ B A C B'
归纳:（2）连接各
组对应点的线段平
A'
C'
行（或在同一条直线上）
且相等.
2．小组合作，探究性质
平移的性质：
1. 平移前后，新图形与原图形的形状和大小完 全相同. 2. 平移前后，两图形对应点连成的线段平行 且相等。
√
2．小组合作，探究性质 如何在一张半透明的 纸上，画出一排形状和大 小完全一样的雪人？
可以把一张半透明的纸盖在图5.4-2 上，先描出一个雪人，然后按同一方向
陆续移动这张纸，再描出第二个、第三
个……
2．小组合作，探究性质
2．小组合作，探究性质
2．小组合作，探究性质
2．小组合作，探究性质 比较:画出的这些小雪人和已知的图片 . 说一说：什么改变了？什么没改变？ 归纳：（1）把一个图形整体沿某一直线 方向移动,会得到一个新的图形,新图形与
仔细观察下面一些美丽的图案，他们有什么共同的特点， 能否根据其中一部分绘制出整个图案？
1、传送带上的电视机 的形状大小在运送过程中 发生了什么变化？
2、电梯在运行过程中， 每一梯阶发生了怎样的变 化？
仔细观察下列图案，回答问题：
1.这些图案有什么共同特点？
2.下面这些图案能否根据其中一部分绘制整个图 案？若能，你能否想象出是怎么绘制的？
E
F
怎样用平移的方法说明平行四边形的 面积S=ah？
h a
如图：是一块长方形的草地, 长为21 米.宽为15米 在草地上有一条宽为1米的 小道,长方形的草地上除小道外长满青草。 求草地的面积?
5.4平移数学教案
5.4平移数学教案
标题：五年级数学课——平面图形的平移
一、教学目标：
1. 学生能理解并描述什么是平移。
2. 学生能运用平移知识解决实际问题。
3. 学生能通过实践操作，提高空间想象能力。
二、教学重点和难点：
重点：理解和掌握平移的概念及性质。
难点：应用平移知识解决实际问题。
三、教学过程：
（一）导入新课
利用多媒体展示生活中的平移现象，如电梯的上下移动，汽车的前进等，引导学生观察并提问：“这些物体是如何运动的？”，引出“平移”概念。
（二）讲授新课
1. 定义平移：平移是物体或图形沿着直线方向移动，不改变形状和大小。
2. 平移的要素：方向和平移距离。
3. 平移的特点：形状、大小不变，位置改变。
4. 实践操作：让学生用纸片制作简单的图形，然后进行平移操作，体验平移的过程。
（三）课堂练习
设计一系列与平移相关的习题，包括判断哪些是平移现象，计算平移的距离，以及在方格纸上画出平移后的图形等。
（四）总结提升
回顾本节课的主要内容，强调平移的特点和应用，并鼓励学生在生活中寻找平移的现象。
四、课后作业
设计一些开放性的问题，如：“你能找到生活中有哪些平移的例子？”、“如果你是一个建筑师，你会如何运用平移的知识来设计建筑？”等，以培养学生的创新思维和解决问题的能力。
五、教学反思
记录教学过程中的成功和不足之处，以便于下次教学时改进。
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D
C
h
A
E
●
B
F
a
1、如图是6级台阶侧面的示意 图，如果要在台阶上铺地毯， 那么至少要买地毯多少米？
1m
2.8m
2、如图，在一 块长方形的草地 c 上，有人设计了 不同的小路，但 任何地方的宽度 一样都是a，问 种花草的部分面 c 积哪个大？为什 么？
a
b a
b a
c
b
小结
1、平移作图是图形变换的主要内容 之一，它的学习对今后学习旋转作 图、图形与坐标等内容起着积极的 作用。 2、画平移图形，首先应确定平移方 向、平移距离；而后定位其中一个 对应点，然后再利用平移的性质确 定其他各对应点。
A
D
E
B'
C'
B
C
F
作图：如图，将△ ABC先下移2格， 再右移4格，得到△ A′B′C′．
A
B
C
1、课本29页的例题，给出点A移动后 的位置点A′有什么作用？
确定平移的方向和距离.
2、按照例题的方法作出点B对应点B′ 的依据是什么？
连接各组对应点的线段平行且相等.
3、怎样作出点C的对应点C′？
过点C作AA′的平行线m,在m上截取CC′ =AA′,则点C′就是点C的对应点.
画一画：
．Ａ／
Ａ
1、如图平移三角
如图1是10枚硬币的三角形，现在只许你移 动3枚硬币，使图1中变成图2的倒三角形， 请同桌为一组，合作交流，动手移移看。
图1
图2
根据如图所示的图形， 通过平移设计一个图案。
如图，△ABC平移到△ A′B′C′的位置． （1）请指出平移的距离和方向． （2）点D、E、F经过平移到了什么位置？
A'
形ＡＢＣ，使得点
Ａ移动到点Ａ′，画
出平移后的三角形。
Ｃ／
Ｃ
Ｂ／
Ｂ
画一画： 将图中的小船向左平移6格
如何进行平移作图？
关键在于按要求作出对应点。 然后，顺次连结对应点即可。
你
会
利A用平 Nhomakorabea移
画B
立
体
图
形
吗
？
·A′ ·D′
· D
B′
·C′
C
你能用平移方法说明怎样得 到平行四边形的面积公式 S=ah吗？