偏导数与全微分53354
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3.4多元函数的偏导数和全微分ppt课件
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如:
若
2z x2
可偏导,
则记
3z x3
x
2z x2
,
3z x2y
y
2z x2
,等等.
26
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和
3z . x3
解:
z 2xy2 1 x
z 2x2 y cos y y
2z x2
2y2
2z y2
(x
x, y) x
f
(x,
y)
记作
fx(x, y),
z , x
z , x
fx (x, y). x
称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数)
6
注
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏 导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一 元函数来定义的.因此,在实际计算时,
求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
7
2.计算 f xx0 , y0
三种方法： (1) 用定义计算.
(2) 先计算 fxx, y, 再代值得 fxx0 , y0 ． (3) 先计算 f x, y0 , 再计算 fxx, y0 , 再
2 。 于是
x
fx(1,0) 2.
10
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解 z 2x sin 2 y x
z x2 cos 2 y 2 2x2 cos 2 y y
偏导数和全微分的关系
偏导数和全微分的关系在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨偏导数和全微分的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义偏导数是指函数在某一点处关于其中一个自变量的变化率。
设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点$(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{Delta x_ito0}frac{f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_i^0+Delta x_i,cdots,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)}{Delta x_i}$$其中 $Delta x_i$ 是 $x_i$ 的增量。
二、全微分的定义全微分是指函数在某一点处的微小变化量。
设函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 在该点的全微分为：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$其中 $dx_i$ 是 $x_i$ 的微小增量。
三、偏导数和全微分的关系对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，偏导数和全微分之间有以下关系：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$全微分 $df$ 可以看作是各个偏导数的线性组合。
这个公式可以被看作是对 $f$ 的微小变化的一种描述。
偏导数与全微分
若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
偏导和全微分的关系
偏导和全微分的关系
偏导数和全微分是微积分中两重要的概念，它们之间的关系可以通过梯度来解释。
下面是它们的关系：
1. 偏导数是量函数在特定变量上的变化率，它考虑一个变量的变化而把其他变量固定住。
偏导数可以表示为∂f/∂x，其中f表示函数，x表示自变量。
2. 全分是函数在多个变量上的变化的总和。
它考虑了所有变量的变化，并通过个偏导数对应的变化进行加权。
全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ...，其中f表示函数，x、y等表示自变量，dx、dy等表示自变量的变化量。
3. 偏导数是全微分的特例，当只有一个变发生微小变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
换句话说，当只有一个变量变化时变成了偏导数的乘积形式。
总结来说，偏导数是只考虑一个变量变化的变化率，而全微分考虑了所有变量的变化，并将各个偏导数对应的变化进行加权。
全微分是偏导数的总和形式，在只有一个变量变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
偏导数与全微分课件
dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x
. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
偏导数、全微分
t +h
2 2
注意到 α t + hβ (h) ≤ | α | + | β (h) |, 且 t 2 + h2 lim α = 0 , lim β (h) = lim β (h) = 0, t →0 h→0
t →0 h→0
h→0
2 2 ∆z = f x ( x, y ) t + f y ( x, y ) h + o( t + h ) 故有
(0 <θ < 1 )
( lim β (h) = 0 )
h→0
lim α = 0
t →0 h→0
∆ z = [ f x ( x, y) + α ] t + f y ( x, y ) h + hβ (h) ) t − f y ( x, y ) h
t +h
2 2
=
α t + hβ (h)
0,
易知 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 , 但
x2 + y 2 = 0
∆x ∆ y
∆ z − [ f x ( 0, 0 )∆x + f y ( 0, 0 )∆ y] =
(∆x) + (∆ y)
2
2
∆x ∆ y = (∆x) 2 + (∆ y) 2
0
≠ o( ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
∂ p ∂V ∂T RT ∴ ⋅ ⋅ =− = −1 pV ∂V ∂T ∂ p
有关偏导数的几点说明：
∂u １. 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ∂x
２. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义；
例 : 设z = f ( x , y ) =
2 2
注意到 α t + hβ (h) ≤ | α | + | β (h) |, 且 t 2 + h2 lim α = 0 , lim β (h) = lim β (h) = 0, t →0 h→0
t →0 h→0
h→0
2 2 ∆z = f x ( x, y ) t + f y ( x, y ) h + o( t + h ) 故有
(0 <θ < 1 )
( lim β (h) = 0 )
h→0
lim α = 0
t →0 h→0
∆ z = [ f x ( x, y) + α ] t + f y ( x, y ) h + hβ (h) ) t − f y ( x, y ) h
t +h
2 2
=
α t + hβ (h)
0,
易知 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 , 但
x2 + y 2 = 0
∆x ∆ y
∆ z − [ f x ( 0, 0 )∆x + f y ( 0, 0 )∆ y] =
(∆x) + (∆ y)
2
2
∆x ∆ y = (∆x) 2 + (∆ y) 2
0
≠ o( ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
∂ p ∂V ∂T RT ∴ ⋅ ⋅ =− = −1 pV ∂V ∂T ∂ p
有关偏导数的几点说明：
∂u １. 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ∂x
２. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义；
例 : 设z = f ( x , y ) =
《偏导数和全微分》PPT课件
.
(先求后代)
z x
(1,
2)
ln 5
2. 5
5
例4
设
z
arctan
(x 2) y y2 xy (x 2)2 y3
求
z y
|( 2, 0 )
.
解
z
|x2
z(2,
y)
arctan
y 2
,
z y
|( 2 , 0 )
dz(2, dy
y)
|y0
d
arctan dy
y 2
|y0
1
1
2 y
2
|y0
1. 2
程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.
15
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。 3.要考虑成型工艺，合 理计算累积公差，以防
x0
x
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 x 的偏导数，记作
z x
x0 , y0
,
f
x0,
x
y0 ,
zx 或 x0 , y0
fx x0, y0
若 lim f x0 , y0 y f x0 , y0 存在，则称此极限为
y 0
y
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 y 的偏导数，记作
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dy dx
可看作函数的微分
dy 与自变量的微分 dx 之商．而偏导数的记号“y ”是一个
x
整体记号，其中的横线没有相除的意义．
医用高等数学
如果一元函数在某点可导，则它在该点必定连续．但
对于.二元函数，即使在某点两个偏导数都存在，也不能 保证它在该点连续．例如函数
xy
f
(x,
y)
x2
y2
0
(x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0)
例4-13
设函数
z
xy
(x
0)，证明：xy
z x
1 ln x
z y
2z.
证
把 y 看成常数，则
z yx y1， x
把
x 看成常数，则
z x y ln x， y
所以
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x x y x y 2z.
y x ln x y y
ln x
医用高等数学
f y(1, 2).
解 把 y 看成常量，对 x 求导数，（注意到其中 ln 3
为常数，其导数为0）得 fx(x, y) 2x 2 y
医用高等数学
把 x 看成常量，对 y 求导数，得
fy(x, y) 2x 3y2
在点（1，2）处的偏导数为
fx(1, 2) 2 1 2 2 6、 fy(1, 2) 213 22 10
同，而有下列四个二阶偏导数：
x
z x
2z x2
fxx(x, y);
y
z x
2z xy
f xy( x, y);
医用高等数学
z 2 z
xyBiblioteka yxf yx(x, y);
y
z y
2z y 2
f yy(x, y).
如果二阶偏导数也具有偏导数，则称为原来函数的三
阶偏导数．一般地，函数 z f (x, y) 的 n 1 阶偏导数的偏
y
、
f y
或 zy
即
f
y(
x,
y)
lim
y 0
f (x, y y) y
f
(x, y)
医用高等数学
函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处关于 x 的偏导数 fx(x0 , y0 )
显然就是偏导函数 fx(x, y) 在点 (x0, y0 ) 处的函数值； fy(x0, y0 ) 显然就是偏导函数 f y(x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的函数 值． 例4-12 设函数 f (x, y) x2 2xy y3 ln 3 ，求 fx(1, 2)、
导数称为函数 z f (x, y) 的 n 阶偏导数．二阶及二 阶以上
的偏导数统称为高阶偏导数（higher-order partial
derivatives）．
例4-15 设 z x2ey x3 y2 xy 2, 求 2z 、 2z 、 2 z 、
2z y 2
和
3z x3
.
x2 xy yx
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
医用高等数学
三、高阶偏导数
设函数 z f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数
z x
f x( x,
y),
z y
f y(x,
y)
这两个偏导数在 D 内都是 x, y 的二元函数．如果这
两个函数的偏导数也存在，则称这两个函数的偏导数为原
来函数 z f (x, y)的二阶偏导数．依照对变量求导次序的不
医用高等数学
解:
z 2xey 2x2 y2 y, x
f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) ,
如果
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x
的偏导数(partial derirative)，记作
医用高等数学
或 f
x(
x0
,
y0
”
医用高等数学
医用高等数学
第二节 偏导数与全微分
一、偏导数的概念 二、偏导数的几何意义 三、高阶偏导数 四、全微分
医用高等数学
一、偏导数的概念
定义4-4 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的某一邻域
内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应
地函数有增量
偏导数，记作
f
y
(
x0
,
y0
)、z
y
、f y x x0
y y0
x x0 y y0
或
zy xx0 y y0
偏导数是函数 z f (x, y) 沿着两个特殊方向的变化率，
即一个平行于 x ，另一个平行于 y 轴的变化率．
医用高等数学
如果函数 z f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 都有关于
)、z
x
、f x x x0
y y0
x x0 y y0
zx xx0 y y0
同样，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有增量 y 时，如果
极限
lim f (x0 , y0 y) f (x0, y0 )
y 0
y
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处对 y 的
例4-14 已知理想气体状态方程 pV RT (R 为常量），
试证：p V T 1.
V T p
证 因为
p RT , V
p RT ; V V 2
V RT , p
V R ; T p
T
pV , R
T V . 所以
p R
p V
V T
T p
RT V2
R V pR
RT pV
1.
注意：对一元函数来说，导数
x 的偏导数，这个偏导数就是 x 的函数，称为函数 z f (x, y) 关于 x 的偏导函数，简称为偏导数，记作
f
x(
x,
y
)、
z x
、
f x
或
z x
即
f x( x,
y)
lim
x0
f
(x x, y) x
f
(x, y)
同样，有函数 z f (x, y) 关于 y 的偏导函数
f
y(
x,
y)、z
连续．
医用高等数学
二、偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 y y0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
O
x0
x
y0 y
(x0 , y0 )
是曲线 斜率.
在点（0，0）处的两个偏导数
fx(0, 0)
lim
x0
f
(0 x, 0) x
f
(0, 0)
lim
x0
0 (x)2 0
x
0
lim 0
x0
0
医用高等数学
f y(0, 0)
lim
y 0
f
(0, 0 y) y
f
(0, 0)
lim
y 0
0 0 (y)2
y
0
lim 0
y 0
0
都存在，但由第一节中例4-13知此函数在（0，0）点不