线性变换与矩阵核的关系
高等代数7.6线性变换的值域与核
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩
线性变换与矩阵地关系
线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。
设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。
即T(V)={ β=T(α)|α∈V},显然T(V) ⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。
那么，就称T为从V n到U m的线性变换。
说明：○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。
○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下的象。
○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空V n中的线性变换。
下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。
二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。
(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。
记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。
6.6 线性变换的值域与核
1 0
证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一 组基 1 , 2 , , n 下的矩阵，即
1 , 2 , , n , ( 1 , 2 , , n , ) A
由
A A,
2
知
2
.
任取 (V ), 设 ( ), V , 则 ( ) ( ( )) ( ) ( )
2
从而
1
2 / 3
1
0,
1
2
0
1
1 2 1 2 / 3 2 3 ,
2 1 2 2 4
是
( 0 ) 的一组基.
1
( 0 ) L 1 , 2 .
再求 (V ). 由于 的零度为2 ，所以 的秩为2， 即 (V )为2维的. 又由矩阵A，有
( 1 ) 1 2 3 2 4
( 2 ) 2 2 2 3 2 4
所以， ( 1 ), ( 2 ) 线性无关， 从而有
(V ) L ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 )
因此， (V ) L ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) .
2）由1）， 的秩等于基象组 ( 1 ), ( 2 ), , ( n )
的秩，又
( 1 ), ( 2 ), , ( n ) ( 1 , 2 , , n , ) A .
由第六章§5的结论3知， ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) 的秩 等于矩阵A的秩. ∴ 秩( ) ＝秩 ( A ).
线性变换与线性映射的核与像
线性变换与线性映射的核与像线性变换和线性映射是线性代数中的重要概念，它们在数学和应用领域中起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨线性变换和线性映射的核与像，以便更好地理解它们的性质和应用。
一、线性变换与线性映射的定义在开始讨论核与像之前，我们需要先了解线性变换和线性映射的定义。
线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间之间的映射，它保持向量的线性组合性质。
具体而言，设V和W是两个向量空间，T是从V到W的一个映射，如果对于任意的向量u和v以及标量a和b，都有T(au + bv) = aT(u) + bT(v)，那么T就是一个线性变换。
线性映射是线性变换的特殊情况，即线性变换中向量空间V和W 是相同的。
也就是说，线性映射是一个向量空间到自身的线性变换。
线性映射可以表示为T: V → V。
二、线性变换与线性映射的核线性变换和线性映射的核是指它们映射的源空间中的向量集合，该集合在映射下被映射为零向量。
对于线性变换T: V → W，V是源空间，W是目标空间。
核是向量空间V中使得T(u) = 0的所有向量u的集合。
核通常用ker(T)表示。
对于线性映射T: V → V，我们也可以定义其核。
这个核表示为T(u) = 0的所有u。
三、线性变换与线性映射的像线性变换和线性映射的像是指它们映射到的目标空间中的向量集合。
对于线性变换T: V → W，W是目标空间。
像是所有可以表示为T(u)的向量集合，其中u是源空间V中的向量。
像通常用im(T)表示。
对于线性映射T: V → V，像定义为所有T(u)，其中u是源空间V中的向量。
四、核与像的性质1. 核和像都是向量空间。
它们都满足向量空间的性质，例如封闭性和线性组合性质。
2. 对于线性变换和线性映射，核和像之间满足以下关系：- dim(ker(T)) + dim(im(T)) = dim(V)（对于线性变换）- dim(ker(T)) + dim(im(T)) ≤ dim(V)（对于线性映射）这些关系表明了核与像之间的对偶性，它们具有一种互补关系。
矩阵论第一章第二节
是一个线性变换. 是一个线性变换
线性变换的简单性质 1．σ 为V的线性变换，则 ． 的线性变换， 的线性变换
σ (0) = 0, σ ( −α ) = −σ (α ).
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 ．线性变换保持线性组合及关系式不变， 若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ). 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 ． 的向量组. 的向量组 即
线性变换， 例． V = P[ x ]或P[ x ]n 上的求微商是一个 线性变换， 表示， 用D表示，即 表示
D : V → V , D( f ( x )) = f ′( x ), ∀f ( x ) ∈ V
例. 闭区间 [a , b] 上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换 J : C ( a , b ) → C ( a , b ) , J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
则有
y1 x1 y2 x2 M ＝ A M . y x n n
证：由已知有
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A,
x1 x2 ξ＝( ε 1 , 2 ,L , ε n ) , ε M x n y1 y2 σ (ξ ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) . ε M y n
B = X AX .
−1
证：由已知，有 由已知，
σ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) A, ε ε
7-6. 线性变换的值域与核 线性映射(变换)的象(值域)和核是两...
•反之，由于对于任意给定的ｎ个 向量β1，β2，…，βn，有唯一 的线性变换σ,使得σ(αj)=βj， 因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij) 若令 βj=ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn 1≤j≤n 则σ关于基 α1，α2，…，αn的矩阵即为Ａ
▲ Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系 Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系不 仅保持加法和纯量乘法，而且还 保持乘法， 即若σ→Ａ，τ→Ｂ ，则 σ＋τ→Ａ＋Ｂ，ｋσ→ｋ Ａ，στ→ＡＢ，此外， σ可逆 等价于Ａ可逆，且σ-1 → Ａ-1。
▲乘法:积στ的定义 乘法: στ的定义
(στ)(ξ)＝ (στ)(ξ)＝σ(τ(ξ)) 的合成映射称为σ 的积. 即σ与τ的合成映射称为σ与τ的积. 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 两个函数的积不是它们作为映射的积, 两个函数的积不是它们作为映射的积,两个 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的 ,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的.关于线 性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相 同的,线性变换的乘法不满足交换律, 同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去 这是需要注意的. 律,这是需要注意的.
▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι σσ σ
线性变换与矩阵 在数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ中可以利 用Ｖ的基给出Ｖ的线性变换σ的矩阵 表示Ａ.从而把讨论线性变换的问题转 化为用矩阵来处理,讨论起来既具体又 简单,并且提供了丰富的内容,同时使 我们看到矩阵工具的使用.在学习这部 分内容时要逐步体会利用矩阵解决问 题的方便以及熟练掌握Ｖ的线性变换 σ与Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ的对应关系
• 作业：P326－14、15
02-矩阵与线性变换之间的关系
x1 r cos cos r sin sin r cos y1 r cos sin r sin cos r sin
sin cos
Y
P1 x 1 , y1 P x,y
上式标明
. OP1
yx11的长度也为r
而辐角为 + .
O
. 这是一个以原点为中心把向量 OP（依逆时
Pyx1）变，为由O于P.1OPxy1.11
是 OP 在 x 轴上的投影向量，因此
这是一个投影变换.
0
P1( x1 ,y1 ) x
例 线性变换
x1 x cos y sin,
对应 cos
y1
x .
sin
x
y
cos.
设 OP y的长度为
r
sin
，辐角为 ，
即设 xrcos , yrsin ，那么
若线性变换为
y1 x 1,
y …
2
…
…
x2,
y n x n
y1 x1,
y 2 x 2, … …… y n x n
称之为 恒等变换.
对应
1 0 … 0
…
…
… …
…
单位阵.
0 0 … 1
例 2阶方阵
1 0 0 0
y
对应
yx110.x,
投影变换
P( x,y)
. 该变换把向量 OP （ 或把点 P 变为点
y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 … a 2 n x n ,
………………………
y m a m 1 x 1 a m 2 x 2 … a mn x n .
……
a 11
A
a 21
线性变换的值域与核
1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求 设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故 是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射 是满射.
证明： 是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换 在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求 及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线 性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )