线性变换与矩阵地关系
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换与其矩阵的关系_线性代数_[共2页]
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182 线性代数 7.5.2 线性变换与其矩阵的关系
在n V 中取定一组基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可以唯一地确定一个线性变换T ，故在基给定的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的．
例3 在3R 中，T 表示将向量投影到xOy 平面的线性变换，即(+)T x y +z =x +y i j k i j ． （1）取基,,i j k ，求T 的矩阵；
（2）取基,,===++αi βj γi j k ，求T 的矩阵．
解 （1）因为
,,,T T T =⎧⎪=⎨⎪=⎩
0i i j j k
即
100(,,)(,,)010000T ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
i j k i j k ,
所以所求矩阵为
100010000⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
A .
（2）因为
,,
,T T T ==⎧⎪==⎨⎪=+=+⎩
αi αβj βγi j αβ 即
101(,,)(,,)011000T ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
αβγαβγ,
所以所求矩阵为
101011000⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
A ．
由此可见，同一线性变换在不同基下的矩阵一般不相同．但这些不同矩阵之间是否有内在的联系呢？
定理7.5.1 设在线性空间n V 中有两组基12,,,n ααα"和12,,,n βββ"，设由基12,,,n ααα"到12,,,n βββ"的过渡矩阵为P ， n V 中的线性变换T 在这两组基下的矩阵分别为A 和B ，则1=B P AP -．
证 由条件可得
1212(,,,)(,,,)n n =βββαααP "",。
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学姓名：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。
设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。
即T(V)={ β=T(α)|α∈V},显然T(V) ⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。
那么，就称T为从V n到U m的线性变换。
说明：○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。
○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下的象。
○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空V n中的线性变换。
下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。
二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。
(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。
记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系线性代数是数学中的一个分支学科，它是整个数学的一个基础。
线性代数的核心概念是线性变换和矩阵。
线性变换可以被视为线性代数中最基本的概念，矩阵则是线性变换最常用的工具。
本文将探讨线性变换与矩阵之间的关系。
一、线性变换的定义线性变换是一种把向量空间V中的每一个元素映射到向量空间W中的一种映射。
如果对于每个向量x和每个标量c，我们都有T(x + cy) = T(x) + cT(y)，则此映射为线性变换。
其中，T为线性变换的运算符，y是向量空间V中的元素。
线性变换的一个重要性质是它保持线性运算。
这意味着，对于向量空间V中的任何两个向量x和y，以及标量c，都有：T(x + y) = T(x) + T(y)T(cx) = cT(x)这些性质使得线性变换在数学中扮演着重要的角色。
二、矩阵的定义矩阵是一个有限的、有序的、由数构成的矩形表。
我们通常用大写字母表示矩阵，例如A。
矩阵可以用来表示线性变换，而线性变换可以用矩阵来描述。
我们可以将矩阵视为一种数字表示，它包含了一个线性变换所以可能的操作。
三、线性变换和矩阵的关系线性变换和矩阵是密不可分的。
每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵也可以表示为一个线性变换。
矩阵的第i行和第j列上的元素用a(i,j)表示。
我们可以用以下公式将一个向量空间中的向量转换成矩阵的形式：⎡ a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)⎤⎢ a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)⎥A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥⎢ a(n,1) a(n,2) ... a(n,n)⎥⎣⎦对于一个给定的矩阵A，我们可以将它作为线性变换T的矩阵表示。
这个线性变换对一个向量进行变换的方式为 T(x) = Ax，其中x为向量，Ax表示矩阵A和向量x的乘积。
矩阵乘法的目的是用一个矩阵描述一种线性变换。
在矩阵乘法中，行列式中每个元素都表示了一种特定的线性变换。
线性变换及其矩阵
部
资
例：零变换对应于零矩阵，数乘变换对应于数量矩阵。
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个 线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一 个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。 ” 理解这句话的关键， 在于把 “线性变换” 与 “线性变换的一个描述” 区别开。 一个是那个对象， 一个是对那个对象的表述。 就好像我们熟悉的面向对象编程中， 一个对象可以有多个引用， 每个引用可以叫不同的名字， 但都是指的同一个对象。 如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。 比如有一个人，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置， 那么就可以给这个人拍一张照片。这个照片可以看成是这个人的一个描述，但只 是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这个人拍照，能得到一张不同的照 片，也是这个人的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一个人的 描述，但是又都不是这个人本身。 同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵
i =0 m
内
Hom(V)。
外 传
料
(ai ∈ K ) ， 则
f (T ) = ∑ aiT i
i =0
m
也为 V 上的线性变换，称为多项式变换。
上面讨论了线性变换的定义与运算， 那么我们如何将抽象的线性变换形象化 的进行表示呢。下面我们探讨线性变换与矩阵的关系。 3. 线性变换的矩阵表示 根据线性变换的定义，要想确定一个线性变换，似乎需要把线性空间中所有
其中 A 为线性变换 T 在基 x1 , x2 ,..., xn 下的表达矩阵。 关于映射 σ ，我们有如下引理：
请 勿
= [T1 ( x1 , x2 ,
, xn )]B = ( x1 , x2 ,
数学矩阵与线性变换的关系与应用
数学矩阵与线性变换的关系与应用引言矩阵是数学中一种重要的工具，广泛应用于各个领域。
在线性代数中，矩阵与线性变换之间有着密切的关系。
本文将探讨矩阵与线性变换的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个m行n列的矩形数组，其中每个元素都是一个数。
例如，一个2行3列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23分别表示矩阵A的元素。
二、线性变换的基本概念线性变换是指保持向量加法和数乘运算的运算规则不变的变换。
线性变换可以将一个向量映射到另一个向量，同时保持向量间的线性关系。
线性变换可以表示为一个矩阵乘以一个向量的形式。
例如，一个二维空间中的线性变换可以表示为：[x'] [a b] [x][y'] = [c d] * [y]其中[x, y]表示原始向量，[x', y']表示变换后的向量，[a, b, c, d]表示线性变换的矩阵。
三、矩阵与线性变换的关系矩阵与线性变换之间存在着紧密的关系。
事实上，每个线性变换都可以用一个矩阵来表示，而每个矩阵也可以表示一个线性变换。
对于一个线性变换，我们可以将其表示为一个矩阵乘以一个向量的形式。
这个矩阵被称为线性变换的矩阵表示。
线性变换的矩阵表示可以通过将线性变换作用于单位向量的结果来得到。
例如，对于一个二维空间中的线性变换，我们可以将其矩阵表示表示为：[x'] [a b] [1][y'] = [c d] * [0]其中[1, 0]表示单位向量。
通过对单位向量进行线性变换，我们可以得到线性变换的矩阵表示。
四、矩阵与线性变换的性质矩阵与线性变换之间还有一些重要的性质。
首先，矩阵乘法满足结合律和分配律。
这意味着对于两个矩阵A和B，以及一个向量x，我们有：(A * B) * x = A * (B * x)其次，矩阵乘法还满足乘法单位元的存在性。
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
矩阵与线性变换
矩阵与线性变换在线性代数中，矩阵与线性变换是密切相关的概念。
矩阵是一种有序矩形数表，而线性变换是一种保持向量加法和数乘的运算的函数。
本文将就矩阵与线性变换的概念、性质以及二者之间的关系进行探讨。
一、矩阵的定义和性质矩阵是数学中一种重要的代数结构，对于描述线性变换起到关键作用。
它是按照矩形的形式排列的一组数。
在定义方面，一个矩阵可以表示为m行n列的一个矩形数表，记作A=[a_{ij}]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。
其中，a_{ij}表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的性质有以下几点：1. 矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
对于一个m行n列的矩阵，可以记作A_{m×n}。
2. 矩阵A中的元素可以是实数或者复数。
根据元素的性质，可以将矩阵分为实矩阵和复矩阵。
3. 矩阵的转置是指行和列进行对换，记作A^T。
矩阵的转置可以通过矩阵的行与列进行对换得到。
4. 矩阵的加法和数乘是指对矩阵中的每个元素进行相应的操作得到一个新的矩阵。
二、线性变换的定义和性质线性变换是线性代数中一个重要的概念，用于描述一个向量空间内的向量的变换规则。
其基本思想是保持向量加法和数乘的运算。
在线性代数中，一个线性变换可以定义为一个函数T，将向量空间V的向量映射到另一个向量空间W的向量。
线性变换的性质有以下几点：1. 线性变换必须满足保持向量加法的运算规则，即对于向量v和u，T(v+u) = T(v) + T(u)。
2. 线性变换必须满足保持数乘的运算规则，即对于向量v和标量c，T(cv) = cT(v)。
3. 对于线性变换T，它的核是指所有使得T(v) = 0的向量v的集合。
核是向量空间的一个子空间。
4. 对于线性变换T，它的值域是指所有T(v)的向量v的集合。
值域是向量空间的一个子空间。
三、矩阵与线性变换的关系矩阵与线性变换之间存在着密切的联系。
具体而言，对于一个 m 行n 列的矩阵 A，可以定义一个线性变换 T_A，该线性变换将一个 n 维向量空间 V 的向量映射到一个 m 维向量空间 W 的向量。
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线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。
设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。
即T(V)={ β=T(α)|α∈V},显然T(V) ⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。
那么，就称T为从V n到U m的线性变换。
说明：○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。
○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下的象。
○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空V n中的线性变换。
下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。
二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。
(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。
记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。
那么(i)σ是满射Im(σ)=W;(ii)σ是单射Ker(σ)={0}定理1 设V 和W 是数域F 上的向量空间，而σ：V →W 是一个线性映射。
那么V 的任意子空间在σ之下的像是W 的一个子空间。
而W 的任意子空间在σ之下的原像是V 的一个子空间。
三、线性变换的运算设L (V )是向量空间V 的全体线性变换的集合，定义L (V )中的加法，数乘与乘法如下：加法： 数乘： ； 乘法： ， 其中， .易验证，当A , B 是V 的线性变换时，A+B ，AB 以及kA 都是V 的线性变换.四、线性变换的矩阵设V 是数域F 上的一个n 维向量空间,n ααα,,,21 是V 的一个基,)(V L ∈σ.由于,,,2,1,)(n i V i =∈ασ因而它们可由基n ααα,,,21 线性表出.令,12211111)(n n a a a αααασ+++=,22221122)(n n a a a αααασ+++= (1)…………………n nn n n n a a a αααασ+++= 2211)(.(1) 也可以表示为：A n n ),,,(),,(2121αααααασ = , (2)其中11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn a称A 为σ关于基n ααα,,,21 的矩阵.A 的第j 列元为)(j ασ在基n ααα,,,21 下的坐标,,,,2,1n j =因而当取定基之后,σ在这一基下的矩阵是唯一的.设V 是数域F 上一个n 维向量空间.令是V 的一个线性变换.取定一个基1α,2α,⋯,n α.考虑V 中任意一个向量.2211n n x x x ααα+++σ(ξ)仍是V 的一个向量.设σ(ξ)=.2211n n y y y ααα+++ 自然要问,如何σ(ξ)计算的坐标()n y y y ,,,21 .令 (),12211111n n a a a αααασ+++=(),22221122n n a a a αααασ+++= (2) ………………………………(),2211n nn n n n a a a a ααασ+++=这里ij α,i,j=1,…,n,就是()j ασ关于基n αα,,1 的坐标 .令11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn an 阶矩阵 A 叫做线性变换σ关于基{}n ααα,,,21 的矩阵.矩阵A 的第j 列元素就是这样,取定F 上n 维向量空间V 的一个基之后,对于V 的每一个线性变换,有唯一确定的F 上n 阶矩阵与它对应.为了计算()ξσ关于基{}n ααα,,,21 的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式(3) ()()()()n ασασασ,,,21 =()A n ααα,,,21 .设 =ξn n x x x ααα+++ 2211=()n ααα,,,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎝n x x 21因为σ是线性变换,所以 (4) ()()()()n n x x x ασασασξσ+++= 221=()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎝n n x x 2121,,,ασασασ将(3)代入(4)得()=ξσ()n ααα,,,21 A .21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x最后等式表明,()ξσ关于()n ααα,,,21 的坐标所组成的列是A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21比较等式(1),我们得到定理1 令V 是数域F 上一个n 维向量空间,是V 的一个线性变换,而关于V 的一个基的矩阵是11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn a如果V 中向量ξ关于这个基的坐标是()n x x x ,,,21 ,而()ξσ的坐标是()n y y y ,,,21 ,那么(5)在空间2V 取从原点引出的两个彼此正交的单位向量21,εε作为2V 的基.令σ是将2V 的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是2V 的一个线性变换.我们有()().cos sin ,sin cos 212211θεθεεσθεθεεσ+-=+=所以σ关于基{}21,εε的矩阵 是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos设2V ∈ξ,它关于基{}21,εε的坐标()21,x x 是,而()ξσ的坐标是()21,y y .那么：=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 设A 向量空间V 的线性变换，如果 ， 则矩阵A 称为线性变换A 在基 下的矩阵.（1）相似矩阵：对于两个n 阶方阵A ,B ，如果存在一可逆矩阵C ，使得 ，则称方阵A 与B 相似，记为A ～B .（2）线性变换的特征值和特征向量：设A 是向量空间的一个线性变换，如果存在实数 和V 中非零向量ξ，使得A ξ=λξ，则称λ为A 的一个特征值，ξ为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（3）矩阵的特征值和特征向量：设A 为一个m 阶实矩阵，如果存在m 维非零向量 ，使得 ，则称λ为矩阵A 的特征值， 为A 的属于特征值λ的特征向量.下面定义线性变换的运算.1、正交变换的性质：设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：(1) A是正交变换；(2) A保持向量的长度不变，即对于任意的；(3) 如果是V的标准正交基，则也是V的标准正交基.(4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.2、线性变换矩阵的性质：①设V的线性变换A在基下的矩阵为A，向量在基下的坐标为在此基下的坐标为，则②设与是向量空间V的两组基，从基到基的过渡矩阵为C，又设线性变换A的这组两基下的矩阵分别为A, B，则即A～B.3、线性变换的矩阵可以是对角阵的充要条件：设V为m维向量空间，A为V的一个线性变换.那么存在V的一组基，使得A在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有m个线性无关的特征向量.4、方阵相似于对角矩阵的充要条件：n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.五、线性变换在不同基下的矩阵的关系定理1 设V是域F上n维线性空间，V上的一个线性变换A在V的两个基α1……αn与η1，……ηn下的矩阵分别为A与B，从基{αi}到基{ηi}的过渡矩阵S，则B=S-1AS (1) 证明：有由已知条件我们有A(α1,…,αn)=( α1,…,αn)A (2) A(η1,…,ηn)=( η1,…,η)B (3)(η1,…,η)= ( α1,…,αn)S (4)于是 A(η1,…,η)=A((α1,…,αn)S) =(A(α1,…,αn))S=((α1,…,αn)A)S=(α1,…,αn)(AS)=((η1,…,η)S-1)(AS)= (η1,…,η)(S-1AS) (5)比较（3）和（5）式得B=S-1AS定理1表明，同一个线性变换A在V的不同基下的矩阵是相似的。
定理2 域F上n维线性空间V的同一个线性变换A在V的所有各个基下的矩阵组成的集合恰好是M n(F)的一个相似等价类。
证明：设A在V的一个基α1,…,αn下的矩阵为A，用A表示M n(F)中由A确定的相似等价类。
任取V的一个基η1,…,ηn，设A在此基下的矩阵是B。
据定理1，B～A,从而B∈A。
反之，任取C∈A，则有可逆矩阵U，使得C=U-1AU。
令（γ1,…γn）=(α1,…,αn)U (6)（γ1,…γn）是V的一个基，由定理1，A在即基γ1,…γn下的矩阵为U-1AU,即C是A在基{γi}下的矩阵。
有定理2知道，同一线性变换A在V的所有各个基下的矩阵组成的集合是M n(F)的一个相似等价类。
于是M n(F)在相似关系下的不变量就反映了线性变换的在性质，它们与基的选取无关。
譬如n级矩阵的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值等都是M n(F)的相似不变量，因此我们可以把线性变换A在某一个基下的矩阵A的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。
分别称为线性变换A的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。
**一个线性变换关于两个基的矩阵的关系：设V 是数域F 上一个n 维向量空间。
σ是的V 一个线性变换。
假设σ关于V 的两个基{}n ααα,,,21 和{}n βββ,,,21 的矩阵分别是A 和B 。
即()()()()n αστασταστ,,,21 =()A n ααα,,,21 ， ()()()()n βσβσβσ,,,21 =()B n βββ,,,21令T 是由基{}n ααα,,,21 到基{}n βββ,,,21 的过渡矩阵：()n βββ,,,21 =()T n ααα,,,21于是()B n βββ,,,21 =()()()()n βσβσβσ,,,21 =()()()()T n αστασταστ,,,21=()AT n ααα,,,21 =()AT T n 121,,,-βββ 因此（8）AT T B 1-=等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。