24.1.4_圆周角1

判断下列图形中所画的∠ 是否为圆周角 并说明理由。 是否为圆周角？ 判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P P
P 不是 顶点不 在圆上。 在圆上。 是 顶点在圆上， 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 圆相交。
不是 有一边和圆 不相交。 不相交。
观察思考：
在这个海洋馆里， 在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆 弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物． 弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
回 忆
1.什么叫圆心角 什么叫圆心角? 什么叫圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 圆心角、 一个结论，这个结论是什么？ 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆） 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等， 如果圆心角、 弦有一组量相等， 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 A O B
证明：由第 种情况得 证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ ∠ BOD ＝ 2 1 ∠CAD＝ ∠ COD ＝ 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD ＋ ＝ ＋ 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第3种情况吗？ 你能证明第 种情况吗？ 种情况吗
证明：作射线 证明：作射线AO交⊙O于D。 交 于 。
解：（1）AB=AC。 ：（1）AB=AC。 证明：连接AD 证明：连接 是直径， ∵AB是直径，∴∠ 是直径 ∴∠ADB=90°， ° 又∵DC=BD，∴AB=AC。 ， 。 是锐角三角形。 （2）△ABC是锐角三角形。 ） 是锐角三角形 由（1）知，∠B=∠C＜90 ° ） ∠ ＜ 连接BF， ∴∠A＜ 连接 ，则∠AFB=90 °，∴∠ ＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形 是锐角三角形
知识剖析
学习目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆 或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直 角，90°的圆周角所对的弦是直 径．
认真看课本P84-P86练习前的内容： 完成书上的思考和探究 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少 个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变 化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ 8分钟后，比谁能正确地做出与例题类似 的习题。
O C D B A
由第1种情况得 由第 种情况得 1 ∠CAD＝ ∠ COD ＝ 2
1 ∠BAD＝ ∠ BOD ＝ 2
1 1 ∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD － ＝ － 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
问题解决： 问题解决：
综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角度 综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角度 等于这条弧所对的圆心角的一半 数等于这条弧所对的圆心角的一半
D
8 7
解： ∠1＝∠4 ＝ ∠3＝∠6 ＝
∠2＝∠7 ＝ ∠5＝∠8 ＝
A
1 2 3 4 6 5
B
C
探究与思考：
问题1：如图， 是 的直径， 问题 ：如图，AB是⊙O的直径，请问： 的直径 请问： ° ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C1 A C2 C3 B
问题2： 问题 ： 若∠C1、∠C2、∠C3是 ° 直角，那么∠ 直角，那么∠AOB是 180° 。 是 推论：半圆（或直径） 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角 直角； ° 圆周角是直角；90°的圆周角 所对的弦是直径 直径。 所对的弦是直径。
.
探 究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙ 相交于点 相交于点C?观察 问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点 观察 得到的∠ 有什么特征？ 得到的∠ACB有什么特征？ 有什么特征 C
O A B
.
顶点在圆上 两边都与圆相交
}
这样的角叫圆周角。 这样的角叫圆周角。 圆周角
问题探讨： 问题探讨：
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等， 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半。 都等于这条弧所对的圆心角的一半。 练习： 如图， 在同一个圆上， 练习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四 、 、 、 在同一个圆上 边形ABCD的对角线把 个内角分成8个角 的对角线把4个内角分成 个角， 边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这 些角中哪些是相等的角？ 些角中哪些是相等的角？
问题1 问题 如图：同学甲站在圆心O的位置 的位置， 如图：同学甲站在圆心 的位置，同学乙站在正对着玻 璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠ 璃窗的靠墙的位置 ，他们的视角 ∠AOB和∠ACB)有什么 和 有什么 关系？ 关系？
问题探讨： 问题探讨：
用量角器量一下，有什么发现？
问题解决： 问题解决：
∵ OA=OC ∴∠A=∠C ∴∠ ∠ 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∠ ∴∠BOC=2∠A ∴∠ ∠
B A O C
1 即∠A= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？ 你能证明第 种情况吗？ 种情况吗
提示：作射线 提示：作射线AO交⊙O于D。转 交 于 。 化为第1种情况 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为第 种情况 A O B D C
A O C
C
A P
B
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 ° 、如图， ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ） 的直径， 等于（ B 是 的直径 等于 A、70°； B、110°； 、 ° 、 ° C、90°； D、120° 、 ° 、 °
A E D O B C
4、如图，△ABC的顶点 、B、C 、如图， 的顶点A、 、 的顶点 都在⊙ 上 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， ＝ ＝ ， 2 则⊙O的半径是 的半径是 。
B A O
·
D
F C
你能证明你的发现（ 你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度 数等于这条弧所对的圆心角的一半） 数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？ 你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？ 你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？
A A O B C B O C B O C A
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况： 首先考虑一种特殊情况： 首先考虑一种特殊情况 当圆心(O)在圆周角 在圆周角(∠ 的一边(BA)上 当圆心 在圆周角 ∠BAC)的一边 的一边 上 圆周角∠ 与圆心角∠ 时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关 圆周角 与圆心角 的大小关 系.
1 即∠BAC= ∠BOC 2
A O B C B A O C O C B A
问题２ 问题２ 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 如果同学丙、 D和E，他们的视角 ∠ADB和∠AEB)和同学乙的 和 ，他们的视角( 和 视角相同吗？ 视角相同吗？
相等。都等于∠ 的一半。 相等。都等于∠BOC的一半。 的一半
O
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 、如图， 中 ° 等于（ 则∠AOC等于（ D ） 等于 B A、50°； B、80°； 、 ° 、 ° C、90°； D、100° 、 ° 、 °
2、如图，△ABC是等边三角形， 、如图， 是等边三角形， 是等边三角形 动点P在圆周的劣弧 在圆周的劣弧AB上 动点 在圆周的劣弧 上，且不 重合， 等于（ 与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） 、 重合 等于 A、30°； B、60°； 、 ° 、 ° C、90°； D、45° 、 ° 、 °
解：连接OA、OB 连接 、 ∵∠C=30 ° ，∴∠ ∴∠AOB=60 ° ∵∠ 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为 。 ，即半径为2。 A
C O B
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长 到点 、如图， 是 的直径， 是 的弦， 的直径 的弦 延长BD到点 C，使DC=BD，连接 交⊙O于点 ，点F不与点 重合。 于点F， 不与点 重合。 不与点A重合 ， ，连接AC交 于点 的大小有什么关系？ （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ ） 与 的大小有什么关系 为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角 ）按角的大小分类，请你判断△ 属于哪一类三角 并说明理由。 形，并说明理由。