武汉第2讲 圆中的三大切线定理
切线的判定定理和性质定理
判断下图直线L是否是⊙O的切线？
并说明为什么。
证个①②条明垂过件一半直条缺径于直一外这不线端条为可点半A圆：径的AAO。切O线时，lll 必须两 l
第八页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线. ①过半径外端
并证明你的结论。 F
辅助线： 无切点做垂线，证相等
第十一页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A,
B
直径AB与切线CD有怎样的位置关系?
• 直径AB垂直于切线CD.
●O
C
A
D
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
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判定定理：
①过半径的外端点
②垂直于这条半径。
辅助线： 有切点连圆心，证垂直
第九页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
练习：
1.已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于 点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30. 求证:直线AB是⊙O的切线.
B
C
A
O
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2.如图，点D是Biblioteka AOB的平分线OC上任意一点，过 D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D 与OA的位置关系，
.O
A
L
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切线的性质定理：圆的切线垂直于 过切点的半径。
.O
L
A
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目前，我们学过几种方法可以判定 直线与圆相切？
圆的切线性质定理#
圆的切线的判定与性质【知识点精析】1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。
这条直线叫圆的切线。
2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。
例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。
圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。
（2）切线长性质从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。
例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点【解题方法指导】一切线长定理的计算例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径BC2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。
二等腰三角形在证明切线中的巧用例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．word.word.求证：AC 平分∠DAB ．4已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。
圆的切线的性质及判定定理 课件
如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的 切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线．
证明：如图所示，连接OD.
∵OC∥AD，
∴∠3＝1，∠4＝∠2. ∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠3. ∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△DOC≌△BOC. ∴∠CDO＝∠CBO. ∵AB是直径，BC是切线，∴∠CBO＝90°， ∴∠CDO＝90°， ∴DC是⊙O的切线．
1．两个 一个 没有 2.垂直于 切点 圆心 3．切线
已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为 ⊙O的切线，点C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，
PA=AO=OB=1. (1)求∠P的度数. (2)求DE的长. 解析：(1)如图，连接OC. ∵点C为切点， ∴OC⊥PC，△POC为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin∠ p OC 1 ,
1．下列说法正确的是( C )
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．垂直于切线的直线必经过圆心
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于切线的直线必经过切点
2．已知圆的半径为6.5 cm，圆心到直线l的距离为4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是( C D．不能确定
圆的切线的性质及判定定理
1．直线与圆有________公共点，称直线与圆相交；直线 与圆只有________公共点，称直线与圆相切；直线与圆 ________公共点，称直线与圆相离．
2．切线的性质定理：圆的切线________经过切点的半 径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过________． 3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半 径的直线是圆的________．
人教版初三数学《圆中三大切线定理》
1中考内容中考要求ABC圆的有关概念 理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题中考内容与要求2圆中三大切线定理圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2011年2012年2013年题号20，25 8，20，25 8，20，25分值13分17分17分考点圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析知识互联网23题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。
(完整word版)圆的切线判定和性质定理
知识考点考点 1、切线的判定切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
符号语言∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径∴ l 为⊙O 的切线（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 判断①垂直于半径的直线是圆的切线。
………………………………（ ）②过半径外端的直线是圆的切线。
………………………………（ ）考点2、切线的性质定理● 圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）小试牛刀：如图，AB 与⊙O 相切于B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A ＝36° ．则∠C ＝______题型总结题型一、切线的判定（有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）1、如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．求证：PA 是⊙O 的切线；l A O2、O是∠BAC的角平分线上的一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作圆，求证：AC与⊙O相切题型二、切线性质的应用（见切点，连圆心，得垂直）3、如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，∠C=20°，求∠CDA的度数。
习题训练1、已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交2．如图，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．45cm B．25cm C．213cm D．133、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD的过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长.4、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．。
高中数学第二讲三圆的切线的性质及判定定理课件新人教A版选修4-1
圆的切线的性质和判定的综合考查 [例3] 如图，AB为⊙O的直径，D是 B»C 的中点，DE⊥AC 交AC的延长线于点E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长． [思路点拨] (1)连接OD，证明OD⊥DE； (2)作DG⊥AB.
圆的切线的判定 [例2] 已知D是△ABC的边AC上的一点， AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°， 求证：AB是△BCD的外接圆的切线．
[思路点拨] 连接OB，OC，OD → ∠BOD＝90°→ ∠OBC＝∠OCB＝30°→ ∠ABO＝90°→ 结论 .
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定 理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方 法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直 线的垂线是常用辅助线．
3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明：AB 是△BCD的外接圆的切线． 证明：作直径BE，连接DE， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°， ∴∠E＋∠DBE＝90°. ∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C， ∴∠ABD＋∠DBE＝90°. 即∠ABE＝90°. ∴AB是△BCD的外接圆的切线．
[思路点拨] ⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联 想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出 ⊙O的半径．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需 添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求 解，或利用勾Leabharlann 定理求解，或利用三角形相似求解等．
三
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径 ．
2016-2017学年高中数学选修4-1课件：第二讲2.3圆的切线的性质及判定定理
因为 EM⊥AB， 所以∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. 因为 OA＝OD，所以∠ODA＝∠A. 所以∠EDC＝∠ECD，所以 EC＝ED.
第二十页，编辑于星期五：十七点 三十分。
归纳升华 圆的切线的性质的应用
1．已知一条直线是圆的切线时，常作出过切点的半 径，则该半径垂直于切线，从而出现了直角．
(2)解：直线 CD 与⊙O 的位置关系是相切，理由是： 因为 BD2＝BE·BC，所以BBDE＝BBDC， 因为∠DBC＝∠CBD，所以△BED∽△BDC， 所以∠BDC＝∠BED＝90°，即 BD⊥CD， 所以 CD 与⊙O 相切．
第四十一页，编辑于星期五：十七点 三十分。
1．如果一条直线具备以下三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：①垂直于圆的切线；②过圆的切线 上的切点；③过圆心．于是，在利用切线性质时，通常 作的辅助线是过切点的半径．
第十四页，编辑于星期五：十七点 三十分。
5.如图所示，圆 O 的直径 AB＝6， P 是 AB 的延长线上一点，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 C，连接 AC，若∠CPA＝30°，则 PC ＝________．
解析：如图，连接 OC，因为 PC 是⊙O 的切线，
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第五页，编辑于星期五：十七点 三十分。
3．切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
第六页，编辑于星期五：十七点 三十分。
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于半径的直线是圆的切线．( ) (2) 过 圆 上 一 点 且 垂 直 于 圆 的 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线．( ) (3)过圆心且垂直于切线的直线必过切点．( ) (4)过切点且垂直于切线的直线必过圆心．( )
圆知识点总结切线的判定(整理)
N M A O 知识点二、切线的判定定理：（1）定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）在判定一条直线为圆 的切线时，当已知条件中明确指出圆与直线有交点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线。
即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线例题精选例1：如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，且BD=OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°．求证：DC 是⊙O 的切线．例2．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC ．例3．如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果∠POA=90°，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB=OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．例4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=12AB ； （3）点M 是AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN•MC 的值．习题巩固1．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出下列4个结论：①CE=CF ；②∠ACB=∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④AD BD ．其中一定成立的是（ ）2．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是（ ）①AD ⊥BC ；②∠EDA=∠B ；③OA= 21AC ；④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下4 个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④弧AD=弧BD其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④4、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于E，连接AD，下列结论：①CD=BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE•AC，其中正确结论个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、、如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确结论的序号是6、．如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=22，求BC的长．7、．已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）已知PA=3，BC=1，求⊙O的半径．9、如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．10、如图所示，△ABC的外接圆圆心0在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．（1）求证：△ABC≌△DNC：（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论．12、已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE ⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．13、如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE 于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．。
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第2讲圆中的三大切线定理
板块一：切线性质定理
1、直线与圆有且仅有一个交点，该直线为圆的一条切线，连接圆心和切点，R⊥切线
【引】（2013武汉四调）在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC
（1）如图1，求证：OP∥BC
（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值。
【变】（求边）⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA=3，BC=4，则AD？
【变】（求角）直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，且∠OBA=40°，求∠ADC？
【练】⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB为⊙O于点B，求PB的最小值？
2、切线长定理
【例】EB、ED分别切⊙O于B、D，∠E=90°，延长BO交⊙O于A，点C为⊙O 上一点，且∠CAB=15°，若DE=2，求CD？
3、切线长定理的一些结论
【练】PA、PB切⊙O于点A、B两点，C为AB上的一点，已知∠BPA=50°，求∠ACB？
【变】△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与△ABC的三边都相切，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长是多少？
2，求⊙O的半【变】⊙O为△ABC内切圆，若∠BAC=60°，AB +AC﹣BC=3
径？
【拓】⊙1O 和⊙2O 为Rt △ABC 内切圆，∠C=90°，AC=4，BC=3，求⊙1O 的半径？
板块二：切线的证明与计算（※中考必考题型※）
题型一：知圆上点，连半径，证垂直（※中考主流考察方式※）
【例】已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D
（1）求证：CD 为⊙O 的切线。
（2）若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB ？
【变】AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD. （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明原因；
（2）如果∠BDE=60°，PD为3，求PA？
【练】△ABC内接⊙O，CA=CB，CD∥AB，且与OA的延长线交于点D （1）判断CD与⊙O的位置关系
（2）若∠ACB=120°，OA=2，求CD
题型二：作垂直，证半径
【例】如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D，∠B=∠C．
证明⊙O与AC边相切．
板块三：综合题
（一）多结论问题：
【】Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为直径的圆交AC于D，E为BC中点，DF ⊥AB于F，D为BM中点，BM交DF、AC分别于G、H，连OG，下列结论：①DE为⊙O切线；②BH=BC；
③OG∥AD；④四边形DEBG为菱形，
正确的有。
【变】PA、PB为⊙O切线，AB为切点，BC为⊙O直径，PO交⊙O于D，下列结论：
①AB⊥OP；②PD=OD；
③点D为△PAB内心；④当∠APB=60°时么四边形ACDP为平行四边形。
正确的有。
（二）几何内综合
【例】AB、BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于点H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME，求证；（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH
【例】在以O为圆心的两个圆心的两个同心圆，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB. （1）判断BC所在直线与小圆位置关系，说明理由；
（2）判断AC、AD和BC的数量关系，说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环面积（结果保留π）
【练】Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AB中点，点O在BP上，⊙O过点B 且分别与边BC，BP交于。