传统数学的千年等数和乘率之谜
数学史
五上:早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。
在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。
一直到三百年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、z 等字母代表未知数，才形成了现在的方程。
大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中的“方田章”就论述了平面图形面积的算法。
书中说：“方田术曰，广从步数相乘得积步。
”其中“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽，也就是说：长方形面积= 长×宽。
还说：“圭田术曰，半广以乘正从。
”就是说：三角形面积= 底×高÷2。
我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。
出入相补原理就是把一个图形经过分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。
如下图所示，它们显示了平面图形的转化。
五下：1、6 的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。
像6 这样的数，叫做完全数（也叫做完美数）。
28 也是完全数，而8 则不是，因为1+2+4 ≠8。
完全数非常稀少，到2004 年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了40 个完全数，其中较小的有6、28、496、8128 等。
2、为什么判断一个数是不是2 或5 的倍数，只要看个位数？为什么判断一个数是不是3 的倍数，要看各位上数的和？24 = 20 +（）2485= 2480 +（）20、2480 都是2 或5 的倍数，所以一个数是不是2或5 的倍数，只要看⋯24 = 2×10+4= 2×（9+1）+4= 2×9+（2）+（4）2485= 2×1000+4×100+8×10+5= 2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5= 2×999+4×99+8×9+（）+（）+（）+（）3、哥德巴赫猜想从上面的游戏我们看到：4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3⋯⋯那么，是不是所有大于2 的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。
数学史5
祖冲之与祖暅
祖冲之(公元429—500)活跃于南 朝宋、齐两代，出生于历法世家 ，本人做过南徐州(今镇江)从事 史和公府参军，都是地位不高的 小官，但他却成为历代为数很少 能名列正史的数学家之一．祖冲 之曾在公元462年创制了当时最 为先进历法《大明历》。代表性 数学著作是《缀术》。
(一)圆周率 祖冲之关于圆周率的贡献记载在《 隋书》中，《隋书· 律历志》说：“ 祖冲之更开密法，以圆径一亿为一 丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五 厘九毫二秒七忽， 数三丈一尺四 寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在 盈肭二限之间”。 这就是说，祖冲之算出了圆周率数 值的上下限： 3.141 592 6<π<3.141 592 7．
贾宪时期，中国数学家们所处理的 方程系数都是正数．12世纪北宋学 者刘益首先突破了系数必须为正的 限制，在他所著的《议古根源》中 ，允许方程的系数为负数，并且也 不再像以往那样要求首项系数为1． 不过《议古根源》没有流传下来。 秦九韶在《数书九章》中，将增 乘开方法推广到了高次方程的一般 情形．他将自己的方法称为“正负 开方术”．
祖氏原理在西方文献中称“卡瓦 列里原理”，1635年意大利数学家 卡瓦列里独立提出，对微积分的建 立有重要影响． 刘徽和祖冲之父子的工作，思想 是很深刻的，它们反映了魏晋南北 朝时代中国古典数学中出现的论证 倾向，以及这种倾向所达到的高度 。这种高度是整个中国古代数学史 中论证数学的最高点。
3．2．3 《算经十书》
4 3 2 a0 x2 a1x2 a2 x2 a3 x3 a4
其中系数a0,a1,a2,a3,a4由下列增乘 程序来确定：
a0 =104 ×1= 104 a1 =104 ×3 ×4=12× 104 a2 =104 ×32 ×6=54×104 a3 =104 ×33 ×4=108×104 a4 =1336336-104×34×1=526336 即得到减根变换后的方程为
中国古代数学史
他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用 理论的方法算得圆周率157/50和3927/1250。他提出用无穷分 割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2 : 1， 解 决了一般立体体积的关键问题。
高次方程数值解法
把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形） 解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类 乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程， 后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦 九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集 了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。 为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负 数。他把高次方程解法分成各种类型，如：n次项系数不等 于1的方程，奇次幂系数均为零的方程，进行x=y+c代换后 常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。 方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减 根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根
西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的 数学
1.西方初等数学的传入 2.西方数学传入的中断及传统数学著作的整理 3.近代数学的传入
西方数学的会通
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧 求正矢”和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但 没有证明。1800年前后，明安图、董祐诚、项名达各自依据 《数理精蕴》提出的“连比例”方法，对这些级数进行研究， 获得一些创造性结果。明安图著有《割圆密率捷法》4卷 （1774年由他的学生陈际新定稿），他除了证明杜德美传入 的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通 弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6 个新的公式。
2-1 刘徽
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元 的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是 我国古代解方程组的最早的方法。 多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)， 在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年) 的法国数学家布丢(Buteo)。至于线性方程组的一般理论直到18 世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E。Be－zout)建立。可见 《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就， 在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产。
（二）代数部分 《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先 进水平。 1．开平方和开立方 《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤 和现在的基本一样。所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广 章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千 二百二十五步。问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里 所说的步是我国古代的长度单位。
第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等。 第五章“商功”：土石工程、体积计算。除给出了各种立 体体积公式外，还有工程分配方法。 第六章“均输”：合理摊派赋税。用衰分术解决赋役的合 理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天 正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理 论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。 第七章“盈不足”：即双设法问题。提出了盈不足、盈适 足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干 可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是 处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为 法，子相乘为实，实如法而一”。 《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法 也很清楚。
中国古代数学史
刘微的逻辑思想和数学理论系统体系
数学定义；改变了对《九章算术》对概念约定俗成的做法，给数学概念以明确的定义。 数学证明：三段论，关系推理，假言推理，选言推理，联言推理，二难推理等重要的推理形式。
中国传统数学的高潮——唐中叶至元2.计算技术的改进和珠算的发明 3.勾股容圆
4开方数、正负数、方程术
开方数X*n=A(n>=2) a0x*n+a1x*(n-1)+……+a(n-1)x=A
正负数（+-a）-(+-b)=(+-(a-b))a>=b;(+-a)-(+-b)=(-+(b-a)),a<=b 方程数
中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他 在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重 要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾 股形的5个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重 差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
盈不足数
3.面积、体积、勾股与测望
面积s=1/2lr=1/4ld 体积 V=1/3abh v=1/6abh;v=1/6[(2b1+b2)a1+(2b2+b1)a2)]h;v=1/36(l1l2+l1*2+l2*2)h 勾股定理与解勾股形(c+a):b=m:n(m表示勾弦并率，n表示股率） 勾股容方容圆 d=2ab/a+b+c
西方数学的会通
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧求正矢” 和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前 后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例” 方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割 圆密率捷法》4卷 （1774年由他的学生陈际新定稿），他除了证明杜 德美传入的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦 求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6个新的公式。
古代数学的发展历程
古代数学的发展历程古代数学是人类探索数学知识的起始阶段，经历了漫长而辉煌的发展历程。
从原始社会的实用计数开始，到古代文明的几何和代数的发展，数学在不同文化和时期都发挥着重要作用。
本文将为您介绍古代数学的发展历程。
一、原始社会的数数和简单计算在原始社会，数数和简单计算是人们对周围世界进行认知和解决问题的基本手段。
人们以自然界中的事物为基础，使用简单的计数方法进行计数。
最早的计数方法是通过手指或物体的数量来表示。
例如，古代人们会用手指来计数，或者用贝壳、石头等物体进行计数。
这种原始计数方法的发展，为古代数学的起步奠定了基础。
二、古代数学的发源地：古埃及与古巴比伦古埃及和古巴比伦是数学的两个重要发源地。
古埃及的数学主要应用于土地测量、建筑施工等实际问题。
埃及人发展了一种基于几何的计算方法，使用简单的比例和三角形等几何概念进行测量和计算。
而古巴比伦的数学重点在于代数的发展。
巴比伦人创造了一种叫做“巴比伦数”的进位制，用以进行复杂的计算和代数问题的解决。
古埃及和古巴比伦的数学成就为后世的数学家提供了重要的启示。
三、古希腊数学的兴起与发展古希腊是数学史上的一个重要时期，许多杰出的数学家和思想家在这个时期涌现出来。
毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要代表。
毕达哥拉斯学派强调对几何学的研究，提出了很多几何定理，如毕达哥拉斯定理等。
另外，欧几里德的《几何原本》对几何学的发展做出了巨大贡献，奠定了几何学的基本原理和证明方法。
四、印度数学的贡献古印度数学在代数和算术方面有着独特的贡献。
印度人发展了一套完整的数字系统，使用10个数字进行计算，并发明了零的概念。
印度数学家还创造了一种叫做“算经”的数学文献，其中包含了关于代数、几何和三角学等方面的重要知识。
印度数学对后世的数学学科产生了深远的影响。
五、中国古代数学的独特之处中国古代数学的独特之处在于重视实际应用和工程问题的解决。
古代中国数学家在农业、水利和天文等领域的研究中，开展了大量的数学探索。
中国古代数学发展史
中国古代数学发展史中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。
分成三个阶段：《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数学发展的三次高峰，简述9位中国科学家的数学工作。
第一次高峰：数学体系的形成秦始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传统数学体系。
我们通过一些古典数学文献说明数学体系的形成。
1983－1984年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前170年前后）的竹简，共千余支。
经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。
经研究，它和《九章算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。
《周髀算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西汉末年，约公元前100年，它虽是一部天文学著作（“盖天说”－天圆地方；中国古代正统的宇宙观是“浑天说”－大地是悬浮于宇宙空间的圆球，“天体如弹丸，地如卵中黄”），涉及的数学知识有的可以追溯到公元前11世纪（西周），其中包括两项重要的数学成就：勾股定理的普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载），数学在天文测量中的应用（测太阳高或远的“陈子测日法”，陈子约公元前6、7世纪人，相似形方法）。
勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。
中国传统数学最重要的著作是《九章算术》（东汉，公元100年）。
它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。
中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。
《九章算术》是由“九数”发展而来。
在秦焚书（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。
神奇的数字
西西弗斯串在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永无休止。
著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用这3个数组成下一个数字串235。
对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123。
对这个程序和数的"宇宙"来说，123就是一个数字黑洞。
是否每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。
例如：88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入"黑洞"了。
这就是数学黑洞"西西弗斯串"。
孔雀开屏数：（20＋25）的平方=2025类似的数还有两个：（30＋25）的平方=3025（98＋01）的平方=9801 与此相类似的还有：（2+4+0+1）的4次方=2401（5+1+2）的立方=512（8+1）的平方=81回归数英国大数学家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）曾经发现过一种有趣的现象:153=1^3+5^3+3^3371=3^3+7^3+1^3370=3^3+7^3+0^3407=4^3+0^3+7^3他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四（五,六）次幂之和的四（五,六）位数:1634=1^4+6^4+3^4+4^454748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6注:3位3次幂回归数又称位“水仙花数”像这种其值等于各位数字的n 次幂之和的n 位数,称为n 位n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数n 有回归数?这样的n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地证明了使n 位数成为回归数的n 只有有限个.设An 是这样的回归数,即:An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n （其中0<=a1,a2,...an<=9）从而10^n-1<=An<=n9^n 即n 必须满足n9^n>10^n-1 也就是（10/9）^n<10n （1）随着自然数n 的不断增大,（10/9）^n 值的增加越来越快,很快就会使得（1）式不成立,因此,满足（1）的n 不能无限增大,即n 只能取有限多个.进一步的计算表明:（10/9）^60=556.4798...<10*60=600 （10/9）^61=618.3109...>10*61=610对于n>=61,便有（10/9）^n>10n由此可知,使（1）式成立的自然数n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9二位回归数:不存在三位回归数:153,370,371,407四位回归数:1634,8208,9474五位回归数:54748,92727,93084六位回归数:548834七位回归数:1741725,4210818,9800817八位回归数:24678050,24678051但是此后对于哪一个自然数n （<=60）还有回归数?对于已经给定的n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?3 153 370 371 4074 1634 8208 94745 54748 92727 930846 5488347 1741725 4210818 9800817 99263158 24678050 24678051 885934779 146511208 472335975 534494836 91298515310 467930777411 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225 32164049650 4938855060612 无解13 无解0564240140138（只有广义解一组）14 2811644033596715 无解16 4338281769391371 433828176939137017 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317（广义解）18 无解19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 151784154330750503920 14543398311484532713 6310542598859969391621 128468643043731391252 44917739914603869730722 无解23 21887696841122916288858 28361281321319229463398、27879694893054074471405 35452590104031691935943 27907865009977052567814数学黑洞6174数学黑洞是古希腊的一个国王偶然发现的。
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傳統數學的千年等數和乘率之謎 71
節省篇幅, 計算表中略去中間的七次除法。 表1: 6172608 和16900序列值計算表 (自然餘數除法序數為奇)
k 被除數=除數× 商+ 餘 (籌算位) 被除數=除數× 商+ 餘 (籌算位)
商值
Q序列
P 序列
1 118704 = 325×365+79(右上) 6172608 = 16900×365+4108 (r1 右上) q1365 令 Q1 = 1
一切整數對, 因自然餘數除法序數的奇、 偶, 分成彼此獨立的兩大類, 數理上這個固有本性 考驗著古今中外眾多算法的普適性和完善性。
三大數理潛力點的提法, 能幫助我們剖析兩千多年來不定分析算法演進的歷程。 公元前300年就出現的原始歐幾里得求最大公約數輾轉相除法[1], 體現潛力點 II。 1801年, 高斯的線性同餘式序列解法[2]是潛力點 I、II、III 的完美結晶。 1247年秦九韶的大衍求一術, 同樣無愧為三大潛力點的完美結晶。「數書九章」[3]保存的1208 年開禧曆求乘率籌算原圖, 以等數標誌乘率, 顯示從潛力點 II、III 結合的求等數術除法形式, 發 展成潛力點 I、II、III 結合的求乘率術, 揭開了千年上元積年算法發展之謎。
r5 自然餘數 1(52), r6 自然分支最後 0
6 2 = 1×2+0(右下)
104 = 52×2+0(右下)
P1 = q1 = 365
2 325 = 79×4+9(右下)
16900 = 4108×4+468(右下)
q24 Q2 = q2 = 4
P2 = 1+q2P1 = 1461
3 79 = 9×8+7(右上)
4108 = 468×8+364(右上)
q38 Q3 = 1+q3Q2 = 33
P3 = P1 +q3P2 = 12053
2、 帶餘除法的迭代稱潛力點 II, 帶動序列值計算的進行。 為統一研究東西方不定分析史料, 我們設計了序列值計算表。 全表縱向結構如下:
第一列是整數對118704 和325, 遞互除之到餘數 0, 有餘數集合 79、9、7、2、1 和0。 第二列用 52 倍的整數對 6172608 和 16900, 遞互除之得 104 = 52×2 + 0, 餘數集合為 4108、 468、 364、 104、 52 和 0。 兩列最後一個非零餘數 1(或 52), 稱自然餘數, 連同後續餘數0, 組成自然餘數分支。 第三列是六個商 365、4、8、1、3 和 2。 代入序列值公式, 計算出的 Q 序列值, 載第四列, P 序列 值, 載第五列。
69
70 數學傳播 36 卷 4 期 民 101 年 12 月
借助整數對6172608 和 16900輾轉相除, 我們闡述潛力點含義, 列出序列值計算表。
1、 單位 1 是整數論的基石, 構成潛力點 I。 最小的自然數是 1。 整數對互質時, 最大公約數是 1。 常數值不同而其他各項完全相同的線
性不定方程 ax = by + c 或線性同餘式 ax ≡ c(mod b), 常數 c 中只有一個能取單位1。 所謂 要解出未知數 x 的值, 必須謀取 x 的係數為 1。
其中
Qka − Pkb = (−1)k−1rk,
P0 = 1 P1 = q1, Pk = qkPk−1 + Pk−2, Q0 = 0, Q1 = 1, Qk = qkQk−1 + Qk−2,
k = 1, 2, . . . , n,
k = 2, . . . , n, k = 2, . . . , n.
橫看表中每一行, 以除法為主導, 以商銜接, 導出兩個序列值, 合稱一個循環。 現代數論教科書上有定理深刻揭示, 兩個正整數 a、b 不必互質, 每一步都能找到 P 序列 值、 Q 序列值的線性組合, 等於正負號交替的相關餘數若 a、b 是任意兩個正整數,
數學傳播 36 卷 4 期, pp. 69-82
傳統數學的千年等數和乘率之謎
王翼勳
一、 引言
線性不定分析問題肇始於天文曆法萌芽時期, 昌明於歐洲文藝復興的近代數論, 上下兩千 年, 縱橫歐亞大地。 古希臘、 古中國、 古印度學者, 都為人類文明史留下濃重的一筆。
整數對的輾轉相除現象, 各量錯綜, 序列值計算繁雜。 受天象觀察、 曆法研究的刺激, 一代 代數學家深掘寶藏, 設計算法。 出於文明的不同, 研究出發點的不同, 認識程度的不同, 演算工 具的不同, 會有多種敘述形式, 更增加了研究的複雜性和趣味性。
4 9 = 7×1+2(右下)
468 = 364×1+104(右下)
q41 Q4 = Q2 +q4Q3 = 37 P4 = P2 +q4P3 = 13514
5 7 = 2×3+1(自然餘數) (右上) 364 = 104×3+52(自然餘數) (右上)
q53 Q5 = Q3 +q5Q4 = 144 P5 = P3 +q5P4 = 52595
只在分析不定方程時才有用。 遵照高斯不定方程 ax = by ± 1 的 「a不小於b」 約定, 以求乘率 術原算圖首圖的右上 r1 作為初始狀態, 表中各餘數的籌算上、 下位可據此排定。
偶序數類整數對, 選自然餘數 1 除法序數 10 為偶的 120365856000、 499067 作代表。 為
3、 潛力點 III 商數損一調節舉措, 是序列解算法的關鍵操作。 損, 取微減之意。 在餘數 0 除法 104 = 52×2 + 0 中, 商 2 減去 1, 改成除法 104 = 52×1 + 52 中, 餘數
52 等於除數 52。 餘數 52 稱為調節餘數, 與後續餘數 0 組成調節餘數分支。 序列值計算表中以兩條通欄說明, 展示兩個餘數分支的結構。 因自然餘數除法序數的奇、 偶, 存在著彼此獨立的兩大類整數對, 各舉一個具體數例。 奇序數類整數對, 選自然餘數 52 除法序數 5 (奇) 的 6172608、16900 為代表。 中間三列用雙線界定, 呈現 1208 年開禧曆求乘率術原算圖的數理背景。 第五列 P 序列,