沪科版七年级下册数学：分式方程及其解法(1)
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沪科版七年级数学下册《分式方程及其解法》课件精品(2022年新版)
(2)
1 x 2
x244.
(x2)(x2)
解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，
得 x+2=4.
解得 x=2.
检验：把x=2代入原方程，两边分母为0，分式无意义. 因此x=2不是原分式方程的解，从而原方程无解.
提醒：在去分母,将分式方程转化为整式方程解的过 程中出现使最简公分母〔或分母〕为零的根是增根.
学习目标
1.理解分式方程的概念； 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； 〔重点〕 3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验 根的方法.〔难点〕
导入新课
问题引入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿
江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最
大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流
(4) 2xy 与 x . x22xyy2 x2y2
6a 2c
2a 2b 2c
x(x-5)〔x+5〕
(x+y)2 (x-y)
例3 通分:
(1)
3
x y
2
， 4
1 x
y
；
解： 最简公分母是 1 2 x y 2
x 3y2
x 4x 3y2 4x
124xxy22
,
1 4xy
13y 4xy 3y
123xyy2
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx ＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，那么x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10， m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2) ＝－10，解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6.
沪科版(2012)初中数学七年级下册9.3.1分式方程-分式方程及其解法教案
9．3分式方程第1课时 分式方程及其解法学习目标：1．了解分式方程的概念；(重点)2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用；(重点)3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)教学过程一、情境导入1．分式的定义？2．什么是一元一次方程？我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究探究点一：分式方程的概念1.下列方程哪些是一元一次方程？2.（2） (4)（6）三个方程有什么共同之处？归纳：分式方程的定义----分母里含有未知数的方程叫做分式方程3.判断下列方程，哪些是分式方程，哪些是整式方程？（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 探究点二：分式方程的解法1.复习旧知：解方程：由解题回顾一元一次方程的解法。
15)2(3)5(321)3(14321)1(=+-+=--=+x x x x x 2521051)6(12132)4(22125)2(-=-++=---+=+x x y x x x x 437x y +=13(2)2x x =-(1)(4)1x x x -=-105126=-+x x 3(3)2x x π-=2131x x x ++=215=-x x 32121x x =-+2.思考如何解下面方程：分析：由一元一次方程的解法推导出解分式方程的解法。
3.思考：请为下列分式方程去分母归纳：去分母就是将方程两边同乘以最简公分母.3.例题：解：解： 方程两边同乘以(x-3), 得 方程两边同乘以(x+5)(x-5),得检验：当x=3时，x-3=0，分式方程无意义， 检验：当x=15时，(x+5)(x-5) 所以原分式方程无解 ≠0,所以x=15是原分式方程的解。
像x=3这样是在去分母时,将分式方程转化为整式方增根的定义：在去分母时,将分式方程转化为整式方程过程中出现的不适合于原分式方程的根.即：使最简公分母值为零的根变形后整式方程的根却不是原方程的根，我们称之为增根。
【沪科版】七年级下册数学：第9章-分式-配套ppt教学课件9.3 第1课时 分式方程及其解法
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，
化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的
解，否则须舍去。
4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”.
典例精析
5 3 ; 例1 解方程：(1) x2 x
七年级数学下（HK） 教学课件
第9章 分
式
9.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标 1.理解分式方程的概念；
2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
（重点）
3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验
根的方法.（难点）
导入新课
问题引入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿 江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最 大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流
式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是
原分式方程的解.
分式方程解的检验------必不可少的步骤 解分式方程时，去分母后所得整式方程的 解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的 解必须检验． 这个整式方程的解是 不是原分式的解呢？ 怎样检验？
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解.
－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
方法总结
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意
义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公
分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分
沪科版七下数学分式方程之分式方程及其解法教学课件
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数． (2)是分式方程，因为分母中含有未知数． (3)是分式方程，因为分母中含有未知数． (4)是分式方程，因为分母中含有未知数．
总结
知1－讲
判断一个方程是不是分式方程的方法： 根据分式方程定义中的条件，判断方程中分母 是否含有未知数，如果含有未知数，那么这个 方程就是分式方程，否则就不是分式方程． 警示：辨认分式方程时，不能对方程进行约分、 通分变形，更不能用等式的性质变形．
A. 10 10 1
x 2x 3
C.
10 10 1 x 2x 3
知2－练
B. 10 10 20
x 2x
D.
10 10 20 x 2x
C
知2－练
3 (中考·岳阳)岳阳市某校举行运动会，从商场购 买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个 笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用 200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的 数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下 列所列方程正确的是( )
A. 2Байду номын сангаас0 350
x x3
200 350
C. x 3 x
知2－练
B. 200 350
x x3 200 350
D. x 3 x B
1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方 程． 2. 列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程．
课本对应习题！
D．分式方程就是含有分母的方程
知1－练
3 下列关于x的方程是分式方程的是( D )
3x
A. 2
1
x 3
x1
B. 5 a
2
x
总结
知1－讲
判断一个方程是不是分式方程的方法： 根据分式方程定义中的条件，判断方程中分母 是否含有未知数，如果含有未知数，那么这个 方程就是分式方程，否则就不是分式方程． 警示：辨认分式方程时，不能对方程进行约分、 通分变形，更不能用等式的性质变形．
A. 10 10 1
x 2x 3
C.
10 10 1 x 2x 3
知2－练
B. 10 10 20
x 2x
D.
10 10 20 x 2x
C
知2－练
3 (中考·岳阳)岳阳市某校举行运动会，从商场购 买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个 笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用 200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的 数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下 列所列方程正确的是( )
A. 2Байду номын сангаас0 350
x x3
200 350
C. x 3 x
知2－练
B. 200 350
x x3 200 350
D. x 3 x B
1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方 程． 2. 列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程．
课本对应习题！
D．分式方程就是含有分母的方程
知1－练
3 下列关于x的方程是分式方程的是( D )
3x
A. 2
1
x 3
x1
B. 5 a
2
x
沪科版七年级数学下册课件-9.3 分式方程1
9.3 分式方程
为了满足经济高速发展的需求，我 国铁路部门不断进行技术革新，提 高列车运行速度.在相距1600km的 两地之间运行一列车，速度提高 25%后，运行时间缩短了4h，你能 求出列车提速前的速度吗？
分析：
这个问题中给出了哪些信息，等 量关系是什么？
2.设某列车提速前的速度为xkm/h，
解分式方程，如何检验？
解分式方程时应进行如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为０，则整 式方程的解是原分式方程的解，否 则，这个解不是原分式方程的解.
例3 解分式方程 x 1 2 x
x3 3x
解:方程两边同乘以 (x-3)（x+3）, 得 （x-1）（x-3）-2（x-3）（x+3）=-x（x+3）
解分式方程
例1 解分式方程 2 3
x3 x
解: 方程的两边同乘 x(x-3),得
①
2x=3x-9
分式方程 转 化
整式方程
② 解得x=9 ③ 检验:x=9时， x(x-3) ≠0,
所以原方程的解是 x=9
解整式方程 检验
例2 解分式方程 2 x 1 2
x3 3x
方程两边同乘以最简公分母（x-3），得
那么提速后的速度应为_（_1_+2_5%_）_x_km/h，
列车提速前走完1600km所需时间为 ____1_6_0_0___h，列车提速后走完 1600kxm所需时间为__1__126_50_%0__x _h， 列方程___1_6x0_0__1_1_2650_%0__x _4___.
问题: (1)方程
x 1 2x 1
2
3
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：
1600 x
为了满足经济高速发展的需求，我 国铁路部门不断进行技术革新，提 高列车运行速度.在相距1600km的 两地之间运行一列车，速度提高 25%后，运行时间缩短了4h，你能 求出列车提速前的速度吗？
分析：
这个问题中给出了哪些信息，等 量关系是什么？
2.设某列车提速前的速度为xkm/h，
解分式方程，如何检验？
解分式方程时应进行如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为０，则整 式方程的解是原分式方程的解，否 则，这个解不是原分式方程的解.
例3 解分式方程 x 1 2 x
x3 3x
解:方程两边同乘以 (x-3)（x+3）, 得 （x-1）（x-3）-2（x-3）（x+3）=-x（x+3）
解分式方程
例1 解分式方程 2 3
x3 x
解: 方程的两边同乘 x(x-3),得
①
2x=3x-9
分式方程 转 化
整式方程
② 解得x=9 ③ 检验:x=9时， x(x-3) ≠0,
所以原方程的解是 x=9
解整式方程 检验
例2 解分式方程 2 x 1 2
x3 3x
方程两边同乘以最简公分母（x-3），得
那么提速后的速度应为_（_1_+2_5%_）_x_km/h，
列车提速前走完1600km所需时间为 ____1_6_0_0___h，列车提速后走完 1600kxm所需时间为__1__126_50_%0__x _h， 列方程___1_6x0_0__1_1_2650_%0__x _4___.
问题: (1)方程
x 1 2x 1
2
3
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：
1600 x
沪科版数学七年级下册课件 9.3分式方程(1)
分式方程(1)
回顾与思考：
解方程： 3x 1 5x 2 2 4x 2
2
3
6
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母 （2）去括号 （3）移项 （4）合并同类项 （5）方程两边同除以未知数的系数
例 解方程
(1) 1 3 x2 x
(2) 480 600 45 x 2x
(4) 3 x 1 1 x4 4x
否为零,使最简公分母为零的根叫增根,舍去;
使最简公分母不为零的根才是原方x
注意:不是所有的分式方程都有解
随堂练习: 解方程:
(1) 3 4 x 1 x
(3) 6 x 5 x 1 x(x 1)
(2) x 5 4 2x 3 3 2x
解：（1）方程两边都乘以 x( x 2) ，得
x 3x 2
解这个方程，得
x3 检验：将 x 3 代入原方程，得
左边=1=右边
所以，x 3 是原方程的根
想一想：解分式方程一般需要几个步骤？
1.去分母: 方程两边同乘以最简公分母,化分式方程
为整式方程.
2.解整式方程.
3.检验: 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是
回顾与思考：
解方程： 3x 1 5x 2 2 4x 2
2
3
6
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母 （2）去括号 （3）移项 （4）合并同类项 （5）方程两边同除以未知数的系数
例 解方程
(1) 1 3 x2 x
(2) 480 600 45 x 2x
(4) 3 x 1 1 x4 4x
否为零,使最简公分母为零的根叫增根,舍去;
使最简公分母不为零的根才是原方x
注意:不是所有的分式方程都有解
随堂练习: 解方程:
(1) 3 4 x 1 x
(3) 6 x 5 x 1 x(x 1)
(2) x 5 4 2x 3 3 2x
解：（1）方程两边都乘以 x( x 2) ，得
x 3x 2
解这个方程，得
x3 检验：将 x 3 代入原方程，得
左边=1=右边
所以，x 3 是原方程的根
想一想：解分式方程一般需要几个步骤？
1.去分母: 方程两边同乘以最简公分母,化分式方程
为整式方程.
2.解整式方程.
3.检验: 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是
沪科版数学七年级下册第1课时分式方程及其解法课件
下面我们再讨论一个分式方程：
x
1 5
10 x2 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的
值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式 方程x+5=10的解，但不是原分式方程 1 10
①
30+x 30 x 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
90(30-x)=60(30+x)
原因： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分 式方程的解相同.
x
1
5
10 x2 25
两边同乘(x+5)(x-5)
②
x+5=10
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
原因： 分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使 分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
25％
x
4.
获取新知
知识点1:分式方程的概念 像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程
(fractional equation).
90v 30t 0
90 60 30 v 30 v
区分在于未知数是否在分母上．未知数在分母的方程是分式 方程．未知数不在分母的方程是整式方程．
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
第9章 分式
9.3 第1课时 分式方程及其解法
情景导入
如何解决本章引言中提出的问题呢？ 设某列车提速前的速度为x km/h，那么提速后的速度 应为 (1＋25％)x km/h.
列车提速前后走完1 600 km所需时间分别为
沪科版初中数学七年级下册《9.3分式方程》课堂教学课件 (1)
(1) x 2 x 23
（6）2x x 1 10 5
(3) 3 x x
2
前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式 方们一起研究下怎么样来解分式方程：
100 60 20 v 20 v
解：方程两边同乘以（20+v）（20-v） 去分母得：
100(20 v) 60(20 v) 解得： v 5
所用的时间为 20 v 时，逆流航行60千米所
60
数量关系：顺速=静速+水速
用的时间为 20 v 时.
逆速=静速-水速
100 60 20 v 20 v
路程=速度×时间 等量关系：顺流与逆流航行时间相等.
用心观察：
100 20 v
60 20
v（5）x
1 x
2
2x 1 3x 1 x
像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
情境导入：一艘轮船在静水中的最大航速为 20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千 米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米 所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析:设江水的流速为v千米/时,
轮船顺流航行速度为 20+v 千米/时，逆流航 行速度为 20－v 千米/时，顺流航行100千米
100
增根的定义
增根:在去分母时,将分式方程转化为整式方 程过程中出现的不适合于原分式方程的根. 即：使最简公分母值为零的根
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，
化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简
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有增根，求a的值。
解方程:
(1) 5 3
(2) 3x 1 2
x x2
x2 3
(3)1 1 5 x x4 x4
参考答案 （1）x=5 （2）x=1 （3）无解
一. 通过例题的讲解和练习的操作,你 能总结出解分式方程的一般步骤吗?
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成 ____整__式______方程;
1、课本
2、基础训练：同步练习
3、（1）分式方程的根一定是化简后的整式方程的 根，化简后整式方程的根不一定是分式方程的根， 有可能是增根，分式方程无解，就是说化简后的整 式方程无解或者化简后的整式方程的根是原分式方 程的增根这样两种情况。
（2）思考题
① a为何值时，关于x的方程
无解？_方程; (3)检验:把___这_个__整_式___方程的根代入
__最_简__公__分_母__中__.如果值__不__为__零___,就 是原方程的根;如果值____为__零____,就是 增根.应当___舍__去_____.
二,通过这节课的学习,你有哪些 收获?说出来与大家分享.
据题意可得方程:
80 60 x x 20
分母中含有未知数 的方程叫 分式方.程
例1: 解分式方程
2x 1 2 x3 3x
解：去分母得：2-x=-1-2(x-3) 去括号得：2-x=-1-2x+6 移项，合并同类项得：x=3 当x=3时x-3=0，所以x=3应舍去。 所以原方程无解。
问题: 对于分式方程可以用去分母的方法 求解,但求出来的根却有可能不是原方程的 根,这种现象是怎么产生的?
1. 什么叫一元一次方程?
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3 (2)x 2y 5 (3)x2 x 5 (4) x x 1 1
23
3. 请解上述方程(1)、(4).
一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶,已知 快客车每小时比中巴车多行20千米,快客车行驶
80千解米:所设需要快的客时车间每与小中时巴行车行驶驶X6千0米千米,则所需要 的时中间相巴同车,每求快小客时车行的驶速(度X－. 20)千米,根
思考: (1) 解上述方程的依据是什么? (2) 由a=b能否得出ac=bc ? (3) 由ac=bc能否得出a=b ?
解分式方程时,对所得根必须检验. 检验的方法可以是代入原方程检验. 但为了简便,通常把求得的根代入变 形时所乘的整式(最简公分母),看它 的值是否为零,使它为零的根不是原 方程的根,是增根,必须舍去.