[精选]人教版高中数学必修四教师资格试讲教案全套
人教版新课标高中数学必修4-全册教案【精品】
1.1．1 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．正角：按逆时针方向旋转形零角：射线没有任何旋转形⑵B 1 y⑴O x45° B 2O x B 3y30°60o负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边顶点A O B3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360° ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：αΘ角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第四象限角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角因此2α属于第二或第四象限角．1.1.2弧度制（一）教学目标（四） 知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（五） 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：2360p =?；180p =?；1801()57.305718rad p¢=盎??；180( )nn p =?．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度角度 0° 30° 45° 60° 9°120° 135° 150° 180° 270° 36° 弧度0 6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π23ππ2 7．弧长公式ll r r a a =??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 53π化成度． 例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,193p\是第三象限角.(2) 315316,666p p pp -=-+\-Q 是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．O R l22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①阅读教材P 6 –P 8；②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．4-1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
高中数学人教版必修4全套教案
a教学目标:1.了解相反向量地概念；2.掌握向量地减法,会作两个向量地减向量,并理解其几何意义；3.通过阐述向量地减法运算可以转化成向量地加法运算,使学生理解事物间可以相互转化地辩证思想.教学重点:向量减法地概念和向量减法地作图法.教学难点:减法运算时方向地确定.教学思路:一、复习:向量加法地法则:三角形法则与平行四边形法则,向量加法地运算定律例:在四边形中,=++AD BA CB .解:CD AD CA AD BA CB =+=++二、提出课题:向量地减法1．用"相反向量"定义向量地减法（1）"相反向量"地定义:与a 长度相同、方向相反地向量. 记作 -a （2）规定:零向量地相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它地相反向量地和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b,b = -a,a + b = 0 （3）向量减法地定义:向量a 加上地b 相反向量,叫做a 与b 地差. 即:a - b = a + (-b) 求两个向量差地运算叫做向量地减法.2．用加法地逆运算定义向量地减法: 向量地减法是向量加法地逆运算: 若b + x = a,则x 叫做a 与b 地差,记作a - b 3．求作差向量:已知向量a 、b,求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O,作OA = a, AB = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 地终点指向向量a 地终点地向量. 注意:1︒AB 表示a - b. 强调:差向量"箭头"指向被减数 2︒用"相反向量"定义法作差向量,a - b = a + (-b)4．探究:１）如果从向量a 地终点指向向量b 地终点作向量,那么所得向量是 b - a .２）若a ∥b, 如何作出a - b ？三、例题:例一、（P86 例三）已知向量a 、b 、c 、d,求作向量a -b 、c -d.解:在平面上取一点O,作OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作BA , DC , 则BA = a -b, DC = c -d例二、平行四边形ABCD 中,=AB a,=AD b, 用a 、b 表示向量AC 、DB .解:由平行四边形法则得: AC = a + b, DB = AD AB - = a -b 变式一:当a, b 满足什么条件时,a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|）变式二:当a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a -b|？（a, b 互相垂直）变式三:a+b 与a -b 可能是相等向量吗？（不可能,∵ 对角线方向不同）练习:在△ABC 中, BC =a, CA =b,则AB 等于( B )A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a四:小结:向量减法地定义、作图法|五:作业:《优化设计》作业十九2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量地正交分解和坐标表示教学目地:OAaB’b -bbBa + (-b )aba bOabBa -b A B D CbadcABCDOa -bAABBB’Oa -baa b bOAOB a -ba -bBA O-b..3OD c b a c b a C B A ABCD O 表示、、试用向量，、、的向量分别为、、的三个顶点到平行四边形已知一点如图，例叫做a 在x 轴上地坐标,y 叫做a 轴上地坐标,○2式叫做向量地坐标表示量地坐标也为),(y x . 特别地,0,1(=i ,)0,0(0=.2.3.3平面向量地坐标运算教学目地:（1）理解平面向量地坐标地概念；（2）掌握平面向量地坐标运算；（3）会根据向量地坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量地坐标运算教学难点:向量地坐标表示地理解及运算地准确性.教学过程:一、复习引入:1．平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内地两个不共线向量,那么对于这一平面内地任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ11e +λ22e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量地一组基底；(2)基底不惟一,关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２地条件下进行分解；(4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a,1e ,2e 唯一确定地数量二、讲解新课:1．平面向量地坐标运算思考1:已知:),(11y x a =,),(22y x b =,你能得出b a +、b a -、aλ地坐标吗？设基底为i 、j ,则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=,同理可得b a -),(2121y y x x --=（1） 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=, b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差地坐标分别等于这两个向量相应坐标地和与差.（2）若),(y x a =和实数λ,则),(y x a λλλ=.实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标.设基底为i 、j ,则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=,即),(y x a λλλ= 实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标。
高中数学：必修4全套教案(新人教A版)
精心整理第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广23角之分重点:难点:行了推广.思考小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒”（即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativeangle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zeroangle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，“角α”或“3.意: 4.[(1)((2)(天后的5. 4.(2)[OB ,而328︒=-设S ,所有与32︒-.{|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评 例1.例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤<的元素β写出来.720︒7.[展示投影]练习P第3、4、5题.教材6∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终注意:（1）k Z边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.8.学习小结(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)=线y x121（1.23关系.:数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点:理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点:理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何). B .显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法. 7.填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l其中例4.注意:9.教材9.(1)(2)121（12）理2初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加数,),它与么它的则线段OMsinα=cossinMPbOPα==;cosOMaOPα==;tanMP bOM aα==.思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin yα=；（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos xα=；（3）yx叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)yxxα=≠.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离7．例题讲评例3．求证：当且仅当不等式组sin0{tan0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:cos(2)cos k απα+=(其中k Z ∈)9.例题讲评例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒;(2)sin()4π-;(3)tan(672)︒-;(4)tan3π例5.求下列三角函数值: (1)'sin148010︒;(2)9cos4π;(3)11tan(6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值.另外可以直接利用10.11.(1)(2)(3)(4)121、 2、 3、 4、 5、 1．，2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（directlinesegment）.4.像MP OM5.角函数线6.（27.例1处理8.9(1)(2)(3)1．(1)21.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1)使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点:1. 从圆的如图:,而且1OP =.2sin α+2. 例sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3.巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评 例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-.通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题6.学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论． 五、评价设计(1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.第二章平面向量.1. 2. 3. 能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.1234567、 12.②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.ABCDA(起点)3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②5①.记作ａ6相等；．有向线段的起点无关．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有．．向线段的起点无关）．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4（5（6（7例下列命题正确的是（）共线，则也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量ａ与有相同起点的两个非零向量不平行不正确；由于数学中研究的向量是自由不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE,）DOCB,课堂练习：1①四点必在一直线上；②③任一向量与它的相反向量不相等；④是平行四边形当且仅当AB⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两③零相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题第2课时§2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；. 学法：教具1、 2、 则两次的位移和：=+（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：AC =+二、探索研究： ABCC１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即a ＋ｂ=+=，规定：a+0-=0+a探究：（1（2向，（3当与|+|=||a +b|=|b （4 ５．向量加法的结合律：(a +b )+c =a +(b +c ) 证：如图：使a AB =，b BC =，c CD =则(a +b )+c =AD CD AC =+，a +(b +c )==+∴(+)+=+(+) a从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|+|≤||+||，当且仅当方向相同时取等号.h/，求8km，为4，最.第3课时§2.2.2向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：二、123作=a则=a?b即a?b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1?表示a?b.强调：差向量“箭头”指向被减数2?用“相反向量”定义法作差向量，a?b=a+(?b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4．探究：B’ABDC１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b ?a.２）若a ∥b ，如何作出a ?b ？ 三、 例题：例一、（P ９７例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a ?b 、c ?d .在平面上取一点O ，作=a ，解：OB =b ，OC =c ，OD =d ，A.a +bB.-a +(-b )C.a -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，则 A.a +b +c +d =0B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0D.a -b -c +d =0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a ?bAABBB’Oa ?ba abbO AOBa ?ba ?b BA O?ba +b =，b +c =，c -d =，a +b +c -d =.４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =DC ，并画出b -c 和a +d .2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1平面向量基本定理（1（2） （3教具教学过程一、 复1（1）|λa 23.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：第３题(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1例2MB例3OA 例4（2)(OP OA tOB t +例51212样的实数d a b λμ=+使与c 共线：1.A.e 1、2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线B .共线C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于()A.3B .-3 C.0D.24.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1=.5.已知a 与e 2五、小结（1（2（3教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =我们把,(x a 其中x 示.与．a 特别地，i 如图，一确定. 设=A 的坐标),(y x 也就是向量OA .因2（1）若a 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =?=(x 2，y 2)?(x 1，y 1)=(x 2?x 1，y 2?y 1)（3）若),(y x a=和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例3D 的坐例4即：⎩⎨⎧-+431．若M(32．若A(03五、小结六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第6课时§2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1把),(y x 其中x )0,1(=i 2若a =则a +若,(1y x A a ∥设a=(x 1由a=λb 得，(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)⎩⎨=⇒2121y y λ消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1，y 2有可能为0，∵b?0∴x 2，y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1，x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b?)01221=-=⇔y x y x λ三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6，y)，且a ∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b =(-x ，2)共线且方向相同，求x例5∴A 1.2.A.-3B .-1 C.1D.33.若AB =i +2j ，DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量).AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（） A.1，2B .2，2 C.3，2D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y =.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）1.2.3.4.内容分析：??本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 4若(1x a =). 若,(1y x A 5．a ∥b 6P 1，P 2使P 1况：λ7.（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8.点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.。
人教版高中数学必修4教案
人教版高中数学必修4教案教案标题：人教版高中数学必修4教案教案目标：1. 熟悉人教版高中数学必修4课程的教学内容和教学要求；2. 制定合理的教学目标和教学步骤，提高学生的数学思维能力和解题能力；3. 通过多种教学方法和教学资源，激发学生的学习兴趣和积极性；4. 培养学生的数学学习策略和解题技巧，提高他们的学习效果。
教学内容：本教案以人教版高中数学必修4教材为基础，包括以下内容：1. 第一章三角函数2. 第二章三角恒等变换与解三角形3. 第三章平面向量4. 第四章空间向量5. 第五章矩阵与变换6. 第六章概率初步教学步骤：1. 第一章三角函数a. 学习目标：了解三角函数的定义和性质，能够应用三角函数解决实际问题。
b. 教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
2. 第二章三角恒等变换与解三角形a. 学习目标：掌握三角恒等变换的基本公式和应用，能够解决三角形的相关问题。
b. 教学重点：三角恒等变换的基本公式和解三角形的方法。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
3. 第三章平面向量a. 学习目标：了解平面向量的定义和性质，能够进行平面向量的运算和应用。
b. 教学重点：平面向量的定义、平面向量的线性运算和数量积。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
4. 第四章空间向量a. 学习目标：了解空间向量的定义和性质，能够进行空间向量的运算和应用。
b. 教学重点：空间向量的定义、空间向量的线性运算和数量积。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
5. 第五章矩阵与变换a. 学习目标：了解矩阵的定义和性质，能够进行矩阵的运算和应用。
b. 教学重点：矩阵的定义、矩阵的运算和矩阵的应用。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
高中数学必修4全套教案
高中数学必修4全套教案一、教案总体设计教学目标：1.掌握基本的数学概念和数学方法；2.建立具体的数学思想和数学思维；3.发展数学思维能力和创新意识；4.提高解决实际问题的能力。
教学重点：1.数学思维的培养和发展；2.数学概念的理解和掌握；3.数学方法的灵活运用。
教学难点：1.数学概念的深入理解；2.数学方法的灵活运用。
二、教案详细设计授课时数：40课时第一课时：引入和概述教学内容：1.数学的定义和基本概念；2.数学方法的分类和应用；3.数学的发展历程和重要作用。
教学目标：1.理解数学的定义和基本概念；2.了解数学方法的分类和应用；3.掌握数学的发展历程和重要作用。
教学步骤：1.引入：通过举例和提问导入数学的定义和基本概念。
2.概述：对数学方法的分类和应用进行简要介绍。
3.总结：归纳数学的发展历程和重要作用。
第二课时：集合与映射教学内容：1.集合的定义和表示方法；2.集合的运算和性质；3.映射的定义和性质。
教学目标：1.掌握集合的定义和表示方法；2.熟练运用集合的运算和性质；3.理解映射的定义和性质。
1.引入：通过实例讲解集合的定义和表示方法。
2.讲解：详细介绍集合的运算和性质。
3.演练：通过练习题巩固集合的运算和性质。
4.总结：总结集合的概念和运算规则。
第三课时：函数与方程教学内容：1.函数的定义和性质；2.方程的定义和解法；教学目标：1.理解函数的定义和性质；2.掌握方程的定义和解法；3.熟练应用函数与方程进行问题求解。
教学步骤：1.引入：通过例题引入函数的定义和性质。
2.讲解：详细介绍方程的定义和解法。
3.演练：通过例题和练习题巩固方程的解法。
...第四十课时：总结与回顾1.回顾全套教案的重点和难点；2.总结学过的数学知识和方法；3.展望数学在实际生活和科学研究中的应用。
教学目标：1.温习并巩固学过的数学知识和方法；2.总结数学在实际生活和科学研究中的应用。
教学步骤：1.回顾：复习全套教案的重点和难点。
高中数学人教版必修4全套教案
第1，2课时1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.（二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标1．提高学生的推理能力；2．培养学生应用意识．教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课：1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．⑵B 1 y⑴Ox45°B 2OxB 3y30°60o正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角3．探究：终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：⑴ k∈Z⑵α是任一角；⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷角α + k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．y 上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤例5．写出终边在xβ＜720°的元素β写出来．4．课堂小结①角的定义；②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：练习第1-5题； 习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z) 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第二象限角 k 为奇数，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ，正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角此时，2α属于第四象限角 因此2α属于第二或第四象限角．第3课时1.1.2弧度制（一）教学目标（一）知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． （二）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （三）情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程： 一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：3.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=π5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度r l α=弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把150°化成弧度；把rad 53π化成度 例2．计算：4sin)1(π；．6cos)2(π例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 67π是第三象限的角,所以它是第三象限角.ORl631)2(π-是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R, ∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式 7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①教材P9练习第1、2、3、6题 ②教材P10面7、8题及B2、3题．第4课时1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
(人教版)高中数学必修4教案全集(2021年整理)
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第十二章第十三章三角函数1。
1任意角和弧度制1。
1.1任意角一、教学目标:1、知识与技能（1)推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法。
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第1，2课时．1 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角终边顶点 A B 负角：按顺时针方向旋转形成的角例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：⑵B 1y⑴Ox45°B 2OxB 3y30°60o正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：练习第1-5题； 习题第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：αΘ角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第二象限角 k 为奇数，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第四象限角 因此2α属于第二或第四象限角．第3课时弧度制（一）教学目标（一）知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． （二）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （三）情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程：一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考： （1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：οο3.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=π5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．r l α=弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把150°化成弧度；把rad 53π化成度 例2．计算：4sin)1(π；．6cos)2(π例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 67π是第三象限的角,所以它是第三象限角.631)2(π-是第二象限角..,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R, ∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式 7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①教材P9练习第1、2、3、6题 ②教材P10面7、8题及B2、3题．第4课时任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
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课题1 任意角一、教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与象限角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合 （三）情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．二、教学重点：任意角概念的理解；终边相同的角的集合的表示 三、教学难点：终边相同角的集合的表示 四、教学过程 （一）引入1、回顾角的定义（在初中我们学习过角，那么请同学们回忆一下角的概念） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2、讨论实际生活中出现一系列关于角的问题一只手表慢了5分钟，另外一只快了5分钟，你是怎么校准的？校准后，两种情况下分针旋转形成的角一样的吗？那么我们怎样才能准确的描述这些角呢？这就不仅需要我们知道角的形成结果，还要知道角的形成过程。
（今天同学们就跟着老师一起来学习角的新知识） （二）新课讲解：1．角的有关概念：(在原来初中学习的角的概念基础上，我们重新给了角一个定义)（1）角的定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
一条射线绕着它的端点0，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ,形成一个角α，点O 是角的顶点，射线OA 、OB 是角α的始边、终边（2）角的分类：(3)注意：①为了简单起见，在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ②零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ③角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． （4）练习：老师举一些例子让同学说出角α、β、γ各是多少度?2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
②课堂练习，初步理解象限角在直角坐标系中，下列各角的始边与x 轴的非负半轴重合，请指出它们是第几象限的角 ⑴ 30°； ⑵ -120°； ⑶ 180°； 3．终边相同的角讨论：对于直角坐标系内任意一条射线OB ，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系呢？（1）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360° ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：负角：按顺时针方向旋转形成的角⑴ k∈Z⑵α是任一角；⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷角α + k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．4、例题精讲例1．在0°到360°范围内，找出与－950°12＇角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．例2．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．例3．写出终边在xy 上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．五、课堂小结①与角相关的概念；②象限角；③终边相同的角的表示方法；六、课后作业：①教材P5练习第1-5题；②预习弧度制七、板书设计课题2 任意角的三角函数一、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、教学重点：三角函数的定义；三、教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的三角函数表示出来四、教学过程（一）复习引入在初中，我们已经学过锐角三角函数，它是在直角三角形中进行定义的，知道它们都是以锐角为自变量，以直角三角形三边的比值为函数值的函数。
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b,它与原点的距离0r>.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMP bOP rα==;tanMP bOM a α==.思考1：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P在α的终边上的位置的改变而改变大小.我们就可以得到一个结论，确定的角α，它的三角函数值是确定的。
思考 2：我们能不能用直角坐标系中的点来表示三角函数？我们可以将点P取在使线段OP的长1r=的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinMPbOPα==;cosOMaOPα==;tanMP bOM aα==.思考3：还有那些点可以用它的横纵坐标来表示三角函数值呢?在引进弧度制时，我们用到了半径等于单位长度的圆，在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.（二）新课讲解1.任意角的三角函数的定义结合上述锐角α的三角函数值的求法, 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α, 即 sin y α=；（2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；（3）yx 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx x α=≠.说明:(1)当时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x y =都等于x y =，所以x y =无意义。
(2)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.2.练习利用定义求角的三角函数值 例1例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦,余弦和正切值。
思考：如果将题目中的坐标改为（-3a ，-4a ）,题目又应该怎么做？得出规律：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离，即可求出三角函数值。
五、课堂小结任意角的三角函数 六、布置作业练习1、2、3、4 七、板书设计课题3 同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法；2、会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行化简、求值及恒等式证明；3、培养学生观察发现能力，提高分析问题能力、逻辑推理能力．增强数形结合的思想、创新意识 。
二、教学重点：同角三角函数的基本关系式推导及其应用三、教学难点：同角三角函数的基本关系式与变式的灵活运用 四、教学过程 （一）引入1、什么是三角函数？正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.问题：数学中很多量之间都具有特定的联系，比如直角三角形的勾股定理。
那么三角函数之间是否也具有某种关系呢？2、探究活动： ︒30sin =？ ， ︒30cos =？ ， =︒+︒30cos 30sin 22？︒45sin =？ ， ︒45cos =？ ， =︒+︒45cos 45sin 223、由上情况初步得出什么结论？（二）新课讲解1. 同角三角函数之间的关系三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,现在我们还是利用直角坐标系中的单位圆来探讨同一个角不同三角函数之间的关系。
如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。
根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.通过上面一系列的推证，我们可以得到，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切，这就是我们同角三角函数的基本关。
2. 例题讲评例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值.通过例题，我们可以知道sin ,cos ,tan ααα这三者知一求二,我们要熟练掌握.例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xxx +=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的常用方法.①我们可以从等式一边证到等式另一边，得等式右边与左边相等，或者等式左边与右边相等。
② “两面夹击,中间会师”，即左右归一，将等式两边的“异”化为“同”。
5.巩固练习P20页第4,5题 五、学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．（2）利用平方关系时，往往要开方，我们要注意α角的取值范围，要先根据角所在象限确定符号。
六、课后作业布置作业：习题1.2 A 组第10,13题. 七、板书设计课题4 正弦函数、余弦函数的图像一、教学目标1、了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图象2、掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征3、掌握利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系4、掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图5、通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系6、体会数形结合的思想二、教学重点：正余弦函数图象的做法及其特征三、教学难点：正余弦函数图象的做法，及其相互间的关系四、教学过程（一）复习引入学习函数我们往往要研究它的图像与性质，前面我们已经对正弦函数、余弦函数有了一个初步的了解，那么它们的图像是什么呢？今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的图像。
我们知道物理中简谐运动的图像就是“正弦曲线”或“余弦曲线”，现在我们来看一个沙摆实验的视频，来看看图像的形状是怎样的。
（二）讲授新课1、正弦函数y=sinx的图象下面我们利用正弦线来一起画一个比较精确的正弦函数图象。
先建立一个直角坐标系，它的坐标原点为o，再在直角坐标系的x轴上取一点o1，以o1为圆心作单位圆，从圆o1与x轴的交点A起将圆12等分，过各等分点向x轴作垂线，分别得到等的正弦线。
再把x轴从0-2π这一段等分成12等分，把这些角的正弦线平移到对应的点上，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到的图像。
P31（设计意图：通过按步骤自己画图，体会如何画正弦函数的图象，对图像理解更加透彻。
）因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数的图像与的图像时完全一致的。