解决与数列中不等式恒成立问题的两个基本策略

解决数列中不等式恒成立问题的两个基本策略不等式恒成立问题是考生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高，综合性更强，是高考数学命题的热点和难点.数列是特殊的函数，因此研究函数中不等式恒成立问题的方法可以应用到数列中不等式恒成立问题中来，这体现了一般与特殊的数学思想方法.函数中不等式恒成立问题的解题策略有两个：策略一：不等式恒成立问题就从不等式角度解决， (,)0f x a > ()a 为参数x ∈在[],m n ∈恒成立等价于区间[]m,n 是(,)0f x a >()a 为参数的解集的子集.又因为函数、方程、不等式三者密不可分，函数问题可以转化为方程问题或不等式问题来解决，我们也可以将方程、不等式的两边都看成函数，因此方程问题、不等式问题可以转化为函数问题来解决，这其中体现了函数思想、转化与化归思想，具体解决思路如下图所示：（全称命题） 正难则反 (特称命题) 含参数的不等式恒成立问题 存在性命题集合观点 函数思想价转化的方式不同，构造出的函数也不同，因此导致解题难度和解题长度也就不同）；避免分类讨论的方法是分离参数法（由于参数与变量是相对而言，因此该法也可称为分离变量法）.策略二：善于运用合情推理： “先猜后证，特值引路”，即通过特值猜想求出使问题成立的必要条件，在证明其具有充分性.这种方法在最近几年的高考试卷多次出现，随着新课改的深入，高考对猜想能力的考查将日趋加深.如2008年全国卷Ⅱ文21题就考查这一思想方法：例1.（2008年全国卷Ⅱ文21）设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．（Ⅰ）略（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 分析：（Ⅱ）由题设，322()336g x ax x ax x =-+-．因为()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g =0，由特殊与一般的思想，猜想得使问题成立的充要条件为(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤. 下面只需证当65a ≤且[02]x ∈，时，()0g x ≤恒成立.若把322()(3)36g x x x a x x =+--看成关于a 的函数，则有26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤3(25)(2)5x x x =+-0≤；若把g(x)看成关于x 的函数，也可证得.本题还可以从转化为()0g x ≤在[02]x ∈，恒成立问题、转化为求存在[02]x ∈，，使得()0g x >成立的a 的取值范围的补集问题等五个角度来解决.因为数列是特殊的函数，所以上述两种解题策略均适用于数列不等式恒成立问题，但又因为数列图象是其对应函数图象上的一些孤立的点，因此用函数思想解决数列问题时应该特别注意数列中自变量取正整数这一特殊性质.下面通过几个例子加以说明.例2．数列{}a n 中，2n a n kn =-，若对任意的正整数n, 13n a a +>都成立，求实数k 的取值范围. 解析：方法一（最值法）对任意的正整数n, 13n a a +>都成立，即对任意的正整数n, 293n kn k-≥-都成立，∴对任意的正整数n, 2(3)9n k n -≥-恒成立，（分类讨论分离参数）.(1)若12n ≤≤，则3k n ≥+恒成立，故5k ≥;(2).若3n =，则33a a ≥恒成立，故k N *∈;(3).若3n ≥，则3k n ≤+恒成立，故7k ≤.综上所述 57k ≤≤方法二（数形结合）.令2()f n n kn =-，对称轴2k n =，对任意的正整数n, 13n a a +>都成立 ∴ 57222k ≤≤，即对称轴位于2和3 的中点与3和4 的中点之间（不包括中点）. 方法三（数形结合）对任意的正整数n, 13n a a +>都成立∴只需满足2343a a a a ≥≥且（当对称轴522k =时，由抛物线的对称性可知23a a =，则23a a ≥等价于522k ≥，43a a ≥等价于722k ≤）. 方法四、（数形结合）错解：对任意的正整数n, 13n a a +>都成立∴对任意的正整数n, 2(3)9n k n -≥-恒成立即对任意的正整数n, 2390n kn k -+-≥恒成立∴0∆≤即2(6)0k -≤，即k=6.由于n 取正整数，实际上当k 取满足0∆>的一部分值时，如k=5仍能够满足对任意的正整数n, 13n a a +>都成立.正解理论依据：定理1：设数列{}a n 的通项为2(,)n a n pn q p q R =++∈，[]21,(3)(),(21)(21)p p h p np n n p n --≥-⎧=⎨---+≤≤--⎩函数其中n=2,3,… 则数列{}a n 各项都为非负数（0n a ≥恒成立）的充要条件是()q h p ≥定理2：设2f (),n n pn q =++若存在,()m l N l m ∈*<满足2(1)(1)q l m p +++++2lm=0,则()0f n ≥()n N ∈*恒成立的充要条件为p 124f ≥（-）-（也可以写成判别式241p q ∆=-≤） 正解：由定理2可得k 124f ≥（-）-，则57k ≤≤. 例3. 21(21)lg n n c n a a +=+,其中a>0且a ≠1，如果数列{}n c 中的每一项恒小于它后面的项，求实数a 的取值范围. （2008年湖北压轴题改编）分析：1c n n c +<对任意的n N *∈恒成立即2123(21)lg (23)lg n n n a a n a a +++<+对任意的n N *∈恒成立.函数思想解决含参的数列不等式恒成立问题，关键在于通过灵活转化，构造合理的函数.由于等价转化的方式不同，构造出的函数也不同，因此导致解题难度和解题长度也就不同.观察发现：不等式两边都有公因式lg a 与21n a +，可以对不等式进行等价转化，然后利用最值法解决.⑴01a <<，则lg 0a < 所以2123(21)(23)n n n a n a +++>+对任意的n N *∈恒成立，即221(23)n n a +>+对任意的n N *∈恒成立，接下来关键是构造什么函数.转化方法一：221(23)n n a +>+对任意的n N *∈恒成立等价于22123n a n +<+对任意的n N *∈恒成立，设212()12323n f n n n +==-++，则{}()f n 是递增数列，∴min 3()(1)5f n f == ∴235a < 且01a <<.∴0a <<. 转化方法二： 221(23)n n a +>+对任意的n N *∈恒成立即2(23)(21)0n a n +-+>对任意的n N *∈恒成立，设2()(23)(21)f n n a n =+-+，则2(1)()22f n f n a +-=-<0，则{}()f n 是递减数列，2min ()(1)53f n f a ==-，所以2530a -<且01a << ∴05a <<. 转化方法三：、 221(23)n n a +>+对任意的n N *∈恒成立即2(23)(21)0n a n +-+>对任意的n N *∈恒成立，设2()(23)(21)f x x a x =+-+= 22(22)32a x a -+-则2()220f x a '=-<，则{}()f n 是递减数列，2min ()(1)53f n f a ==-，所以2530,a -<且01a << ∴0a <<⑵. 若a>1，则lg 0a >，显然2123(21)(23)n n n a n a +++<+恒成立综上所述(0,(1,)5a ∈⋃+∞. 例4.（2010年全国卷Ⅰ22）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）略（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围. 分析：第（Ⅱ）较难，需要运用先猜后证.先由特值引路，因为1+<n n a a <3对任意的n N *∈都成立，所以n 取特值也成立，即12a a >=1，由此解得2>c ,下面只要证明再用数学归纳法证明“当2>c 时，1+<n n a a ”即可.用数学归纳法证明：当2>c 时，1+<n n a a（ⅰ）当1=n 时，1121a a c a >-=，命题成立； （ⅱ）设当k n =时，1+<k k a a ，则当1+=k n 时，故由（ⅰ），（ⅱ）知当2>c 时，1+<n n a a ，另一方面，由1+<n n a a <3，11a n n c a +=-得1a n nc a <-，即210n n a ca -+<对任意正整数n 都成立，又13n a ≤<，令2()1f x x cx =-+，可知必须满足条件232(3)040c f c ⎧-<⎪⎪≥⎨⎪∆=->⎪⎩即693102c c c <⎧⎪-+≥⎨⎪>⎩，解得103c ≤，综上所述两个方面可知，所求c 的取值范围为102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.接下来只要证明102,3c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时不等式1+<n n a a <3即可.因为当102,3c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，111103n n n n a a c a a ++<+=≤，得231030n n a a -+<，解得3n a <.显然成立.对于“对任意的n N *∈3n a <都成立”，也可以从其他角度解决：因为对任意的n N *∈3n a <和1+<n n a a 同时成立，须先满足2>c .当2>c 时，令242-+=c c α，由c a a a a nn n n =+<++111得α<n a . 当3102≤<c 时，3≤<αn a . 当310>c 时，3>α，且α<≤n a 1，于是 )(31)(11n n n n a a a a -≤-=-+αααα， )1(311-≤-+ααnn a 。

当31log 3-->ααn 时，31-<-+ααn a ，31<+n a . 因此310>c 不符合要求，所以c 的取值范围是]310,2(. 例5.在数列{}a n 中1223(3)2(2)n n n a a n --=⋅+-≥，1a a =，若1n n a a +≥，n N *∈ ，求实数a 的取值范围.（2008年全国Ⅱ改编）分析：当2n ≥时，1n n a a +≥恒成立，即311223(3)223(3)2n n n a a ---⋅+-≥⋅+-恒成立，又可以转化为当2n ≥时，1243(3)2n n a --⋅≥-恒成立，分离参数得1n-2233341222n n a ---≤⋅=⋅（）, n-23()122f n =⋅设（）, min ()(2)12f n f ==设,则312a -≤，所以9a ≥-.当1n =时，213a a a =+≥恒成立，故a N ∈*. 特别地，要取二者交集才能保证n 无论取任何正整数不等式恒成立，所以[)9,a ∈-+∞. 此时我们不禁要问，因为1n n a a +≥，n N *∈ ，能否取2132a a a a ≥≥且？它是否为问题成立的充要条件？由2132a a a a ≥≥且可得[)9,a ∈-+∞，接下来只需要用数学归纳法加以证明该条件具有充分性即可.。